一道高三数学导数题,高手帮忙啦,在线等..已知函数f(x)=lnx,g(x)=a(x^2-x)(a≠0),h(x)=f(x)-g(x).在函数y=f(x)的图像上是否存在不同的两点A（x1,y1)B(x2,y2)使线段AB的中点的横坐标x0与直线AB的斜率k之间满足k=f'(x0),若存在请求出x0
证明：a+b+c=180°,2b=a+c=180°-b,则b=60°；则由余弦定理可知：cosb=(a²+c²-b²)/(2ac)=cos60°=1/2即(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2a²+c²-b²=aca²+c²=ac+b²a²+c²+ab+bc=ac+b²+ab+bcc(b+c)+a(a+b)=a(b+c)+b(b+c)=(a+b)(b+c)[c(b+c)+a(a+b)]/[(a+b)(b+c)]=1[c/(a+b)]+[a/(b+c)]=1[c/(a+b)]+1+[a/(b+c)]+1=1+1+1[c/(a+b)]+[(a+b)/(a+b)]+[a/(b+c)]+[(b+c)/(b+c)]=3[(a+b+c)/(a+b)]+[(a+b+c)/(b+c)]=3[1/(a+b)]+[1/(b+c)]=3/(a+b+c)
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2014年高考数学函数与导数试题汇编
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2014年高考数学函数与导数试题汇编
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文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
B12 导数的应用21．、[;四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e－2＜a＜1.21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当12＜a＜e2时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12＜a＜e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当a≥e2时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a＜e2.此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.由f(1)＝0有a＋b＝e－1&2，有g(0)＝a－e＋2&0，g(1)＝1－a&0.解得e－2＜a＜1.所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.
15．[;安徽卷] 若直线l与曲线C满足下列两个条件：(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin x；④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x；⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x.15．①③④　20．、[;安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a&0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝－1－4＋3a3，x2＝－1＋4＋3a3，且x1&x2，所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．当x&x1或x&x2时，f′(x)&0；当x1&x&x2时，f′(x)&0.故f(x)在－∞，－1－4＋3a3和 －1＋4＋3a3，＋∞内单调递减，在－1－4＋3a3，－1＋4＋3a3内单调递增．(2)因为a&0，所以x1&0，x2&0，①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0&a&4时，x2&1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0&a&1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1&a&4时，f(x)在x＝0处取得最小值．20．、[;北京卷] 已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)20．解：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.令f′(x)＝0，得x＝－22或x＝22.因为f(－2)＝－10，f－22＝2，f22＝－2，f(1)＝－1，所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f－22＝2.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x30－3x0，且切线斜率为k＝6x20－3，所以切线方程为y－y0＝(6x20－3)(x－x0)，因此t－y0＝(6x20－3)(1－x0)，整理得4x30－6x20＋t＋3＝0，设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：
x&(－∞，0)&0&(0，1)&1&(1，＋∞)g′(x)&＋&0&－&0&＋g(x)&&t＋3&&t＋1&所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，有g（0）＝t＋3&0，g（1）＝t＋1－0，解得－3&t&－1.故当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．22．、[;福建卷] 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.22．解：方法一：(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0，即g′(x)＞0.所以g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1＞0，所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜ex.(3)证明：对任意给定的正数c，取x0＝1c，由(2)知，当x＞0时，x2＜ex.所以当x＞x0时，ex＞x2＞1cx，即x&cex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.方法二：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)证明：令k＝1c(k＞0)，要使不等式x＜cex成立，只要ex＞kx成立．而要使ex＞kx成立，则只需要x&ln(kx)，即x＞ln x＋ln k成立．①若0＜k≤1，则ln k≤0，易知当x＞0时，x＞ln x≥ln x＋ln k成立．即对任意c∈[1，＋∞)，取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.②若k＞1，令h(x)＝x－ln x－ln k，则h′(x)＝1－1x＝x－1x，所以当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增．取x0＝4k，h(x0)＝4k－ln(4k)－ln k＝2(k－ln k)＋2(k－ln 2)，易知k＞ln k，k＞ln 2，所以h(x0)＞0.因此对任意c∈(0，1)，取x0＝4c，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.方法三：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)证明：①若c≥1，取x0＝0，由(2)的证明过程知，ex＞2x，所以当x∈(x0，＋∞)时，有cex≥ex＞2x＞x，即x＜cex.②若0＜c＜1，令h(x)＝cex－x，则h′(x)＝cex－1.令h′(x)＝0得x＝ln1c.当x＞ln1c时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．取x0＝2ln2c，则h(x0)＝ce2ln2c－2ln2c＝22c－ln2c，易知2c－ln2c＞0，又h(x)在(x0，＋∞)内单调递增，所以当x∈(x0，＋∞)时，恒有h(x)＞h(x0)＞0，即x＜cex.综上，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.21．[;广东卷] 已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax＋1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a&0时，试讨论是否存在x0∈0，12∪12，1，使得f(x0)＝f12.21．[;湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝ln xx的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝ln xx，所以f′(x)＝1－ln xx2.当f′(x)&0，即0&x&e时，函数f(x)单调递增；当f′(x)&0，即x&e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e&3&π，所以eln 3&eln π，πln e&πln 3，即ln 3e&ln πe，ln eπ&ln 3π.于是根据函数y＝ln x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增可得，3e&πe&π3，e3&eπ&3π.故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e&3&π及(1)的结论，得f(π)&f(3)&f(e)，即ln ππ&ln 33&ln ee.由ln ππ&ln 33， 得ln π3&ln3π，所以3π&π3.由ln 33&ln ee，得ln 3e&ln e3，所以3e&e3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.9．[;湖南卷] 若0＜x1＜x2＜1，则(　　)A．ex2－ex1＞ln x2－ln x1B．ex2－ex1＜ln x2－ln x1C．x2ex1＞x1ex2D．x2ex1＜x1ex29．C　21．、[;湖南卷] 已知函数f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有1x21＋1x22＋…＋1x2n＜23.21．解： (1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin x&0，此时f′(x)&0; 当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sin x&0，此时f′(x)&0.故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又fπ2＝0，故x1＝π2.当n∈N*时，因为f(nπ)f（n＋1）π＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n＋1(n＋1)π＋1]＜0，且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.因此，当n＝1时，1x21＝4π2＜23；当n＝2时，1x21＋1x22＜1π2(4＋1)＜23；当n≥3时，1x21＋1x22＋…＋1x2n&1π24＋1＋122＋…＋1（n－1）2＜1π25＋11×2＋…＋1（n－2）（n－1）＜1π25＋1－12＋12－13＋…＋1n－2－1n－1＝1π26－1n－1＜6π2＜23.综上所述，对一切n∈N*，1x21＋1x22＋…＋1x2n＜23.11．[;江西卷] 若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．11．(e，e)　[解析] 由题意知，y′＝ln x＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x＋1＝2，得x＝e，所以y＝eln e＝e，所以P(e，e)．21．、、[;江西卷] 将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．(1)求p(100)；(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．21．解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝11192.(2)F(n)＝n，1≤n≤9，2n－9，10≤n≤99，3n－108，100≤n≤999，4n－≤n≤2014.(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝0，1≤n≤9，k，n＝10k＋b，11，n＝100.1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，同理有f(n)＝0，1≤n≤8，k，n＝10k＋b－1，1≤k≤8，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，n－80，89≤n≤98，20，n＝99，100.由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．当n＝9时，p(9)＝0.当n＝90时，p(90)＝g（90）F（90）＝.当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝g（n）F（n）＝k2n－9＝k20k＋9，由y＝k20k＋9关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝8169.又，所以当n∈S时，p(n)的最大值为119.12．、[;辽宁卷] 当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．[－5，－3]& B.－6，－98C．[－6，－2]& D．[－4，－3]12．C　11．[;新课标全国卷Ⅱ] 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]& B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)& D．[1，＋∞)11．D　21．[;新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证明：当k＜1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．21．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－2a＝－2，所以a＝1.(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4，由题设知1－k&0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k&0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1&0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x&0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x&h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g(x)&h(x)≥h(2)＝0，所以g(x)＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．12．[;全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)& B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)& D．(－∞，－1)12．C　21．、[;全国新课标卷Ⅰ] 设函数f(x)＝aln x＋1－a2x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)＜aa－1，求a的取值范围．21．解：(1)f′(x)＝ax＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1，(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x＋1－a2x2－x，f′(x)＝ax＋(1－a)x－1＝1－axx－a1－a(x－1)．(i)若a≤12，则a1－a≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)&0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x0≥1，使得f(x0)&a1－a的充要条件为f(1)&aa－1，即1－a2－1&aa－1，解得－2－1&a&2－1.(ii)若12&a&1，则a1－a&1，故当x∈1，a1－a时，f′(x)&0；当x∈a1－a，＋∞时，f′(x)&0.f(x)在1，a1－a上单调递减，在a1－a，＋∞上单调递增．所以，存在x0≥1，使得f(x0)&aa－1的充要条件为fa1－a&aa－1.而fa1－a＝alna1－a＋a22（1－a）＋aa－1&aa－1，所以不合题意．(iii)若a&1, 则f(1)＝1－a2－1＝－a－12&aa－1，符合题意．综上，a的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．20．，[;山东卷] 设函数f(x)＝aln x＋x－1x＋1，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．20．解：(1)由题意知，当a＝0时，f(x)＝x－1x＋1，x∈(0，＋∞)．此时f′(x)＝2（x＋1）2，所以f′(1)＝12.又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2（x＋1）2＝ax2＋（2a＋2）x＋ax（x＋1）2.当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12（x－1）2x（x＋1）2≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a＜－12时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a＜0时，Δ＞0.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－（a＋1）＋2a＋1a，x2＝－（a＋1）－2a＋1a.因为x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a＞0，所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－12时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a&0时，f(x)在0，－（a＋1）＋2a＋1a，－（a＋1）－2a＋1a，＋∞上单调递减，在－（a＋1）＋2a＋1a，－（a＋1）－2a＋1a上单调递增．21．、、[;陕西卷] 设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数；(3)若对任意b＞a＞0，f（b）－f（a）b－a＜1恒成立，求m的取值范围．21．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋ex，则f′(x)＝x－ex2，∴当x∈(0，e)时，f′(x)&0，f(x)在(0，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)&0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x&0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x&0)，设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)&0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)&0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知
&①当m &23时，函数g(x)无零点；②当m＝23时，函数g(x)有且只有一个零点；③当0&m&23时，函数g(x)有两个零点；④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m&23时，函数g(x)无零点；当m＝23或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0&m&23时，函数g(x)有两个零点．(3)对任意的b&a&0，f（b）－f（a）b－a&1恒成立，等价于f(b)－b&f(a)－a恒成立．(*)设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋mx－x(x&0)，∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．由h′(x)＝1x－mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m≥－x2＋x＝－x－122＋14(x&0)恒成立，∴m≥14对m＝14，h′（x）＝0仅在x＝12时成立，∴m的取值范围是14，＋∞.19．、[;天津卷] 已知函数f(x)＝x2－23ax3(a＞0)，x∈R.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)•f(x2)＝1，求a的取值范围．19．解：(1)由已知，有f′(x)＝2x－2ax2(a&0)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x&(－∞，0)&0&0，1a1a1a，＋∞
f′(x)&－&0&＋&0&－f(x)&&0&&13a2所以，f(x)的单调递增区间是0，1a；单调递减区间是(－∞，0)，1a，＋∞.当x＝0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)＝0；当x＝1a时，f(x)有极大值，且极大值f1a＝13a2.(2)由f(0)＝f32a＝0及(1)知，当x∈0，32a时，f(x)&0；当x∈32a，＋∞时，f(x)&0.设集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝1f（x）x∈（1，＋∞），f（x）≠0，则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)•f(x2)＝1”等价于A⊆B，显然0∉B.下面分三种情况讨论：(i)当32a&2，即0&a&34时，由f32a＝0可知，0∈A，而0∉B，所以A不是B的子集．(ii)当1≤32a≤2，即34≤a≤32时，有f(2)≤0，且此时f(x)在(2，＋∞)上单调递减，故A＝(－∞，f(2))，因而A⊆(－∞，0)．由f(1)≥0，有f(x)在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B，所以A⊆B.(iii)当32a&1，即a&32时，有f(1)&0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故B＝1f（1），0，A＝(－∞，f(2))，所以A不是B的子集．综上，a的取值范围是34，32.21．[;浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．若f(x)在[－1，1]上的最小值记为g(a)．(1)求g(a)；(2)证明：当x∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.21．解：(1)因为a&0，－1≤x≤1，所以，(i)当0&a&1时，若x∈[－1，a]，则f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3&0，故f(x)在(－1，a)上是减函数；若x∈[a，1]，则f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3&0，故f(x)在(a，1)上是增函数．所以g(a)＝f(a)＝a3.(ii)当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3&0，故f(x)在(－1，1)上是减函数，所以g(a)＝f(1)＝－2＋3a.综上，g(a)＝a3，0&a&1，－2＋3a，a≥1.(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(a)．(i)当0&a&1时，g(a)＝a3.若x∈[a，1]，则h(x)＝x3＋3x－3a－a3，得h′(x)＝3x2＋3&0，则h(x)在(a，1)上是增函数，所以h(x)在[a，1]上的最大值是h(1)＝4－3a－a3，而0&a&1，所以h(1)&4，故f(x)≤g(a)＋4.若x∈[－1，a]，则h(x)＝x3－3x＋3a－a3≤0，得h′(x)＝3x2－3，则h(x)在(－1，a)上是减函数，所以h(x)在[－1，a]上的最大值是h(－1)＝2＋3a－a3，令t(a)＝2＋3a－a3，则t′(a)＝3－3a2&0，知t(a)在(0，1)上是增函数，所以t(a)&t(1)＝4，即h(－1)&4.故f(x)≤g(a)＋4.(ii)当a≥1时，g(a)＝－2＋3a，故h(x)＝x3－3x＋2，得h′(x)＝3x2－3≤0，此时h(x)在(－1，1)上是减函数，因此h(x)在[－1，1]上的最大值是h(－1)＝4.故f(x)≤g(a)＋4.综上，当x∈[－1，1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.19．[;重庆卷] 已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．19．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.(2)由(1)知f(x)＝x4＋54x－ln x－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，5)上为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)上为增函数．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.
B13 定积分与微积分基本定理&&& B14 单元综合19．、、、[;江苏卷] 已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R上的偶函数．(2)若关于x的不等式mf(x)≤e－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(3)已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)&a(－x30＋3x0)成立．试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e －(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数．(2)由条件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0，＋∞)上恒成立．令 t＝ex(x&0)，则 t&1，所以 m≤－t－1t2－t＋1＝－1t－1＋1t－1＋ 1对任意 t&1成立．因为t－1＋1t－1＋ 1≥2 （t－1）•1t － 1＋1＝3, 所以 －1t－1＋1t－1＋ 1≥－13，当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是－∞，－13.(3)令函数 g(x)＝ex＋1ex－ a(－x3＋3x)，则g′ (x) ＝ex－1ex＋3a(x2－1)．当 x≥1时，ex－1ex&0，x2－1≥0.又a&0，故 g′(x)&0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝ e＋e－1－2a.由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x30＋ 3x0 )&0 成立， 当且仅当最小值g(1)&0，故 e＋e－1－2a&0, 即 a&e＋e－12.令函数h(x) ＝ x －(e－1)ln x－1，则 h′(x)＝1－e－1x. 令 h′(x)＝0, 得x＝e－1.当x∈(0，e－1)时，h′(x)&0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)&0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)&h(1)＝0；当x∈(e－1，e)⊆(e－1，＋∞)时，h(x)&h(e)＝0.所以h(x)&0对任意的x∈(1，e)成立．故①当a∈e＋e－12，e⊆(1，e)时， h(a)&0，即a－1&(e－1)ln a，从而ea－1&ae－1；②当a＝e时，ea－1＝ae－1；③当a∈(e，＋∞)⊆(e－1，＋∞)时，h(a)&h(e)＝0，即a－1&(e－1)ln a，故ea－1&ae－1.综上所述，当a∈e＋e－12，e时，ea－1&ae－1；当a＝e时，ea－1＝ae－1；当a∈(e，＋∞)时，ea－1&ae－1.10．[;江西卷] 在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图像不可能是(　　)&　　A　　　　　　　　　　　　B&C　　　　　　　　　　　　D10．B　21．、[;辽宁卷] 已知函数f(x)＝π(x－cos x)－2sin x－2，g(x)＝(x－π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明：(1)存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈π2，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1＞π.21．证明：(1)当x∈0，π2时，f′(x)＝π＋πsin x－2cos x＞0，所以f(x)在区间0，π2上为增函数．又f(0)＝－π－2＜0，fπ2＝π22－4＞0，所以存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0.(2)当x∈π2，π时，化简得g(x)＝(π－x)•cos x1＋sin x＋2xπ－1.令t＝π－x则t∈0，π2.记u(t)＝g(π－t)＝－tcos t1＋sin t－2πt＋1，则u′(t)＝f（t）π（1＋sin t）.由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)＜0；当t∈x0，π2时，u′(t)＞0.所以在x0，π2上u(t)为增函数，由uπ2＝0知，当t∈x0，π2时，u(t)＜0，所以u(t)在x0，π2上无零点．在(0，x0)上u(t)为减函数，由u(0)＝1及u(x0)＜0知存在唯一t0∈(0，x0)，使u(t0)＝0.于是存在唯一t0∈0，π2，使u(t0)＝0.设x1＝π－t0∈π2，π，则g(x1)＝g(π－t0)＝u(t0)＝0.因此存在唯一的x1∈π2，π，使g(x1)＝0.由于x1＝π－t0，t0＜x0，所以x0＋x1＞π.9．[;山东卷] 对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(　　)A．f(x)＝x& B．f(x)＝x2& C．f(x)＝tan x& D．f(x)＝cos(x＋1)9．D　15．、、[;四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；②若函数f(x)∈B，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∈/B；④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋xx2＋1(x＞－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④　 文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
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