已知抛物线y=ax2+bx+3,经过A（3,0）,B（4,1）两点,且与y轴交于点C．已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3,0）,B（4,1）两点,且与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；（2）如图（1）,连接AB,在题（1）中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由；（3）如图（2）,连接AC,E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当△OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标．&&请自己写，谢谢，因为我有可能会追加问题的。(*^__^*) 嘻嘻……
（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3,0）,B（4,1）两点,∴ {9a+3b+3=0 16a+4b+3=1,解得：{a=12 b=-52,∴y= 12x2- 52x+3；∴点C的坐标为：（0,3）；（2）当△PAB是以AB为直角边的直角三角形,且∠PAB=90°,∵A（3,0）,B（4,1）,∴AM=BM=1,∴∠BAM=45°,∴∠DAO=45°,∴AO=DO,∵A点坐标为（3,0）,∴D点的坐标为：（0,3）,∴直线AD解析式为：y=kx+b,将A,D分别代入得：∴0=3k+b,b=3,∴k=-1,∴y=-x+3,∴y= 1/2x2- 5/2x+3=-x+3,∴x 2-3x=0,解得：x=0或3,∴y=3或0（不合题意舍去）,∴P点坐标为（0,3）,当△PAB是以AB为直角边的直角三角形,且∠PBA=90°,由（1）得,FB=4,∠FBA=45°,∴∠DBF=45°,∴DF=4,∴D点坐标为：（0,5）,B点坐标为：（4,1）,∴直线AD解析式为：y=kx+b,将B,D分别代入得：∴1=4k+b,b=5,∴k=-1,∴y=-x+5,∴y= 1/2x2- 5/2x+3=-x+5,∴x 2-3x-4=0,解得：x 1=-1,x 2=4,∴y 1=6,y 2=1,∴P点坐标为（-1,6）,（4,1）,∴点P的坐标为：（-1,6）,（4,1）,（0,3）；（3）如图（2）：作EM⊥AO与M,∵当OE∥AB时,△FEO面积最小,∴∠EOM=45°,∴MO=EM,∵E在直线CA上,∴E点坐标为（x,-x+3）,∴x=-x+3,解得：x= 3/2,∴E点坐标为（ 3/2,3/2）．
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扫描下载二维码已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（2，0）、（4，0），顶点到x轴的距离为3，求函数的解析式．
气象天使丶320
由题意知，顶点为（3，3）或（3，-3）．设抛物线的表达式为y=a（x-3）2±3（a≠0）．①当顶点为（3，3）时，∵抛物线过（2，0），∴a（2-3）2+3=0，∴a=-3．∴抛物线解析式为y=-3（x-3）2+3，即y=-3x2+18x-24；②当顶点为（3，-3）时，∵抛物线过（2，0），∴a（2-3）2-3=0，∴a=3．∴抛物线解析式为y=3（x-3）2-3，即y=3x2-18x+24．
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根据已知条件易求顶点为（3，3）或（3，-3）．所以设该二次函数的解析式为顶点式y=a（x-3）2±3（a≠0）．
本题考点：
抛物线与x轴的交点．
考点点评：
本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，要分类讨论，以防漏解．
这些答案是错的，顶点只有（3,3），顶点所在的直线式函数图象的对称轴，所以只有点（3,3）②顶点为(3,-3)将其代入y=a(x-2)(x-4)-3=a*1*-1a=3解析式为y=3(x-2)(x-4)综上所述，函数解析式为y=-3(x-2)(x-4)或y=3(x-2)(x-4)应该去掉
把（2，0）（4，0）代入Y=a(x-x1)(x-x2)得y=a(x-4)(x-2)因为顶点的横坐标为（4+2）/2=3，且到x轴距离为3所以顶点坐标为（3，3）（3，-3）.将(3,3)代入y=a(x-4)(x-2)，得3=a(3-4)(3-2),a=-3,则y=-3(x-4)(x-2)将(3,-3)代入y=a(x-4)(x-2)，得-3=a(3-4)(3-2),a=3,则y=3(x-4)(x-2)
用二次函数的表达形式的两根式最好。y=m(x-2)(x-4),因为顶点到x轴的距离为3,所以顶点坐标为(3,3)或者(3,-3),分别代入y=m(x-2)(x-4),解得m=3或者-3,化简即得y=3x2-16x+24,或者y=-3x2+16x-24
扫描下载二维码【答案带解析】已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B...
已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，（1）写出该抛物线的对称轴方程；（2）当点C变化，使60&≤∠ACB≤90&时，求出a的取值范围；（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（1）根据抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），即可求出抛物线的对称轴；（2）分别求出当∠ACB=60°和∠ACB=90°时a的值，进而求出使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；（3）分别写出C点和D点的坐标以及E点的坐标，再进行分类讨论证明△EHF≌△EKC，列出a的方程，解出a的值．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）...
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已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点C（0，3），O是原点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：宁波
（1）可设y=a（x-4）2-1，（2分）∵交y轴于点C（0，3），∴3=16a-1，（3分）∴a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-4）2-1，即∴y=14x2-2x+3．（4分）（2）存在．（5分）当y=0，则14（x-4）2-1=0，∴x1=2，x2=6，（6分）∴A（2，0），B（6，0），设P（0，m），则OP=|m|在△AOC与△BOP中，①若∠OCA=∠OBP，则△BOP∽△COA，∴OBOC=OPOA，OP=6×23=4，∴m=±4；（7分）②若∠OCA=∠OPB，则△BOP∽△AOC，∴OPOC=OBOA，OP=6×32=9，∴m=±9，（7分）∴存在符合题意的点P，其坐标为（0，4）、（0，-4）、（0，9）或（0，-9）．（10分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点C（0，3），..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
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