21世纪七大数学难题
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21世纪七大数学难题
在20世纪末，人们也想模仿19世纪末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问题．但由于20世纪数学的分支越来越细，已没人能像当年的希尔伯特那样涉足数学的广泛领域．于是，人们想到了组成一个数学家小组，并且已经付诸行动．美国马萨诸塞州的克雷数学研究所于日在巴黎法兰西学院公布了七个数学难题，称为“千禧年数学难题”，并对七个“千禧年数学难题”的每一题悬赏100万美元．以下是这七个难题的简单介绍．一、庞加莱猜想庞加莱猜想是由法国著名数学家庞加莱提出的，是唯一已经被证明的“千禧年数学难题”．庞加莱被公认为活跃在20世纪初期的两位最伟大的数学巨匠之一(另一位是大卫·希尔伯特)，被称为“最后一位数学全才”，有一位数学史家如此形容他，“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，无论是纯数学还是应用数学，他几乎在所有的数学分支中都如鱼得水，除了推进众多的数学领域外，他对天体力学和电磁论乃至科学哲学等做出了很大的贡献．年，庞加莱基本上是从无开始创造了一些代数拓扑的基本工具”．庞加莱在20世纪初发表了一篇很重要的论文—《位置分析》(Analysis Situs)，随后他又发表了几篇补充论文，庞加莱猜想就是他1904年在第五篇补充论文里提出的，其原话表述为：“……事实上，我造出了一个流行的例子，其所有的贝蒂数及挠系数均等于1．但它不是单连通的……”最后一句话即是庞加莱猜想．任何一个封闭的三维空间，只要它里面所有的封闭曲面都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球．这是一个代数拓扑学的命题，也可以简单地表述为，“单连通的三维闭流形同胚于三维球面”．后来，这一命题又被推广到高维的情况，“任何与 n维球面同构的 n维闭流形必定同胚于 n维球面”．这个拓扑学的重大难题，百余年来吸引了世界无数数学家竞相钻研．我们可以这样来考虑：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点．另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的．我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是．在100多年以前，庞加莱就已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题，这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗．庞加莱猜想的高维推论已于20世纪60年代和80年代分别得以解决，唯独三维的情形长期没有得到证明．直到近些年，庞加莱猜想的研究才得到重大突破并最终得到了证明．在漫长的证明过程中，美国数学家理查德·汉密尔顿(Richard Hamilton)和俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼(Grigoriy Perelman，1966—)做出了重大的贡献，中国数学家曹怀东、朱熹平也参与了完善理论证明的过程，并最终完成了“封顶”工作．2006年世界数学家大会确认佩雷尔曼最终证明了庞加莱猜想．佩雷尔曼被授予2006年的菲尔兹奖，美国克莱数学研究所也决定把100万美元的奖金颁发给他，不过以上两个奖项佩雷尔曼都没有接受．但无论如何，庞加莱猜想是确认被证明了．经过证明的各个阶段的发展，一个新的科学理论诞生了．毫无疑问，庞加莱猜想的证明将使人类更好地研究三维空间，对其涉及的物理学、工程学等领域将会有深远的影响，同时还会影响人们对诸多学科思考的方式．正如亲身参与到庞加莱猜想证明工作的中山大学教授朱熹平先生说：“首先，证明猜想是一个数学理论问题，它总是走在日常生活前面．但被证明后，它会让人们认识到在一个三维空间中，几何形状的分类存在着最基本的几个原件．这正是数百年来，无数科学家力图完成的东西．然后，诸多学科的思考方式也会因此发生改变，影响人们的生活．”数学是自然科学的基础，每一个重大数学问题的解决都意味着相关的科学理论的创立，意味着其涉及的科学领域将发生重大的变革．从证明庞加莱猜想的过程中，我们可以看到在创立科学理论时所体现的思维过程．二、P(多项式算法)问题与NP(非多项式算法)问题在一个周末的晚上，你应邀参加了一场盛大的晚会．由于感到局促不安，你很想知道这一大厅中是否有你认识的人．主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝．不到一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现他是正确的．然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人．生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多．这是这种一般现象的一个例子．与此类似的是，如果某人告诉你，数可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的．不管我们编写的程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一．它是斯蒂文·考克(Stephen Cook)于1971年陈述的，至今P问题与NP问题几乎没什么进展．三、霍奇猜想霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题，由霍奇(W. V. D. Hodge，)提出．20世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法．基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块黏合在一起来形成．这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展．不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来．在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件．霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合．霍奇猜想进展不大．四、黎曼假设有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，如2，3，5，7等，这样的数称为素数．它们在纯数学及其应用中都起着重要作用．在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼Zeta函数的性态．著名的黎曼假设断言，方程=0的所有意义的解都在一条直线上．这点已经对于开始的1 500 000 000个解验证过．证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明．黎曼假设目前还没有看到破解的希望．五、杨-米尔斯(Yang-Mills)理论存在性和质量缺口量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的．大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系．基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：斯坦福粒子加速中心、欧洲粒子物理研究所．尽管如此，它们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解．特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实．在这一问题上的进展需要在物理和数学两方面引进根本上的新观念．杨-米尔斯理论太难，几乎没有人做．六、纳威厄-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性起伏的波浪跟随着我们正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行．数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过纳威厄-斯托克斯方程的解来对它们进行解释和预言．虽然这些方程是19世纪写下的，但我们对它们的理解仍然极少．挑战在于对数学理论做出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳威厄-斯托克斯方程中的奥秘．纳威厄-斯托克斯方程离解决也相差甚远．七、贝赫(Birch)和斯温纳顿-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想数学家总是对诸如那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷．欧几里得曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难．事实上，正如马蒂雅谢维奇(Y. V. Matiyasevich)指出的，希尔伯特的第10问题是不可解的，即不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解．当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯温纳顿-戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的黎曼Zeta函数在点s=1附近的性态．特别是，这个有趣的猜想认为，如果=0，那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果，那么只存在有限多个这样的点．有关学者认为在剩下的六个未解决的“千禧年数学难题”中，和数论有关的贝赫和斯温纳顿-戴尔猜想是最有希望破解的一个，让我们拭目以待！本文摘编自胡伟文 徐忠昌主编《数学文化欣赏》（北京：科学出版社，责任编辑吉正霞，2016.11）第八章部分，内容略有删节。ISBN：978-7-03-数学对于人类文化进步产生了重要的推动作用，对人的思想、精神世界和人文素质有着巨大的影响．高等学校开设了许多数学课程，但仍不可忽视数学文化的教育功能．《数学文化欣赏》是一本面向普通高等院校非数学专业大学生的文化素质教材，力求阐明数学的思想、方法与文化意义，阐述了数学的发展简史和其推进人类文化发展的作用，介绍了解析几何、微积分、概率论与数理统计等大学生必修课程的思想方法及其文化影响，指出了数学与爱情、文学、艺术和教育等方面的联系．特别需要指出的是，本书结合军校人才培养目标的特点，突出了数学与军事、数学与信息技术广泛而深刻的联系．（本期责编：王芳）一起阅读科学!科学出版社│微信ID：sciencepress-cspm专业品质 学术价值原创好读 科学品味点击“阅读原文”可购买本书本文为头条号作者发布，不代表今日头条立场。
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2y的导+cos（x+y）（1+y的导）=0（2+cos（x+y））y的导+cos（x+y）=0y的导=-cos（x+y）/(2+cos(x+y))
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数学中微分和偏微分概念上有什么不同
09-05-25 &匿名提问
微分　　一元微分　　定义：　　　　设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。　　通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。　　当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差关于△X→０是高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。函数可导必可微，反之亦然，这时A=f′(X)。再记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。　　几何意义：　　设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。　　多元微分　　同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。 　　运算法则：　　dy=f'(x)dx　　d(u+v)=du+dv　　d(u-v)=du-dv　　d(uv)=du·v+dv·u　　d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2偏微分方程　　偏微分方程的起源 　　如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。　　在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。　　应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。　　微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。　　和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。　　偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。　　偏微分方程的内容　　偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。　　弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。　　弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。　　用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。　　偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。　　拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。　　天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。　　就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。　　当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。　　在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。　　求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。　　偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。　　应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。　　常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。　　随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。 　　解法：1，首先变为标准型，看是哪种类型，如椭圆型，双曲型。抛物型。　　2，归结为四大基本方程：波动，热传导，传输，　　3。按其解法解决
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