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如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。（1）求证:AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1,BE=ED.求BD的长.
题型：证明题难度：中档来源：浙江省中考真题
（1）证明：连结OD，∵∠DOB=2∠DCB又∵∠A=2∠DCB∴∠A=∠DOB又∵∠A+∠B=90°∴∠DOB+∠B=90°∴∠BDO=90°∴OD⊥AB∴AB是⊙O的切线（2）解法一：过点O作OM⊥CD于点M ∵OD=OE=BE=BO∠BDO=90°∴∠B=30°∴∠DOB=60°∴∠DCB=30°OD=OC=2OM=2∴BO=4,∴BD=（2）解法二：过点O作OM⊥CD于点M，连结DE, ∵OM⊥CD，∴CM=DM又∵OC=OE∴DE=2OM=2∵Rt△BDO中，OE=BE∴DE=BO∴BO=4，∴OD=OE=2，∴ BD=
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上..”主要考查你对&&直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），垂直于直径的弦，解直角三角形&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）垂直于直径的弦解直角三角形
直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d&r； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d&r。（d为圆心到直线的距离）直线与圆的三种位置关系的判定与性质： （1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定， 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： 直线l与⊙O相交d&r； 直线l与⊙O相切d=r； 直线l与⊙O相离d&r； （2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。 直线l与⊙O相交d&r2个公共点； 直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点； 直线l与⊙O相离d&r无公共点 。圆的切线的判定和性质&&& （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 直线与圆的位置关系判定方法:平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac&0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b2-4ac&0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1&x2，那么：& 当x=-C/A&x1或x=-C/A&x2时，直线与圆相离；当x1&x=-C/A&x2时，直线与圆相交。&垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 注：（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段； （2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。 垂径定理的推论： 推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:
一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦 (不是直径)4.垂直于弦5.经过圆心概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 解直角三角形的边角关系： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， （1）三边之间的关系：（勾股定理）； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系：。 解直角三角形的函数值:
锐角三角函数：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠ A+∠ B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1②tanA=sinA/cosA③tanA=1/tanB④a/sinA=b/sinB=c/sinC（3）锐角三角函数随角度的变化规律：锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。解直角三角形的应用： 一般步骤是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画图，转化为直角三角形的问题）； （2）根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）还原为实际问题的答案。 解直角三角形的函数值列举：sin1=0.28351 sin2=0.50097 sin3=0.94383 sin4=0.1253 sin5=0.65816 sin6=0.65346 sin7=0.14747 sin8=0.06544 sin9=0.23087 sin10=0.93033 sin11=0.5448 sin12=0.75931 sin13=0.86497 sin14=0.66773 sin15=0.52074 sin16=0.99916 sin17=0.7367 sin18=0.9474 sin19=0.1567 sin20=0.6687 sin21=0.30027 sin22=0.912 sin23=0.2737 sin24=0.80015 sin25=0.69944 sin26=0.0774 sin27=0.54675 sin28=0.8908 sin29=0.33706 sin30=0.99994 sin31=0.0542 sin32=0.2049 sin33=0.027 sin34=0.7468 sin35=0.046 sin36=0.4731 sin37=0.0483 sin38=0.6583 sin39=0.8375 sin40=0.5392 sin41=0.5073 sin42=0.8582 sin43=0.4985 sin44=0.9972 sin45=0.5475 sin46=0.6511 sin47=0.1705 sin48=0.3941 sin49=0.7719 sin50=0.978 sin51=0.9708 sin52=0.7219 sin53=0.2928 sin54=0.9474 sin55=0.9918 sin56=0.0417 sin57=0.4239 sin58=0.426 sin59=0.1122 sin60=0.4386 sin61=0.3957 sin62=0.9269 sin63=0.3678 sin64=0.167 sin65=0.6499 sin66=0.6009 sin67=0.4404 sin68=0.7873 sin69=0.2017 sin70=0.9083 sin71=0.3167 sin72=0.1535 sin73=0.0354 sin74=0.3189 sin75=0.0683 sin76=0.9965 sin77=0.2352 sin78=0.8057 sin79=0.664 sin80=0.208 sin81=0.1378 sin82=0.5704 sin83=0.322 sin84=0.2733 sin85=0.7455 sin86=0.8242 sin87=0.5738 sin88=0.0958 sin89=0.3913 sin90=1
cos1=0.3913 cos2=0.0958 cos3=0.5738 cos4=0.8242 cos5=0.7455 cos6=0.2733 cos7=0.322 cos8=0.5704 cos9=0.1378 cos10=0.208 cos11=0.664 cos12=0.8057 cos13=0.2352 cos14=0.9965 cos15=0.0683 cos16=0.3189 cos17=0.0355 cos18=0.1535 cos19=0.3168 cos20=0.9084 cos21=0.2017 cos22=0.7874 cos23=0.4404 cos24=0.6009 cos25=0.6499 cos26=0.167 cos27=0.3679 cos28=0.927 cos29=0.3957 cos30=0.4387 cos31=0.1123 cos32=0.426 cos33=0.424 cos34=0.0417 cos35=0.9918 cos36=0.9474 cos37=0.2928 cos38=0.7219 cos39=0.9709 cos40=0.978 cos41=0.772 cos42=0.3942 cos43=0.1705 cos44=0.6512 cos45=0.5476 cos46=0.9974 cos47=0.4985 cos48=0.8582 cos49=0.5074 cos50=0.5394 cos51=0.8375 cos52=0.6583 cos53=0.0484 cos54=0.4731 cos55=0.0462 cos56=0.7468 cos57=0.0272 cos58=0.2049 cos59=0.0544 cos60=0.0001 cos61=0.3371 cos62=0.89086 cos63=0.5468 cos64=0.07746 cos65=0.69944 cos66=0.8004 cos67=0.2737 cos68=0.9122 cos69=0.30015 cos70=0.6688 cos71=0.15675 cos72=0.94745 cos73=0.73677 cos74=0.99916 cos75=0.52074 cos76=0.66767 cos77=0.86514 cos78=0.75923 cos79=0.54491 cos80=0.93041 cos81=0.23092 cos82=0.06546 cos83=0.14749 cos84=0.65346 cos85=0.65836 cos86=0.12523 cos87=0.943966 cos88=0.50108 cos89=0.2836 cos90=0
tan1=0.217585 tan2=0.74773 tan3=0.041196 tan4=0.51041 tan5=0.92401 tan6=0.67646 tan7=0.9046 tan8=0.39145 tan9=0.53627 tan10=0.46497 tan11=0.71848 tan12=0.0221 tan13=0.5631 tan14=0.18068 tan15=0.1227 tan16=0.8079 tan17=0.66033 tan18=0.9063 tan19=0.66527 tan20=0.20234 tan21=0.4158 tan22=0.1568 tan23=0.6047 tan24=0.5361 tan25=0.9986 tan26=0.8614 tan27=0.4288 tan28=0.4788 tan29=0.769 tan30=0.6257 tan31=0.5604 tan32=0.3275 tan33=0.5104 tan34=0.4265 tan35=0.7097 tan36=0.3609 tan37=0.7942 tan38=0.7174 tan39=0.0072 tan40=0.2799 tan41=0.2267 tan42=0.8399 tan43=0.6618 tan44=0.0739 tan45=0.9999 tan46=1.5693 tan47=1.6826 tan48=1.1927 tan49=1.0092 tan50=1.21 tan51=1.051 tan52=1.0785 tan53=1.4098 tan54=1.1733 tan55=1.1144 tan56=1.7403 tan57=1.5827 tan58=1.0506 tan59=1.5173 tan60=1.8767 tan61=1.4235 tan62=1.3318 tan63=1.1503 tan64=2.296 tan65=2.5586 tan66=2.215 tan67=2.753 tan68=2.2946 tan69=2.8023 tan70=2.6216 tan71=2.822 tan72=3.2526 tan73=3.1404 tan74=3.9087 tan75=3.8776 tan76=4.8455 tan77=4.153 tan78=4.456 tan79=5.307 tan80=5.707 tan81=6.041 tan82=7.207 tan83=8.593 tan84=9.587 tan85=11.32 tan86=14.942 tan87=19.16 tan88=28.515 tan89=57.144 tan90=(无限)
发现相似题
与“如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上..”考查相似的试题有：
920435917321924397140650905145143709如图,在RT△ABC中,∠C=90°,AC=3根号3 ,BC=9,点Q是边AC上的动点（点Q不与点A、C重合）过点Q作QR平行AB,交边BC于点R,再把△QCR沿着动直线QR翻折得到△QPR,设AQ=x （1）求∠PRQ的大小（2）当P落在斜边AB上时,求x的值（3）当点P落在RT△ABC外部时,PR与AB相交于点E,如果DE=y,请直接写出y关于x的函数关系式及定义域.求详解!谢谢~
小疯子RX03
1、∵QR∥AB,∴∠B=∠QRC,∵△QCR沿QR翻折后得到△QPR,∴∠QRC=∠PRQ∴∠PRQ=∠B,∵AC=3√3,BC=9,∠ACB=90°,∴tan∠B=√3/3,既∠B=30°∴∠PRQ=30°2、∵∠QPR=∠ACB=90°（翻折关系）,∠PRQ=30°,∠PQR=180°-∠QPR-∠PRQ∴∠PQR=∠CQR=60°（翻折关系）,∴∠AQP=180°-∠PQR-∠CQR=60°∵∠A=180°-∠ACB-∠B=60°,∴△APQ为等边三角形（两个内角为60°的三角形）∴AQ=PQ,∵PQ=CQ（翻折关系）,∴AQ=CQ=1/2AC=3√3/2,既x=3√3/23、应该是PE=y吧?前面没提到过D啊设PQ与AB交点为F同理可证∠PQR=∠AQP=60°（和第二问证法完全一样）,∴△AQF为等边三角形∴AQ=QF=x,∵QC=AC-AQ,∴QC=3√3-x,∵tan∠QRC=√3/3∴QC/CR=√3/3,∴CR=√3(3√3-x),∵PF=PQ-QF,∴PF=3√3-2x∵PR=CR（翻折关系）,∴PR=√3(3√3-x),∵PQ=CQ（翻折关系）,∴PQ=3√3-x∵QR∥AB,∴△PEF∽△PQR,∴PF/PQ=PE/PR∴(3√3-2x)/(3√3-x)=y/√3(3√3-x),化简后得：y=9-2√3x∵Q在AC上移动,且不与A、C重合,∴3√3>x>0
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你的图呢？
扫描下载二维码如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=根号2,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到三角形AB'C'的位置,连接C'B,则C'B的长为多少?
维它命1066
连接CC′,作C′D⊥BC于D∵旋转∴AC=AC′=√2
∠CAC′=60°∴CC′=AC=AC′=√2
∠ACC′=60°∵∠ACB=90°∴∠C′CB=30°∵∠CDC′=90°∴C′D=1/2CC′=√2/2CD′=√(CC′²-C′D²)=√6/2∴BD=BC-CD=√2-√6/2∴BC′=√(BD²+C′D²)=√3-1
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AB=2,∠BAC撇=60°-∠BAC=15°由余弦定理得BC撇=根号（8-2根号（3））
BC`^2=2+4-2*根号2*2*cos15°所以BC`=根号（6-4*根号2*cos15°）
=根号（4-2根号3）
扫描下载二维码如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AC=6√2,AD=8,求∠a的正弦值和∠B的余弦值,f
在直角三角形ACD中根据勾股定理AC²=CD²+AD²72=CD²+64CD²=8CD=2√2sin∠A=CD/AC=2√2/6√2=1/3cos∠B=sinA（因为∠A和∠B互余）cos∠B=1/3
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扫描下载二维码如图,△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC绕C点顺时针旋转到△A'B'C'的位置,旋转角为α（0°< α < 90°）,A'B'交AC于点D.1.若经过旋转,△A'B'C的B'C边恰好经过AB的重点M.求证：A'B'⊥AC；2.若BC=9,AC=12,经过旋转,△A'CD是否可能成为等腰三角形?若能,求出CD的长；若不能,请说明理由.
图呢?△ABC绕C点顺时针旋转到△A'B'C'的位置,按照这句话的说法,两个三角形至少应该有一点是重合的,就是C,而不是C',笔误.1.M是重点,则由直角三角形性质,AM=BM=CM则∠ACB'=∠A.（△AMC是等腰三角形）又∠A'CB'=∠A'CA+∠ACB'=90∠A=∠A'则∠A'+∠A'CA=∠A+∠A'CA=∠ACB'+∠A'CA=90由三角形内角和定理∠A'DC=180-∠A'-∠A'CA=90故A'B'⊥AC.2.若BC=9,AC=12,则由勾股定理,AB=15.则cos∠A=12/15=cos∠A'=A'D/A'C=A'D/12得到A'D=48/5同理,cos∠A=cos∠ACB'=CD/CB'=CD/CB=CD/9得到CD=36/5故△A'CD不是等腰三角形.
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