如图，AB是如图 ab为圆o的直径径，AC切圆O于点A，AC=AB,CO交圆O于点P

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-12-19 16:46 标签： 如图 ab为圆o的直径
[选修4-1:几何证明选讲]已知.如图.AB是⊙O的直径.AC切⊙O于点A.AC=AB.CO交⊙O于点P.CO的延长线交⊙O于点F.BP的延长线交AC于点E．(1)求证:FA∥BE,(2)求证:APPC=FAAB,(3)若⊙O的直径AB=2.求tan∠PFA的值． 题目和参考答案——精英家教网——
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【选修4-1：几何证明选讲】已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．（1）求证：FA∥BE；（2）求证：APPC=FAAB；（3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠PFA的值．
分析：（1）根据三角形中等边对等角得到∠OAF=∠F，由同弧所对的圆周角相等得到∠B=∠F，从而得出∠OAF=∠B，由此可得FA∥BE．（2）根据弦切角定理得∠PAC=∠F，从而证出△APC∽△FAC，利用对应边成比例及AB=AC，证出PAFA=PCAB，再根据比例的性质整理可得APPC=FAAB．（3）根据切割线定理，结合题中数据可得CP（CP+PF）=AC2=4，由此解出CP=5-1（舍负）．再由FP为⊙O的直径得∠FAP=90°，在Rt△FAP中利用三角函数的定义，结合（2）中的结论即可算出tan∠PFA的值．解答：解：（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．∴FA∥BE．（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得PAFA=PCAC∵AB=AC，∴PAFA=PCAB，变形整理可得APPC=FAAB．（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，∴AC2=CP•CF=CP（CP+PF），∵PF=AB=AC=2，∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±5∵CP＞0，∴CP=5-1．∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°&由（2）中的结论，得PAFA=PCAC，∴在Rt△FAP中，tan∠F=PAFA=PCAC=5-12．点评：本题着重考查了等腰三角形的性质、两条直线平行的判定、切割线定理、相似三角形的判定与性质、直径所对的圆周角和直角三角形中三角函数的定义等知识，属于中档题．
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科目：高中数学
（;兰州一模）【选修4-1：几何证明选讲】如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AB于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．
科目：高中数学
【选修4-1：几何证明选讲】如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．求证：DH=DG．
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科目：高中数学
【选修4—1：几何证明选讲】 &如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=AC AE=AB，BD，CE相交于点F. &（1）求证：A，E，F，D四点共圆；
&（2）若正△ABC的边长为2，求A，E，F，D所在圆的半径．
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数学 与圆有关的比例线段...
已知，如图，AB是eO的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E（1）求证：FA∥BE（2）求证：=．
第-1小题正确答案及相关解析
证明：（1）在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，∴OA=OF∴∠OAF=∠F，∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B，∴FA∥BE；（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，∴=，∴=，∵AB=AC，∴=．已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F， BP的延长线交AC于点E.
⑴求证：FA∥BE；⑵求证：
本试题主要是考查了平面几何中圆与三角形的综合运用。（1）要证明线线平行，主要是通过证明线线平行的判定定理得到（2）利用三角形△APC∽△FAC相似，来得到线段成比列的结论。证明：（1）在⊙O...
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扫描下载二维码已知.如图.AB是圆O的直径.AC切⊙O于点A.AC=AB.CO交⊙O于点P.CO的延长线交⊙O于点F.BP的延长线交AC于点E．(Ⅰ)求证:FA∥BE:,(Ⅱ)求证:APPC=FAAB,(Ⅲ)若⊙O的直径AB=2.求tan∠CPE的值． 题目和参考答案——精英家教网——
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已知，如图，AB是圆O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．（Ⅰ）求证：FA∥BE：；（Ⅱ）求证：APPC=FAAB；（Ⅲ）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值．
考点：相似三角形的判定,与圆有关的比例线段
专题：立体几何
分析：（I）利用圆的性质、平行线的判定定理即可得出；（II）利用弦切角定理可证明△APC∽△FAC，进而得出；（III）利用割线定理可得AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），解得CP．再利用（2）中的结论APFA=PCAC，及在Rt△FAP中，tan∠F=APFA=PCAC即可得出．
（I）证明：在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，∴OA=OF．∴∠OAF=∠F．∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．∴FA∥BE．（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC．∴APFA=PCAC．∴APPC=FAAC．∵AB=AC，∴APPC=FAAB．（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，则AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），∵PF=AB=AC=2，∴CP（CP+2）=4．整理得CP2+2CP-4=0，解得CP=-1±5．∵CP＞0，∴CP=5-1∵FA∥BE，∴∠CPE=∠F．∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°．由（2）中证得APFA=PCAC，在Rt△FAP中，tan∠F=APFA=PCAC=5-12．∴tan∠CPE=tan∠F=5-12．
点评：本题考查了圆的性质、平行线的判定定理、弦切角定理、相似三角形的判定与性质定理、圆的割线定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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解：（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．∴FA∥BE．（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得∵AB=AC，∴，变形整理可得．（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，∴AC2=CPoCF=CP（CP+PF），∵PF=AB=AC=2，∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±∵CP＞0，∴CP=．∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90° 由（2）中的结论，得，∴在Rt△FAP中，tan∠F==．

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