若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2-6x-27=0，x2-2x-8=0，x2+3x-=0，x2+6x-27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．
（1）不是，解方程x2+x-12=0得，x1=3，x2=-4．|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程；（2）存在．理由如下：∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n，当b=-6，c=-27时，-27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0时，m=-，∴c=-b2．∵2+3x-274＝0是偶系二次方程，当b=3时，c=-×32．∴可设c=-b2．对于任意一个整数b，c=-b2时，△=b2-4ac，=4b2．x=，∴x1=-b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，c=-b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．
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（1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；（2）由条件x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是偶系二次方程建模，设c=mb2+n，就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出结论．
本题考点：
根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．
考点点评：
本题考查了一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用根与系数的关系的运用及数学建模思想的运用，解答本题时根据条件特征建立模型是关键．
扫描下载二维码这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~设二次函数f(x)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)*f(1)＞0,求证：【1】方程f(x)=0有实根；【2】-2＜b/a＜-1：【3】设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,则(√3)/3≤|x1-x2|＜1.
血刺东东1oN
(1)&f(x)=0,即3ax^2+2bx+c=0△=（2b）^2-12ac=4b^2-12ac因为a+b+c=0所以△=4b^2-12ac=4[b^2+3a^2+3ab]=4[(3/2a+b)^2+3/4a^2]&0所以方程f(x)=0有实根；
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＞＞＞设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c..
设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）与圆x2+y2=2的位置关系为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
由韦达定理可知：x1+x2=-ba，x1x2=-ca，∴x21+x22=b2a2+2ca=b2+2aca2＞2，∴点P（x1，x2）在圆x2+y2=2外，故答案为点P（x1，x2）在圆x2+y2=2外
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据魔方格专家权威分析，试题“设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c..”主要考查你对&&双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
双曲线的离心率的定义：
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率．(2)e的范围：e&l．(3)e的含义：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大． 渐近线与实轴的夹角也增大。双曲线的性质：
1、焦点在x轴上：顶点：（a，0），（-a，0）；焦点：（c，0），（-c，0）； 渐近线方程：或。 2、焦点在y轴上：顶点：（0，-a），（0，a）；焦点：（0，c），（0，-c）； 渐近线方程：或。 3、轴：x、y为对称轴，实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距2c。 4、离心率； 5、中，取值范围：x≤-a或x≥a，y∈R，对称轴是坐标轴，对称中心是原点。双曲线的焦半径：
双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径，分别记作
关于双曲线的几个重要结论：
(1)弦长公式（与椭圆弦长公式相同）．(2)焦点三角形：已知的两个焦点，P为双曲线上一点（异于顶点），
的面积为在解决与焦点三角形有关的问题时，应注意双曲线的两个定义、焦半径公式以及三角形的边角关系、正弦定理等知识的综合运用，还应注意灵活地运用平面几何、三角函数等知识来分析解决问题．(3)基础三角形：如图所示，△AOB中，
(4)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长．(5)自双曲线的焦点作渐近线的垂线，垂足必在相应的准线上，即过焦点所作的渐近线的垂线，渐近线及相应准线三线共点．(6)以双曲线的焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切或内切．(7)双曲线上一点P(x0，y0)处的切线方程是(8)双曲线划分平面区域:对于双曲线,我们有：P(x0，y0)在双曲线内部（与焦点共区域) P(x0，y0)在双曲线外部（与焦点不其区域)&
发现相似题
与“设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c..”考查相似的试题有：
467988557411279998283944394663308841【答案】分析：（1）由①②③中两根之和与两根之积的结果可以看出，两根之和正好等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积正好等于常数项与二次项系数之比．（2）欲求k的值，先把代数式x12+x22变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求k值．解答：解：（1）猜想为：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有，．理由：设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么由求根公式可知，，．于是有，，综上得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有，．（2）x1、x2是方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两个实数根∴x1+x2=-（2k+1），x1x2=k2-2，又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=（x1+x2）2-2x1x2∴[-（2k+1）]2-2&（k2-2）=11整理得k2+2k-3=0，解得k=1或-3，又∵△=[-（2k+1）]2-4（k2-2 ）≥0，解得k≥-，∴k=1．点评：本题考查了学生的总结和分析能力，善于总结，善于发现，学会分析是学好数学必备的能力．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
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科目：初中数学
题型：阅读理解
阅读并解答：①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1．②方程2x2-x-2=0的根是x1=，x2=，则有x1+x2=，x1x2=-1．③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-，x2=1，则有x1+x2=-，x1x2=-．（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0有实数根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值．
科目：初中数学
来源：安徽省期中题
题型：解答题
阅读并解答：①方程x2﹣2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1．②方程x2﹣x﹣2=0的根是x1=，x2=，则有x1+x2=，x1x2=﹣1．③方程3x2+4x﹣7=0的根是x1=﹣，x2=1，则有x1+x2=﹣，x1x2=﹣．（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0有实数根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值．
科目：初中数学
来源：学年安徽省巢湖市九年级（上）期中数学试卷（解析版）
题型：解答题
阅读并解答：①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1．②方程2x2-x-2=0的根是x1=，x2=，则有x1+x2=，x1x2=-1．③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-，x2=1，则有x1+x2=-，x1x2=-．（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0有实数根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值．
科目：初中数学
来源：第2章《一元二次方程》中考题集（15）：2.3 公式法（解析版）
题型：解答题
阅读并解答：①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1．②方程2x2-x-2=0的根是x1=，x2=，则有x1+x2=，x1x2=-1．③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-，x2=1，则有x1+x2=-，x1x2=-．（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0有实数根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值．
科目：初中数学
来源：学年安徽省巢湖市九年级（上）期中数学试卷（解析版）
题型：解答题
阅读并解答：①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1，则有x1+x2=2，x1x2=1．②方程2x2-x-2=0的根是x1=，x2=，则有x1+x2=，x1x2=-1．③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-，x2=1，则有x1+x2=-，x1x2=-．（1）根据以上①②③请你猜想：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根为x1，x2，那么x1，x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并证明你的猜想；（2）利用你的猜想结论，解决下面的问题：已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0有实数根x1，x2，且x12+x22=11，求k的值．
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