& 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
[导读]课 题：1.8 充分条件与必要条件（一） 教学目的： 1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用 2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础. 教学重点：正确理解三个概念，并...
题：1.8 充分条件与必要条件（一）
教学目的：
　　1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用
　　2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.
教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断
教学难点：充分性与必要性的推导顺序
授课类型：新授课
课时安排：1课时
具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
　　这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．
这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词"或"、"且"、"非"与充要条件的有关内容是十分必要的．
　　关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．
教学过程：
一、复习引入：
　　同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说："这是我的妈妈".那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说："你是她的孩子"呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题-充分条件与必要条件.
二、讲解新课：
　　⒈符号""的含义
　　　前面我们讨论了"若p则q"形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假."若p则q"为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq.
　　简单地说，"若p则q"为真，记作pq（或qp）；
　　　"若p则q"为假，记作pq（或qp）.
　　符号""叫做推断符号.
　　例如，"若x&0，则x2&0"是一个真命题，可写成：x&0 x2&0；
　　又如，"若两三角形全等，则两三角形的面积相等"是一个真命题，可写成：两三角形全等两三角形面积相等.
　　说明：⑴"pq"表示"若p则q"为真；也表示"p蕴含q".
　　⑵"pq"也可写为"qp"，有时也用"p→q".
　　练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.
　　　答案：⑴；⑵；⑶；⑷.
　　⒉什么是充分条件？什么是必要条件？
　　如果已知pq，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
　　在上面是两个例子中，"x&0"是"x2&0"的充分条件，"x2&0"是"x&0"的必要条件；"两三角形全等"是"两三角形面积相等"的充分条件，"两三角形面积相等"是"两三角形全等"的必要条件.
　　⒊充分条件与必要条件的判断
　　1.直接利用定义判断：即"若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件".（条件与结论是相对的）
　　例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
　　⑴ p：x=y；q：x2=y2.
　　⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.
　　分析：可根据"若p则q"与"若q则p"的真假进行判断.
　　解：⑴由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.
⑵由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；
　　又由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.
　　练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.
　　答案：⑴∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；
　　　　　⑵∵qp，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；
⑶∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.
⑷∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.
　　以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.
　　2.利用逆否命题判断：即"若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件".
　　例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：
　　⑴命题：若"A为绿色"，则"B为绿色"中，"A为绿色"是"B为绿色"的什么条件；"B为绿色"又是"A为绿色"的什么条件.
　　⑵命题：若"红点在B内"，则"红点一定在A内"中，"红点在B内"是"红点在A内"的什么条件；"红点在A内"又是"红点在B内"的什么条件.
　　解法1(直接判断)：⑴∵"A为绿色B为绿色"是真的，∴由定义知，"A为绿色"是"B为绿色"的充分条件；"B为绿色"是"A为绿色"的必要条件.
　　⑵如图2⑴，∵"红点在B内红点在A内"是真的，∴由定义知，"红点在B内"是"红点在A内"的充分条件；"红点在A内"是"红点在B内"的必要条件.
　　解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若"B不为绿色"则"A不为绿色". ∵"B不为绿色
A不为绿色"为真，∴"A为绿色"是"B为绿色"的充分条件；"B为绿色"是"A为绿色"的必要条件.
　　⑵它的逆否命题是：若"红点不在A内"，则"红点一定不在B内". 如图2⑵，∵"红点不在A内红点一定不在B内"为真，∴"红点在B内"是"红点在A内"的充分条件；"红点在A内"是"红点在B内"的必要条件.
　　如何理解充分条件与必要条件中的"充分"和"必要"呢？下面我们以例2为例来说明.
　　先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说"A为绿色"是"B为绿色"的一个充分条件，就是说"A为绿色"，它足以保证"B为绿色".它符合上述的"若p则q"为真（即pq）的形式.
　　再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果"B为绿色"，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果"B不为绿色"，那么"A不可能为绿色".因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的"若非q则非p"为真（即┐q┐p）的形式.
　　总之，数学上的充分条件、必要条件的"充分"、"必要"两词，与日常生活中的"充分"、"必要"意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.
　　例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.
四、练习：
　　（补充题）用"充分"或"必要"填空，并说明理由：
　　⒈"a和b都是偶数"是"a+b也是偶数"的 充分 条件；
　　⒉"四边相等"是"四边形是正方形"的 必要 条件；
　　⒊"x3"是"|x|3"的 充分 条件；
　　⒋"x-1=0"是"x2-1=0"的 充分 条件；
　　⒌"两个角是对顶角"是"这两个角相等"的 充分 条件；
　　⒍"至少有一组对应边相等"是"两个三角形全等"的必要条件；
　　⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，"b2-4ac0"是"这个方程有两个正根"的 必要 条件；
　　⒏"a=2，b=3"是"a+b=5"的 充分 条件；
　　⒐"a+b是偶数"是"a和b都是偶数"的 必要 条件；
　　⒑"个位数字是5的自然数"是"这个自然数能被5整除"的
充分 条件.
五、小结：
　　本节主要学习了推断符号""的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.
　　判断充分条件与必要条件的依据是：
　　若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；
　　若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件.
六、作业：
　　1．课本P34-35内容，熟悉巩固有关内容.
　　2．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？
　　解：由题意作出逻辑图（右图），便知，
　　　　D是A的必要条件；A是B的充分条件.
3．预习：课本P35-36内容. 课
题：1.1集合－集合的概念（2）
教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法
（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
（3）会运用集合的两种常用表示方法
教学重点：集合的表示方法
教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
授课类型：新授课
课时安排：1课时
具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：上节所学集合的有关概念
　　　1、集合的概念
　（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合
　（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
2、常用数集及记法
（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N，
　（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ ，
　（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,
　（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,
　（5）实数集：全体实数的集合记作R，
　　3、元素对于集合的隶属关系
　　（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
　　（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
　　4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
　　　　　　　或者不在，不能模棱两可
（2）互异性：集合中的元素没有重复
　　（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
　　5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q......
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q......
　　　（2）"∈"的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
二、讲解新课：
（二）集合的表示方法
　　1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合
　　　例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}
　　注：（1）有些集合亦可如下表示：
　　　　从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，...，100}
　　　　所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，...}
　（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只
　　　　有一个元素
　　2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条
　　　　　　件写在大括号内表示集合的方法
格式：{x∈A| P（x）}
含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合
　　例如，不等式的解集可以表示为：或
　　　　　
所有直角三角形的集合可以表示为：
　　注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分
如：{直角三角形}；{大于104的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
　　3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法
　　4、何时用列举法？何时用描述法？
　　⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合
⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法
如：集合；集合{1000以内的质数}
例 集合与集合是同一个集合吗？
　　答：不是因为集合是抛物线上所有的点构成的集合，集合= 是函数的所有函数值构成的数集
（三） 有限集与无限集
1、 有限集：含有有限个元素的集合
2、 无限集：含有无限个元素的集合
3、 空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：
三、练习题：
1、用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②{-2，-4，-6，-8，-10}
2、用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数}
{1，3，5，15}
②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}
　　　　　　　　 {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}
　注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}　③　④
{（0，8）（2，5），（4，2）}　⑥{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}
　　3、关于x的方程ax＋b=0，当a,b满足条件____时，解集是有限集；当a,b满足条件_____时，解集是无限集
　　4、用描述法表示下列集合：
(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }=
(2) { 0,±, ±, ±, ±, ......}=
四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、无限集、空集2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图
　五、课后作业：
　六、板书设计（略）
　七、课后记：　　七、板书设计（略）
八、课后记：
充分条件与必要条件
品德与社会
Copyright& 北京学而思网络科技有限公司（京ICP备号-1）北京市公安局海淀分局备案编号：地理条件是人类经济和精神文明发展的什么条件?A、先决条件 B、唯一条件 C、重要条件 D、必要条件
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