气体动理论静电场恒定磁场电磁感应电磁场
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&&&& &&&& &&&& &&&&&&&&大学物理&&&&&&&&小测复习大纲&&&&&&&&&&&&课后题&&&&１.电场强度与场强叠加原理?２.静电场的高斯定理?３.静电场环路定理电势能电势?４.静电场中的导体与电介质?５.电容器电场能量?６.直流电流和圆电流的磁场磁场的高斯定理&&&&?&&&&&&&&&&&&课后题&&&&７.安培环路定理８.电磁感应动生电动势?９.自感互感磁场能量&&&&?&&&&&&&&&&&&6.3在坐标原点及点(3,0)分别放臵电荷Q1＝-2.0?10-6C及Q2＝1.0?10-6C的点电荷，求点P(3,?1)处的场强（坐标单位为m）。解：r1?PO?12?(3)2?2m&&&&r2?PQ2?1m&&&&由E?Q40r&&&&2&&&&&&&&得：&&&&&&&&?8|Q1|2.0?109?13?1EP19.00?10?N?C?4.50?10N?C22240r1&&&&&&&&EP2&&&&&&&&?6Q21.0?109?13?19.00?10?N?C?9.00?10N?C21240r2&&&&&&&&4&&&&&&&&&&&&|Q1|2.0?10?89?1?1EP19.00?10?N?C?45.0N?C22240r1&&&&&&&&EP2&&&&&&&&?6Q21.0?109?13?19.00?10?N?C?9.00?10N?C21240r2&&&&&&&&EP1x&&&&&&&&3EP1cos3045.0?N?C?13.90?103N?C?12&&&&0&&&&&&&&1?13?1EP1y?EP1sin30?45.0?N?C?2.25?10N?C2EP2x?0&&&&0&&&&&&&&EP2yEP29.00?10N?CEP?(EP1x?EP2x)i?(EP1y?EP2y)j&&&&3&&&&&&&&?1&&&&&&&&3?1(3.9i?6.8j)?10N?C&&&&&&&&&&&&6.4如图所示，长为L的均匀带电细棒AB。设电荷的线密度为l。求：（1）AB棒延长线上P1点的场强（P1点到B点的距离为a）。解：取P1点为原点、P1A向为x轴正向建立坐标系。在AB上距P1为x处取电荷元dq=ldx，其在P1产生的场强：ldx?dE1dE1ii240x?L?aldx?lLEP1dE1i?i2Qa40x40a(a?L)lL即P1点场强大小为4a(a?L)方向沿AP1方向。0&&&&&&&&&&&&6.5一根玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，其上电荷均匀分布，总电荷为q，求半圆中心O点的场强。&&&&&&&&解：以半圆圆心为原点、对称轴为x轴建立坐标系，&&&&在棒上取电荷元dq。qqdq?ldl?RddR?&&&&dqqdEd?22240R40R&&&&&&&&如图，根据对称性EOy=0&&&&qq&&&&&&&&?EO?EOxdExdEcos&&&&2?&&&&&&&&?&&&&&&&&q&&&&22&&&&&&&&?&&&&&&&&q2?2?0R2&&&&&&&&40RqE0?2i写成矢量式：220R&&&&2&&&&&&&&cos?d?&&&&&&&&&&&&6-11两个均匀的带电同心球面，内球面带有电荷q1，外球面带有电荷q2，两球面之间区域中距球心为r的点的场强为，方向沿球面半径指向球心；外球面之外距球心为r的点的场强为，方向沿球面半径向外。试求q1和q2各等于多少？解：设A、B分别为两球面之间区域和外球面之外区域中的点，过A、B分别作两球面SA、SB为高斯面，并取高斯面法线单位矢量沿径向背离球心。&&&&&&&&根据高斯定理&&&&&&&&?&&&&&&&&S&&&&&&&&?qE?dS?&&&&&&&&q12A点(两球面之间区域)：?EA?dSEA?4?r?&&&&S&&&&&&&&?0&&&&&&&&?0&&&&&&&&3000q1EA?40r2?40r2??10?7Cr&&&&2&&&&&&&&&&&&q1?q22B点(外球面之外区域)：?SEB?dS?EB?4?r?&&&&&&&&?0&&&&&&&&?EB?40rq1?2?40rr&&&&2&&&&&&&&q1?.6?10C&&&&?7&&&&&&&&&&&&6-13.两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2R1)，分别带有等量异号电荷（内圆柱面带正电），且两圆柱面沿轴线每单位长度所带电荷的数值都为l。试分别求出以下三区域中离圆柱面轴线为r处的场强：求距离轴线r远处的场强：⑴rR1；⑵R1rR2；⑶rR2。解：分别在三个区域作半径为r高为h的同轴柱面为高斯面。q?根据高斯定理?SE?dS?E?2?rh0⑴rR1?q?0,E?0ql⑵R1rR2?q?lh,E?20rh20r&&&&&&&&场强方向：沿矢径方向背离球心⑶rR2?q?lh?lh?0,E?0&&&&&&&&&&&&6-14.一半径为R的带电球，其上电荷分布的体密度?为一常数。试求此带电球体内、外的场强分布。解：在带电球体内、外分别作半径为r的同心球面为高斯面。根据高斯定理&&&&&&&&?&&&&&&&&S&&&&&&&&q?2E?dS?E?4?r?&&&&&&&&43?r43当rR时，?qr,E?4?r2?3,&&&&&&&&?0&&&&&&&&432qR,E?4?r当rR时，3R3R3E?,E?e22r3?0r3?0r&&&&&&&&?rr?E?,E?er3?03?0&&&&&&&&3&&&&&&&&?0&&&&&&&&?R3?0&&&&,&&&&&&&&43&&&&&&&&&&&&6-17如图所示，A点有电荷+q，B点有电荷-q，AB=2l，OCD是以B为中心、l为半径的半圆。（1）将单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力做功多少？（2）将单位负电荷从D点沿AB移到无穷远处，电场力做功多少？解：（1）选择无穷远处为电势零点&&&&?qO点电势：UO?040l40lq&&&&?qq?D点电势：UD?40?3l40l60lq&&&&&&&&&&&&?qUO?0,40l40lq&&&&&&&&?qqUD40?3l40l60lq&&&&&&&&单位正电荷从O点移到D点，电场力做功为：&&&&WOD?q(UO?UD)?1?[0?(?q60l)]?q60l&&&&&&&&（2）单位负电荷从D点移到无穷远处，电场力做功为：&&&&&&&&WD?q(UD?U?)1?[(?&&&&&&&&q60l&&&&&&&&)?0]?&&&&&&&&q60l&&&&&&&&&&&&6-19在半径分别为R1和R2的两个同心球面上，分别均匀带电，电荷量各为Q1和Q2，且R1R2。求下列区域内的电势分布：（1）rR1；（2）R1rR2；（3）rR2。解：半径为R均匀带电Q的球面在空间产生的电势为：&&&&Q?r?RU40R?r?RU?Q12?40r?&&&&&&&&因此，根据球面电势的叠加原理&&&&?Q1Q2U?(1)r?R1时40R140R2Q1Q2(2)R1?r?R2时U?40r40R2Q1?Q2U(3)r?R2时40r?&&&&&&&&&&&&6-20电荷q均匀分布在长为2a的细棒上。求棒的延长线上离棒的中点O点为x的点P的电势。解：建立如图所示的坐标系：&&&&dqldrqdUP，其中：l?40(x?r)40(x?r)2a&&&&&&&&lUPdUPln(x?r)-a4(x?r)400?a&&&&a&&&&&&&&ldr&&&&&&&&a&&&&&&&&lx?aqx?a?ln?ln40x?a80ax?a&&&&&&&&&&&&6-23两个均匀带电的金属同心球壳，内球壳（厚度不计）半径为R1=5.0cm，带电荷q1=0.60?10-8C；外球壳内半径R2=7.5cm，外半径R3=9.0cm，所带总电荷q2=-2.00?10-8C，（1）求：距离球心3.0cm，6.0cm，8.0cm，10.0cm各点处的场强和电势；（2）如果用导线把两个球壳连起来结果又怎样？解：静电平衡后q1=0.60?10-8C电荷分布在内球壳表面。外球壳内表面有电荷-q1，外表面有电荷q1+q2=-1.40?10-8C。&&&&&&&&q?2(1)由高斯定理E?dS?E?4?r&&&&r=3.0cm(rR1)&&&&&&&&r=6.0cm&&&&&&&&?q?0,E?0qq?q,E?(RrR)?4r&&&&1&&&&12&&&&&&&&S&&&&&&&&?0&&&&&&&&1&&&&&&&&2&&&&&&&&?1.5?104(V/m)&&&&&&&&0&&&&&&&&r=8.0cm(R2rR3)r=10.0cm(rR3)&&&&&&&&?q?q?q&&&&1&&&&&&&&1&&&&&&&&?0,E?0&&&&q1?q241.26?10(V/m)240r&&&&&&&&?q?q1?q2,E?&&&&&&&&&&&&?Q?4R(r?R)0半径为R的均匀带电Q的球面电势分布为UQ(r?R)40r&&&&&&&&根据球面电势公式和电势叠加原理，&&&&&&&&r=3.0cm(rR1)&&&&&&&&?q1q1?q2U?1.04?103(V)40R140R240R3q1&&&&r=6.0cm(R1rR2)&&&&&&&&U?&&&&&&&&40r&&&&&&&&q1&&&&&&&&?&&&&&&&&?q1q?q?121.22?103(V)40R240R3?q1q1?q2q1?q2U1.4?103(V)40r40r40R340R3q1q1&&&&&&&&r=8.0cm(R2rR3)&&&&&&&&?q1q1?q2q1?q2?1.26?103(V)r=10.0cm(rR3)U?40r40r40r40r&&&&&&&&&&&&（2）如果用导线把两个球壳连起来，内球壳和外球壳内表面不带电，外球壳外表面带电为q3’=-1.4×10-8C。导体内部场强处处为零，由于静电屏蔽，外球壳的外表面电荷不影响导体空腔内部。因此rR3区域，E=0，即&&&&q?2由高斯定理r=10.0cm(rR3)?E?dS?E?4?r?&&&&S&&&&&&&&E|r?3.0cm?E|r?6.0cm?E|r?8.0cm?0&&&&?q31.26?104(V/m)&&&&&&&&?0&&&&&&&&?q?q3?,E?&&&&&&&&40r2&&&&&&&&用导线把两个球壳连起来后，导体是个等势体。&&&&&&&&U|r?3.0cm?U|r?6.0cm?U|r?8.0cm?&&&&r=10.0cm(rR3)&&&&&&&&40R3&&&&&&&&?q3&&&&&&&&1.4?103(V)&&&&&&&&U?&&&&&&&&40r&&&&&&&&?q3&&&&&&&&1.26?103(V)&&&&&&&&&&&&6-24在一半径为a的长直导线的外面,套有内半径为b的同轴导体薄圆筒,它们之间充以相对介电常数为εr的均匀电介质,设导线和圆筒都均匀带电,且沿轴线单位且沿轴线单位长度所带电荷分别为λ和-λ.（1）试求导线内、导线和圆筒间、圆筒外三个空间区域中的点的场强大小；（2）求导线和圆筒间电势差。解：在三个空间区域分别取半径为r高度为h的高斯面（1）根据高斯定理E?dS?E?2?rhq?S?0?rra时，?q?0E?0h&&&&&&&&r&&&&a&&&&b&&&&&&&&lhlE?arb时，?q?lhE?2?rh0?r20?rr&&&&rb时，&&&&&&&&?q?lh?(?lh)?0E?0&&&&&&&&(2)ab之间的电势差Uab?&&&&&&&&?&&&&&&&&b&&&&&&&&a&&&&&&&&lbllndr?20?ra20?rr&&&&&&&&&&&&6-25A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B相距4.0mm,A、C相距2.0mm,B、C两板都接地，如图所示，设A板带正电q=3.0×10-7C,不计边缘效应(即认为电场集中在平板之间是均匀的)。(1)若平板之间为空气(εr≈1.00),求B板和C板上的感应电荷，以及A板上的电势；（2）若在A、B间另充以εr=5的均匀电介质，再求B板和C板上的感应电荷，以及A板的电势。解：由静电感应可知,A、C相向两面带等量异号电荷，A、B相向两面也带等量异号电荷。A(?BC)?(1)B、C两板都接地，UAC?UAB解以上两式：?c2?A/3,?B?A/3&&&&&&&&?c?BdACdAB?(2)?0?0&&&&&&&&?qcCS2?AS/32qA/32.0?10?7C,&&&&&&&&qBBS?AS/3qA/31.0?10?7C,|qc|UA?UAcdAC?2.26?103VS?0&&&&&&&&&&&&(2)由静电感应可知,A、C相向两面带等量异号电荷，A、B相向两面也带等量异号电荷。&&&&&&&&A(?BC)?(1)&&&&B、C两板都接地，UAC?UAB&&&&&&&&?c?BdACdAB?(2)?0?0?r&&&&&&&&?r&&&&&&&&22?qcCS?ASqA8.57?10?8C,7755qBBS?ASqA2.143?10?7C,77&&&&&&&&25解以上两式：?c?A,?B?A77&&&&&&&&UA?UAc&&&&&&&&?8?3|qc|8.57?10?2?10dAC4?12?968VS?.85?10&&&&&&&&&&&&6-28一空气平板电容器的电容C=1.0pF，充电到电荷为Q=1.0×10-6C后，将电源切断。（1）求极板间的电势差和电场能量：（2）将两极板拉开，使距离增到原距离的2倍，试计算拉开前后电场能的改变，并解释其原因。QQ6U1.0?10(V)C?解:(1)由得CUQ2电场能量：We0.5(J)2C?0S?0SC(2)距离拉长2倍后，电容变为Cd?2d22Q1(J)电场能量：We?2CWe?WeWe?0.5(J)电场能量增量：&&&&&&&&原因：将两极板拉开时，电场力做负功，电场能量增加。&&&&&&&&&&&&6.29平板电容器两板间的空间（体积为V）被相对介电常数为?r的均匀电介质填满。极板上电荷的面密度为?。试计算将电介质从电容器中取出过程中外力所作的功。解：外力做功等于电容器电场能的增加：&&&&q211W?We2?We1?(?)2C0CS?SC?0rC0?0qSdd&&&&&&&&将&&&&&&&&V?Sd&&&&&&&&代入，得&&&&&&&&?2V(?r?1)W?2?0?r&&&&&&&&&&&&6.30若球形电容器两同心金属球面半径分别为RA和RB（RARB）,带电荷分别为+Q和-Q，两球面间充满介电常量为?的均匀电介质，设其电容量为C，试证明次电容2器电场的能量为W?Qe2C解：在球形电容器两极板间作半径为r的同心高斯球面S?Q由高斯定理得&&&&2D?dS?D?4?r?Q(RA?r?RB)?Q得D?4?r2&&&&&&&&?Q&&&&&&&&BAo&&&&r&&&&&&&&RA&&&&&&&&则E?&&&&&&&&D&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&Q4r&&&&2&&&&&&&&RB&&&&&&&&12Q2则半径为r处的能量密度为weE?232?2?r4&&&&&&&&&&&&则球形电容器的电场能量为&&&&We&&&&RBRA2RB12Q2Q112?EdV?4?rdr?(?)24RA32r28RARB&&&&&&&&又因为球形电容器的电容&&&&&&&&4RARBC?RB?RA&&&&&&&&Q2即We?2C&&&&&&&&&&&&7-11一条无限长直导线在一处弯折成半径为R的圆弧，如图所示，若已知导线中电流强度为I。试利用毕奥－萨伐尔定理求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O处的磁感应强度。解：（1）因左右两边的半无限长的延迟线经过圆心，因而在圆心产生的磁感应强度为0，因此圆心O处的磁感应强度仅由半圆形电流产生。&&&&&&&&1?0IBO?2R24R&&&&&&&&?0I&&&&&&&&(1)&&&&&&&&方向：垂直纸面向里&&&&&&&&（2）同理，圆心O处的磁感应强度仅由1/4圆弧电流产生。&&&&&&&&（2）&&&&&&&&1?0IBO?2R48R&&&&&&&&?0I&&&&&&&&方向：垂直纸面向里&&&&&&&&&&&&7-13一长直导线ab,通过电流I1=20A，旁放臵一段导线cd，通过电流I2=10A，且ab和cd在同一平面上，c端距ab为1cm,d端距ab为10cm,求导线cd所受的作用力。?0I1解：如图建立坐标系，长直导线产生的磁感应强度为B1?&&&&&&&&2?x&&&&&&&&在cd段上的感应强度分布随x的增大而减小，因而可取cd段上一小段导线dl，所受的ab段对其作用力为：&&&&&&&&bocadx&&&&&&&&?0I1dF?B1I2dl?I2dl2?x&&&&FdF&&&&od0.1&&&&&&&&oc&&&&&&&&?0I1?0I2I10.1B1I2dlIdl?ln0.012?x22?0.01&&&&&&&&?9.2?10?5(N)&&&&&&&&&&&&7-17如图所示，载流长直导线中的电流为I，求通过矩形CDEF的磁通量&&&&&&&&解：如图建立坐标系，长直导线产生的磁感应强度为?0IB?2?x&&&&&&&&Io&&&&&&&&C&&&&&&&&Dx&&&&&&&&aFb&&&&&&&&E&&&&&&&&如图对矩形CDEF进行分割，得到高度为l,宽度为dx的小矩形，该面积的磁通量为&&&&&&&&?0Idldx2?x&&&&&&&&?0I?0Ilb总磁通量为?ldx?ln2?x2?aa&&&&b&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&7-20一根长直导体直圆筒，内外半径分别为a，b，电流I沿管轴方向，并且均匀的分布在管壁的横截面上。空间某点P到管轴的距离为r，求下列三种情况下p点的磁感应强度：&&&&&&&&(1).r?a;(2).a?r?b;(3)r?b.&&&&解：根据安培环路定理：?LBdl?B2?r?u0?I&&&&II2222a?r?b,?I(r?a)?(r?a),2222?(b?a)(b?a)u0I(r2?a2)?B?2?r(b2?a2)&&&&&&&&r?a,?I?0,?B?0&&&&&&&&?0Ir?b,?I?I,?B?2?r&&&&&&&&&&&&7.21一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为A)和一同轴的导体圆管（内外半径分别为B,C)构成，使用时，电流I从一导体流去，从一导体流回，设电流都是均匀地分布在导体的截面上，求（1）导体圆柱内RA,（2）两导体之间ARB（3）导体圆筒内BRC，（4）电缆外RC，各点处的磁感应强度大小。&&&&&&&&解：根据安培环路定理：?LBdl?B2?r?u0?I&&&&?0II2r?a,?Ir,?B?r22?a2?a&&&&u0Ia?r?b,?I?I,?B?2?rII2222b?r?c,?I?I(r?b)?(c?r),2222?(c?b)(c?b)&&&&u0I(c2?r2)?B?2?r(c2?b2)&&&&&&&&r?b,?I?0,?B?0&&&&&&&&&&&&7.23矩形截面的螺绕环，绕有N匝线圈，通有电流I，尺寸如图所示：?（1）求环内磁感应强度分布；?（2）证明通过螺绕环截面的磁通量unIhlnb&&&&?&&&&o&&&&&&&&?解（1）螺绕环内B线为圆心在环轴的系列同心圆，且同一B线各点B的大小应相等，在管内作环路半径为r的圆环，环路内电流代数和：?I?NIB?dl?B?2?r0I0NI&&&&L&&&&&&&&2?&&&&&&&&a&&&&&&&&r&&&&&&&&?&&&&&&&&?0NI?B?2?r&&&&&&&&(a?r?b)&&&&&&&&&&&&（2）在螺绕环截面上取距环轴r，宽dr的窄条做面元ds?hdr，面法线与B同向，则&&&&?md?m?BdS?bBhdr?S?&&&&a&&&&&&&&?0NIhbdr?2ar&&&&?0NIhb?ln2?a&&&&&&&&dr&&&&&&&&r&&&&&&&&&&&&8-5有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n，在管的中心放臵一绕了N圈，半径为r的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI/dt，求小线圈中感应的电动势。解：无限长直螺线管内部的磁场为：B=?0nI通过N匝圆形小线圈的磁通量为?m=NBS=Nμ0nIπr2由法拉第电磁感应定律得：&&&&&&&&d?m2dI?N?0n?rdtdt&&&&&&&&&&&&8-8一长直导线，载有电流I=40A。在其旁边放臵一金属杆AB。A端与导线的距离为a=0.1m，B端与导线的距离为b=1.0m。如图所示。设金属杆AB以匀速v=2m/s向上移动，试求此金属杆中的感应电动势，并问哪一端电势较高。?解：分割导体元dx。vA?0IdxBIx导体元处的磁场为：B?xo2?xab?dvBdxsincos?vBdxB2b?Iv?0Ivb?50?d?ln3.68?10(V)dx?a2?x2?a电动势方向：B→AA端电势高。&&&&&&&&&&&&?8-9长为l的一金属棒ab，水平放臵在均匀磁场B中，如图所示。金属棒可绕O点在水平面内以角速度旋转，O点离a端的距离为l/k（设k2）。试求a、b两端的电势差，并指出那端电势高。&&&&ωB&&&&&&&&解：以O点为坐标原点。距离原点x位臵取微元dx，&&&&&&&&al/k&&&&&&&&dx&&&&&&&&b&&&&&&&&则dx产生的感应电动势为?dvBdxsincos?vBdx?xBdx2对整根导体棒进行积分：&&&&&&&&x&&&&l&&&&&&&&?d?l/k?xBdx?B(k?2)222[(l?l/k)?(l/k)]?Bl22&&&&&&&&l?l/k&&&&&&&&&&&&?d?l/k?xBdx?B(k?2)22[(l?l/k)?(l/k)]?Bl222&&&&&&&&l?l/k&&&&&&&&?k?2,0&&&&电动势方向：b→a，a端电势高。&&&&&&&&ωdx&&&&&&&&Bb&&&&&&&&al/k&&&&&&&&x&&&&l&&&&&&&&Uab&&&&&&&&(k?2)Bl22&&&&&&&&&&&&8-15一纸筒长30cm,截面直径为3.0cm，筒上绕有500匝线圈，求这线圈的自感。&&&&&&&&解：&&&&?50022LnV??100.3?&&&&2?72&&&&&&&&?7.4?10H&&&&&&&&?4&&&&&&&&&&&&8-17一由两薄圆筒构成的同轴长电缆，内筒半径为R1，外筒半径为R2，两筒间的介质ur=1，设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度I相等，求长度为l的一段同轴电缆所贮磁能为若干？R&&&&解：根据对称性和安培环路定理，在内圆筒和外圆筒外的空间磁场为零。两圆筒(如右图所示)间磁场为&&&&2&&&&&&&&R1&&&&&&&&?IB?(R1?r?R2)2?r&&&&&&&&I&&&&&&&&l&&&&&&&&因磁场是非均匀的，则体积元中的磁场能量为&&&&&&&&B2uI2dW?wdV?dV?dV222u8?r&&&&所以磁场能为&&&&V&&&&&&&&WdW&&&&&&&&R2&&&&&&&&R1&&&&&&&&?I2?I2lR2?2?rldr?ln228?r4?R1&&&&&&&&&&&&8-18两个共轴圆线圈，半径分别为R及r（Rr），匝数分别为N1，N2，两线圈的中心相距为l，设r很小，则小线圈所在处的磁场可以视为均匀的。求两线圈的互感系数。&&&&解：因为Rr，且小线圈所在处的磁场可以视为均匀（如图所示），则由&&&&载流圆线圈轴线上的磁场表达式可知L1在L2处产生的磁感应大小为&&&&&&&&B?&&&&&&&&N1u0I1R22(R?l)&&&&2232&&&&&&&&方向沿两线圈的轴线方向，&&&&&&&&M?M21?&&&&&&&&?21B?S?I1I1&&&&&&&&N2?r23222I12(R?l)N1u0I1R2?N1N2u0?R2r22(R?l)&&&&2232&&&&&&&&其中?21表示线圈L1激发的磁场通过L2的磁通量&&&&&&&&&&&&课文&&&&第四章?第六章?第七章?第八章&&&&?&&&&&&&&气体动理论静电场恒定磁场电磁感应电磁场&&&&&&&&&&&&例：如图，两容积不变、导热的容器A和B，容积分别为VA=3.73升、VB=2.73升，用绝热细管连通，在27℃时两容器内气压均为1大气压。今把A臵于沸水中，B臵于0℃的冰中，则达到热平衡后，求容器A中的气压和A中气体的分子数。&&&&&&&&解：设两容器中的分子总数为N，初态时&&&&&&&&Np0?kT0(VA?VB)&&&&&&&&(1)&&&&&&&&末态时&&&&&&&&NAp?kTAVA&&&&&&&&(2)&&&&&&&&N?NAp?kTBVB&&&&&&&&(3)&&&&&&&&联立解得&&&&&&&&1p?1.08(atm)NA?N?7.90?10222&&&&&&&&&&&&将理想气体模型稍作修改，将气体分为单原子分子气体，双原子分子气体，多原子分子气体。理想气体在常温下，分子内各原子间的距离认为不变，可不考虑分子内部的振动，而认为分子是刚性的。此时气体分子只有平动自由度和转动自由度。&&&&&&&&单原子分子气体例：He、Ne、Ar等。其模型可用一个质点来代替。平动自由度转动自由度总自由度&&&&&&&&t?3&&&&&&&&z&&&&P(x,y,z)&&&&&&&&r?0&&&&&&&&o&&&&&&&&y&&&&&&&&i?t?r?3?0?3&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&刚性双原子分子气体如：H2、O2等。其模型可用两个刚性质点来代替。平动自由度转动自由度总自由度&&&&&&&&t?3&&&&&&&&z&&&&l&&&&?&&&&?&&&&O&&&&&&&&轴&&&&&&&&r?2i?t?r?3?2?5&&&&x&&&&&&&&?C(x,y,z)&&&&y&&&&&&&&?&&&&&&&&刚性多原子分子气体如：CO2、CH4等。其模型可用多个刚性质点来代替。&&&&&&&&z&&&&?&&&&?&&&&O&&&&&&&&轴&&&&&&&&平动自由度转动自由度总自由度&&&&&&&&t?3&&&&&&&&r?3&&&&i?t?r?3?3?6&&&&x&&&&&&&&?&&&&&&&&y&&&&&&&&&&&&例：处于平衡态的理想气体，压强p＝5×102Pa，容积V＝4.0×10-3m3，则气体分子总平动动能为【】。B（A）2J解：（B）3J（C）5J（D）9J&&&&&&&&333Et?NkTRT?pV?3(J)222&&&&&&&&&&&&例：用总分子数N、气体分子速率v和速率分布函数f(v)表示下列各量：(1)速率大于100m/s的分子数；(2)速率大于100m/s的那些分子速率之和。&&&&&&&&解:&&&&&&&&由速率分布函数的物理意义出发&&&&&&&&dN?f(v)dvN&&&&&&&&v?v+dv区间的分子数&&&&&&&&dN?Nf(v)dv&&&&&&&&速率大于100m/s的分子数v?v+dv区间的分子速率和&&&&&&&&?N?N?&&&&&&&&?&&&&&&&&100&&&&&&&&f(v)dv&&&&&&&&Nvf(v)dv&&&&&&&&速率大于100m/s的那些分子速率之和&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&100&&&&&&&&Nvf(v)dv&&&&&&&&&&&&库仑定律：&&&&&&&&?q1q2?q1q2?eF?k2er?2r40rr&&&&&&&&例：经典的氢原子中电子绕核旋转，质子质量Mp=1.67?10-27kg,电子质量me=9.11?10-31kg,求电子与质子间的库仑力Fe与万有引力F引之比。&&&&&&&&解：库仑力大小&&&&&&&&q1q2e2Fe?2?40r40r2&&&&&&&&万有引力大小&&&&&&&&mpmem1m2F引?G2?G2rr&&&&&&&&Fe1e22.26?1039F引40Gmpme&&&&&&&&&&&&例：求点电荷q所激发的电场中各点的电场强度矢量。解：要求出电场中各点的场强，只要求出其中任意一点P的场强即可。&&&&&&&&在P点放臵试探电荷q0。&&&&&&&&?qq0的方向：从源点指向场点。F?e,err40r2p?Fq?q0EEer场点q040r2?q?点电荷场强公式：E?e2r?qO场源40r&&&&r?0时，E，此结论正确吗？&&&&&&&&&&&&例：正电荷均匀分布在一根长直细棒上，此棒电荷线密度为l。试计算距细棒垂直距离为a的P点的场强。已知细棒两端和P点连线的夹角分别为?1和?2。&&&&&&&&ydq?ldy?dq?ldy2dE?e?er2r40r240r?ldydqdEx?dEsin(?)?sin?r2y40rdExPldyodEydEcos(?)?cos?x2?40r?1dEy?dEar?a/sin(?)?a/sin?,ad?y?actg(?)actg?,dy?2sin?&&&&解:&&&&&&&&&&&&ar?a/sin?,dy?2d?sin?l(a/sin2?)d?ldylsin?d?sindEx?sin2240(a/sin?)40r40a?2ll(cos?1?cos?2)Ex?sin?d?40a40a?1&&&&同理可得：&&&&&&&&y&&&&&&&&ldylcos?d?dEy?cos240r40a&&&&21&&&&&&&&?2&&&&&&&&dq&&&&&&&&?&&&&&&&&oll?(sin?2?sin?1)Ey?cos?d?40a40a?&&&&&&&&ry&&&&?1&&&&&&&&PdEx&&&&&&&&a&&&&&&&&dEy&&&&&&&&?&&&&&&&&?xdE&&&&&&&&&&&&例：如图所示，均匀带正电细圆环半径为R，带电量为q，求圆环轴线上与环心O距离为x的P点的场强。&&&&&&&&解:&&&&&&&&电荷元dq的场强&&&&&&&&dq&&&&q&&&&&&&&?dE?&&&&由场对称性&&&&&&&&dq?e2r40r&&&&&&&&E0&&&&q&&&&q&&&&&&&&Ro&&&&&&&&r&&&&x&&&&?&&&&P&&&&?&&&&&&&&?dE&&&&dEx&&&&&&&&x&&&&&&&&dqxr与x都为常量?cos,rqxdqxxE?dq223/223?qq4rr4(x?R)40r00&&&&&&&&E?ExdExdEcos?&&&&&&&&dE?&&&&&&&&?dE&&&&&&&&&&&&例：用细的塑料棒弯成半径为R=50cm的圆环，两端间空隙为l=2cm，电量为Q=3.12×10—9C的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处的电场强度的大小和方向。&&&&&&&&解：电荷的线密度：&&&&&&&&QQl1?10?9c/m?2?R?l2?R&&&&&&&&根据对称性，圆心处的电场强度可看成是与缺口对称的长度为l、电荷线密度为l的电荷产生的。&&&&&&&&带电为ll的电荷可以看成点电荷，&&&&&&&&llE0.72v/m240R&&&&场强方向由圆心指向缺口的中心。&&&&&&&&ll&&&&&&&&?E&&&&&&&&&&&&例：求电偶极子中垂线上一点的电场强度。电偶极子：一对等量异号的点电荷系。电偶极矩:&&&&&&&&p?ql&&&&&&&&E&&&&EE&&&&?x?x&&&&&&&&y&&&&?Ey&&&&&&&&解：由对称性分析Ey=0&&&&&&&&?&&&&&&&&P&&&&?Ey&&&&&&&&E?Ex?E?El?cos2r&&&&?x&&&&&&&&x&&&&&&&&2E2Ecos?&&&&?x&&&&?&&&&&&&&E&&&&&&&&r&&&&&&&&lpqlE2?r340rp写成矢量式：E40r3&&&&&&&&q&&&&&&&&?q&&&&&&&&?p?ql&&&&&&&&o?&&&&&&&&x&&&&&&&&l&&&&&&&&?q&&&&&&&&&&&&4.带电体在电场中的受力&&&&&&&&点电荷所受的电场力：连续带电体所受电场力：&&&&&&&&F?q0E?FdFEdq&&&&&&&&例：如图所示，长为L的均匀带电细杆，电荷线密度为+l。如在P点处有一带电量为q的正电荷，求该电荷所受的电场力。&&&&&&&&解：如图建坐标系,长度为dx的电荷元ldx,在Ｐ点产生的电场强度为：&&&&&&&&o&&&&&&&&dx&&&&&&&&x&&&&&&&&ldxdE?40(d?L?x)2?E?&&&&&&&&lq11F?Eq?(?)40dd?L&&&&&&&&?&&&&&&&&L&&&&&&&&0&&&&&&&&ldxl11(?)2?40(d?L?x)40dd?L&&&&方向：水平向右&&&&&&&&&&&&例：半径R、带电量为q的均匀带电球体，计算球体内、外的电场强度。&&&&&&&&解：场强方向沿着径向且在球面上的场强处处相等。1.球体外部rR&&&&&&&&作半径为r的球面；&&&&面内电荷代数和：&&&&&&&&q&&&&&&&&?q?q&&&&&&&&球面上各点的场强大小相等，方向与法线同向。&&&&&&&&or&&&&&&&&R&&&&&&&&en&&&&&&&&?E?&&&&&&&&2?E?4?r?SE?dSSEdScos?SEdS?E?SdSq?q有：2根据高斯定理：E4?r?E?dS&&&&S&&&&&&&&高斯面&&&&&&&&?0&&&&&&&&?0&&&&&&&&&&&&E4?r?&&&&2&&&&&&&&q&&&&&&&&E?&&&&&&&&q40&&&&&&&&?0&&&&与电荷q全部集中在中心的场的分布r2相同。&&&&&&&&q&&&&&&&&o&&&&&&&&R&&&&&&&&r&&&&&&&&2.球体内部rR作半径为r的球面；&&&&34r3面内电荷代数和：qVr?3q?433Rq?RoR33qrq?同理22?SE?dS?E?4?r0,E4?rR3qE04RqrE?o40R3R&&&&&&&&q&&&&&&&&0&&&&&&&&2&&&&&&&&r&&&&&&&&&&&&例：无限长均匀带电直线，线电荷密度为l，计算电场强度分布。&&&&&&&&解：作半径为r高为h的闭合圆柱面，面内电荷代数和为&&&&&&&&?e左底侧右底?E?dS,?左底右底?0&&&&?e侧EdScos?&&&&侧&&&&&&&&?q?lh&&&&&&&&?E&&&&&&&&?en&&&&&&&&l&&&&&&&&r&&&&&&&&h&&&&&&&&侧面上各点的场强大小相等，方向与法线相同。&&&&&&&&dS?E2?rh?e侧EdScosE?侧&&&&侧&&&&&&&&根据高斯定理&&&&&&&&?q有：lh?EE?dS?,E2?rh?&&&&S&&&&&&&&?0&&&&&&&&?0&&&&&&&&l20r&&&&&&&&&&&&例：一无限长均匀带电圆柱体，体电荷密度为?，截面半径为R。（1）求柱内外电场强度分布；解：柱内(rR)作半径为r高为h的闭合圆柱面，&&&&&&&&R&&&&&&&&根据高斯定理&&&&&&&&，qE?dS?E?2?rh?&&&&S&&&&&&&&?0&&&&&&&&r&&&&h&&&&&&&&有：&&&&&&&&?r?r2h?E12?rh?,E1?2?0?0&&&&&&&&柱外(rR)作半径为r高为h的闭合圆柱面，同理：&&&&2?R2h?RE22?rh?,E2?02?0r&&&&&&&&&&&&例：无限大均匀带电平面，面电荷密度为?，求平面附近某点的电场强度。&&&&&&&&解：作如图所示闭合圆柱面为高斯面。面内电荷代数和：&&&&&&&&?e左底侧右底&&&&?E?dS,?侧?0&&&&&&&&?q?S&&&&&&&&?&&&&&&&&?E&&&&&&&&?E&&&&&&&&?S&&&&rr&&&&&&&&?左底右底?E?S&&&&&&&&?e左底右底?2E?S&&&&根据高斯定理&&&&&&&&?q有：S?E?E?dS?,2E?S?&&&&S&&&&&&&&?0&&&&&&&&?0&&&&&&&&2?0&&&&&&&&&&&&例：求点电荷q产生的电场中的电势分布。解：以无穷远处为电势零点。&&&&&&&&p&&&&&&&&?E&&&&&&&&?E?&&&&&&&&q40r2&&&&&&&&?er&&&&?&&&&&&&&q&&&&&&&&?r&&&&&&&&Up?Up?U?&&&&&&&&p&&&&&&&&?E?dl&&&&r&&&&&&&&q40r&&&&2&&&&&&&&dr?&&&&&&&&q40r&&&&&&&&正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。&&&&&&&&负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。&&&&&&&&&&&&例：均匀带电圆环，半径为R，带电为q，求圆环轴线上与环心O距离为x的P点的电势U。&&&&&&&&解：以无穷远处为电势零点，&&&&将圆环分割成无限多个电荷元，&&&&&&&&dU?&&&&&&&&dq40r&&&&140r&&&&&&&&dq&&&&&&&&q&&&&&&&&环上各点到轴线等距。&&&&&&&&R&&&&&&&&r&&&&x&&&&P&&&&dU&&&&&&&&UdU?&&&&nbsp&&&&;&&&&?dq&&&&q&&&&&&&&o&&&&&&&&x&&&&&&&&q?40(x2?R2)1/2&&&&&&&&&&&&例：均匀带电球面半径为R，电量为q，求：球面内、外的电势分布。&&&&&&&&解：球面内、外分别作半径为r的高斯球面；根据高斯定理有：&&&&&&&&E?&&&&&&&&40r2&&&&&&&&?q&&&&&&&&，q?2?E?dS?E?4?r?&&&&S&&&&&&&&?0&&&&&&&&I区：球面内，rR，&&&&&&&&qorI&&&&高斯面&&&&&&&&R&&&&r&&&&II&&&&&&&&?q?0,&&&&?q?q,&&&&&&&&E1?0&&&&q40r2&&&&&&&&II区：球面外，rR，&&&&&&&&E2?&&&&&&&&&&&&选无穷远为电势零点，?I区：球面内(rR)电势&&&&&&&&U1&&&&&&&&R&&&&&&&&r&&&&&&&&E1?dlE2?dl?0RE2dr&&&&R&&&&&&&&&&&&&&&&?&&&&&&&&q40r&&&&2&&&&&&&&R&&&&&&&&dr?&&&&&&&&q40R&&&&&&&&qor&&&&高斯面&&&&&&&&R&&&&III&&&&&&&&r&&&&&&&&?II区：球面外(rR)电势&&&&&&&&U2&&&&&&&&?&&&&&&&&r&&&&&&&&E2?dlrE2drr&&&&&&&&q40r&&&&2&&&&&&&&dr?&&&&&&&&q40r&&&&&&&&&&&&例：无限长带电直线线电荷密度为l，求电势分布。解：无限长带电直线的场强：若选无穷远为电势零点，&&&&&&&&lE?20r&&&&&&&&UP&&&&&&&&?&&&&&&&&当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能选在无穷远处。选取距带电直导线为R的Q点为电势零点，&&&&&&&&l?(lnlnr)20&&&&&&&&P&&&&&&&&E?dlPEdrr&&&&&&&&ldr20r&&&&&&&&l&&&&&&&&o&&&&&&&&rP&&&&&&&&?RQr&&&&&&&&UP&&&&&&&&Q&&&&&&&&P&&&&&&&&llRdr?lnEdr20r20r&&&&Rr&&&&&&&&&&&&已知电势分布时电场力所做功的求解&&&&&&&&Wab?q0?&&&&&&&&b&&&&&&&&a&&&&&&&&E?dl?q0(Ua?Ub)&&&&&&&&例：在正方形四个顶点上各放臵带电量为+q的四个电荷，各顶点到正方形中心O的距离为r。求：(1)O点的电势；(2)把试探电荷q0从无穷远处移到O点时电场力所做的功。&&&&&&&&解：&&&&&&&&(1)以无穷远为电势零点，&&&&4&&&&&&&&?q&&&&ro&&&&&&&&?q&&&&&&&&4qqUO40r0ri?140ri&&&&&&&&qi&&&&&&&&(2)&&&&&&&&qq0W?O?q0(UUO)q0UO0r&&&&&&&&?q&&&&&&&&?q&&&&&&&&&&&&例：图示BCD是以O点为圆心、以R为半径的半圆弧。在A点有一电量为q的点电荷，O点另有一电量为-q的点电荷，直线段AB=R。现将一单位正电荷从B点沿半圆弧轨道BCD移到D点，求电场力所做的功。&&&&&&&&解:&&&&&&&&以无穷远处为电势零点&&&&&&&&将一单位正电荷从B点沿半圆弧轨道BCD移到D点，则电场力所做的功：&&&&&&&&40R40RqqqUD40(3R)40R60R&&&&&&&&UB?&&&&&&&&q&&&&&&&&?&&&&&&&&q&&&&&&&&?0&&&&&&&&A|B?D?(UB?UD)?&&&&&&&&q60R&&&&&&&&&&&&例：在电量为+q的点电荷的电场中，放入一不带电金属球，从球心O到点电荷所在处的矢径为r，求金属球上的感应电荷净电量以及这些感应电荷在球心O处产生的电场强度。&&&&&&&&解：&&&&&&&&根据电荷守恒，金属球上感应电荷净电量为零，&&&&&&&&在静电平衡时，金属球内场强为零，&&&&&&&&?EO?E感?Eq?0?E感Eqqerq(?er)?2240r40r&&&&&&&&?r&&&&O&&&&&&&&?q&&&&&&&&&&&&例：A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示，设A板带正电q=3.0×10-7C,不计边缘效应(即认为电场集中在平板之间是均匀的)。若平板之间为空气，求B板和C板上的感应电荷，以及A板上的电势；&&&&&&&&解：由静电感应可知,A、C相向两面带等量异号电荷，A、B相向两面也带等量异号电荷。&&&&&&&&A(?BC)?(1)&&&&B、C两板都接地，&&&&&&&&?c?BdACdAB?(2)?0?0&&&&解以上两式：&&&&&&&&UAC?UAB&&&&&&&&21?c?A,?B?A33&&&&&&&&&&&&21?c?A,?B?A3322?qcCS?ASqA2.0?10?7C,3311qBBS?ASqA1.0?10?7C,33&&&&&&&&UA?UAc&&&&&&&&|qc|dACS?0&&&&&&&&2.0?10?7?2?10?3?200?10?4?8.85?10?12&&&&?2.26?103V&&&&&&&&&&&&例：将电荷q放臵于半径为R相对介电常数为?r的介质球中心，求：I区、II区的D、E、及U。解：在介质球内、外各作半径为r的高斯球面。&&&&&&&&球面上各点的场强D大小相等，方向与法线同向。&&&&&&&&?r&&&&&&&&q&&&&&&&&R&&&&r&&&&&&&&r2II?DdS?D?4?r?DdSD?dS?DdScosS?S?S?Sq?有：D?根据介质中的高斯定理：D?dS?qS4?r2&&&&I区：&&&&&&&&I&&&&&&&&II区：&&&&&&&&q?q?q,D1?4?r2q?q?q,D2?4?r2&&&&&&&&&&&&I区：&&&&由&&&&&&&&D0?rEE0qD1I区：E?12?r?0?r40?rrqD2II区：?E0?E2?2?040r&&&&由&&&&&&&&qII区：qD1?,D2?224?r4?r&&&&?r&&&&&&&&q&&&&&&&&R&&&&rr&&&&&&&&III&&&&&&&&Ua&&&&&&&&?&&&&&&&&I区：&&&&II区：&&&&&&&&11q(?)?U1E1drE2dr?rR40?rrR40R?qU2E2dr?r40r&&&&R?&&&&&&&&a&&&&&&&&?E?dlaEdr&&&&&&&&q&&&&&&&&&&&&例：A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2，A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示，设A板带正电q=3.0×10-7C,不计边缘效应(即认为电场集中在平板之间是均匀的)。若在A、B间充以εr=5的均匀电介质，求B板和C板上的感应电荷以及A板的电势。&&&&&&&&解：由静电感应可知,A、C相向两面带等量异号电荷，A、B相向两面也带等量异号电荷。&&&&&&&&A(?BC)?(1)&&&&B、C两板都接地，&&&&&&&&?c?BdACdAB?(2)?0?0?r&&&&解以上两式：&&&&&&&&UAC?UAB&&&&&&&&?r&&&&&&&&25?c?A,?B?A77&&&&&&&&&&&&25?c?A,?B?A7722?qcCS?ASqA8.57?10?8C,7755qBBS?ASqA2.143?10?7C,77&&&&&&&&?r&&&&&&&&UA?UAc&&&&&&&&|qc|dACS?0&&&&&&&&8.57?10?8?2?10?34?.85?10&&&&?968V&&&&&&&&&&&&例：平行板电容器极板间距为d,极板面积为S，面电荷密度为?0,其间插有厚度为d′、相对介电常数为?r的电介质。求：(1)P1、P2点的场强；(2)电容器的电容。&&&&&&&&解：（1）过P1点作高斯柱面,左右底面分别经过导体和P1点。&&&&&&&&?DD左底D右底D侧&&&&导体内D=0，&&&&&&&&?0&&&&&&&&d0&&&&&&&&?D?dS,?D侧?0DD右底D1?dS?D1?S&&&&右底&&&&&&&&?D左底?0&&&&&&&&P1P2&&&&?D&&&&&&&&根据介质中的高斯定理：有：&&&&&&&&q?D?&&&&1&&&&&&&&?S&&&&&&&&?S0?S&&&&0&&&&&&&&?DD?dSq&&&&S&&&&&&&&?r&&&&&&&&d&&&&&&&&&&&&过P2点作高斯柱面,左右底面分别经过导体和P2点。&&&&&&&&D10D1?0?E10?0&&&&&&&&?0&&&&&&&&d0&&&&&&&&P1P2&&&&&&&&同理，可求得：&&&&&&&&D20&&&&&&&&?r&&&&d&&&&&&&&?0?E20?r?0?r&&&&D2&&&&（2）电容C&&&&&&&&?0Sq?0S?CUabE1(d?d)?E2dd?d?d?r&&&&&&&&&&&&例：同轴电缆由内径为R1、外径为R2的两无限长金属圆柱面构成，单位长度带电量分别为+l、-l，其间充有相对介电常数为?r的电介质。求：(1)两柱面间电势差U；(2)单位长度电容；(3)单位长度贮存能量。&&&&&&&&解：（1）两柱面间作高为h半径为r的高斯柱面，&&&&&&&&l&&&&R1&&&&&&&&由介质中高斯定理：有：&&&&&&&&lD2?rh?lh,?D?2?rlD场强?E0?r20?rr?RlR2R?lnUE?dlREdr?20?rR1R&&&&2&&&&2&&&&&&&&?D?dSq0&&&&S&&&&&&&&h&&&&&&&&?r&&&&&&&&R2&&&&&&&&r&&&&&&&&?l&&&&&&&&1&&&&&&&&1&&&&&&&&&&&&（2）单位长度电容&&&&&&&&20?r?C?U12ln(R2/R1)&&&&&&&&l&&&&&&&&l&&&&R1&&&&&&&&（3）单位长度贮存能量&&&&2lR21lR21?lnlnWe?qU?l220?rR140?rR12&&&&&&&&h&&&&&&&&?r&&&&&&&&R2&&&&&&&&r&&&&&&&&?l&&&&&&&&或&&&&R21l122)2?rdrWe?edV?0?rEdVR1?0?r(220?rr2l2hR2?ln40?rR1&&&&&&&&&&&&例：球形电容器内外半径分别为R1和R2，两极板间充满相对介电常数为?r的各向同性均匀电介质，两极板带有等量异号电荷Q。(1)用电场能量密度积分的方法求电容器内所储电场能量；(2)证明此结果与按电容器储能公式计算的结果相等。&&&&&&&&解：（1）依据高斯定理，易得：&&&&&&&&?Q&&&&&&&&?Q&&&&R1&&&&&&&&E?&&&&&&&&Q40?rr&&&&2&&&&&&&&(R1?r?R2)&&&&&&&&o&&&&&&&&12?E?WwedV?0rdV22R21Q(R2?R1)Q22?0?r()4?rdr?2R1280?rR1R240?rr&&&&&&&&rR2&&&&&&&&&&&&(2)&&&&&&&&E?&&&&&&&&Q40?rr&&&&R2&&&&1&&&&&&&&2&&&&&&&&(R1?r?R2)&&&&Q&&&&2&&&&&&&&UEdrR&&&&&&&&40?rr&&&&&&&&dr?&&&&&&&&Q(R2?R1)40?rR1R2&&&&&&&&Q(R2?R1)W?80?rR1R2&&&&2&&&&&&&&?Q&&&&&&&&?Q&&&&R1&&&&&&&&Q40?rR1R2?CU(R2?R1)&&&&2Q(R2?R1)Q?W2C80?rR1R2&&&&2&&&&&&&&r&&&&&&&&o&&&&&&&&R2&&&&&&&&或&&&&&&&&1Q2(R2?R1)W?QU?280?rR1R2&&&&&&&&两种方法结果相等。&&&&&&&&&&&&例：一平板电容器面积为S，间距d，用电源充电后，两极板分别带电为+q和-q，断开电源，再把两极板缓慢地拉至2d，试求外力克服电力所做的功。&&&&&&&&解：&&&&&&&&初态&&&&&&&&ε0SC1?,d&&&&&&&&末态&&&&&&&&C1C2,2d2&&&&&&&&?0S&&&&&&&&q?q&&&&&&&&初态&&&&&&&&电容器两个状态下所存贮的能量差等于外力的功。&&&&&&&&d&&&&q?q末态&&&&2d&&&&&&&&q2q2(C1?C2)q2q2AW2C12C1C22C22C1q2d?2?0S&&&&&&&&若把电容器极板缓慢拉开一倍的距离，所需外力的功等于电容器原来具有的能量。&&&&&&&&&&&&例：如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，放臵一半圆形半径为R通有电流为I的闭合载流导线，求：（1）圆弧abc所受的安培力；（2）闭合载流导线所受的合力。&&&&&&&&解：（1）以直代弯：&&&&&&&&a&&&&&&&&⊙&&&&&&&&?Fabc弧&&&&b&&&&&&&&πFabc弧?Fac直?2IRBsin?2IRB2（2）Fac直?Fca直&&&&闭合载流导线所受的合力：&&&&&&&&Fabc弧?Fac直?Fac直?IL?B&&&&&&&&I&&&&&&&&I&&&&R&&&&&&&&Fca直c&&&&&&&&O&&&&&&&&?B&&&&&&&&Fabca?0&&&&&&&&&&&&例：如图所示，一段有限长载流直导线，通电流为I，求距导线为a的P点磁感应强度。已知细棒两端和P点连线的夹角分别为?1和?2。&&&&&&&&解:&&&&&&&&?0Idlsin?dB?4?r2?l?actg(?)actg?&&&&分割电流元&&&&&&&&l?2&&&&&&&&Idl&&&&&&&&?dl?acsc?d?&&&&2&&&&&&&&l&&&&oI?1&&&&&&&&r&&&&&&&&r?acsc(?)?acsc?&&&&&&&&?P&&&&&&&&?dB&&&&&&&&x&&&&&&&&a?0Iacsc2?sin?d0I?sin?d?dB?224?a4?acsc?I?0I0?BdBcos?1?cos?2?sin?d?4?a4?a&&&&21&&&&&&&&&&&&?0I?cos?1?cos?2?B?4?a&&&&讨论:1.无限长载流直导线的磁场：&&&&&&&&l?2&&&&&&&&Idl&&&&&&&&l&&&&oI?1&&&&&&&&r&&&&a&&&&&&&&?0I?1?0,?2;?B?2?a?0I任意点的磁场：B?2?r&&&&2.半无限长载流直导线的磁场：&&&&&&&&?P&&&&&&&&?dB&&&&&&&&x&&&&&&&&I&&&&&&&&?1,?2;?B0I(cos1)4?Rsin?&&&&注意：载流导线延长线上任一点的磁场&&&&&&&&?&&&&&&&&RP&&&&a&&&&P&&&&&&&&?Idl//r,&&&&&&&&?Idl?r?0,?B?0&&&&&&&&I&&&&&&&&&&&&例：一载流圆环半径为R，通有电流为I。求圆环轴线上与环心O距离为x的P点的磁感应强度。解：将圆环分割为无限多个电流元；&&&&&&&&?Idl&&&&&&&&?0IdldB?,24?r&&&&由对称性可知，&&&&&&&&R&&&&I&&&&&&&&dB?dBr&&&&?&&&&?&&&&dBx&&&&&&&&o&&&&?Idl?&&&&&&&&x&&&&&&&&B0,&&&&&&&&?dB?dB&&&&&&&&P&&&&&&&&dBx&&&&&&&&x&&&&&&&&2?Bx?dBxdBsinB?Bx2?B?&&&&&&&&?&&&&&&&&2?R&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&0&&&&&&&&?0IR?0IRdldl3?223/2204?r2?x?R?4?rr&&&&2?R&&&&&&&&?0IR2&&&&&&&&R?sinr&&&&&&&&&&&&例：计算组合载流导体在O点的磁感应强度。解：规定垂直纸面向里为正向，&&&&&&&&a&&&&R&&&&&&&&?Bcd?0?0I?0I?BOBab?Bbc4?R4R?0I1?(1?)4R?&&&&&&&&b&&&&&&&&c&&&&?B&&&&&&&&d&&&&&&&&O?&&&&&&&&例：一正方形载流线圈边长为b，通有电流为I。求正方形中心的磁感应强度。解：&&&&&&&&B?B1?B2?B3?B4?4B1&&&&?1?45?,?2?1350IB?4(cos450?cos135?)?22?0I4?b/2?b&&&&?1&&&&&&&&?2&&&&&&&&?B&&&&&&&&?&&&&&&&&o&&&&b&&&&&&&&I&&&&&&&&&&&&例：如图所示，在通有电流为I的长直载流导线旁，共面放臵一矩形回路。求通过矩形回路的磁通量。解：建立坐标系，电流I产生的磁感应强度为：如图所示取一窄带dx，&&&&&&&&?0IB?2?x&&&&&&&&dx&&&&&&&&I&&&&&&&&x&&&&a&&&&&&&&L&&&&&&&&&&&&o&&&&b&&&&&&&&?0ILdxd?m?B?dS?BdS?2?x&&&&&&&&B&&&&&&&&x&&&&&&&&?md?ma&&&&S&&&&&&&&b&&&&&&&&?0I?0ILbLdx?ln2?x2?a&&&&&&&&&&&&例：在无限长载流直导线I1旁，垂直放臵另一长为L的载流直导线I2,I2导线左端距I1为a，求导线I2所受到的安培力。&&&&&&&&解：建立坐标系,坐标原点选在I1上，分割电流元，长度为dx,&&&&&&&&?dF&&&&I1&&&&&&&&dF?I2dxB1sinθ&&&&&&&&o&&&&&&&&x&&&&a&&&&&&&&I2&&&&L&&&&&&&&dxx&&&&&&&&&&&&μ0I1I2?dx,2πx&&&&&&&&B1&&&&&&&&?0I1I2dx?FdFa2?xμ0I1I2a?L?ln2πa&&&&a?L&&&&&&&&&&&&例：一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求：（1）环内距轴线为r处的磁感应强度；（2）通过螺线管截面的磁通量。&&&&&&&&解：（1）在管内作环路半径为r的圆环，环路内电流代数和：&&&&&&&&I&&&&r&&&&&&&&B?dl?B?2?r0?I0NIL?0NID1D2?B?(?r?)222?r&&&&（2）&&&&&&&&?I?NI&&&&&&&&drr&&&&&&&&d1d2&&&&2&&&&&&&&h&&&&&&&&?md?mBdS&&&&S&&&&&&&&d22d12&&&&&&&&?0NIhd2dr?0NIhd2lnBhdrd?2?2?d12r&&&&1&&&&&&&&&&&&例：无限长直载流圆柱形导体半径为R，通有电流为I，电流在导体横载面上均匀分布，求圆柱体内、外的磁感应强度的分布。&&&&&&&&解：导体内外的磁场是以中心轴线为对称分布的。1.圆柱体内部环路内电流代数和：rR区域选取半径为r的环路，&&&&2IrI2Ir?πR2?R2&&&&&&&&I&&&&&&&&?B?dlBdlcosB?dl?B2?r&&&&根据安培环路定理，&&&&L&&&&&&&&R&&&&&&&&?B?dl0?I&&&&&&&&r&&&&&&&&L&&&&&&&&B?2?r?&&&&&&&&?0Ir2&&&&R2&&&&&&&&?0Ir,?B?2?R2&&&&&&&&&&&&?0Irr?R,B?2?R2&&&&2.圆柱体外一点rR区域在圆柱体外作一环路，&&&&&&&&环路内电流代数和：&&&&同理：&&&&&&&&?B?dl?B?2?r0?I&&&&L&&&&&&&&?I?I&&&&&&&&I&&&&&&&&?B?2?r0I?0I与电流全部集中在轴线上的场的分布相同。B?2?r&&&&B&&&&分布曲线：&&&&&&&&R&&&&&&&&r&&&&&&&&L&&&&&&&&?0I2?RB?r&&&&&&&&B?&&&&&&&&1r&&&&&&&&o&&&&&&&&R&&&&&&&&r&&&&&&&&&&&&例：半径为R的无限长金属圆柱上，通过的电流为I，电流沿轴线均匀分布，则通过图示长方形阴影面积的磁通量?m。&&&&&&&&解：如图，rR区域选取半径为r的环路，由安培环路定理&&&&&&&&2?IrIB?2?r02?r2?02,?RR?0Ir?B?2?R2&&&&&&&&?B?dl0?I&&&&L&&&&&&&&r&&&&&&&&阴影面积的磁通量?m：&&&&&&&&?md?mBdS0&&&&SS&&&&&&&&R&&&&&&&&?0Ir?0IR2Rdr?22?R2?&&&&&&&&&&&&例：长直螺线管半径为R，通有电流I，线圈密度为n,管内插有半径为r,相对磁导率为?r磁介质，求介质内和管内真空部分的磁感应强度B。&&&&&&&&解：管内的场各处均匀一致，管外的场为零；&&&&&&&&r&&&&&&&&R&&&&&&&&a&&&&&&&&b&&&&&&&&B&&&&H&&&&&&&&1.介质内部，作abcda矩形回路。回路内的传导电流代数和为：&&&&&&&&I?nabIH?dlH?dlH?dlH?dlH?dlH?dl?Hab&&&&abbccdda&&&&ab&&&&&&&&d&&&&&&&&c&&&&&&&&I&&&&&&&&在环路上应用介质中的环路定理：&&&&&&&&?H?dlI&&&&&&&&Hab?nabI,?H?nI&&&&&&&&&&&&?H?nI&&&&?B0?rH0?rnI&&&&2.管内真空中作环路在环路上应用介质中的安培环路定理，&&&&&&&&r&&&&&&&&R&&&&&&&&a&&&&&&&&B&&&&&&&&b&&&&&&&&H&&&&&&&&I&&&&&&&&d&&&&&&&&c&&&&&&&&同理有：&&&&&&&&?H?dlH?dl?Hab?nabI&&&&ab&&&&&&&&?H?nI&&&&&&&&?B0H0nI&&&&&&&&&&&&例：如图所示，在通有电流为I的长直载流导线旁，共面放臵一矩形回路。回路以速度v水平向右运动，求回路中的感应电动势。&&&&&&&&解：建立坐标系，电流I产生的磁感应强度为：如图所示取一窄带dx，&&&&&&&&?0IB?2?x&&&&&&&&dx&&&&&&&&I&&&&&&&&x&&&&&&&&L&&&&&&&&?v&&&&&&&&?0IaLdxBd?m?B?dS?BdS?2?xbb?vt?I?0ILb?vt0Ldx?ln?md?ma?vt2?x2?a?vt?0ILvvd?m(?)?0方向：顺时针方向?2?b?vta?vtdt&&&&&&&&o&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&例：在磁感应强度大小为B的均匀磁场中，一长为L的导体棒绕端点o以角速度?转动，求导体棒上的动生电动势。&&&&&&&&解1：由动生电动势定义计算分割导体元dl,&&&&&&&&?dvBdlsincos?vBdlB?ldl2&&&&?d&&&&L0&&&&&&&&?与的夹角：v?Bdl&&&&&&&&和的夹角：vB&&&&&&&&?1/2&&&&&&&&?2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&?v?dll?ovB&&&&&&&&&&&&&&&&?L?&&&&&&&&?l&&&&&&&&B&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&12?BLB?ldl2&&&&&&&&方向沿棒指向o点。&&&&&&&&&&&&解2：利用法拉第电磁感应定律计算&&&&&&&&?构成假想扇形回路，使其包围导体棒旋转时扫过的?面积；回路中只有导体棒部分产生电动势，虚线部分静?止不产生电动势。12?&&&&&&&&?mB?dS?BS?&&&&&&&&2&&&&&&&&B?L&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&?o?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?L?&&&&&&&&B&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&d?mBL2d?1?B?L2dt22dt&&&&由楞次定律可判断动生电动势的方向沿导体棒指向o。与用动生电动势的方法计算的结果相同。&&&&&&&&&&&&例:如图所示，在通有电流I的无限长载流直导线旁，距a垂直放臵一长为L以速度v向上运动的导体棒，求导体棒中的动生电动势。&&&&&&&&解1：由动生电动势定义计算分割导体元dx。导体元处的磁场为：&&&&&&&&?v&&&&I&&&&&&&&?与的夹角：v?Bdl?2?dvBdxsincos?vBdx2a?L?Iv?0Iva?L0?dlndxa2?a2?x&&&&&&&&和的夹角：vB&&&&&&&&?0IB?2?x?1/2,&&&&&&&&o&&&&&&&&x&&&&a&&&&L&&&&&&&&dx&&&&&&&&&&&&x&&&&&&&&B&&&&&&&&方向沿x轴负向&&&&&&&&&&&&解2：利用法拉第电磁感应定律计算构成假想矩形回路，将回路分割成无限多长为y、宽为dx的面元。&&&&&&&&?v&&&&I&&&&&&&&o&&&&&&&&dx&&&&&&&&x&&&&B&&&&&&&&?0Iydxd?m?BdScosBydx?2?x&&&&&&&&ax&&&&&&&&L&&&&&&&&&&&&&&&&?m&&&&&&&&a?L&&&&&&&&a&&&&&&&&?0Iy?0Iya?Ldx?ln2?x2?a&&&&&&&&?0Idya?Ld?m?0Iva?Lln?ln2?dtadt2?a&&&&电动势的方向由楞次定律可知水平向左。&&&&&&&&&&&&例:一导线的形状如图所示，其中cd部分是半圆，半径r=0.2m。导线放在B=0.5T的匀强磁场中，t=0时导线处于图示位臵，并以转速n=60rev/s绕a、b连线匀角速转动，求导线上的感应电动势的大小。&&&&&&&&解：连接cd，构成半圆形回路，取顺时针为回路的绕行方向&&&&&&&&?m(t)?BScos(2?nt)&&&&根据法拉第电磁感应定律，半圆形回路的电动势&&&&&&&&d?m(t)?2Br2?nsin2?nt?11.8sin120?tdt2&&&&导线上的感应电动势等于半圆形回路的电动势。&&&&&&&&&&&&例：一长直螺线管，线圈密度为n，长度为l，横截面积为S，插有磁导率为?的磁介质，求线圈的自感系数L。&&&&&&&&解：设线圈中通有电流I，&&&&&&&&l&&&&&&&&BnI?mB?dS?BSnIS&&&&S&&&&&&&&?&&&&n&&&&I&&&&&&&&S&&&&&&&&L?&&&&&&&&?L&&&&&&&&N?mN?nISlnnIS2nlS?IIII&&&&&&&&?Ln2lS&&&&&&&&&&&&例：矩形截面螺绕环上绕有Ｎ匝线圈，尺寸如图所示。求螺绕环的自感系数Ｌ。&&&&&&&&解：设线圈中通有电流I，根据安培环路定理，&&&&&&&&D2BhdrΦmB?dSD21&&&&S&&&&&&&&?0NIB?2?r&&&&&&&&?&&&&&&&&L&&&&&&&&B?dl?B?2?r0?I&&&&&&&&D1D2(?r?)22&&&&2&&&&&&&&?0NIhDdr?0NIhD22?ln?D?2?D12?r2?mN?m?0N2hD2?lnL2?D1II&&&&21&&&&&&&&&&&&例：长为l、横截面积为S的长直螺线管，插有磁导率为?的磁介质，绕两个线圈，两线圈的线圈密度分别为n1、n2，两线圈完全耦合，求两线圈的互感系数。&&&&&&&&解：设线圈1中的电流为I1，&&&&&&&&l&&&&&&&&?21?N2?m21?ln2B1S?ln2?n1I1S?21M21?n1n2lS&&&&设线圈2中的电流为I2，&&&&&&&&?&&&&n1n2&&&&&&&&S&&&&&&&&I1&&&&&&&&?12?N1?m12?ln1B2S?ln1?n2I2S?12n1n2lS,M12?I2&&&&由此可看出，两线圈的互感系数相等。&&&&&&&&&&&&例：如图所示，无限长直导线旁共面放臵一矩形线圈，AB边与导线平行且与导线相距为a。若线圈中通有电流I=I0sin?t，求长直导线中的感应电动势。&&&&&&&&解：设直导线中通有电流I1，&&&&&&&&a?b?m21B?dSBLdxSaa?b?I?ILa?b01Ldx?01lnI1a2?x2?ao?21?m21?0La?b?lnM2?aI1I1dI2?0I0L?cos?ta?b?12Mlndt2?a&&&&&&&&Adx&&&&&&&&D&&&&&&&&x&&&&a&&&&B&&&&&&&&L&&&&&&&&b&&&&&&&&C&&&&&&&&x&&&&&&&&讨论：当长直导线放在矩形导线框中部，互感系数为多大？导线中的感应电动势又为多大？&&&&&&&&&&&&例：计算半径为R、长为l、通有电流I、磁导率为?的均匀载流圆柱导体内磁场能量。&&&&&&&&解：导体内作半径为r的环路，根据介质中的环路定理：有：&&&&&&&&I&&&&&&&&IIrH2?r?2?r2,HR2?R2?IrBH?2?R2&&&&&&&&?H?dlI&&&&R&&&&&&&&r&&&&&&&&l&&&&&&&&将圆柱导体分割为无限多长为l厚度为dr的同轴圆柱面，&&&&&&&&Wm?mdV体V&&&&&&&&R&&&&&&&&0&&&&&&&&R1?Ir2B2μI2l()2?rldr?2?rldr202?2?R2?16π&&&&&&&&&&&&例：一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。求：（1）环内的磁场能量；（2）由磁场能量求螺绕环的自感。&&&&&&&&解：（1）如图，做半径为r的同心闭合回路，根据安培环路定理，可得&&&&&&&&B?dl?B?2?r0?I0NI&&&&L&&&&&&&&r&&&&&&&&?0NID1D2(?r?)?B?222?r&&&&环内的磁场能量密度为&&&&&&&&B2?0N2I2?m2?08?2r2&&&&&&&&&&&&&&&& 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