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2014高考数学一书在手满分无忧：椭圆(2)
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资料概述与简介
2014高考数学一书在手满分无忧：椭圆(2)
1. 已知椭圆G的中心在坐标原点长轴在x轴上离心率为且G上一点到G的两个焦点的距离12，则椭圆G的方程为______________．答案：＋＝1解析：e＝＝12＝6＝3则所求椭圆方程为＋＝1.已知F、F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点为椭圆C上一点且.若△PF的面积为9则b＝________答案：3解析：依题意有可得＋36＝4a即a－c＝9故b＝3.已知F是椭圆C的一个焦点是短轴的一个端点线段BF的延长线交C于点D, 且＝2则C的离心率为________．答案：解析：(解法1)如图＝＝a.作DD轴于点D则由＝2得＝＝所以＝＝即x＝由椭圆的第二定义得|FD|＝＝a－又由|BF|＝2|FD|得＝2a－即＝
(解法2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)设D(xy2)，F分 BD所成的比为2＝＝＝；y＝＝＝＝－代入＋＝1＝是椭圆＋y＝1的左右焦点点P在椭圆上运动．则的最大值是________．答案：1解析：设P(x)，依题意得F(－)，F2(，0)，·＝(－－x)(－x)＋y＝x＋y－3＝－2.∵
0≤x－2≤－2≤1.∴
的最大值是1.已F1、F为双曲线C：x－y＝1的左、右焦点点P在C上＝60则|PF＝________答案：4解析：由余弦定理得＝?cos60°＝＝即|PF＝4.
1. 椭圆的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(点F不在直线l上)的点的轨迹是椭圆．定点F是焦点定直线l是准线常数e是离心率．椭圆的焦半径(1) 对于焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)设P(x)是椭圆上|PF1|＝a＋ex；＝a－ex．(2) 对于焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)设(x，y)是椭圆上任一点则|PF＝a＋ey；＝a－ey.
题型1　求综合情况下椭圆的基本量
例1　如图1、F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点点M在x轴上且＝过点F的直线与椭圆交于A、B两点且AM⊥x轴·＝0.(1) 求椭圆的离心率；(2) 若△ABF1的周长为4求椭圆的方程．解：(1) 设F(－c)，F2(c，0)，A(x0，y0)，椭圆的离心率为e则M＝＝e＝a＋ex同理＝－ ·＝0＋＝|F(a＋ex)2＋(a－ex)2＝4c即a＋e＝2c＝c，∴ a2＋ec2＝2c＋e4＝2e即3e4－8e＋4＝0＝或2(舍)椭圆的离心率e＝(2) ∵ △ABF2的周长为4＝4＝又＝＝2, ＝2.椭圆方程为＋＝1.
已知椭圆的右焦点F左、右准线分别为l：x＝－m－1：x＝m＋1且l、l分别与直线y＝x相交于A、B两点．(1) 若离心率为求椭圆的方程；(2) 当<7时求椭圆离心率的取值范围．解：(1) 由已知得c＝m＝m＋1从而a＝m(m＋1)＝m.由e＝得b＝c从而m＝1.故a＝＝1得所求椭圆方程为＋y＝1.(2)易得A(－m－1－m－1)(m＋1＋1)从而＝(2m＋1＋1)＝(1＋1)故＝2m＋1＋(m＋1)＝m＋4m＋2<7得0<mb>0)的左、右顶点椭圆长半轴的长等于焦距且直线x＝4是它的右准线．(1) 求椭圆的方程；(2) 设P为椭圆右准线上不同于点(4)的任意一点若直线BP与椭圆相交于两点B、N求证：∠NAP为锐角．(1) 解：依题意得解得从而＝故椭圆的方程为＋＝1 .(2) 证明：由(1)得A(－2)，B(2，0)，设N(x0)，
∵ N点在椭圆上＝(4－x)．又N点异于顶点A、B－20·>0，于是∠NAP为锐角．
如图在平面直角坐标系xOy中椭圆C：＋＝1(a>)的左焦点为F右顶点为A动点M 为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点)设线段FM交椭圆C于点P已知椭圆C的离心率为点M的横坐标为(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设直线PA的斜率为k直MA的斜率为k求k的取值范围．解：(1) 由已知得解得
∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2) 设点P(x)(－2<x)，点M点F、P、M三点共线－2＝＝点M＝＝＝＝点P在椭圆C上 ＋
＝ 1 ＝ －(x－9)．＝＝－＝－.
∵－20)在直线x＝(a为长半轴为半焦距)上．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求以OM为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；(3) 设F是椭圆的右焦点过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N求证：线段ON的长为定值并求出这个定值．(1) 解：由点M在准线上得＝2故＝2＝1从而a＝所以椭圆方程为＋y＝1.(2) 解：以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0即(x－1)＋＝＋1其圆心为半径r＝因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝所以＝解得t＝4所求圆的方程为(x－1)＋(y－2)＝5.(3) 证明：设N(x)，则＝(x－1)，＝(2)，＝(x0－2－t)＝(x)．⊥，∴
2(x0－1)＋ty＝0＋ty＝2.⊥，∴
x0(x0－2)＋y(y0－t)＝0＋y2x0＋ty＝2|＝＝为定值．
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点直线AB与圆G：x＋y＝(c是椭圆的半焦距)相离是直AB上一动点过点P作圆G的两切线切点分别为M、N.(1) 若椭圆C经过两点、求椭圆C的方程；(2) 当c为定值时求证：直线MN经过一定点E并求的值(O是坐标原点)；(3) 若存在点P使得△PMN为正三角
(1) 解：令椭圆mx＋ny＝1其中m＝＝得所以m＝＝即椭圆方程为＋＝1.(2) 证明：直线AB：＋＝1设点P(x)，则OP的中点为所以点O、M、P、N所在的圆的方程为＋＝化简为x－x＋y－y＝0与圆＋y＝作差即直线MN：x＋y＝
因为点P(x)在直线AB上得＋＝1所以x＋＝0即得x＝－＝故定点E·＝＝(3) 解：由直线AB与圆G：x＋y＝(c是椭圆的焦半距)相离则＞即4a＞c(a2＋b)，4a2(a2－c)＞c(2a2－c)，得e－6e＋4＞0.因为0＜e＜1所以0＜＜－　①.连结ON、OM、OP若存在点P使△PMN为正三角形则在中＝2ON＝2r＝c所以(a2＋b)，a2(a2－c)≤c2(2a2－c)，得－＋1≤0.因为0＜e＜1所以＜1　②.由①②得＜3－所以＜
【示例】(本题模拟高考评分标准满分14分)已知曲线C：(5－m)x＋(m－2)y＝8(m∈R)．(1) 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆求m的取值范围；(2) 设m＝4曲线C与y轴的交点为A(点A位于点B的上方)直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A三点共线．学生错解：解：(1) 曲线C是焦点在x轴上的椭圆当且仅当解得2＜m＜5所以m的取值范围是(2)．(2) 当m＝4时曲线C的方程为x＋2y＝8点A的坐标分别为(0)，(0，－2)．由1＋2k)x2＋16kx＋24＝0.设点M的坐标分别为(x)，(x2，y2)，则y＝kx＋4＝kx＋4＋x＝＝直线BM的方程为y＋2＝点G的坐标为因为直线AN和直线AG的斜率分别为k＝＝－所以k－k＝＋＝＋＝＋＝＋＝0.即k＝k故A三点共线．审题引导： (1) 方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆；(2) 证明三点共线的常用方法．规范解答： 解：(1) 曲线C是焦点在x轴上的椭圆当且仅当(3分)解得＜m＜5所以m的取值范围是(4分)(2) 当m＝4时曲线C的方程为x＋2y＝8点A的坐标分别为(0)，(0，－2)．(5分)由得(1＋2k)x2＋16kx＋24＝0.(6分)因为直线与曲线C交于不同的两点所以＝(16k)－4(1＋2k)×24＞0即k＞(7分)设点M的坐标分别为(x)，(x2，y2)，则y＝kx＋4＝kx＋4＋x＝＝(8分)直线BM的方程为y＋2＝点G的坐标为(9分)因为直线AN和直线AG的斜率分别为k＝＝－(11分)所以k－k＝＋＝＋＝＋＝＋＝0.即k＝k(13分)故A三点共线．(14分)错因分析： 易忽视焦点在x轴上漏掉＞联立消元后易忽视＞0这一前提条件．
1. 已知直线l经过点(1)且一个方向向量d＝(1)．椭圆C：＋＝1(m>1)的左焦点为F若直线l与椭圆C交于A两点满足＝0求实数m的值．解：由已知可得直线l的方程：y＝x－1左焦点(－1)，设点A(x)，B(x2，y2)，整理得：(2m－1)x－2mx＋2m－m＝0.当m>1时＝4m(2m－4m＋2)>0恒成立．因为＝(x＋1)，＝(x＋1)，
所以(x1＋1)(x＋1)＋y1＝0.(*)因为y＝x－1＝x－1所以(*)式化简得：x＋1＝0.由此可得＋1＝0(m>1)，由此解得m＝2＋
2. 如图已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为且过点A(0)．(1) 求椭圆的方程；(2) 过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N求证：直线MN恒过定点P(1) 解：由题意知：e＝＝＝1－c＝1解得a＝2所以＋y＝1.(2) 证明：设直线AM的方程为y＝kx＋1(k≠0)由方程组得(4k＋1)x＋8kx＝0解得x＝－＝0所以x＝－＝用－代替上面的k可得x＝＝因为k＝＝＝＝＝＝所以k＝k因为MP、NP共点于P所以M、N、P三点共线故直线MN恒过定点P
3. 如图在平面直角坐标系xOy中已知F分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是椭圆E的左、右顶点且＋5＝(1) 求椭圆E的离心率；(2) 已知点D(1)为线段OF的中点为椭圆E上的动点(异于点A、B)连结MF并延长交椭圆E于点N连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q连结PQ设直线MN、PQ的斜率存在且分别为kk2，试问是否存在常数λ使得k＋λk＝0恒成立？若存在求出λ的值；若不存在说明理由．解：(1) ∵
＋5＝＝5＋c＝5(a－c)化简得2a＝3c故椭圆E的离心率为(2) 存在满足条件的常数λ＝－点D(1)为线段OF的中点c＝2从而a＝3＝左焦点F(－2)，椭圆E的方程为＋＝1设M(x)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为x＝＋1代入椭圆方＋＝1整理得y2＋－4＝0.∵
y＋y＝＝从而x＝故点.同理点Q三点M、F、N共线＝从而x－x＝2(y－y)．从而k＝＝＝＝＝故k－＝0从而存在满足条件的常数λ＝－
4. 如图正方形ABCD内接于椭圆＋＝1(a＞＞0)且它的四条边与坐标轴平行正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上顶点P、Q在正方形的边AB上且A、M都在第一象限．(1) 若正方形ABCD的边长为4且与y轴交于E、F两点正方形MNPQ的边长为2. 求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；求椭圆的标准方程；(2) 设椭圆的离心率为e直线AM的斜率为k求证：2e－k是定值．(1) 证明：① 依题意：A(2)，M(4，1)，E(0，－2)＝(2－1)＝(－2－4)·＝0为外接圆直径直线AM与△ABE的外接圆相切．解：由解得椭圆标准方程为＋＝1.(2) 证明：设正方形ABCD的边长为2s正方形MNPQ的2t，则A(s)，M(s＋2t)，代入椭圆方程＋＝1得　即＝1－＝＝＝－k＝2为定值．
5. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为且过点，A为上顶点为右焦点．点Q(0)是线段OA(除端点外)上的一个动点过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M以QM为直径的圆的圆心为N.(1) 求椭圆方程；(2) 若圆N与x轴相切求圆N的方程；(3) 设点R为圆N上的动点点R到直线PF的最大距离为d求d的取值范围．解：(1) ∵
e＝不妨设c＝3k＝5k则b＝4k其中k>0故椭圆方程为＋＝1(a>b>0)在椭圆上＋＝1解得k＝1椭圆方程为＋＝1.(2) kAP＝＝－则直线AP的方程为y＝－＋4令y＝t(0<t<4)则x＝，
Q(0，t)，∴
圆N与x轴相
＝t由题意为第一象限的点则＝t解得t＝，
圆N的方程为＋＝(3) F(3，0)，kPF＝直线PF的方程为y＝(x－3)即12x－5y－36＝0点N到直线PF的距离为＝＝－5t|＝－5t|＋(4－t)当0<t≤时＝(6－5t)＋(4－t)＝此时；当时＝(5t－6)＋(4－t)＝<db>0)经过点M(－2－1)离心率为过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.(1) 求椭圆C2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值证明你的结论．解：(1) 由题设得＋＝1且＝由①、②解得a＝6＝3故椭圆C的方程为＋＝1.(2) 设直线MP的斜率为k则直线MQ的斜率为－k假设∠PMQ为直角则k·(－k)＝－1即k＝±1.若k＝1则直线MQ的方程为y＋1＝－(x＋2)与椭圆C方程联立得x＋4x＋4＝0该方程有两个相等的实数根－2不合题意；同理若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．记P(x)、Q(x)．设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)与椭圆C的方程联立得(1＋2k)x2＋(8k－4k)x＋8k－8k－4＝0则－2是该方程的两根则2x1＝即x＝设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)同理得x＝因y＋1＝k(x＋2)＋1＝－k(x＋2)故k＝＝＝＝＝1因此直线PQ的斜率为定值．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线l与椭A，B.已知点A的坐标为(－a)．若|AB|＝求直线l的倾斜角．解：(1) 由e＝＝解得3a＝4c再由c＝a－b解得a＝2b.由题意可知＝4即ab＝2.解方程组得所以椭圆的方程为＋y＝1.(2) 由(1) 可知点A(－2)，设点B的坐标为(x)，直线l的斜率为k则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理得(1＋4k)x2＋16k2x＋(16k－4)＝0由－2x＝得x＝从而y＝故|AB|＝＝由|AB|＝得＝整理得32k－9k－23＝0即(k－1)(32k＋23)＝0解得k＝±1.所以直线l的倾斜角为或.
4. 如图已知△OFQ的面积为S且＝1.设|＝c(c≥2)＝若以O为中心为一个焦点的椭圆经过点Q当|取最小值时求椭圆的方程．解：以O为原点所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)(x，y)．　＝(c)，则＝(x－c)．||·y＝＝又∵＝c(x－c)＝1＝c＋则|＝＝(c≥2)．可以证明：当c≥2时函数t＝c＋为增函数当c＝2时|min＝＝此时Q将Q的坐标代入椭圆方程得解得椭圆方程为＋＝1.
1. 解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a≤x≤a－b≤y≤b＜e＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．直线与椭圆位置关系的判断将直线的x(或y)的一元二次方程的判断式的符号来确定：当时直线和椭圆相交；当＝0时直线和椭圆相切；当<0时直线和椭圆相离．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题常用“点差法”设而不求将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐
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