关于弧长计算公式公式的疑问

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-12-18 19:51 标签： 弧长计算公式
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弧长公式成立的充要条件
连续曲线不一定可求长，连续曲线可求长当且仅当它的参数表示是有界变差的，但弧长未必能用公式表达，利用勒贝格积分的基本理论证明绝对连续是弧长可用公式计算的充要条件。
Abstract：
Continuous curve may not be rectifiable. A curve is rectifiable, if and only if its parameter representation is bounded variation, but in general the arc length could not be formulated, and we proves by Lebesgue Integral Theory that absolutely continuous is the sufficient and necessary condition for the formula of arc length.
作者单位：
文山学院数理系,云南文山,663000
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弧长的定义:一段弧的长度叫做弧长。弧长的计算公式:在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C＝2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l＝nπR÷180。比如半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为l＝nπR÷180＝45×3.14×1÷180＝0.785(cm)＝7.85(mm)如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
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l=/a/r,/a/为圆弧角度的绝对值，且是弧度制角度。
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弧长的定义　　在圆上过2点的一段弧的长度叫做弧长。[编辑本段]弧长的计算公式　　弧长公式:弧长=θ*r ,θ是角度 r是半径 　　l＝nπr÷180　　在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C＝2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l＝nπR÷180。　　例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为　　l＝nπR÷180　　＝45×派×1÷180　　约等于0.785(cm)　　如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
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弧长公式：弧长=圆的周长 * 圆心角度数/360度字母公式：l=C * n/360。（C为圆的周长；n为圆心角度数；l为弧长）圆周长公式：圆的周长=半径 *2 *圆周率字母公式：C=2*圆周率*r(抱歉圆周率无法用字母表示)总公式：弧长=2 * 半径*圆周率*圆心角度数/360度总公式：l=2 *圆周率*r n/360。
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一个半径为5.3米的圆弧周长是多少？
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关于极坐标弧长微分公式推导的问题求帮助收藏
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由同济大学第5版高等数学上 P271 的极坐标图形面积公式，是否可类比推出极坐标弧长公式，但这个公式推出来与P278 的公式不一样，非常困惑！
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说白了就是微元法
回复：2楼由于不太会打公式上的那些字母,可能我表述的不太清楚,下面我尽量用汉字将我的问题阐述清楚，请耐心看看：同济大学第5版高等数学上 P271 推导极坐标面积元素公式，用了初等数学的公式：扇形面积= 1/2 *圆心角（弧度） *半径的平方将上面公式将圆心角与扇形面积换成微量，可得 面积元素公式 ，如书上所示下面就是我的问题，以下是我个人所想：由这个方法可类比推导极坐标弧长元素公式，用初等数学公式：弧长=圆心角（弧度） *半径将上面公式对圆心角与弧长换成微量，可得我推导的弧长元素公式但翻开书本P278，有个弧长元素公式，这个公式与我推导的公式并不统一，这便是问题所在，非常困惑
圆心角是相对那个圆心，个人认为是曲率圆的圆心。
回复：4楼书上推导极坐标面积元素公式是 d扇形面积= 1/2&& *半径的平方*d圆心角（弧度）按照我的思路推导出的极坐标弧长元素公式是 d弧长=半径*d圆心角（弧度）
回复：5楼四楼说的对呀d弧长=半径*d圆心角（弧度）的话圆心是不断变化的，每一段微弧对应不同的曲率半径，所以说是划分微元时出了问题。
那求面积时为什么不用考虑曲率圆心的问题？
回复：7楼实际上求面积时并非用上述微元法推导公式,而是将关于x,y的面积公式用r,θ作积分的变量变换而得出的,只是偶然与扇形面积相似,而求弧长时就不相似了用微元只是给出一种直观印象,当然它也是可用的,不过用后要证明的出的无穷和与实际长度差的绝对值的上界为无穷小量
什么意思，能解释一下吗？
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没见过教材，也不知道推导步骤和方法。不过，如果我来推导的话，我会这样推导：对于极坐标，弧长的增量由2个部分组成：1）切线方向的
ρ*(dθ)2）径向方向的
由勾股定理，知弧长的微分 为
ds = { [ρ*(dθ)]^2
+ (dρ)^2 }^2个人认为： 楼主只考虑了切线方向的部分，没有考虑径向部分。
不同意9楼的说法。 用极坐标表示的面积元，本身就应该按照极坐标推导的,并不是从 x、 y 坐标转换推出来的。我不懂得推导过程和方法，但按照面积元的意义，如果我推导的话，我会这样推：面积元 ＝ dσ = [梯形形的 (1/2)* (上底+下底）x 高]
(1/2)* [ρ*(dθ)+ (ρ+ dρ)*(dθ) ]*(dρ)
= ρ*dρ*dθ + (1/2)* (dρ)^2 *(dθ)
≈ ρ*dρ*dθ 或者面积元 ＝ dσ = （长方形的长 x 宽） =
[ρ*(dθ)]*(dρ) = ρ*dρ*dθ
11楼，具体画下图么，ds^2 = [ρ*(dθ)]^2 + (dρ)^2
应该是这个吧，解释下1）切线方向的 ρ*(dθ)2）径向方向的 dρ
1）切线方向的 ρ*(dθ) --- 与 ρ 垂直的方向2）径向方向的 dρ
－－－ ρ 的方向。
是的，是直角三角形。 你干嘛往“梯形面积”上扯呢？
考虑在角度变化Δθ的时候，r从r(θ)变为r(θ+Δθ)这样一来的话Δl和r(θ),r(θ+Δθ)形成了一个三角形利用Δθ和余弦定理，可得Δl=根号下 [r^2(θ) + r^2(θ+Δθ) -2cosΔθ*r(θ)*r(θ+Δθ)] / Δθ^2 倍的Δθ求在Δθ趋于0时根号式的极限就可以两次使用洛必达法则可知结果是dl = 根号下r^2(θ)+r'^2(θ)倍的dθ
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