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已知集合MD是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立．（Ⅰ）&当D=R时，f（x）=x是否属于MD？说明理由；（Ⅱ）&当D=[0，+∞）时，函数f(x)=x+1属于MD，求k的取值范围；（Ⅲ）&现有函数f（x）=sinx，是否存在函数g（x）=kx+b（k≠0），使得下列条件同时成立：①函数g（x）∈MD；②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．若存在，求出满足条件的k和b；若不存在，说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）属于MD．事实上，对任意x1，x2∈R，|f（x1）-f（x2）|=|x1-x2|≤2|x1-x2|，故可取常数k=2满足题意，因此f（x）∈MD．（Ⅱ）∵f(x)=x+1在[0，+∞）为增函数∴对任意x1，x2∈[0，+∞）有|f(x1)-f(x2)x1-x2|=|x1+1-x2+1(x1+1)-(x2+1)|=1x1+1+x2+1＜12（当x1=0，x2→0时取到），所以k≥12，此即为所求．（Ⅲ）存在．事实上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于MD．∵t是g（x）=0的根∴g(t)=0=>t=-bk，又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx若k符合题意，则-k也符合题意，故以下仅考虑k＞0的情形．设h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，①若k≥1，则由h(πk)=sinπ-ksinπk＜0，且h(3π2)=sin3kπ2-ksin3π2=sin3kπ2+k≥0，所以，在[πk，3π2]中另有一根，矛盾．②若12＜k＜1，则h(πk)=sinπ-ksinπk≥0，h[2π]=sin2kπ-ksin2π＜0，所以在[πk，2π]中另有一根，矛盾．∴0＜k≤12．以下证明，对任意k∈(0，12]，g(x)=kx符合题意．（ⅰ）当x∈(0，π2]时，由y=sinx图象在连接两点（0，0），（x，sinx）的线段的上方知sinkx＞ksinx∴h（x）＞0．（ⅱ）当x∈(π2，π2k]时，sinkx＞sinkπ2≥ksinπ2≥ksinx∴h(x)＞0．（ⅲ）当x∈(π2k，2π)时，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．从而h（x）=0有且仅有一个解x=0，∴g（x）=kx在k∈(0，12]满足题意．综上所述：k∈[-12，0)∪(0，12]，b=0为所求．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知集合MD是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
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619672564982413892830274449471844090问题分类：初中英语初中化学初中语文
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如图，抛物线y= 14?&x2- 32?&&x-4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
悬赏雨点：8 学科：【】
解：（1）当y=0时，
14?&x2-&32?&&x-4=0
解得x1=-2，x2=8， ∵点B在点A的右侧，&
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．
当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则
解得k=-12&&，b=4．
∴直线BD的解析式为y=-12&&x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，-12&&m+4），点Q的坐标为（m，14&&m2-32&&m-4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（-12&&m+4）-（14&&m2-32&&m-4）=4-（-4）．
化简得：m2-4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．
此时，四边形CQBM是平行四边形．
∴点P是OB的中点．
∵l⊥x轴，
∴l∥y轴，
∴△BPM∽△BOD，
∵四边形CQMD是平行四边形，
∴四边形CQBM是平行四边形．
（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）．
若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：
①以点Q为直角顶点．
此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．
∵P在线段EB上运动，∴-8≤xQ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，
故此种情形不存在．
②以点D为直角顶点．
连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，
由勾股定理得：AD=√5&&，BD=，
∵AD2+BD2=AB2，∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q．
∴Q1（-2，0）；
③以点B为直角顶点．
如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2K⊥x轴于点K，则Q2K=-y，OK=x，BK=8-x．
易证△QKB∽△BOD，
，整理得：y=2x-16．
∵点Q在抛物线上，∴y=x2-x-4．
∴x2-x-4=2x-16，解得x=6或x=8，
当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去；
当x=6时，y=-4，
∴Q2（6，-4）．
&&获得：8雨点
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已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点.
（1）如图13-1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；
（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图13-2，设(m&0)，过点的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由
1）因为点C在抛物线上，所以C（1，） &……………………………………………1分
又因为直线BC过C、F两点，故得方程组 …………………………………………2分
解之，得，所以直线BC的解析式为： &…………………………………3分
（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF
设M（x1, ），则D（x1，）
因为MD∥y轴，所以MD=，由MD=OF，可得，
①当时，解得x1=0（舍）或x1=，所以M（，） &………………5分
②当时，解得，，
所以M（，）或M（，），& &………………………7分
综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，
M点坐标为（，）或（，）或（，）&& ……8分
（3）过点F作FT⊥BR于点T，因为点B在抛物线上，所以m2=4n，在Rt△BTF中，
BF====，因为n&0，所以BF=n+1，
又因为BR= n+1，所以BF=BR.&& 所以∠BRF=∠BFR，………………………………………9分
又因为BR⊥l，EF⊥l，所以BR∥EF，所以∠BRF=∠RFE，
所以∠RFE=∠BFR. &&&…………………………………………………………………………10分
同理可得∠EFS=∠CFS,
&&……………………………………………………………………11分
所以∠RFS=∠BFC=90°，
所以△RFS是直角三角形. &&…………………………………………………………………12分
如果没有找到你要的试题答案和解析，请尝试下下面的试题搜索功能。百万题库任你搜索。搜索成功率80%已知，如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A&（x1，0），B&（x2，0），C&（0，-2），其顶点为D．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F（点E在点F的上方），过点F&作⊙M的切线交x轴于点N&（-6，0），|x1-x2|=8．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在（1）中的抛物线上是否存在一点P（不与点D重合），使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，点G为⊙M在第一象限内的任意一点、连结AG的直线l与（1）中的抛物线交于点H，设点H的坐标为（m，n），求AGoAH关于m的函数关系式，并求当m=8时，线段GH的长．
（1）如图1，连接ME，记OM=x，EO=y，∵N&（-6，0），|x1-x2|=8，∴NO=6，AB=8，∴EM=AM=MB=4．∵∠ENO=90°-∠NEO=∠MEO，∠NOE=∠EOM=90°，∴△NEO∽△EM0，∴，∴，即y2=6x，在Rt△EOM中，∵EO2+OM2=EM2，∴y2+x2=42=16，∴x2+6x-16=0，∴x=2，或x=-8（负值舍去），∴OM=2，∴A（-2，0），B（6，0）．代入A、B、C三点坐标，解得抛物线为y=x2-x-2，∴顶点D（2，-）．（2）如图2，连接AD，BD，作∠PAB=∠DAB交MD于Q，交抛物线于P，显然Q与D关于x轴对称，即Q（2，），设过A（-2，0），Q（2，）的直线为y=kx+b，代入坐标，解得直线AQ：y=x+，设P（x，y），则满足2-23x-2y＝23x+43，解得
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（1）求抛物线解析式需已知3点，现仅知C点，A、B两点虽不明确，但由|x1-x2|=8，可得AB=8．因为E为切点，则连接圆心与切点是对切线题目的常规做法，易得三角形相似性质，设MO=x，EO=y易得关于x，y的方程组，解得即有A、B坐标，则抛物线及顶点坐标易得．（2）由已确定△ABP与△ADB，即已知对应点，那么∠BAP=∠DAB，由此画图仅得一点P．若此时的△ABP与△ADB相似，那么AB与BP的关系必同AD与DB关系一致，因为AD=BD，所以仅需判断BP是否等于AB即知．（3）有题干中的AGoAH，不难想到切割线定理，即GHoAH=过点H的切线长的平方，而AHoAG=AHo（AH-GH）=AH2-GHoAH，其中A点固定，H点已知，AH2易求．而切线一般都利用切点与圆心的切线，则易发现恰好构成直角三角形，利用勾股定理易转化“过点H的切线长的平方”，进而可表示函数关系．求得关系由m=8，代入即可，不难推得GH．
本题考点：
二次函数综合题．
考点点评：
本题综合难度较高，计算量也较大，主要考查了三角形相似、抛物线性质、利用勾股定理求坐标系中两点距离及圆与切割线定理等知识，但处理各问的方式属于都属于常规考法，值得学生练习、巩固，综上来说这是一道质量很高的题目．
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