2 概率分布
2 概率分布
发布时间： 0:52:52
编辑：www.fx114.net
本篇文章主要介绍了"2 概率分布"，主要涉及到2 概率分布方面的内容，对于2 概率分布感兴趣的同学可以参考一下。
发现对概率论的基本概念理解不是很深入，导致看后面的东西时常有些莫名其妙的疑惑，回头来看看概率论与统计
1. 累积分布函数（CDF –&Cumulative
distribution function&或直接就叫 distribution function）
& & & & CDF其定义为
FX(x)=P(X≤x)
& & & & 正如统计学完全教程里说的，这个CDF函数是很有迷惑性的，有必要仔细理解它。我以前每次看这个表达式都是一闪而过，没有好好理解，而它的真正的意义应该是表示随机变量小于或等于其某一个取值x的概率。设一个例子，抛一枚均匀的硬币两次，设随机变量X表示出现正面的次数，那么P(X=0)=P(X=2)=1/4，P(X=1)=1/2，所以这个函数的曲线如下图：
& & & & 对于这个图，要想清楚清楚如下两个问题：
& & & & 1）为什么函数始终是右连续的？ 因为根据CDF的表达式中的小于等于号，当X=x时，P(X=x)的那部分应该被加到FX上，因此在X=x处有一个值的跃升。如X=1时，P(X=1)已经是1/2了
& & & & 2）为什么FX(1.4)=0.75？
&要注意P(1≤X&2)=1/2（虽然其实X只能取整数值），但是FX是值x之前所有概率的累加，所以FX(1.4)可不是1/2，而是3/4
因此F函数始终是非降的，右连续的，且limx→∞F(x)=1
2. 概率密度函数（PDF –&Probability
density function）
& & & &对于离散随机变量的PDF为：
fX(x)=P(X=x)
& & & &对于连续随机变量，若存在一个函数fX对所有x均满足fX(x)≥0，∫bafX(x)dx=1，并且有
P(a&X&b)=∫bafX(x)dx
则fX就是FX(x)的PDF，并且FX(x)=∫x-∞fX(t)dt，&fX(x)=ddxFX(x)
表面看起来这个定义简单，但是要深入理解这些式子的含义，这个定义对后面整个机器学习的内容都是最基础最重要的。
其实后面所谓的 density estimation（EM algorithm和Sampling Methods）都是要估计出一个PDF来。
最简单的PDF就是比如翻硬币的例子，假如翻正面概率0.4，反面0.6，则这个模型的PDF就是{0.4, 0.6}
稍微复杂点的PDF就是univariate Gaussian啦，其实也不复杂，高中就见过
3. 伯努利、二项分布、多项分布
伯努利分布就是对单次抛硬币的建模，X~Bernoulli(p)的PDF为f(x)=px(1-p)1-x，随机变量X只能取{0,
1}。对于所有的pdf，都要归一化！而这里对于伯努利分布，已经天然归一化了，因此归一化参数就是1。
很多次抛硬币的建模就是二项分布了。注意二项分布有两个参数，n和p，要考虑抛的次数。
二项分布的取值X一般是出现正面的次数，其PDF为：
f(x)=P(X=x)=P(X=x|n,p)=Cxnpx(1-p)n-x
Cxn就是二项分布pdf的归一化参数。如果是beta分布，把Cxn换成beta函数分之一即可，这样可以从整数情况推广为实数情况。所以beta分布是二项分布的实数推广！
多项分布则更进一层，抛硬币时X只能有两种取值，当X有多种取值时，就应该用多项分布建模。
这时参数p变成了一个向量p?&=(p1,…,pk)表示每一个取值被选中的概率，那么X~Multinomial(n,p)的PDF为：
f(x)=P(x1,&…,&xk|n,p?&)=(nx1,&…,&xk)px11…pxkk=n!∏ki=1xi!pxix
2.1.1 The beta distribution
& 如果忘记伯努利分布和二项分布是怎么回事了，看这里。
& 书中引出贝塔分布的理由：P70提到，由于最大似然估计在观察数据很少时，会出现严重over-fitting（比如估计抛硬币正反面概率，只有3次抛硬币观察数据，且结果正好都是正面，则模型预测以后所有抛硬币都将是正面）。为了解决这个问题，可以考虑贝叶斯方法，即引入一个先验知识（先验分布p(μ)）来控制参数μ，那么如何挑选这个分布呢？
postprior=likelihood*prior
已经知道似然函数的形式，如果选择的先验分布也与&μ
和 (1-μ) 两者的乘方成比例，那么后验分布的函数形式就会跟它的先验函数形式一样了。具体来说，选择prior的形式是w1*μa(1-μ)b，那么postprior就会变成w2*μm+a(1-μ)n+b这个样子了(w1,w2为pdf的归一化参数)，所以postprior和prior具有相同的函数形式(都是μ和(1-μ)的次方的乘积)，这就是所谓的conjugacy。
& & 最终这里的先验和后验就都是贝塔分布了，其中先验的形式如下：
Beta(μ|a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)μa-1(1-μ)b-1&&式2.13
其中Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)这玩意就是w1，是为了把整个分布概率归一化，从而使：
∫10Beta(μ|a,b)dμ=1&&
在维基里面，有这么一个式子：
B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)?(α-1α+β-2)
瞬间觉得世界清晰了，因为Γ(n)=(n-1)!，所以其实当上式中α,β为整数时，就是Cα-1α+β-2。因此，其实beta分布就是二项分布推广成实数域上的情况而已！注意，这里曾经把Beta函数写反过，Beta
function 是指B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)，而Beta
distribution的pdf公式为Beta(μ|a,b)=1B(a,b)μa-1(1-μ)b-1
从式2.14看出，Beta分布就是一个μ的PDF(概率密度函数)(这个昨天()刚仔细看过哈)，μ本身是二项分布的参数，而a，b由于2.14的归一化过程可以被视作μ的控制参数，因此贝塔分布的a和b就被称作hyperparameters。下面的图是Beta分布的几个例子，其中横轴是μ取值范围，纵轴是PDF取值，PDF的值可以大于1哦。
最后得到的postprior如下：
p(μ|m,l,a,b)∝μm+a-1(1-μ)l+b-1&&式2.17，其中l=N-m
要把这个postprior归一化其实可以参照式2.13，式2.17中的m+a等同于2.13中那个a，而l+b就是2.13中那个b，所以：
p(μ|m,l,a,b)=Γ(m+a+l+b)Γ(m+a)Γ(l+b)μm+a-1(1-μ)l+b-1
最后，如果我们已经有观察数据D，要估计μ，即p(μ|D)，我们可以得到：
p(x=1|D)=m+am+a+l+b&&式2.20
可以发现这个式子比最大似然估计的结果m/(m+l)多了a和b，也就是先验知识的影响。
Multinomial Variables
& & & Multinomial Variables说白了就是多种选择选其一。比如随机变量X有三种取值x1，x2，x3，那么用一个三维向量表示Multinomial 的取值就是{1,0,0}，{0,1,0}，{0,0,1}分别代表选中x1，x2，x3，即必须选中一个，同时只能选一个这样的意思。
如果用μk表示xk=1时的概率，那么对于随机变量x的取值的概率分布可以表示为：
p(x|μ)=∏k=1Kμxkk
& & & 其实这个式子的意思就是当K取值k的时候，只有xk是1，其他都是0，所以这个p(x|μ)的值就是μk的值而已，因为一个数的0次方是1，所以对于其他xi（i≠k）的那部分μi全部都乘以了一个1而已。搞了这么一个玄乎的式子，应该是为了数学表示全面点，事实上直接理解就是p(x|μ)
& & &上面所讲的这些其实只是多项分布的一次事件（或一次观察），如果有N多次观察，那么就需要用多项分布来描述了。就像伯努利分布只是描述一次抛硬币，而二项分布是描述N次抛硬币的一样。
& & & 对于Multinomial 的极大似然估计其实可想而知，就是数数xk的个数然后取占整个集合的比例作为概率了。式(2.31)给了数学上的likelihood的式子，但是那个什么拉格朗日乘子λ我已经没啥概念了，只知道是用来求函数极值的，@4补充，大致看了一下拉格朗日乘数法，没有想象中的复杂，就是用来求一个条件极值，在这里。
& & & &Dirichlet分布可以看做是分布之上的分布。如何理解这句话，我们可以先举个例子：假设我们有一个骰子，其有六面，分别为{1,2,3,4,5,6}。现在我们做了10000次投掷的实验，得到的实验结果是六面分别出现了{00,00}次，如果用每一面出现的次数与试验总数的比值估计这个面出现的概率，则我们得到六面出现的概率，分别为{0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1}。现在，我们还不满足，我们想要做10000次试验，每次试验中我们都投掷骰子10000次。我们想知道，出现这样的情况使得我们认为，骰子六面出现概率为{0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1}的概率是多少（说不定下次试验统计得到的概率为{0.1,
0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2}这样了）。这样我们就在思考骰子六面出现概率分布这样的分布之上的分布。而这样一个分布就是Dirichlet分布。
首先用上面这一段来点直观印象，然后列一些资料：
& & & & &&维基里面对于狄利克雷分布貌似介绍的挺复杂，不够基础。我找到了一个CMU的PPT：Dirichlet
Distribution, Dirichlet Process and&Dirichlet Process Mixture，找到一篇华盛顿大学的《Introduction to the Dirichlet Distribution
and Related Processes》介绍。
& & & &发现CMU那个ppt里面讲到，Beta is the conjugate prior of Binomial，有一种原来如此的感觉。嗯，原来贝塔分布是二项分布的共轭先验分布，那么狄利克雷分布就是多项分布的共轭先验分布。所以要看狄利克雷分布，就要先了解多项分布，然后呢，想要了解狄利克雷之于多元的关系，就要先看贝塔分布和伯努利分布的关系。所以，二项分布、beta分布、以及共轭这三点是理解狄利克雷分布的关键基础知识，这个基础知识记录在这里(PRML2.1整小章介绍了这个)。
& & & &下面正式进入狄利克雷分布介绍，首先说一下这个多项分布的参数μ。在伯努利分布里，参数μ就是抛硬币取某一面的概率，因为伯努利分布的状态空间只有{0,1}。但是在多项分布里，因为状态空间有K个取值，因此μ变成了向量μ&?&=(μ1,&…,&μk)T。多项分布的likelihood函数形式是∏
&&k=1Kμmkk，因此就像选择伯努利分布的共轭先验贝塔函数时那样，狄利克雷分布的函数形式应该如下：
p(μ|α)∝∏k=1Kμαk-1k&&式2.37
上式中，∑kμk=1，α?&=(α1,&…,&αk)T是狄利克雷分布的参数。最后把2.37归一化成为真正的狄利克雷分布：
Dir(μ|α)=Γ(α0)Γ(α1)…Γ(αk)∏k=1Kμαk-1k
其中α0=∑k=1Kαk。这个函数跟贝塔分布有点像（取K=2时就是Beta分布）。跟多项分布也有点像。就像Beta分布那样，狄利克雷分布就是它所对应的后验多项分布的参数μ&?&的分布，只不过μ是一个向量，下图是当μ&?
& & & & &&=(μ1,μ2,μ3)时，即只有三个值时狄利克雷概率密度函数的例子。其中中间那个图的三角形表示一个平放的Simplex，三角形三个顶点分别表示μ?&=(1,0,0)，μ?&=(0,1,0)和μ&?&=(0,0,1)，因此三角形中间部分的任意一个点就是μ?&的一个取值，纵轴就是这个μ?&的Simplex上的概率密度值(PDF)。
对于参数μ?&的估计时，可知
后验=似然*先验 的函数形式如下：
p(μ|D,α)∝(D|μ)p(μ|α)∝∏k=1Kμαk+mk-1k
从这个形式可以看出，后验也是狄利克雷分布。类似于贝塔分布归一化后验的方法，我们把这个后验归一化一下，得到：
p(μ|D,α)=Dir(μ|α+m)=Γ(α0+N)Γ(α1+m1)…Γ(αK+mK)∏k=1Kμαk+mk-1k
The Gaussian Distribution
preliminary (Matrix Algebra —&Methods of Multivariate Analysis C H A P T E R 2)
加入一些其他内容，调整至http://www.xperseverance.net/blogs/9/
2.多元情况下的协方差
我觉得PRML上2.3中的多元高斯分布为啥让人觉得虎，就是因为相对于单元高斯分布，多元情况下的方差令人迷惑和费解，所以本节只记录《MMA》中第三章讲述的多元协方差矩阵。
case：现在假设只在二维情况下讨论问题，则每个随机变量表示为(xi,yi)T，则两者的协方差：
σxy=E[(x-μx)(y-μy)]&在任何统计或概率书上都有定义。
同时相关系数：ρxy=corr(x,y)=σxyσxσy=E[(x-μx)(y-μy)]E(x-μx)2√E(y-μy)2√
对于两个变量的相关性的理解可以用下面一个例子来描述：
设有二维随机变量(x,y)，x表示升高，y表示体重，则凭经验就可以想到，身高是和体重相关的，所以讲这个随机变量画成二维点图应该如下（点集中在两个象限，展现出很高的相关性）：
而如果把x换成智力，y换成身高，那么就会变成下面这个样子（所有点四个象限都有，展现出无关性）：
3. 多元高斯分布：
未完待续！
2.5 Nonparametric Methods
& & & 这章主要介绍两种无参方法：核方法和近邻法。
& & & &P122 开始介绍核密度估计时，从公式2.242到2.246都是为了推导未知概率密度p(x)的估计。
& & & 最后推导得到式2.246如下：
& & 其中V是x附近区域R的体积，K则是落入x附近区域R中的数据点个数，由此导出了两种不同的密度估计方法：
& & (1)如果固定K而估计V的大小，那么就是kNN算法(k固定而根据选定最近的k个数据来评估R的体积)
& & (2)如果固定V而估计K的大小，那么就是核密度估计，用一个核函数表示一个固定的体积V，然后数数这个体积里面数据点K的个数
& &这就是对这两种无参数方法比较深入的理解，很好。
& & 关于核密度估计，虽然还不是很清楚，但是可以知道其实它的道理跟P121的histogram approach是一样的，只不过核密度估计是高维的而已
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世界七大数学难题
这七个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯理论、纳卫尔－斯托可方程、BSD猜想
&&&&&&&美国麻州的克雷（Clay）数学研究所于日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。
　　其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。）
　“千年大奖问题”公布以来，&在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。&可以预期，“千年大奖问题”&将会改变新世纪数学发展的历史进程。
P问题对NP问题
　　在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数１３，７１７，４２１可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陈述的。
&&&&&&NP完全问题，是世界七大数学难题之一。&NP的英文全称是Non-deterministic&Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写法是&NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。数学上著名的NP问题，完整的叫法是NP完全问题，也即“NP&COMPLETE”问题，简单的写法，是NP=P？的问题。问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。证明其中之一，便可以拿百万美元大奖。
　　这个奖还没有人拿到，也就是说，NP问题到底是Polynomial（意思是多项式的），还是Non-Polynomial，尚无定论。NP里面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic（意思是非确定性的），P代表Polynomial倒是对的。NP就是Non-deterministic&Polynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。
&&&&&&什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。&
　　这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。&
　　完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。
&&&&&&&人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。
&&&&&&&解决这个猜想，无非两种可能，一种是找到一个这样的算法，只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法，所有这类问题都可以迎刃而解了，因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能，就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。前段时间轰动世界的一个数学成果，是几个印度人提出了一个新算法，可以在多项式时间内，证明某个数是或者不是质数，而在这之前，人们认为质数的证明，是个非多项式问题。可见，有些看来好象是非多项式的问题，其实是多项式问题，只是人们一时还不知道它的多项式解而已。如果判定问题π∈NP，并且对所有其他判定问题&π∈NP，都有π'多项式变换到π(记为π'∞π)，则称判定问题π&是NP完全的。对P类，NP类及NP完全问题的研究推动了计算复杂性理论的发展，产生了许多新概念，提出了许多新方法。但是还有许多难题至今没有解决，P=NP?就是其中之一。许多学者猜想P≠NP，但无法证明。
霍奇(Hodge)猜想
　　二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
庞加莱(Poincare)猜想
&&&&&&&庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。
　　如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
　　在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。
　　2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
黎曼(Riemann)假设
　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼()观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
　　量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。
纳维叶－斯托克斯方程的存在性与光滑性
　　起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。
贝赫和斯维讷通－戴尔猜想
　　数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。
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逻辑推理--智力题&
<span style="color:#& 蒙特门难题
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数学基础的一些经典链接
<span style="color:#:&用Stirling&#36924;近近&#20284;计算阶乘的探讨与应用
<span style="color:#:&多项式
幂数列求和纵横引论&&柳智宇
<span style="color:#:&RAS算法
-&The&Unapologetic&Mathematician，代数
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-&Doron&Zeilberger的数学杂谈
-&都跟Haskell&有关
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