标准差公式的教学策略
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当我们进行一个内容的教学时，需要对一个内容进行一个整体的思考，这将有助于老师进行每一节课的教学。可以从以下几个方面对这部分内容进行整体思考。
1.统计与日常生活中有着广泛的应用，生活先于课程把统计推到了学生面前。
2.统计提供了一种不确定的（随机的）思维方式。
3.有助于学生解决问题能力、情感态度价值观等方面的发展。统计用数据说话，使学生体会用数据进行推断的思维方式。
1.把学生不熟悉的问题，不容易理解的问题，换成学生熟悉的问题，容易理解的问题。
2.把一个复杂的问题，拆分成若干个简单的问题，容易理解的问题。达到循序渐进，环环相扣，水到渠成的目的。&
1.在教学中注重培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识。
2.在作业中提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。
对模块3（必修3）第74页关于方差的讲解，基于对新大纲的理解我做了如下精心的设计：
首先看课本的引入：平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是，平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计报表显示，此地区的年平均家庭收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭收入普遍较高。但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭年收入计算出来的。那么，它就不能代表贫困家庭的收入，也不能代表富有家庭的年收入。因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的，因此，只有平均数还难以概括样本的实际状态。
对于这个情景引入，我觉得对于大部分15或者16岁的孩子来讲，其实比较抽象，难以理解问题的所在，而且重点在平均数上，他们也不能很好的理解什么是极端的情况。因此我就用孩子们的语言，把它换成了下面两个问题。
1.上次考试，假设数学平均85，语文平均95。我们的问题是，数学成绩“拉分”厉害，还是语文成绩“拉分”厉害。也就是说，数学成绩波动幅度大，还是语文成绩波动幅度大？
2.中国贫富差距大还是美国贫富差距大？
　　要想解决这两个问题，来看看书上这个问题；
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：& 7 &8 &7 &9 &5 &4 &9 &10 &7 &4
乙：& 9 &5& 7& 8 &7 &6 &8 &&6 &7 &7
如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价?如果这是一次选拔性考核，你应当作出什么选择?　　
对于这个问题，同学们的回答其实五花八门，下面列举几个出来；
1.应该选甲，因为他最高10环，而乙最高9环；
2.应该选乙，因为乙最低5环，而甲最低4环；
3.应该综合考虑谁的水平高让谁去；
4.怎么断定一个人的水平比另一个人高呢?
5.看平均成绩，结果平均成绩一样，再怎么办?
诸如此类的回答。
对于这个问题，同学们的答案很多，而且似乎都有道理，但是在标准差这节课该怎么讲？而且我觉得在两个人的平均成绩都是7环的情况下，如果是一次选拔性考核，必须告诉7环就能拿到好成绩的前提下，才能说让那个稳定在7环的那个人去，如果是10环才能拿到好成绩，还不如让那个发挥不稳定的人去搏一下呢。所以，对单讲标注差这节课而言，重点有所偏移，增加了学生学习负担，而且引入不够自然，太过生硬。因此，我把这个问题分解成以下几个问题，达到环环相扣，层层推进，水到渠成的目的。&
问题一、有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下;
&&&&&&&&&&&&&&& 甲：& 7 &7 &7 &7 &7 &7 &7 &&7 &7 &7
　　　　 乙：& 8 &7& 7& 7 &7 &7 &7 &&7& 7 &6&&
问那个运动员发挥稳定？ 学生肯定回答甲，问什么呢，因为甲都是7，乙不全是7。
问题二、有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
&&&&&&&&&&&&&&& 甲：& 9 &7 &7 &7 &7 &7 &7 &&7 &7 &5
&&&&&&&&&&&&&&& 乙：& 8 &7& 7& 7 &7 &7 &7 &&7& 7 &6&&
问那个运动员发挥稳定？学生们肯定回答乙。不过理由可能不同，一种是甲的极差大，乙的极差小，还有一种是甲的两个异类，与7得差是正负2，而乙的两个异类与7的差是正负1。&
问题三、有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：& 9& 7 &7 &7 &7 &7 &7 &&7 &7 &5
乙：& 9 &8& 7& 7 &7 &7 &7 &&7& 6 &5&
问那个运动员发挥稳定？学生们一般回答甲，不过理由可能不同，一种是尽管极差一样，但是乙还可以再求一个“极差”。还有一种是甲的两个异类与乙的相同，但是乙还多了两个异类。第三种理由还是考虑各个异类与7的差。因为7与7差是0，可以推广为各个数据与7的差。
问题四、考虑各个数据与7的差的能不能解决问题呢？因为每个数据都与7有个差，我们很自然的想，把所有的差加在一起，得到的和越大，数据波动幅度就大呢?（这是一个美妙的想法）看下面这个例子：
&&&&&&&&&&&&&&& 甲：& 7 &7 &7 &7 &7 &7 &7 &&7 &7 &7
&&&&&&&&&&&&&&& 乙：& 8 &7& 7& 7 &7 &7 &7 &&7& 7 &6&&&
问那个运动员发挥稳定？甲的各个数据与7的差都是0，所以甲的各个数据与7的差的和是0。但8―7=1，6―7=―1，所以1+（―1）=0。因此乙的各个数据与7的差和也是0，因此，两组数据中每个数据与7的差的和都是0，因此，并不能说明乙的数据波动更大，原因在那呢？我们发现乙的两个差正负抵消了。怎么解决这个问题呢？只要差不被抵消就好了。怎么解决这个问题呢？我们如果把“绝对”的差，而不是相对的差，加起来，是不是就不能抵消了呢？因此，我们把每个差加上绝对值看看。再来看看刚开始的那个问题：
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
&&&&&&&&&&&&&&& 甲：& 7 &8 &7 &9 &5 &4 &9 &10 &7 &4
&&&&&&&&&&&&&&& 乙：& 9 &5& 7& 8 &7 &6 &8 &&6 &7 &7
问那个运动员发挥稳定？因为O7―7O+O8―7O+O7―7O+O9―7O+O5―7O+O4―7O+O9―7O+O10―7O+O7―7O+O4―7O=16又因为O9―7O+O5―7O+O7―7O+O8―7O+O7―7O+O6―7O+O8―7O+O6―7O+O7―7O+O7―7O=9因为16&9所以甲运动员的成绩波动大，从而，乙运动员发挥更稳定。我们的问题解决了。
问题五、是不是任意两组数据都可以采用这个方法解决呢?看下面两组数据：
&&&&&&&&&&&&&&& 甲：& 9 &7 &7 &7 &5 &&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&& 乙：& 8 &8 &8 &7 &7 &7 &7 &&6 &6 &6
甲的各个数据与7的差的绝对值的和为4，乙的各个数据与7的差的绝对值的和为6，则6&4，能不能说乙的数据波动大呢?显然是不合理的。那么问题出在哪儿呢?容易看出，这是因为两组数据的个数不同。怎么解决这个问题呢?我们想到了平均数，平均数就能解决个数的影响问题，那么，我们就求个平均距离看看。4/5=0.8，6/10=0.6因为0.8&0.6，所以，甲的数据波动更大。这个问题得以完美解决。
问题六、为什么我们把每个数据与7做差呢?
细心的同学可以发现，7是每组数据的平均数，可以看成此组数据的中心。假设样本数据是x1，x2，…，xn，表示这组数据的平均数。xi。到的距离是。Oxi。―O。于是，样本数据x1，x2，…，xn，到的“平均距离”是。
由于上式含有绝对值，运算不方便，但绝对值的运算等价于乘方的运算，因此，我们得到标准差公式。从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方―方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具。
问题七、最后提一个有趣的问题，大家猜猜为什么把方差叫做数据的数字特征的呢?
这个问题我想是这样的，对于两组纷繁复杂的数据，波动的强弱可以认为是数据的特征。两组数据波动的大小可以用一个数字来确定。所以叫数字特征。那么这个数字为什么叫方差呢?因为有。
课后作业& 探究性课题&
1.上次考试，假设数学平均85，语文平均95。问数学成绩“拉分”厉害，还是语文成绩“拉分”厉害。也就是说，数学成绩的波动幅度大，还是语文成绩的波动幅度大？
2.中国贫富差距大还是美国贫富差距大？
3.研究两组数据的波动性的大小，还有其他的方法么?如果有的话，和我们讲的方差谁优谁劣呢?
我提出以下几个问题供老师思考
问题一：学生这么多想法都有道理么？
问题二：假设你的学生确实有这些想法，我们怎么办？怎么让他心悦诚服的进入到对标准差的学习？
问题三：有老师说这节课的目标还是要讲标准差，而且标准差确实在统计中是非常重要的一个统计量，学生掌握公式也不困难，那么我们是不是有必要来花那么长的时间诱导，反而会冲淡了对公式的记忆呢，也就是你对这节课的教学目标的一个理解？换句话说就是这节课的教学目标的定位到底是什么？关键是推理的过程考试不容易体现。（考试评价问题）
总之：我认为我们的教学不应完全受考试指挥棒的影响，过分追求升学率，使教育功利化。在教学中，教师应该从数学的本质理解出发，追求数学的思维价值，以提高数学修养为目的。
作者简介；王怀兴生于1972年5月14日，性别：男，1997年毕业于曲阜师范大学《数学教育与计算机科学系》本科学历。现任高中数学教师，是《中学数学教学参考》的特约编辑，已在《上海中学数学》2010年第10期，《中国教师》2010年第23期，《中小学数学》2010年第11期，2011年第3期，《中学数学多媒体备课参考》2010年第6期上发过文章。
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标准差 (Standard Deviation)，也称均方差（Mean square error）
标准差概述标准差是一种表示分散程度的统计观念。标准差已广泛运用在股票以及共同基金投资风险的衡量上，主要是根据基金净值于一段时间内波动的情况计算而来的。一般而言，标准差愈大，表示净值的涨跌较剧烈，风险程度也较大。实务的运作上，可进一步运用单位风险报酬率的概念，同时将报酬率的风险因素考虑在内。所谓单位风险报酬率是指衡量投资人每承担 一单位的风险，所能得到的报酬，以夏普指数最常为投资人运用。 标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。标准差的简易计算公式假设有一组数值 x1, ..., xN （皆为实数），其平均值为：此组数值的标准差为：一个较快求解的方式为：一随机变量X 的标准差定义为：须注意并非所有随机变量都具有标准差，因为有些随机变量不存在期望值。 如果随机变量 X 为 x1,...,xN 具有相同机率，则可用上述公式计算标准差。从一大组数值当中取出一样本数值组合 x1,...,xn ，常定义其样本标准差：范例：标准差的计算这里示范如何计算一组数的标准差。例如一群孩童年龄的数值为 { 5, 6, 8, 9 } ：第一步，计算平均值 n = 4 （因为集合里有 4 个数），分别设为：，，，用 4 取代 N此为平均值。第二步，计算标准差用 4 取代 N用 7 取代 标准差与平均值之间的关系一组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。在直觉上，如果数值的中心以平均值来考虑，则标准差为统计分布之一"自然"的测量。较确切的叙述为：假设 x1, ..., xn 为实数，定义其公式使用微积分，不难算出 σ(r) 在下面情况下具有唯一最小值：标准偏差与标准差的区别标准差(Standard Deviation)各数据偏离平均数的距离（离均差）的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。 标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.08分，B组的标准差为2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 统计学名词。一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。 标准差的应用分析标准差在投资决策中的应用投资是企业生产经营和发展壮大的必要手段。投资者作出投资决策时，不仅要考虑预期回报，还必须分析比较投资风险。由于投资风险的客观存在性及其对投资收益的不利性，投资者在进行投资决策时必须而且也应该对投资风险进行分析，尽可能地测定和量化风险的大小。1、用标准差衡量风险大小。此时的标准差计算公式如下：其中&为标准差，Pi为期望投资收益率，Pi为一系列可能性事件发生的概率，ri为可能性事件发生时的投资收益。标准差值越小，说明投资风险越小。假设投资者要在A、B两个项目中选择一个或两个项目进行投资。估计第二年每个项目的收益率可能有四个结果，每个结果都有一个确定的概率与之对应。如下表所示，表中r为收益率，p为收益率实现的可能性。表1 A、B两项目的收益率分布A项目B项目rprp10.20.251.00.0520.140.250.60.230.100.250.10.740.040.25-1.00.05投资项目A、B的期望收益率分别为：计算结果表明，A项目的期望收益率小于B项目。但从收益率的分布看，A项目的收益率在4％～20%之间波动，变动范围小；而B项目收益率从-100％到+100％，变动范围大。收益率的变动大小反映了风险的大小，收益率变动大，风险就大。根据公式(3)计算得：&A= 5.83%，&B= 37.80%。这是不是说明B项目的风险更大呢?从数学角度看，B项目标准差大可能来源于B项目的各种可能收益都比较大。2、标准差的局限性。当不同项目的期望回报率相同时，用标准差衡量风险程度是合适的，否则就不能再用标准差而必须用一个相对的风险指标。取标准差与期望值的比率；，称为变异系数或标准离差，该值越大反映项目的风险越大。可以计算项目A的变异系数,项目B的变异系数。这个时候就可以说B项目风险更大。标准差在股市分析中的应用股票价格的波动是股票市场风险的表现，因此股票市场风险分析就是对股票市场价格波动进行分析。波动性代表了未来价格取值的不确定性，这种不确定性一般用方差或标准差来刻画(Markowitz，1952)。下表是中国和美国部分时段的股票统计指标，其中中国证券市场的数据由“钱龙”软件下载，美国证券市场的数据取自ECI的“world stock Excllarlge Data Disk”。表2股票统计指标年份业绩表现波动率上证综指标准普尔指数上证综指标准普尔指数1996110.9316.460.2376O.05731997-0.1331.01O.1188O.083619988.9426.67O.0565O.0676199917.2419.53O.15120.0433200043.86-10.140.0970.04212001-15.34-13.04O.0902O.07322002-20.82-23.37O.0582O.1091通过计算可以得到：上证综指业绩期望值≈(110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82)/7=20.67上证波动率期望值≈0.1156标准普尔业绩期望值≈6.7214标准普尔波动率期望值≈0.0680而标准差的计算公式则根据公式(2)计算：上证综指的业绩标准差上证波动率标准差≈0.0632标准普尔指数业绩标准差≈21.71标准普尔波动率标准差≈0.02365因为标准差是绝对值，不能通过标准差对中美直接进行对比，而变异系数可以直接比较。计算可得：上证业绩变异系数≈45.≈2．1889上证波动率变异系数≈0.6≈0.5467标准普尔业绩变异系数≈21.71/6.9标准普尔波动率变异系数≈0.0≈0.3478通过比较可以看出上证波动率变异系数要大于标准普尔波动率变异系数，说明长期来讲中国股市稳定性相对较差，还是一个不太成熟的股票市场。标准差在确定企业最优资本结构中的应用资本结构指的是企业各种资金来源的比例关系，是企业筹资活动的结果。最优资本结构是指能使企业资本成本最低且企业价值最大的资本结构；产权比率，即借入资本与自有资本的构成比例，是反映企业资本结构的重要变量。企业的资产由债务性资金和权益性资金组成，但其风险等级和收益率各不相同。根据投资组合理论，投资的多样化可以分散掉一定的风险，因此资金提供者需要决定投资于债务性资金和权益性资金的比例。以便在权衡风险和收益的情况下保证其利益的最大化。理论探索而外部资金提供者利益的最大化也就是企业价值的最大化，这一投资比例对于企业融资而言也就是企业的最优资本结构比例。假定某企业的资金通过发行债券和股票两种方式获得，并且都属于风险性资产。&其中债券的收益率为rD，风险通过标准差&D来衡量；股票的收益率为rE，风险为&E；股票和债券的相关系数为pDE，协方差为COV(rD,rE)；债券所占的比重为wD，股票所占比重为WE(WD+ WE= 1)。根据投资组合理论，企业外部投资者对该企业投资所获的期望收益率为E(rp) = WDE(rD) + wEE(rE)，方差为1、企业债务性资金和权益性资金完全正相关，即相关系数pDE为1。企业外部投资者获得的期望收益率为E(rp) = wDE(rD) + wEE(rE)，风险标准差为& = wD&D+ wE&E,也就是组合的标准差等于各个部分标准差的加权平均值，通过投资组合不可能分散掉投资风险。根据投资组合理论，投资组合的不同比例对于投资者而言是无差异的。2、企业债务性资金和权益性资金完全负相关，即其相关系数为-1。投资者获得的报酬率的期望值及其方差分别为。根据投资组合理论，只有当投资比例大于&E/ (&D+ &E)时其投资组合才是有效的。对于企业筹资而言，也即企业的权益性资金的比例大干&E/ (&D+ &E)，企业的筹资比例才是有效的，而且当组合比例为&E/ (&D+ &E)时，企业的筹资组合风险为零。3、企业债务性资金和权益性资金的相关系数大于-1小于1。理论上，一个企业的两种筹资方式之间的相关程度较高，一方面两种筹资方式都承担系统风险，另一方面它们也承担相同的公司风险。因此从实践来看，企业的不同筹资方式间的相关程度不可能是完全的正相关和负相关。对于一个企业而言，债务性资金对企业有固定的要求权，权益性资金对企业只有剩余要求权，因此债务性资金的波动不可能像权益性资金的波动那么大。同时企业的风险会同时影响企业的债务性资金和权益性资金，因此企业的债务性资金和权益性资金的相关系数不可能为负数。企业不同的筹资方式间的相关系数一般在0-1之间。那么究竟在什么比例下企业的价值才会达到最大呢?根据投资组合理论，当E(r1) & E(r2)，且时，才能出现r1，优于r2。可见，决定企业资本结构的直接因素主要是不同筹资方式的收益率和风险以及它们之间的相关系数。相关条目标准误差参考文献↑ 1.0 1.1 1.2 陈未.浅析标准差在经济上的应用.《当代经济》.2009年第02期数学标准差符合是什么意思?
血刺霸道GYnp
标准差（Standard Deviation）,在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量.标准差定义为方差的算术平方根,反映组内个体间的离散程度.测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质：　　为非负数值, 与测量资料具有相同单位. 一个总量的标准差或一个随机变量的标准差,及一个子集合样品数的标准差之间,有所差别.　　标准计算公式　　假设有一组数值X1,X2,X3,.Xn（皆为实数）,其平均值为μ,公式如图1.
图1　　标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差,公式如图2.
图2　　简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量.一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值.　　例如,两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ,但第二个集合具有较小的标准差.　　标准差可以当作不确定性的一种测量.例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度.当要决定测量值是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较）,则认为测量值与预测值互相矛盾.这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值是否正确.　　标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标.标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高.相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小.　　例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67.这两组的平均数都是70,但A组的标准差为17.078分,B组的标准差为2.16分（此数据时在R统计软件中运行获得）,说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多.　　如是总体,标准差公式根号内除以n　　如是样本,标准差公式根号内除以（n-1)　　因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以（n-1)　　公式意义　　所有数减去其平均值的平方和,所得结果除以该组数之个数（或个数减一,即变异数),再把所得值开根号,所得之数就是这组数据的标准差.　　深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围.在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之 68% . 根据正态分布,两个标准差之内（深蓝,蓝）的比率合起来为 95% .根据正态分布,三个标准差之内（深蓝,蓝,浅蓝）的比率合起来为 99% .
标准差的意义　　标准计算公式 假设有一组数值（皆为实数）,其平均值为：　　. 此组数值的标准差为：　　样本标准差　　在真实世界中,除非在某些特殊情况下,找到一个总体的真实的标准差是不现实的.大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的.　　从一大组数值当中取出一样本数值组合 ,常定义其样本标准差：　　样本方差 s是对总体方差σ的无偏估计. s中分母为 n- 1 是因为 的自由度为 n− 1 ,这是由于存在约束条件 .　　这里示范如何计算一组数的标准差.例如一群儿童年龄的数值为 { 5, 6, 8, 9 } ：　　第一步,计算平均值
　　第二步,计算标准差
在此更全面/view/78339.htm
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标准差是一种数学函数，标准差又称均方差、标准偏差，标准差是离均差平方和平均后的方根。在Excel表格中就有标准差的计算函数，但是标准差计算函数如何使用呢？接下来给大家介绍Excel标准差的使用方法。1、打开Excel表格软件，然后输出一列或者一排数字：2、鼠标点击一个空白表格来显示标准差的计算结果，然后点击下图红框中的插入函数按钮：3、在插入函数框中选择“STDEV”函数，这个就是计算标准差的函数，然后点击确定：4、在函数参数设置中，直接用鼠标托选我们一开始输入的一列数字，点击确定：5、这时就可以看到计算出来的标准差结果了：上面就是通过Excel表格来计算标准差的方法，在Excel插入函数功能中，还可以进行多种数学函数的计算，计算方法和标准差计算方法类似，感兴趣的朋友可以一一尝试。本文由 系统下载站 整理系统114网：如果这篇文章对你有帮助解决了你的问题，就把【标准差是什么？Excel标准差如何计算？】分享给你的好友吧！
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