过圆O x^2+y^2=4 内一点A（1,0）作圆O的弦BC求弦BC中点M与圆有关的轨迹方程程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-02-11 00:28 标签： 与圆有关的轨迹方程
已知圆x²+y²=4,过点A(4,0)作圆的割线ABC,则弦BC中点的轨迹方程为
___小jianeGB7
方法一、直接列方程求解（最基本但却是很笨的办法）设过A（4,0）的直线方程：y=kx+b则有,4k+b=0,b=-4ky=kx-4kx^2+K^2(x-4)^2=4x^2(1+k^2)-8k^2x+16k^2-4=0x1+x2=8k^2/(1+k^2)相切的条件：k=±√3/3x^2+(1/3)(x-4)^2=4,即,4x^2-8x+4=0,x=1BC中点的轨迹：令x=(x1+x2)/2,2x+2xk^2=8k^2,k^2=x/(4-x),k=±√[x(4-x)]/(x-4)y=k(x-4)=±√[x(4-x)]y^2=4x-x^2(x-2)^2+y^2-4=0即,（x-2)^2+y^2=2^2据上分析,定义域为：0≤x≤1方法二、作图法（简单快捷）自圆O作BC的垂线,垂足P.连接OB、OC因为OB=OC=2,三角形OBC是等腰三角形,OP是BC的中点在RtΔOPA中,连接斜边OA的中点Q、P则有,OQ=OP=QA=2可见,BC中点P与AO始终是直角三角形,且PQ恒等于2Q(2,0),P的轨迹是圆心为Q,半径为2的圆：（x-2)^2+y^2=2^2由于AB与圆O相切时,OP=2,OA=4,∠AOP=30度所以P(1,√3),即定义域：0=
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解:连结O和BC的中点D，则OD⊥BC所以△ODA为直角三角形，D到OA中点(2,0)的距离等于2即BC中点的轨迹方程为(x-2)²+y²=4两圆的交点的横坐标为1，因为BC的中点不在圆x²+y²=4外所以0≤x≤1因此BC中点的轨迹方程为(x-2)²+y²=4(0≤x≤1)...
(x-2)²+y²=4,其中x∈[0,1]
扫描下载二维码已知圆x^2+y^2=5,O为坐标原点.（1）过点P（0,3倍根号2）的直线l被该圆截得的弦长为8,求直线l的方程.（2）三角形ABC内接于此圆,点A的坐标（3,4）,若直线AB与直线AC的倾斜角互补,求证：直线BC的斜率为定值.
萧炎牌TA745
圆的半径r＝√5,弦长最大等于直径2√5
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＞＞＞自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.-数学-魔..
自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.
题型：解答题难度：偏易来源：不详
BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内的部分).设P(x,y),连结OP,则OP⊥BC,当x≠0时,kOP·kAP=-1,即,即x2+y2-4x=0.①当x=0时,P点坐标(0,0)是方程①的解,∴BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内的部分).
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据魔方格专家权威分析，试题“自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.-数学-魔..”主要考查你对&&点到直线的距离&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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点到直线的距离
点到直线的距离公式：
1、若点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）上，则Ax0+By0+C=0。 2、若点P（x0，y0）不在直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）上，则Ax0+By0+C≠0，此时点P（x0，y0）直线Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离d=。 点到直线的距离公式的理解：
①点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离（这是从运动观点来看的）．②若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．③点到直线的距离公式适用于任何情况，其中点P在直线l上时，它到直线的距离为0．④点到几种特殊直线的距离：&&
发现相似题
与“自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.-数学-魔..”考查相似的试题有：
624605248614777152554775281504334982当前位置：
＞＞＞如图，已知椭圆，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，..
如图，已知椭圆，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且。(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若AB上的一点F满足，求证：CF平分∠BCA；(Ⅲ)对于椭圆上的两点P，Q，∠PCQ的平分线总是垂直于x轴时，是否存在实数λ，使得。
题型：解答题难度：偏难来源：陕西省模拟题
(Ⅰ)解：∵，∴，又，即，∴是等腰直角三角形，∵，∴C（1，1），而C在椭圆上，∴，∴，∴所求椭圆方程为。(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得，又，即，即点F分所成的定比为2，设，∵，∴，CF⊥x轴，∴，即CF平分∠BCA。(Ⅲ)解：对于椭圆上两点P，Q，∵的角平分线总是垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于x=1对称，，则，∵C（1，1），则PC的直线方程为，①QC的直线方程为，②将①代入，得，③∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程③的一个根，∴，同理将②代入，得，④∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程④的一个根，∴，，而，∴，∴PQ∥AB，∴存在实数λ，使得。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，已知椭圆，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，..”主要考查你对&&椭圆的标准方程及图象，向量的线性运算及坐标表示，直线与椭圆方程的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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椭圆的标准方程及图象向量的线性运算及坐标表示直线与椭圆方程的应用
椭圆的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在x轴上：；（2）中心在原点，焦点在y轴上：。椭圆的图像：
（1）焦点在x轴：；（2）焦点在y轴：。巧记椭圆标准方程的形式：
①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；②椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上；③椭圆的标准方程中，三个参数a，b，c满足a2= b2+ c2；④由椭圆的标准方程可以求出三个参数a，b，c的值．
待定系数法求椭圆的标准方程：
求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题：一是分类讨论，全面考虑问题；二是可把椭圆的方程设为n)用待定系数法求出m，n的值，从而求出标准方程，向量的线性运算：
向量的线性运算是指向量的加、减、数乘的运算；对于任意向量a,b以及任意实数&
向量的线性运算的坐标表示：
设，任意实数λ，m，n，则。平面向量的几个重要结论：
(1)若a、b为不共线向量，则a+b、a-b是以a、b为邻边的平行四边形的对角线的向量．如图： &&
直线与椭圆的方程：
设直线l的方程为：Ax+By+C=0（A、B不同时为零），椭圆（a＞b＞0），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y（或x）得到一元二次方程，进而应用根与系数的关系解题。椭圆的焦半径、焦点弦和通径：
（1）焦半径公式：①焦点在x轴上时：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；②焦点在y轴上时：|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0;(2)焦点弦：过椭圆焦点的弦称为椭圆的焦点弦．设过椭圆的弦为AB，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=2a+e(x1+x2)．由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数．(3)通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为&
椭圆中焦点三角形的解法：
椭圆上的点与两个焦点F1，F2所构成的三角形，通常称之为焦点三角形，解焦点三角形问题经常使用三角形边角关系定理，解题中，通过变形，使之出现，这样便于运用椭圆的定义，得到a，c的关系，打开解题思路，整体代换求是这类问题中的常用技巧。关于椭圆的几个重要结论：
（1）弦长公式： （2）焦点三角形：上异于长轴端点的点， (3)以椭圆的焦半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切．(4)椭圆的切线：处的切线方程为
（5）对于椭圆，我们有
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与“如图，已知椭圆，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，..”考查相似的试题有：
269472279434520941450441403360252725自点A(4,0)引圆x^2+y^2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.
我用几何的做法吧~~~
设坐标原点为O,则OP必垂直于AP,这个初中生都懂~~~
接着无论P点怎么运动,都满足上面这个条件,那么,可以视为OA是直径,圆x2+y2=1的最右端点为圆心,P的轨迹也就是这个圆,故其方程为(x-2)2+y2=4
他的op为什么垂直ap
最好有图 谢谢
P(x,y)k(OP)=y/x,k(BC)=y/(x-4)k(OP)*k(BC)=-1(y/x)*y/(x-4)=-1(x-2)^2+y^2=4|OB|=|OC|=r,P是BC的中点,所以OP垂直BC
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