求余切定理、公式如题,余切存在定理吗?
天堂梦丶鯝韰
余切就这个公式→tanx°=sinx°/cosx°
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正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
推倒公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c余弦定理:a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a...
cotX=cosX/sinXcsc^2X=cot^2X+1
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作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
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文章来源莲山课件 w ww.5 Y K j.Co M 1.1.2余弦定理目标1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学设想[创设情景]&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C如图1．1-4，在 ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和 C，求边c&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& b&&&&&&&&&& a
A&&&&&&&& c&&&&&&& B[探索研究]&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (图1．1-4)联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& A如图1．1-5，设 ， ， ，那么 ，则&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&& C&&&&&&&&&&& B& (图1．1-5)从而&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 同理可证&&&&&&&&&&&& 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即&&&& &&&&&&&&&&&&& 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：&&&&&&&&&&& [理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若 ABC中，C= ，则 ，这时 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题:例1．在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A⑴解：∵ = cos = = 8&&&&&& ∴ 求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos& ∴ 解法二：∵sin 又∵ ＞ &＜ ∴ ＜ ，&& 即 ＜ ＜&&& ∴ 评述：解法二应注意确定A的取值范围。例2．在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形解：由余弦定理的推论得：cos &&&&&&& ；cos&&&&&&&&&& ；& [随堂练习]第51页练习第1、2、3题。[补充练习]在 ABC中，若 ，求角A（答案：A=120 ）[课堂小结]（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。（五）：作业：第52页[习题2.1]A组第5题。&& 三角形中的几何计算教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。教学设想:[创设情景]:思考：在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形。从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。[探索研究]:例1．在 ABC中，已知 ，讨论三角形解的情况分析：先由 可进一步求出B；则 从而 1．当A为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。2．当A为锐角时，如果 ≥ ，那么只有一解；如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若 ，则有两解；（2）若 ，则只有一解；&&&& （3）若 ，则无解。评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。[随堂练习1]（1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。（2）在 ABC中，若 ， ， ，则符合题意的b的值有_____个。（3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。&& （答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）例2．在 ABC中，已知 ， ， ，判断 ABC的类型。分析：由余弦定理可知&（注意： ）解： ，即 ，∴ 。[随堂练习2]（1）在 ABC中，已知 ，判断 ABC的类型。 （2）已知 ABC满足条件 ，判断 ABC的类型。 （答案：（1） ；（2） ABC是等腰或直角三角形）例3．在 ABC中， ， ，面积为 ，求 的值分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理&& 解：由 得 ，则 =3，即 ，从而& [随堂练习3]（1）在 ABC中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角C（2）在 ABC中，其三边分别为a、b、c，三角形的面积 ，求角C（答案：（1） 或 ；（2） ）[课堂小结]（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；（2）三角形各种类型的判定方法；&（3）三角形面积定理的应用。（五）课时作业:（1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。（3）在 ABC中， ， ， ，判断 ABC的形状。（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 的根，求这个三角形的面积。 文章来源莲山课件 w ww.5 Y K j.Co M
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?定理应用/余弦定理
余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下两种需求：当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。求边余弦定理公式可变换为以下形式：余弦定理余弦定理余弦定理因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。三角函数余弦定理如上图所示，△ABC，在c上做高，将c边写：余弦定理将等式同乘以c得到：余弦定理运用同样的方式可以得到：余弦定理余弦定理将两式相加：余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理向量余弦定理中，，，：余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理求角余弦定理公式可变换为以下形式：余弦定理余弦定理余弦定理余弦定理因为余弦函数在上的单调性，可以得到：余弦定理余弦定理余弦定理因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
历史/余弦定理
余弦定理的历史可追溯至西元三世纪前欧几里得的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。
作用/余弦定理
(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边。(3)已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。(见解三角形公式，推导过程略。)判定定理一(两根判别法):若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值①若m(c1,c2)=2,则有两解②若m(c1,c2)=1,则有一解③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。注意:若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。判定定理二(角边判别法):一当a>bsinA时①当b>a且cosA>0(即A为锐角)时，则有两解②当b>a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)③当b=a且cosA>0(即A为锐角)时，则有一解④当b=a且cosA<=0(即A为直角或钝角)时,则有零解(即无解)⑤当b二当a=bsinA时①当cosA>0(即A为锐角)时,则有一解②当cosA<=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)三当a解三角形公式解三角形公式例如:已知△ABC的三边之比为5:4:3，求最大的内角。解 设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.由三角形中大边对大角可知:∠A为最大的角。由余弦定理cos A=0所以∠A=90°.再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之长。解 由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A=4+9-2×2×3×cos60=13-12x0.5=13-6=7所以BC=√7. (注:cos60=0.5,可以用计算器算)以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。平面几何证法在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得:AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
其他/余弦定理
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理。
(√6+√2)/4
(√6-√2)/4
先考虑怎样计算三角形第三边的长
余弦定理的实际应用/余弦定理
在实际生活中，余弦定理是在计算机应有技术中的智能推荐系统，新闻分类中的基本算法之一。从吴军的《数学之美》那本书上知道余弦公式是可以对新闻进行分类的，当然就可以用来对用户进行分类了。引用《数学之美》文章中的话:"向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。" "当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复(用这个办法可以删除重复的网页);当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类;夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。 "同理，可以在推荐系统中用来计算用户或者商品的相似性。
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余弦定理在求边以及求边的范围的几点思考
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