构造特殊三角形解题 三亿文库
构造特殊三角形解题
构造特殊三角形求解 1、如图，在等腰直角SABC中，∠A=900,P是SABC内一点，PA=1,PB=3,PC=7,则∠CPA的大小是
。 2．已知：如图，P为等边SABC内一点，且PA=3,PB=4,PC=5，则∠APB的度数为
． 3、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．∠ADC=30°，，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（
）．（A）32
4、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，如果∠DAC=56°，∠CAB=20°，那么∠BCD=
． 5、如图，设P到等边?ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为（
6、如图，在?ABC中，AB?3,AC?2,以BC为边的?PBC是等边三角形，则AP的最大值为
，最小值为
。 7、在正?ABC中，P是?ABC内的一点，已知?APC?130,?APB?117，则以PA、PB、PC为边的三角形的每个内角的度数为
。 8、如图，P是等边SABC中的一个点，PA=2,PB=23,PC=4,则SABC的边长是
。 9、如图：已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE＝CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四边形AEPF＝001，上述结论中始终正S?ABC;④EF＝AP;当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）2确的有（
A P D B C 10、如图所示，P是矩形ABCD内一点，PA?3,PD?4,PC?5,则PB?
。 11、如图，P为正方形ABCD内一点，若PA?PB?PC?1?2?3，则?APB的度数是（
） A、120° B、135°
C、145° D、150° 12.（2010?永州）探究问题：（1）阅读理解： ①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离； ②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB?CD+BC?DA=AC?BD．此为托勒密定理；
（2）知识迁移： ①请你利用托勒密定理，解决如下问题： ?上任意一点．求证：PB+PC=PA； 如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的BC②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆； ?上任取一点P′，第二步：在BC连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C=P′A+（P′B+P′C）=P′A+
； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段
的长度即为△ABC的费马距离． （3）知识应用： 2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水． 已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
（2）①证明：由托勒密定理可知PB?AC+PC?AB=PA?BC ∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∴PB+PC=PA， ②P′D、AD，（3）解：如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则知线段AD的长即为△ABC的费马距离．∵△BCD为等边三角形，BC=4，∴∠CBD=60°，BD=BC=4，∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°， 在Rt△ABD中，∵AB=3，BD=4，∴AD=AB2?BD2=5（km）， ∴从水井P（即图中的D点）到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km．（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证． ②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解．
13.如图，在SABC中，∠ACB=900，BC=2,P是SABC内一点， 使得PA+PB+PC的值最小为27，求∠ABC的度数。 解：即P点是费马点，根据费马点的结论，以BC边向外作等边△BCD，AD长即为PA+PB+PC的最小值即，AD=27，现在问题就变得简单了，不难求得AC=23,故∠B = 60° 14、如图，设P是边长为1的正?ABC内的一点，m?PA?PB?PC， 求证：3?m?2。
15、如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2?6，求此正方形的边长． 解：以A为旋转中心，将△ABE旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，∴MN=BE，AN=AE，∠NAE=60°，∴△ANE为等边三角形， ∴AE=NE，∴AE+EB+EC=MN+NE+EC，当AE+EB+EC取最小值时， 折线MNEC成为线段，则MC=2?6，∵AB=AM，∠BAM=60°， ∴△ABM为等边三角形，∴∠MBC=150°，则∠PBM=30°， 在Rt△PMC中，设BC=x，PM=3xx ，PB?22所以(2?6)?()?(2x223x?x)2所以x=2，∴BC=2，即正方形的边长为2． 216．如图9所示，在等腰SABC中，AB=AC, ∠BAC=1000,延长AB到D，使AD=BC,连接DC,则∠BCD的度数是
. 17、如图：在SABC中，∠C=900，∠CAD=300,AC=BC=AD,则∠CBD=
。 18．如图12所示，在SABC中，AC=BC, ∠ACB=800,在SABC内取一点M，使得∠MBA=300,∠MAB=100 那么∠AMC的度数是
19、如图，在SABC中，∠ABC=46°，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=21°，求∠CAD的度数。
20、如图，在SABC中，∠ACB=40°，D是BC边上一点，BD=AC，∠DAC=30°，求∠ADB的度数。 21.已知：如图，在等腰直角SABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明． 解：BD=CD． 证明：作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E， ∵△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，∴四边形AEBC是正方形， ∵∠DAC=30°，∴∠DAE=60°，∵AD=AC，∴AD=AE， ∴△AED是等边三角形，∴∠AED=60°，∴∠DEB=30°， 在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠DAC＝∠DEB＝30°，AC＝BE ∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BD=CD．
22、如图，在等腰SABC中，延长边AB到D，延长边CA到E，连接DE，恰有AD=BC=CE=DE。求证：∠BAC=100°。 证明：过C作AD 的平行线，与过D所作的BC的平行线交于点F，连结EF，可知BCFD为平行四边形 ∴DB＝CF BC＝DF ∴∠EAD＝∠ECF 在ΔADE与ΔCEF中 AD＝CE AE＝DB＝CF
∠EAD＝∠ECF ∴ED＝EF 但ED＝BC＝DF ∴ΔDEF为等边三角形 ∠DEF＝60°
设∠BAC＝α，则 ∠ADF＝∠ABC＝11∠DAE＝（180°－α ） 22∠ADE＝180°－2∠DAE ＝180°－2（180°－α）＝2α－180°
由∠ADF＋∠ADE＝∠EDF＝60°可知 解之得α＝100° 即∠BAC＝100°
23.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝70°，P为形内一点，∠PAB＝40°，∠PBA＝20°，求证：PA＋PB＝PC．
截长法证明：过P作AB的平行线PD，再以B为圆心，AP为半径画弧，与PD交于D，连接BD,CD,过C作CE⊥PD于E，延长BP与AC交于F，因为PD∥AB且AP=BD,则四边形ABDP为等腰梯形， ∠BAP=∠ABD=40°,∠ABP=20°,∠DBP=∠BPD=20°,AP=BD=PD,又因为AC=BC, ∠CAP=∠CBP=30°.AP=BD,所以SACP≌SBCD,则CP=CD,∠ACP=∠BCP.又因为CE⊥PD,所以PE=DE=1PD, 2∠PCE=∠DCE,延长BP与AC交于F，因为∠BAP=40°,∠ABP=20°,∠FAP=30°,所以∠AFP=90°,PF=11AP,则∠CFP=∠CEP=90°,PE=PF=PD,CP=CP,所以SCFP≌SCEP,∠FCP=∠ECP, 22∠FCP=∠PCE=∠ECD=∠DCB=10°,在CP上截取PG=AP，则∠CAG=∠GCA=10°,所以CG=AG, 则SAPG≌SBPD,所以AG=BP,所以CP=CG+GP=BP+AP,结论得证。
补短法证明：因为∠ABC=∠BAC=70°，所以AC=BC,∠ACB=40°。如图，在BP延长线上取一点G，使PG=PA，连接AG,CG，∠APB=120°,所以∠APG=60°，因此SAPG是等边三角形。由∠PAC=30°=∠GAC,可得AC为PG的垂直平分线，所以GC=PC, ∠GCA=∠PCA, 将SCAG逆时针旋转到SBCD的位置。因此∠GCD=∠GCA+∠ACD=∠ACD+∠BCD=40°, 作CE⊥PD,交PD于E，由PC=DC,得CE⊥PD,因此PD∥AB, 由∠DBC=∠GAC=30°, ∠DBA=40°, ∠DBP=20°,所以PD=BD=PG, 此时SGCP≌SDCP,所以∠DCP=∠GCP,所以∠GCA==1∠GCP 2111∠GCD=∠ACB=×40°=10°, 444所以∠GCB=∠GCA+∠ACB=10°+40°=50°=∠GBC,GB=GC,但PC=GC, 所以PC=BG=GP+PB=PA+PB. 19、在△ABC中,∠ABC=∠BAC=70°,P为△ABC内一点,使得:∠PAB=40°,∠PBA=20°.若AP+BP=10，求点P到BC的距离。 解：过P作PD⊥CB于D点，延长BP到E，使PE=PA,因为∠APE=60,所以SPAE为等边三角形，以BA为对称轴，作点E的对称点F，连接BF，作BF的中点G，连接PG,PF,因为SPAE为等边三角形，所以∠E=∠PAE=60,AE=AP=PE,所以∠BAE=40+60=100,由对称性，有∠BAF=∠BAE=100, AE=AF, ∠AFB=∠E=60, ∠PBA=∠FBA=20,BF=BE,所以SPAF中，有PA=AF, ∠PAF=100+40=140,所以∠AFP=20,所以∠PFB=60―20=40。因为∠PBA=∠FBA=20,所以∠PBF=∠PFB=40.所以PB=PF,又
联系客服：cand57</如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别在AC，BC上，且AP=CQ，AQ与BP交于点M，在BP上取点N，使MN=MQ，连结NQ，求证：△MNQ是等边三角形。
因为：△ABC为等边三角形，所以AB=CA,∠PAB=∠QCA,
又因为AP=CQ,所以△PAB≌△QCA
所以∠PBA=∠QAC
则∠NMQ=∠PBA+∠BAQ
=∠QAC+∠BAQ=60°
又因为MN=MQ
所以△MNQ是等边三角形
其他答案（共1个回答）
中，点P，Q分别在AC，BC上，且AP=CQ，AQ与BP交于点M，在BP上取点N，使MN=MQ，连结NQ，求证：△MNQ是等边三角形。
已知△ABC为等边三角形，所以：
BA=AC
∠BAP=∠ACQ=60°
已知AP=CQ
所以，△BAP≌△ACQ（SAS）
所以，∠ABP=∠CAQ
所以，∠NMQ=∠ABP+∠BAM=∠CAQ+∠BAM=∠BAC=60...
如图，在等边三角形AB相关信息中，点P，Q分别在AC，BC上，且AP=CQ，AQ与BP交于点M，在BP上取点N，使MN=MQ，连结NQ，求证：△MNQ是等边三角形。
已知△ABC为等边三角形，所以：
BA=AC
∠BAP=∠ACQ=60°
已知AP=CQ
所以，△BAP≌△ACQ（SAS）
所以，∠ABP=∠CAQ
所以，∠NMQ=∠ABP+∠BAM=∠CAQ+∠BAM=∠BAC=60°
已知MN=MQ
所以，△MNQ为等边三角形.
1.∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°。
∠BPF=60°=∠C,
∠FBP=∠DBC,
∴△BFP∽△BDC.
同理，△BFP∽△PFE.
2.直线 l...
因为AB=AC，AP=AQ
也给推出角BAP=角CAQ
所以三角形ABP全等于三角形ACQ（边角边）
又因为角ABP=60度，所以角ACQ也等于60度，
AB=DB,∠ABE=∠DBC=120,BE=BC---&△ABE≌△DBC（SAS）---&AE=DC
---&AM=AE/2=DC/2=DN,∠MAB=∠N...
因为△ABD和△AEC均为等边三角形，所以：
AD=AB……………………………………………………（1）
AC=AE……………………………………………………...
答: 5-7+9-11+2001这个有什么简易算法没有呀，我数学比较差，不会给宝宝补习呀？
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
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=1/x->0:lim[...
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三角形培优竞赛
导读：三角形培优竞赛，一、等腰三角形性质，1、等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为，2、已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24,则这样的三角形共有个，3、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为度，4、一个等腰三角形的一个外角等于110度，则这个三角形的顶角为度，5、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三三角形培优竞赛 一、
等腰三角形性质 1、等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为
。 2、已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24,则这样的三角形共有
个。 3、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为
度。 4、一个等腰三角形的一个外角等于110度，则这个三角形的顶角为
度。 5、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边长为
cm. 6、如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠BAD=80°， AB=AD=DC，则∠C=
7、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小是
度。 8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE， ∠BAD=60°，则∠EDC的度数为
度。 9、如图，AM、BN分别是∠EAB、 ∠DBC的平分线，若AM=BN=AB，则∠BAC的度数为
10、如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若 ∠BAM=∠NAC，则∠MAC=
度。 11、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=0.5（AB+AD），则∠ ABC+∠ADC的度数是
12、如图，AE、AD是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，若∠DAE=x°,则x=
1 13、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（
）。 A、60 °
D、不确定 14、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（
）。 A、90 °―0.5 ∠ A
B、90 °― ∠ A
C、180 °― ∠ A
D、45 °―0.5 ∠ A
15、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（
） A、20 °
D、45 ° 16、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为（
） A、 ∠AED> ∠AGF
B、 ∠ AED=∠AGF C、 ∠ AED <∠AGF
D、 不能确定
17、如图，△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=20 °，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转a角到△A′B′C的位置，B在A′B′上，CA′交AB于D，则∠BDC的度数为（
）。 A、40 °
D、60 ° 18、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=0.5BD，求证：BD是∠ABC的角平分线。
2 20、如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ的度数。
等腰三角形判定 1、如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为
2、如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连结EC，则∠AEC的度数是
。 3、如图，△ABC中，AB=AC， ∠B=36 °，D、E是BC上两点，使∠ ADE=∠AED=2 ∠BAD，则图中等腰三角形共有
个。 4、如图， △ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠ B：∠C的值
5、已知等腰△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是
。 6、在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75度，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距离NB为b米，梯子的倾斜角为45度，则这间房子的宽AB是
。 7、如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40度所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2=
。 8、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度为
。 9、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片， 3 则原等腰三角形纸片的顶角为
10、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=30，在直线BC或AC上取一点，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（
）个。 A、2
D、8 11、如图，在△ABC中，∠BAC=106度，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于（
）度。 A、58
D、34 12、在下列三角形中，若AB=AC，各顶角度数如图所示，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（
13、在等边三角形ABC所在的平面内求一个点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（
）个。 A、1
D、10 14、已知△ABC的三边的长分别为a、b、c，且a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a),则△ABC一定是（
）。 A、等边三角形
B、腰长为a的等腰三角形 C、底边长为a的等腰三角形
D、等腰直角三角形 15、两个全等的含30度、60度角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，边结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由。
16、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
4 17、如图在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP
等边三角形：等边三角形内任意一点到三边距离和是一个定值，等于一边上的高。 1、如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ。以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④CQ=CP；⑤∠AOB=60°。恒成立的有
。（把你认为正确结论的序号都填上。） 2、如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则 ∠BCD+∠CBE=
度。 3、如图，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到△QAB，则点P与Q之间的距离为
4、如图， △ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=62度，则∠AEB的度数 是
度。 5、如图所示，点D为等边三角形ABC内的一点，BD=AD，BE=AB， ∠DBE= ∠DBC，则∠BED的度数是
度。 6、如图，设P是等边三角形ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数 是
7、如图，在等边三角形ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60度得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（
5 包含总结汇报、自然科学、高中教育、表格模板、初中教育、计划方案、外语学习以及三角形培优竞赛等内容。本文共2页
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如图，△ABC和△ACD是两个边长为2的等边三角形，另一个足够大的等边△AEF绕点A旋转，AE与BC相交于点M，AF与CD相交于点N．（1）证明：∠DAN=∠CAM；&（2）求四边形AMCN的面积；（3）在△AEF转动中，∠BAM=30°时，MN的值最小？（直接填写结果，不要求写推理过程）【考点】；；．【专题】证明题．【分析】先去号，再移项，同类项，分3-a0与3＜0种情况进行讨论即可．【解答】解：去号得，3x-ax-2，3-a＞0，x＞；移项得3x-ax＞-，当3a＜0，x＜．【点评】本题考是解一元一次不等式，熟知去分母，去，项，合并类项，化系为1是解一次不等式的基骤是解答此题的关．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：gsls老师　难度：1.00真题：3组卷：24
解析质量好中差
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