问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．（1）若△ABC三边的长分别为根号5a，2根号2a，根号17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．思维拓展：（2）若△ABC三边的长分别为m2+16n2，9m2+4n2，2m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．探索创新：（3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时a2+4+b2+25有最小值，并求这个最小值．（4）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=c2，ca2-d2=a2，求证：ab=cd．-乐乐题库
& 勾股定理的应用知识点 & “问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC...”习题详情
120位同学学习过此题，做题成功率82.5%
问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．（1）若△ABC三边的长分别为√5a，2√2a，√17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．思维拓展：（2）若△ABC三边的长分别为m2+16n2，9m2+4n2，2m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．探索创新：（3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时a2+4+b2+25有最小值，并求这个最小值．（4）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=c2，ca2-d2=a2，求证：ab=cd．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△AB...”的分析与解答如下所示：
（1）√5a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2√2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；√17a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积由（1）的结果可作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质（3）可作BD=3，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=5，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式a2+4+b2+25的最小值．（4）根据a2+b2=c2，ca2-d2=a2，得出c2（a2-d2）=a4，进而得出（a2+b2）（a2-d2）=a4，再去括号得出a2b2=d2c2，即可得出答案．
解：（1）如图：S△ABC=2a×4a-12a×2a-12×2a×2a-12a×4a=3a2；（2）构造△ABC所示，（未在试卷上画出图形不扣分）S△ABC=3m×4n-12×m×4n-12×3m×2n-12×2m×2n=5mn．&& （3）如图所示：已知AB=2，DE=5，BD=3，AB⊥BD，DE⊥BD，当AE在一条直线上时，AC+CE最小，由题意得出：AB∥DE，∴△ABC′∽△EDC′，∴ABED=BC′C′D，∴25=BC′3-BC′，解得：BC′=67，C′D=3-67=157，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，根据题意，四边形ABDF为矩形．EF=AB+DE=2+5=7，AF=DB=3．∴AE=√49+9=√58．即AC+CE的最小值是√58，故：a=67，b=3-67=157时，a2+4+b2+25有最小值为√58．（4）证明：∵a2+b2=c2，ca2-d2=a2，∴c2（a2-d2）=a4，则（a2+b2）（a2-d2）=a4，整理得出：a2b2=a2d2+b2d2，∴a2b2=d2（a2+b2），∴a2b2=d2c2，∵a，b，c，d都是正数，∴ab=cd．
此题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．
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问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC...
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经过分析，习题“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△AB...”主要考察你对“勾股定理的应用”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
与“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△AB...”相似的题目：
如图，有一块三角形的菜地ABC，∠C=90°，AC=10m，BC=24m，求菜地的另一条边AB的长．&&&&
一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm，在里面平放一根铁条，那么铁条最长可以是&&&&cm．
如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离AE、BF分别是400米和900米，且EF=1200米，求这两个村庄的距离多少米？&&&&
“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC...”的最新评论
该知识点好题
1如图所示，AC是一根垂直于地面的木杆，B是木杆上的一点，且AB=2米，D是地面上一点，AD=3米．在B处有甲、乙两只猴子，D处有一堆食物．甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处，乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处，如果两猴所经过的距离相等，则木杆的长为&&&&
2如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行&&&&
3如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为&&&&
该知识点易错题
1野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3千米，第二小组向南偏东30°方向前进了3千米，经观察、联系，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为&&&&
2如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO=7米），如果梯子顶部A下滑4米至A1，则梯子底部B滑开的距离BB1是&&&&
3工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为&&&&
欢迎来到乐乐题库，查看习题“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．（1）若△ABC三边的长分别为根号5a，2根号2a，根号17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．思维拓展：（2）若△ABC三边的长分别为m2+16n2，9m2+4n2，2m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．探索创新：（3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时a2+4+b2+25有最小值，并求这个最小值．（4）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=c2，ca2-d2=a2，求证：ab=cd．”的答案、考点梳理，并查找与习题“问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为根号5、根号10、根号13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．（1）若△ABC三边的长分别为根号5a，2根号2a，根号17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．思维拓展：（2）若△ABC三边的长分别为m2+16n2，9m2+4n2，2m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．探索创新：（3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时a2+4+b2+25有最小值，并求这个最小值．（4）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=c2，ca2-d2=a2，求证：ab=cd．”相似的习题。如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E。（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长。
5秒后显示答案···
解：（1）在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8， ∴OA=OB·cos30°=8×， AB=OB·sin30°=8×=4， ∴点B的坐标为（4，4）； （2）证明：∵∠OAB=90°， ∴AB⊥x轴， ∵y轴⊥x轴， ∴AB∥y轴，即AB∥CE， ∵∠AOB=30°， ∴∠OBA=60°， ∵D是OB的中点， ∴DA=DB，即∠DAB=∠DBA=60°， ∴∠ADB=60°， ∵△OBC是等边三角形， ∴∠OBC=60°， ∴∠ADB=∠OBC，即AD∥BC， ∴四边形ABCE是平行四边形； （3）设OG的长为x， ∵OC=OB=8， ∴CG=8-x，由折叠的性质可得：AG=CG=8-x，在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，即（8-x）2=x2+（4）2，解得：x=1，即OG=1。
找到与"如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，O…"相似的题目
如图，一架满载救援物资的飞机到达灾区的上空，在A处测得空投地点C的俯角α=60°，测得地面指挥台B的俯角β=30°。已知BC的距离是2000米，求此时飞机的高度。（结果保留根号）
解：如图 过A点作AD⊥BC与BC的延长线交于点D， ∵AF∥BD ， ∴∠B=∠α=30°，又∵∠β= 60°，∠α=30°， ∴∠BAC=30°=∠B， ∴AC=BC=2000， 在Rt△ACD中， ∠ACD=∠β+∠B= 60°， ∵sin 60°=， ∴AD=ACsin 60°=2000×=1000， 答：此时飞机的高度是1000m。巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根．（1）求实数m的值；（2）证明：CD的长度是无理方程2根号x-1-x=1的一个根；（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．-乐乐题库
& 二次函数综合题知识点 & “巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，...”习题详情
160位同学学习过此题，做题成功率65.0%
巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根．（1）求实数m的值；（2）证明：CD的长度是无理方程2√x-1-x=1的一个根；（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2002-益阳
分析与解答
习题“巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m...”的分析与解答如下所示：
（1）本题可根据一元二次方程根与系数的关系，用m表示出AD+AE和ADoAE的值，已知了AD2+AE2=5，将式子进行适当变形后即可求出m值．（2）本题的关键是求出CD的长，根据（1）得出的m的值，可求出AD，AE的长，根据切割线定理即可求出AB的长，在直角三角形ABC中，根据切线长定理有CD=CB，而AC=CD+AD，AB的长已求出，因此根据勾股定理即可求出CD的长，进而可判断出CD的长是否为无理方程的一个跟．（3）本题的关键是求出D的坐标，可过D作DF⊥AB于F，那么可通过相似三角形求出DF和AF的长，也就能得出D点的坐标，然后根据A、B、D三点的坐标用待定系数法即可求出过这三点的抛物线的解析式．
（1）解：∵AD、AE是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根，则有：AD+AE=m-1，ADoAE=m-2；又∵AD2+AE2=5，即（AD+AE）2-2ADoAE=5；∴（m-1）2-2（m-2）=5，即m2-4m=0；∴m1=4，m2=0；∵m≠0，∴m=4．（2）证明：将m=4代入方程x2-（m-1）x+m-2=0中，得x2-3x+2=0，解之得：x1=2，x2=1；而AD、AE为此方程的两根，且AD＞AE．∴AD=2，AE=1∵AD为⊙O的切线，AB为割线．由切割线定理，得AD2=AEoAB．即22=1oAB；∴AB=4．∵∠B=90°，∴BC为⊙O的切线．而CD也为⊙O的切线，因此CD=CB．在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即42+DC2=（2+CD）2，∴CD=3．将CD=3作为x的值代入无理方程2√x-1-x=1中，得：左边=右边；∴CD的长是无理方程2√x-1-x=1的一个根．（3）解：过D作DF⊥AB于F，∴CB⊥BA，∴△AFD∽△ABC，∴DFBC=ADAC，∴DF3=25，∴DF=65，又∵AFAB=ADAC，∴AF=85，∴BF=4-AF=125．∴以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有：A（-4，0），B（0，0），D（-125，65），∵过A、B、D三点的抛物线的对称轴平行于y轴．设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则有：16a-4b+c=0c=0(-1252a-125{a=-516c=0，∴过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=-516x2-54x．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系，二次函数解析式的确定、切割线定理、切线长定理、相似三角形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
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巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2-（m-1）x+m-...
错误类型：
习题内容残缺不全
习题有文字标点错误
习题内容结构混乱
习题对应知识点不正确
分析解答残缺不全
分析解答有文字标点错误
分析解答结构混乱
习题类型错误
错误详情：
我的名号（最多30个字）：
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经过分析，习题“巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m...”相似的题目：
如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．&&&&
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．&&&&
如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（-9，0）（1）求A、C两点的坐标；（2）求证：直线CD是⊙M的切线；（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M、A两点，求此抛物线的解析式．&&&&
“巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，...”的最新评论
该知识点好题
1如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为&&&&
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有&&&&
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是&&&&
该知识点易错题
1如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有&&&&
2如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为&&&&
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
…（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根．（1）求实数m的值；（2）证明：CD的长度是无理方程2根号x-1-x=1的一个根；（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．”的答案、考点梳理，并查找与习题“巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当AD2+AE2=5时，AD、AE（AD＞AE）是关于x的方程x2-（m-1）x+m-2=0（m≠0）的两个根．（1）求实数m的值；（2）证明：CD的长度是无理方程2根号x-1-x=1的一个根；（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．”相似的习题。如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上有一动点．（1）求点A的坐标；（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当4+6根号2≤S≤6+8根号2时，求x的取值范围．-乐乐题库
& 二次函数综合题知识点 & “如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交...”习题详情
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如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上有一动点．（1）求点A的坐标；（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当4+6√2≤S≤6+8√2时，求x的取值范围．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2008-常州
分析与解答
习题“如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上有一动点．（1）求点A的坐标；（2）以点A、B、O、P为顶点...”的分析与解答如下所示：
（1）已知抛物线的解析式，根据顶点公式，可求出A点的坐标（-b2a，4ac-b24a）且a=1，b=4，c=0．∵y=x2+4x=（x+2）2-4，∴A（-2，-4）．（2）若ABOP为菱形时，根据菱形的性质，则P点横坐标与A坐标相同，然后再代入直线就可求出纵坐标，则P坐标就求出；若ABOP为等腰梯形时，OA=BP，已知O，A坐标，可求出OA长度，设P横坐标为a，P在直线上，可用a表示出坐标，从而求出BP长度，OA=BP，可求出a的值，即求出P坐标．若ABOP为直角梯形时，BP与AB垂直，可求出直线BP的关系式，直线BP与直线l的交点即P点坐标．（3）首先可以得出l的解析式．据图分析有两种情况可以构成QABP为四边形，即当P在第二象限时和在第四象限时，当P在第二象限时，四边形由△AOB和△POB组成，△AOB面积确定，则△POB的面积可以求出来，由于△AOB+△POB代入到面积的不等式中可以得出x的取值范围．同理当P在第四象限时，△AOB+△AOP代入到面积不等式中可以得到x的取值范围．得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8，所以直线l对应的函数关系式为y=-2x．设点P坐标为（x，-2x），分别讨论点P在第二象限以及第四象限的值．
解：（1）∵y=x2+4x=（x+2）2-4，∴A（-2，-4）．（2）由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8，所以直线l对应的函数关系式为y=-2x．当四边形ABOP是菱形时，P点横坐标与A点横坐标相同，纵坐标与A点坐标互为相反数，四边形ABP1O为菱形时，P1（-2，4）；四边形ABOP2为等腰梯形时，设P2横坐标为a，将x=a代入y=-2x，得P2（a，-2a）．又∵AO=22+42=2√5，∴P2B=(-4-a)2+(0+2a)2，∴(-4-a)2+(0+2a)2=2√5，整理得，5a2+8a-4=0，解得，a=-2（舍去），a=25，故P2（25，-45）；ABOP为直角梯形时，BP3与AB垂直，则直线BP的解析式为y=12x+b，把B（-4，0）代入解析式得，12×（-4）+b=0，解得b=2．直线BP的解析式为y=12x+2，故得{y=12，解得{x=-45，四边形ABP3O为直角梯形时，P3（-45，85）；同理，当AP4垂直于AB时，四边形ABOP4为直角梯形，P4（65，-125）．（3）设点P坐标为（x，-2x）．①当点P在第二象限时，x＜0，△POB的面积S△POB=12×4×（-2x）=-4x．∵△AOB的面积S△AOB=12×4×4=8，∴S=S△AOB+S△POB=-4x+8（x＜0）．∵4+6√2≤S≤6+8√2，∴√2S≤6+8√2即√2-4x+8≤6+8√2∴√22x≥√22∴x的取值范围是√22≤x≤√22．②当点P在第四象限时，x＞0，过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′．则四边形POA′A的面积SPOA′A=S梯形PP′A′A-S△PP′O=4+2x2o（x+2）-12o（2x）ox=4x+4．∵△AA′B的面积S△AA′B=12×4×2=4，∴S=SPOA′A+S△AA′B=4x+8（x＞0）．∵4+6√2≤S≤6+8√2，∴√2S≤6+8√2即√24x+8≤6+8√2∴√2-22x≤√2-12∴x的取值范围是√2-22≤x≤√2-12．
该题首先是考查了抛物线函数的特性，要求掌握抛物线函数的特点．其次是利用不等式通过动态点的变化来加深了解抛物线曲线和一次函数的关系．
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如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上有一动点．（1）求点A的坐标；（2）以点A、B、O...
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经过分析，习题“如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上有一动点．（1）求点A的坐标；（2）以点A、B、O、P为顶点...”主要考察你对“二次函数综合题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
与“如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上有一动点．（1）求点A的坐标；（2）以点A、B、O、P为顶点...”相似的题目：
代数式ax2+bx+c（a≠0）当x取1和3时，代数式的值为0．（1）求b、c分别与a的关系式；（2）当代数式的值等于-a和3a时，求x；（3）用y表示上述代数式的值，把所得到的任意一对有序实数对（x，y）作为直角坐标平面内的点的坐标．请在-3＜a＜3的范围内，对a取一个合适的值，画出此时点（x，y）所成图形的示意图，然后观察并写出点（x，y）的位置随x的增大而变化的规律．&&&&
如图，N是抛物线y=x2-2x-3的顶点，且与x轴交于Q、M两点．（1）求N点的坐标；（2）设抛物线顶点为N，与y轴交点为A，求tan∠AON的值；（3）求四边形OANM的面积．&&&&
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．&&&&
“如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交...”的最新评论
该知识点好题
1如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为&&&&
2二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于12的点P共有&&&&
3如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD，EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C，E和点D，F，则图中阴影部分面积是&&&&
该知识点易错题
1如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有&&&&
2如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为&&&&
3如图，已知抛物线P：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
…（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上有一动点．（1）求点A的坐标；（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当4+6根号2≤S≤6+8根号2时，求x的取值范围．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，抛物线y=x2+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上有一动点．（1）求点A的坐标；（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当4+6根号2≤S≤6+8根号2时，求x的取值范围．”相似的习题。