拓展数学学科的育人价值
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拓展数学学科的育人价值
拓展数学学科的育人价值
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拓展数学学科的育人价值
&&& “新基础”在教学研究中提出了“拓展学科育人价值”的任务。本人作为该研究课题的成员，并具体承担数学学科教学改革的研究，对这一任务作了结合学科的理论思考和实践探究。本文从三方面阐述自己对拓展数学学科育人价值的认识。
&&一、&&&&&& 对数学教学育人价值的认识偏差
&&& 数学是中小学教学的重要基础性课程，历来受到学校领导、教师和家长的重视。因此，每一次重大的课程教学改革都会涉及到数学学科的改革。近年来讨论较多的是关于学生数学能力培养及数学与生活关系的研究，专门从“育人”的角度来全面研究数学学科的价值似不多见。因此可以说，在总体上教师还缺乏这方面的自觉意识。但是，缺乏不等于不存在。实际上，长期以来人们对数学学科的育人价值的认识存在着偏差。这些偏差概括起来主要表现在以下三个方面：
偏差之一是对数学学科育人价值认识的狭窄化。所谓狭窄化，就是对数学学科的价值认识停留在教学数学知识上。表现出一种为教知识而教知识的状态，把学生当作是为学习数学知识而存在的，教师是为教数学知识而存在的，数学学科的育人价值被局限在掌握数学知识上。这可以从教师关于教学目标的制订中窥见一斑，具体地说，大多数教师只是围绕知识点的理解、掌握和运用来制订教学目标。例如教师对于小学数学教材中《商不变性质》的教学目标的制订，一般都停留在：①理解和掌握商不变性质；②学会运用商不变性质进行简便运算。可以说，大部分的数学概念、法则、性质等的教学目标都停留在这个水平上。
偏差之二是对数学学科育人价值认识的空泛化。所谓空泛化，就是对数学学科的价值认识停留在空洞的口号上。具体地说，教师在制订教学目标时，除了知识点的教学目标以外，增加了一些口号性的目标。还以上述《商不变性质》为例，有的教师把教学目标制订为：①理解和掌握商不变性质；②学会运用商不变性质进行简便运算；③培养学生的创新精神；④培养学生的团队合作精神。后两条增加的目标，反映了教师对数学学科多元价值的意识开始觉醒。他们原本的意思可能是指通过小组讨论来学习该内容，并且鼓励学生在学习该内容时独立思考、大胆发表意见。但是象这样口号性的目标，具有“普适性”，它几乎可以作为任何一堂课的教学目标。正因为如此，没有找到特性和载体的空泛目标，尽管在许多中都能看到，但仅凭此，在任何教学中都不会具体落实，所以它只能起到贴标签的作用，仅仅表达了教师改革数学的愿望而已。
&&& 偏差之三是对数学学科育人价值认识的短期化。所谓短期化，就是对近期的、可测量的考核目标的追求和满足，把小学数学学科的价值定位在考试成绩的提高，忽视了学生对数学知识的发生和形成过程的探索和体验，使数学教学趋于死记硬背。这种强化练习可能要考到的内容，以达到牢固记忆、熟练应答、考试成功的目的的现象，可以从数学课上有层次、有坡度、大题量的“经典”练习中得到印证。数学学科的育人价值被局限在应试上。之所以把“应试”也称作育人价值，原因有二：一是应试关涉到学生将来的升学和发展，并非与学生的成长无关；二是应试的内容大量是基础性的，也是数学的重要组成。但问题出在仅用大量的机械练习来应对考试，考什么练什么的急功近利的做法，且仅仅为应试而教，把学生当作是为考试和练习而存在的人，这就完全违背了的真谛了。
& 二、&&&&&& 重新认识数学学科对于学生发展的价值
上述认识的偏差，使数学学科渐渐丢失了更为根本和长远的价值----对学生发展的奠基性价值。那么，数学学科对于学生的发展有怎样的价值？如何开发和丰富数学学科的育人资源？“新基础”研究把这两个问题，作为数学学科改革的根本性问题，研究人员和实验教师一起展开了研究。下面是我们对这些根本性问题的思考和认识。
&&& 要对数学学科的进行价值选择，首先需要对作为学校组成的数学有一个重新认识。
作为学校组成的数学---学校数学，是学校中开设的一门课程，它和科学数学既有联系，又有区别。概括地说区别在于：首先是指向不同。作为科学的数学以揭示数量关系和空间形式为目的，通过逻辑推理发现数学结论，着眼于深刻精确地阐明数学理论，指向数学学科本身的发现和推进。学校数学作为学校的内容和过程之一，其所以要设立的根本依据是人的成长。学生的发展和与他人的真实交往、以及人在各种社会实践中都需要数学的滋养。学校数学说到底是以育人为目的，即使是为数学的发展，也还是要指向人，而不是直接指向数学本身的发展。其次是构建知识的路径不同。科学数学十分强调对定理和法则进行严格的演绎推理论证。学校数学则是利用最基本的方法如归纳法、实验法等等帮助学生得出结论、建构知识。第三是认识的起点不同。科学数学认识的起点建立在一定的公理体系上。学校数学认识的起点往往是学生生活中的实际经验、实际事例，以及学生已有的数学知识。在过去，我们可能更多的是把学校数学当作学习已有的科学数学的知识来对待，从而导致把数学学科的价值窄化；在尚未深入研究数学学科具体的育人价值的情况下空说育人价值，从而导致了认识数学育人价值上的泛化；而习惯于追求教学价值的功利性，又使数学的价值贫乏化和短期化。
&&& 对学校数学的特性的重新认识和定位，使我们进一步认识到，学科教学是“育人”的载体，教书最终是为了“育人”。因此，要加强研究如何充分发挥数学学科的功能，通过数学教学这一重要途径来促进学生主动发展总目标的实现。这是一个在每天每节数学课的教学过程中，坚持不懈的渗透和体现数学学科的育人价值的过程。他与教学数学知识不矛盾，相反，只有籍助于数学知识的教学才能实现。
为此，“新基础”数学教学的改革，从原来关注数学知识的层面向更深的层次开发。我们认为，数学学科对于学生的发展价值，除了数学知识本身以外，至少还可以提供学生特有的运算符号和逻辑系统，使学生具有数学的语言系统；可以提供学生认识事物数量、数形关系及转换的不同路径和独特的视角，使学生具有数学的眼光；可以提供学生发现事物数量、数形关系及转换的方法和思维的策略，使学生具有数学的头脑；可以提供学生一种惟有在数学学科的学习中才有可能经历和体验并建立起来的独特的思维方式。
&& 数学是学生学习的一门学科。人类在创造数学的同时，创造了数学所独有的话语系统---运算符号和逻辑系统，使千百年来的数学发明和创造得以流传至今。作为学校课程的数学教学有助于数学的流传。然而，这种流传在很大程度上取决于学生对数学独特的话语系统的掌握是否具有同一性。如果学校数学的教学能够尽可能多的提供学生互相交往、合作交流的机会，尽可能多的体验和实践数学的话语系统，就能提高学生运用数学语言系统的成熟度。
&&& 数学是学生认识世界的一种工具。很难想象如果没有数学，人们怎么能全面、深刻地认识世界！但是在日常生活中，几乎不容易看到帮助我们认识世界的数学。因为数学作为事物和关系组成的数形及其变换，已无处不在地渗透在世界之中，同时又似乎无形地隐藏其中。如果学校数学的教学能够体现数学来自于现实生活，又应用到现实生活中去，就有可能提供学生独特的观察视角，去进一步认识和发现自己生活在其中的数学。
数学又是学生在学习中需要进行的一种思维活动。在数学学习的活动中发展学生的思维，这是数学对于学生思维发展的价值。这一点是勿用质疑的，过去是、现在是、将来依然是。然而，如果只关注传递数学教科书上呈现的现成知识，难以达成这个目标，相反，实际上只是让学生学会简单接受、模仿、配合、服从等被动的思维方式。在这样的课堂教学中，学生内在于生命中的主动精神和探索欲望，常常受到压抑，甚至被磨灭。“新基础”强调数学对于学生主动思维的发展价值。“新基础”相信学校数学的教学能够提供学生主动探索、体验、实践的时间和空间，并且，在这个过程中，能够给学生以力量和智慧。因为数学特有的内在的知识结构、数学知识创生和发展的过程，以及诸多的凝聚着前人智慧的数学发明和创造，本身就是一本“活生生”的教科书，它可以激发学生主动探索的欲望，提供学生发现的方法和思维的策略。
数学更是学生在生活中需要的一种思维方式。数学的思维方式表现出抽象的特征，但并不是无实践和实体之根的抽象，也不是无规律可循的不可捉摸的东西，它渗透于各种具体的数学活动之中。籍助于具体的数学知识内容的教学活动，帮助学生建立数学的思维方式，不仅十分重要，而且是完全有可能的。如果学校数学的教学能够揭示隐藏在数学知识的背后的数学思想和数学方法；能够提供学生主动的实践数学思想和数学方法的机会，就有可能使学生真正感受数学思维方式的力量，逐渐形成这样的思维方式，并将这种思维方式在日常的生活中自觉的加以运用。
& 三、&&&&&& 如何开发数学学科的育人资源
&& 对于拓展数学学科育人价值的意识觉醒，为我们对数学学科进行根本性的改革提供了可能。然而，在由可能向现实转化的过程中，尚须付出更大的努力和进行新的探究。
&&& 困难与障碍首先来自于传统的数学教科书的呈现方式。它把数学知识的整体划分成一个个知识点、按照知识点的难易程度、用演绎的方式编排而成，使原本具有丰富内在关联的知识，经过人为处理变成以“点”为单位的符号系统；它又以客观真理的面目出现在学生面前，要求学生按规定的程序去理解、掌握和运用。而许多教师往往意识不到这个问题，被局限在教材知识点的框架内，按照一个知识点一个例题“掐头去尾烧中段”[1]的方式进行教学。这样就会导致学生在学习中障碍重重，且感到数学十分的枯燥乏味和无用。因为它割裂了数学知识整体之间的联系，割裂了数学知识与人的生活世界的联系，割裂了数学知识与人发现问题、解决问题、形成知识过程的联系。学生和教师在教学中遭遇的知识是固化的真理---一堆“死”的符号型的结论，带来的结果，是学校数学教学提供的育人资源的原始贫乏。
&&& 为了克服传统的数学教科书中的“资料系统”的育人资源的贫乏现象，“需要将凝固的书本知识‘激活’，使知识恢复到鲜活的状态”&：实现书本知识与数学知识整体的、内在的结构的沟通，实现书本知识与人发现问题、解决问题、形成知识过程的沟通，实现书本知识与人的生活世界和儿童经验世界的沟通，从而丰富和拓展数学学科的育人资源。在“新基础”教学实践中，我们主要进行了如下的改革：
&&& 1、& 以数学知识的内在结构作为育人资源
&&& “新基础”研究提出了“要通过教学实现学科对于学生发展的独特的价值”&，这一目标与任务是高远而又平实的。高远在于最终要让学生建立起独特的思维方式，平实在于这样的思维方式需要通过每天每节课教学的渗透才能得以建立。那么，有没有实现这一目标的可能呢？
&&& 在研究的初期，我们发现几乎没有实现的可能！因为在课堂上，教师常常只局限在教学种形式上的改革。以小学数学的计算教学为例，由于当时的教材按照计算形式和结果的不同，将计算知识的整体分为不同的类型：如口算和笔算，按法则依次运算和简便运算，精确运算和估算等等。教材还按知识的难易程度，以一个个知识点，配置一个个例题的形式进行编排。教师在教学时，遵循教材的体例，一个知识点一个例题孤立地进行。课堂上虽然有了方法多样、提问质疑、小组讨论等学生“主动”活动的形式，但是，透过这种“主动”形式，可以发现学生思维的深处是“被动”的应付和服从：教师教学简便运算的方法时，学生不会出现估算的方法；教师教学估算的方法时，学生不会用简便运算的方法。如此按照书本知识一个知识点一个例题的教学方式，使得学生同样很会“配合”教师，他们会围绕着知识点质疑讨论、思考多种方法。这种为方法而方法、为质疑而质疑、为讨论而讨论的教学形式，实质还是“教”学生机械地掌握计算方法，“育”出以被动适应为基本生存方式的人。
&&& 为了让学生的思维真正地主动起来，“育”以主动发展为基本生存方式的人，“新基础”意识到应该以数学知识的内在结构作为育人资源，树立数学教学的整体结构观。因为结构具有较知识点要强得多的组织和迁移能力，不仅可以使学生对结构相关的知识牢固掌握、熟练运用并加以内化，更为重要的是，通过结构的学习，可以使学生因结构的支撑而乐于、善于主动的猜想与类比，促使学生的思维真正地主动投入，形成主动学习的心态与能力。在此基础上，还可进一步使学生具有发现、形成结构的方法及掌握和灵活使用结构的能力。关于结构的教学，我们采用“长程两段式”的教学策略：首先需要对现有教学内容进行重组，按数学知识内在的逻辑组成结构链；其次需要教师打破原来的一个知识点一个例题“匀速运动”的教学方式，将每一结构单元的学习分为“教学结构”阶段和“运用结构”阶段。在“教学结构”阶段，主要采用归纳发现的方式，让学生从现实的问题出发，充分的体验发现和建构，逐渐形成知识结构和学习的方法与步骤结构。这一阶段的教学时间可以适度放慢。在“运用结构”阶段，主要让学生运用结构进行主动的猜想、类比与验证。由于学生已经能够掌握和灵活运用结构进行主动学习，这一阶段的教学的时间可以加速的方式进行。
&&& 以小学数学的加、减、乘、除法的笔算教学为例，教师要确立融口算、笔算、简算、估算为一体的整体意识，以教学笔算的运算结构为主线，将其它各种计算方法渗透在其中。在教学加法笔算的运算结构时，以“教学结构”的方式为主；在教学其它方法的笔算结构时，以“运用结构”的方式为主。我们期望达到的目标不仅是学生对运算结构的掌握和灵活运用，更为重要的是，提高教师数学教学的整体意识，努力创造条件，提供各种学生活动的机会，学会以捕捉学生所生成的资源作为契机，将口算、简算、估算等方法综合地渗透在教学中，以培养学生快速判断和灵活选择方法的意识与能力。我们认为，首先，融各种计算方法为一体的计算教学是载体，它为培养学生灵活判断和选择的能力服务，为培养学生整体把握问题的能力服务。其次，融各种计算方法为一体的计算教学，为学生学会根据具体情境和条件进行判断、并灵活选择相应的计算方法提供了舞台和发展的空间，使学生有意义的学习和灵活运用各种计算方法成为可能。这样既可以使学生的思维得到主动地发展，又可以使计算教学的知识目标水到渠成地得到落实。
&&& 2、以数学知识创生和发展的过程作为育人资源
&&& 以往的数学教学比较重视数学知识的记忆与应用，教学中重演绎轻归纳，学生只知道记忆符号，疲于模仿与操练，却不知道知识的来龙去脉。以数学知识创生和发展的过程作为育人资源，不但可以让学生了解数学知识的来龙去脉，而且可以让学生在学习过程中经历和体验数学知识的创生和发展的过程，感受数学的基本思想和方法，感受数学的抽象和力量，形成学习数学的内驱力，并逐渐建立起独特的思维方式，这是其它学科无法替代的、惟有数学学科所独有的价值。
要还数学知识创生和发展过程的本来面目，还需要通过将教材知识点按其被发现、发展的过程进行重组与加工，实现书本知识与数学知识创生和发展过程的沟通。
例如，中学数学几何中关于“全等三角形的判定定理”的教学，传统教材不是按照人们发现判定定理的过程来叙述的，而是把发现的结果（四个判定定理），按照一个课时教学一个定理一个例题一组练习的形式加以编排，并且以演绎的方式呈现在学生的面前。这样的呈现方式，首先是容易导致学生死记硬背和机械的练习；其次是容易导致学生是为学习这些判定定理而存在的；更为重要的是，容易导致学生思维的压抑和被动。因为它对学生的学习需要缺乏关注；对学生如何经历与体验全等三角形判定定理的发现过程缺乏关注；对学生如何进行有意义的学习缺乏关注。也就是对学生学习全等三角形判定定理的有机过程与价值缺乏思考和研究。
为了还全等三角形判定定理发现、发展过程的本来面目，我们在实验中首先分析了学生已有的学习经验，以及在学习中经常会出现的困惑和需要解决的前提性问题。如确定一个三角形至少需要几个条件？全等三角形的判定定理中至少需要有几个条件？三角形的边与角按照三个条件的组合共有多少种？在诸多的组合中（共有六种）是否都能成为判定定理？等等。然后对教材内容按其被发现、发展的过程进行了重组与加工：在第一教时，着重让学生从整体感知，了解全等三角形判定定理的来龙去脉，经历观察、发现、猜想、验证、归纳和概括等数学活动，体验全等三角形判定定理的形成过程，感受渗透其中的数学思想和数学方法，感受从偶然到必然、从特殊到一般的归纳发现的思维方式。在第二或第三教时，着重让学生对判定条件进行快速判断和对判定定理的灵活选择，及掌握运用判定定理进行证明时的书写格式。第一教时的教学设计，采用归纳发现的方式进行教学。首先，提出判定三角形全等的前提性问题，以激发学生的学习需要和求知欲望；接着，可以两人合作的形式，选择六种组合中的一至两种组合进行猜想和实验验证；然后，全班交流，归纳概括，得出六种组合中的四种能够成为判定定理的结论。在这里，其中的两种不构成判定定理的组合，将成为学生形成正确认识的重要资源。
如果我们把全等三角形判定定理的教学，放到整个中学几何的判定定理的知识结构中去，这样的教学方式都能适用，并且，可以采用“长程两段式”的教学策略，在中学几何出现判定定理的一开始，以“教学结构”为主，后面的判定定理的学习就可以让学生“运用结构”进行主动的思考、猜想和发现。我们认为，这样教学对于学生发展的价值在于：不仅让学生整体感知和了解判定定理的来龙去脉，形成有意义的认识，而且让学生经历和体验判定定理的形成过程，感受数学的思想和方法。更为重要的是，学生掌握了判定定理的知识结构和学习方法结构，在以后的判定定理的学习时，就有了主动的猜想和类比的可能，这对学生主动的思维和形成主动的学习心态都是十分重要的。
&&& 在实验中，我们不但从知识的角度，以数学整体和内在的知识结构、数学知识创生和发展的过程作为育人资源，而且还从人的角度，以数学发明与创造的人和历史作为育人资源，以学习数学的学生的基础和生活经验作为育人资源。
&&& 3、以数学发明的人和历史作为育人资源
&&& 在人类数学发展的历史长河中，闪烁着一颗颗明亮的星星。远，可以追溯到发现圆周率的祖冲之；近，可以联想到苏步青、陈景润。许多国内的、国外的、大大小小的数学发明或创造，充分体现了前人的智慧。传统的数学教科书虽然有提及，但大多只作介绍而已，以后人记忆或运用前人成果之方式来呈现，导致这些重要的育人资源成为被人遗忘的角落。数学教学需要对此进行深度的开发，实现书本知识与数[1]&&
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_图形的认识_的育人价值与教学策略_基于整体结构化的教材解读
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官方公共微信　　根据《全日制义务数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》），空间与图形部分的教学内容是义务阶段数学课程的重要组成部分。如何设计初中空间与图形的教材内容，许多问题需要研究。本文对其中的几个主要问题作初步的探讨。　　一、“空间与图形”的教学目标　　《课程标准》是编写新一轮义务数学实验教材的依据，认真学习研究《课程标准》是明确“空间与图形”的教学目标的前提。我认为，要综合《课程标准》中所阐述的的整个义务阶段数学课程的价值、初中数学总体教学目标、“空间与图形”教学任务等几方面来领会空间与图形的教学目标。此外，我认为可以从下面两个角度来认识空间与图形的教学目标。　　首先，从学生的数学学习、数学能力培养的角度来看，我认为研究空间与图形的教学目标，主要有以下三个方面。　　(一)学习空间与图形的基础知识　　数学作为研究现实世界的空间形式与数量关系的一门学科，几何学又主要作为反映现实世界空间形式的的一门学科，是学生认识现实世界的锐利武器。几何学同其他科学一样来源于实践，是人们为了自身的生存和发展，在与自然界长期奋斗中发展起来的，欧几里得的《原本》是早期人类对于生活其中的现实世界中图形知识的系统认识和总结，是人类对于现实生活空间的直接反映，并用来指导人们的生产和生活实践。一位数学家这样描述几何学：“欧几里得几何建立了很简单直观、能为孩子们所接受的数学模型，然后教会他们用这样的数学模型去思考去探索。点、线、面、三角形和圆──这是一些多么简单又多么自然的数学模型，却能让孩子们在数学思维的天地里乐而忘返。很难想像有什么别的材料能够这样简单同时又这样有成效”。在现代社会，基本的图形知识，是人们生活、工作、科研活动中的不可缺少的基础知识，每一个普通公民，不论人们从事什么工作，都会经常遇到各种几何量（长度、面积、角度、体积等等）的计算，各种基本几何图形（如三角形、四边形、多边形、圆等等）的性质和作图问题。空间与图形的基础知识是现代社会普通公民应该具有的基础知识。　　龚升教授最近在“数学历史的启示”一文中系统论述了目前我国中学数学教学内容中的算术与代数、几何与三角、微积分的教学价值、内容体系以及与大学数学课程之间的关系。他指出，中学生必须学习平面几何和立体几何的第一个理由是可以认识人们生活的三维欧氏空间中一些最基本的几何关系与性质。　　1986年中国学会数学教学研究会和人民出版社数学室的“中国经济与社会的发展对于数学基础知识和技能的需要的调查研究”得到结论：“平面几何的基本知识，解直角三角形与求积（包括立体）以及画图的技能，是绝大多数行业与专业所需要的”。　　就几何学的发展来看，在人类进入信息社会的今天，几何学对于社会发展的贡献越来越突出。无论是在CT扫描、核磁共振等医疗成像技术上，还是在机器人、光盘、传真、无线电话、高清晰度电视等最新电子产品上，都广泛应用了几何学理论。　　简而言之，几何学提供了现实世界的一个基本模型，这个模型的基本知识是学生易于学习、理解和掌握的应用广泛的基础知识。　　（二）建立空间观念和几何直觉。　　空间观念一般是指：能够由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状；能够由较复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；能够在基本的图形中找出基本元素及其关系；能够根据条件作出或画出图形，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型；能描述实物或几何图形的运动与变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。　　几何直觉是具有意识的人脑对于数学对象、结构以及规律性的敏锐的空间想象和迅速的判断，是想象和判断的有机结合。　　虽然空间观念和几何直觉的提高是空间与图形知识学习的必然而自然的结果，但空间与图形的教学仍要重视培养学生的空间观念和几何直觉，因为这两者对于学生学好整个中学数学课程具有重要的意义。　　吴文俊院士指出“几何学有形象化的好处，几何会给人以数学直觉。不能把几何学等同于逻辑推理。应该训练学生的逻辑推理能力，但也应适可而止。只会推理，缺乏数学直觉，是不会有创造性的”。对于数学学科的分类，大体说，数学中研究数量关系或数的部分属于代数学的范畴，研究空间形式或形的部分属于几何学的范畴。近代函数概念与微积分方法的出现，在数学中形成了系统研究形、数关系的分析学，成为近代数学中发展最迅速的部分。几何、代数、分析三大类数学，构成了整个数学的本体与核心，以上的数学基本结构也反映在中学数学的基本结构上。目前中学数学包括了代数、平面几何、立体几何、解析几何、概率与统计、微积分初步的基础知识。在学习这些内容的过程中，图形的直观性起着重要作用。龚升教授指出：“不学习平面几何和立体几何，无法学习解析几何和微积分”。实际上，数学通过数与形的联系成为一个有机的整体，尤其是，一旦实数以及实数组与在N维乃至无限维空间中的点建立了一一对应，从某种意义来说，整个数学就与图形密切相关了。所以，在几何教学中必须重视培养学生的空间观念和几何直觉。　　几何应作为数学的重要课程之一是长期以来国际数学界多数人的看法，其中重要的原因是几何在培养学生的空间观念和几何直觉上的作用。正如在第七届国际数学大会上一位俄罗斯的数学家所说：“几何（指欧氏几何）在数学中占据着一个特殊的地位，是因为它具有独特的作用，尤其是它的想像力和直观性。几何的实质是与直观的结合，一方面是一种生动直观的想像，另一方面是严格的逻辑。它们互相联系，互相渗透，互相引导。对于一个人来说，想像力是一种非常重要的能力，而几何发展了这种能力。在几何教学中必须确信学生在他的直观形象中领悟了每一个要领和定理。某人可能忘记他学过的几何，但对于空间的感知和空间想像能力诸方面的痕迹将永远保留下来。另一方面，几何灵魂的一个因素是它的逻辑，这是由它的构造特点而体现的，它来自经过欧几里得的一系列经过证明的理论。当一个人把所有的定理和证明都忘记时，证明的思想（即“必须要经过证明的”理论），则得以长期保留下来。”　　（三）培养思维能力。　　《课程标准》重视培养学生的思维能力，在《课程标准》的前言中就提出要使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。此外，《课程标准》对推理能力作了如下阐述：“推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论质疑。”从上面可知，《课程标准》重视让学生经历对几何图形性质的探索和证明的完整过程，让学生通过对几何图形的探索，对几何图形的性质进行猜想、发现并加以证明。在教学任务的表述中，《课程标准》强调了合情推理、有条理的思考、体会证明的必要性、综合法证明的格式、初步的演绎推理能力和初步的公理化思想，不追求证明的数量和技巧。　　让学生经历对图形性质的探索、发现和证明的完整过程，非常有助于让学生对图形的性质有真正的体会和理解，防止学生对于图形性质的机械记忆，并有助于更好地确立学生在数学学习中的主体地位。在过去的几何证明教学中，证明的必要性虽有所涉及，但给予重视不够，学生有时在没有认识为什么要对命题进行证明的情况下就开始了论证过程，目的性不明确，从而不能很好地理解证明。　　虽然除了在空间与图形内容以外的其他内容（比如在初中阶段的数与代数、统计与概率）中可以而且也应该担负起培养学生逻辑思维能力的任务，但空间与图形（几何）教学是培养学生的思维能力的主要途径。首先，空间与图形不仅仅是图形知识的堆砌，而是被组织成逻辑性较强的的教学体系，逻辑思维的规律在空间与图形里得到了较充分地体现。例如，三段论是演绎推理的主要形式，空间与图形的教学中几乎到处用到。思维的基本形式是概念、判断和推理，通过空间与图形中大量的概念、判断和推理的教学，学习逻辑思维的基本规律，掌握常用的推理方法，可以非常有效地提高学生的逻辑思维能力。第二，利用空间与图形对学生进行逻辑思维的训练的优越性还在于不要求学生有太多的知识作为基础，学生可以借助于图形的直观性，这一点适应了初中学生的认识水平。第三，初中学生在学习知识的过程中已不再满足于机械的模仿，单纯地记忆知识，而比较喜欢搞清来龙去脉，凡事常喜欢问“为什么”，因而初中阶段是培养逻辑思维能力的良好时机。　　在这方面，我们来看一看数学家是怎样说的。　　吴文俊院士指出：几何在中学有着重要位置。几何直觉与逻辑推理的联系是基本的训练，不应忽视。王元院士最近有一次论述几何教学时指出：“欧几里得《几何原本》除对几何很重要外，也包括了算术的基本规律，其主要作用是一本严格的逻辑推导书，所以有两千多年的影响”。龚升教授在“数学历史的启示”一文中论述初等几何的教学价值时又指出：“平面几何与立体几何是训练学生严格逻辑思维的最好方法之一，这种训练比上一门形式逻辑课更为有效，而这种训练对学生终身有用”。张景中院士在最近一次访谈中论及几何教学：“我认为几何是培养人的逻辑思维能力，陶冶人的情操，培养人良好性格特征的一门很好的课程。几何虽然是一门古老的科学，但至今仍然有旺盛的生命力。中学阶段的几何，对于学生形成科学的思维方法与世界观具有不可替代的作用。为什么当前西方国家普遍感到计算机人才缺乏，尤其是编程员缺乏，其中一个原因是他们把中学课程里的几何内容砍得太多，造成学生的逻辑思维能力以及对数学的兴趣大大降低。”牛顿在撰写《自然哲学的数学原理》时，就深受几何公理方法的影响，他在序中写：“从那么少的几条原理，就能够取得那么多的成果，这是几何学的光荣。”　　空间与图形除了从数学能力角度看主要应有以上的的教学目标和价值以外，在培养学生的运算能力和抽象能力（包括数学建模能力）等一些一般能力方面也起重要作用。此外，很重要的是要从它具有的思想、品格养成方面的角度来认识空间与图形的价值。从培养人的角度看，这甚至是更重要的教学目标。　　在这方面，有过许多重要论述。江泽民总书记在谈到几何学习的作用时指出：学习几何能锻炼一个人的思维，解答数学题，最重要的是培养一个人的钻研精神。爱因斯坦在论述欧氏几何时曾说：“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致它每一个命题都是绝对不容置疑的──我这里说的是欧几里得几何。推理的这种可赞叹的胜利，使人类的理智获得了为取得以后成就所必需的信心”。王梓坤院士指出：“在数学中严谨的推理和一丝不苟的计算，使得每一数学结论不可动摇。这种思想方法不仅培养了数学家，也有助于提高全体人民的科学文化素质，它是人类巨大的精神财富。”　　关于空间与图形知识的育人价值，归纳起来有以下几个方面：　　（一）有利于培养学生爱国主义的思想情感；　　（二）有利于学生形成辩证唯物主义的世界观；　　（三）有利于培养学生初步的创新精神和探究能力；　　（四）有利于培养学生学习数学的兴趣和信心；　　（五）有利于学生养成良好的学习习惯和思维习惯。　　二、内容结构体系问题　　怎样根据《课程标准》，把《课程标准》中空间与图形四个方面（图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明）的教学内容组织成一个合理的教学体系是完成空间与图形教学目标的关键。根据上面的论述，我认为应该按照图形的认识作为一条主线，按图形内容的逻辑关系来构建一个内容体系。内容的一种符合逻辑的体系结构，有助于学生掌握空间与图形的知识，有助于学生思维能力的提高，也有助于学生良好的空间观念的建立。所以，对于这部分内容，应按几何图形知识的逻辑关系构建内容体系，直观并可以适当借用平面直角坐标系介绍几何变换的初步知识，通过几何证明，着重培养空间观念、几何直觉和思维能力，从而逐步加深对基本几何图形的认识，通过知识学习，以达到培养学生爱国主义的思想情感、初步的辩证唯物主义的世界观、初步的创新意识和探究能力、学习数学的兴趣以及良好的学习和思维习惯等目标。　　根据以上的思想，我们对于空间与图形的内容作出以下的一个设计：　　空间与图形部分内容结构设计：　　第一部分简单图形的认识　　1．1生活中的图形　　通过丰富的实例，了解我们周围的立体图形，了解研究几何图形的重要意义。　　初步了解视图和展开图，判断立体图形的三视图和展开图。　　1．2点、线、面　　进一步认识点、线、面、体。图形的点集观点。观察与现实生活有关的图片（如照片、简单的模型图、平面图、地图等），了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、莫比乌斯带）。　　1．3直线　　直线、射线、线段。线段长短的比较。尺规作图：作一条线段等于已知线段；　　1．4角　　通过丰富的实例，进一步认识角。角的概念和角的度量，认识度、分、秒，会进行简单换算，会计算角度的和、差。会用三角板画30°、45°、60°的特殊角,利用量角器画角。　　1．5角的比较和运算　　会比较角的大小、角的和与差，能估计一个角的大小。了解角平分线的概念。尺规作图：作一个角等于已知角；作角的平分线；　　1．6补角和余角　　了解补角、余角的概念。知道等角的余角、等角的补角相等。邻补角，对顶角相等。　　第二部分相交线与平行线　　2．1相交线　　（1）垂线　　了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质。体会点到直线的距离的概念，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。　　（2）相交线中的角　　同位角、内错角、同旁内角。　　2.2平行线　　会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。　　平行公理，平行于同一条直线的两条直线互相平行。了解定义、公理的含义。　　2．3平行线的判定　　平行线判定公理：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，这两条直线平行。　　会证明平行线的判定定理。　　了解证明的含义。了解命题、定理的含义。结合具体例子，会区分命题的条件和结论。　　2．4平行线的性质　　平行线性质公理：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。　　以上面的公理为基础，进一步探索并证明平行的性质：平行线的性质定理。　　体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线间之间的距离。　　第三部分平面直角坐标系　　3．1平面直角坐标系　　了解平面直角坐标系的有关概念，能正确地画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标。　　3．2坐标方法的简单应用　　能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。　　灵活运用不同的方式确定物体的位置。　　第四部分三角形的基本性质　　4．1三角形的有关概念　　了解三角形的有关概念，会画任意三角形的的角平分线、中线和高。　　4.2三角形的内角和　　会证明三角形的内角和定理及其推论。　　三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角。　　4.3多边形及其内角和　　多边形的概念。探索并了解多边形的内角和与外角和公式。　　第五部分全等三角形　　5.1全等三角形　　全等形，全等三角形，对应边、对应角。了解全等三角形的概念。　　5.2全等三角形判定（一）　　边角边：若两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。　　能用边角边公理证明简单的命题。　　5.3全等三角形判定（二）　　角边角：若两个三角形的两角及其夹边分别相等，则这两个三角形全等。　　了解角平分线的的作法和性质（角平分线的性质定理及其逆定理）。　　能用角边角公理证明简单的命题。　　5.4全等三角形判定（三）　　边边边：若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。　　了解三角形的稳定性。　　能用边边边公理证明简单的命题。　　5.5三角形的有关作图　　利用尺规作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；　　了解作图的步骤。对于尺规作图题，会写已知、求作和作法。　　第六部分图形的轴对称　　6．1等腰三角形　　（1）了解等腰三角形的有关概念。　　（2）探索并掌握等腰三角形的性质　　（3）探索一个三角形是等腰三角形的条件。　　6．2线段的垂直平分线。　　了解线段垂直平分线的概念。了解线段垂直平分线的性质。会证明垂直平分线性质定理及逆定理。完成以下尺规作图：作线段的垂直平分线。已知底边及底边上的高作等腰三角形；　　6．3图形的轴对称　　（1）轴对称　　通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，掌握“对应点所连线段被对称轴平分”的性质。　　能够作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形。　　探索已知简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。　　（2）轴对称图形　　探索等腰三角形等基本图形的的轴对称性及其相关性质。　　6．4课题学习轴对称图案设计　　欣赏现实生活中的轴对称图形，通过现实生活中典型实例了解和欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。　　第七部分直角三角形　　7.1直角三角形　　了解直角三角形的概念　　探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件，会证明直角三角形全等的判定定理。　　7.2勾股定理　　体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题。　　结合（勾股定理）具体的例子，了解逆命题（逆定理）的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。　　会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。　　第八部分四边形　　8.1平行四边形　　掌握平行四边形的概念。　　了解平行四边形的不稳定性。　　探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件　　8.2矩形、菱形、正方形　　掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解它们之间的关系。　　探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件。　　探索矩形、菱形、正方形的轴对称性及其相关性质。　　8.3梯形　　掌握梯形的概念。　　探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件　　探索等腰梯形的轴对称性及其相关性质。　　8.4重心　　探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及其物理意义。　　8.5图形的平移　　图形的平移　　通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，掌握“对应点连线平行且相等”性质。　　能按要求作出简单平面图形平移后的图形。在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。　　利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。　　8.6课题学习：镶嵌　　通过探索平面图形镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。　　第九部分圆　　9.1圆　　理解圆及其有关概念。探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。通过不能作一个圆经过在一条直线上的三点，体会反证法的含义。　　三角形的三边的垂直平分线交于一点。　　探索并了解点和圆的位置关系。　　利用圆进行图案设计。　　9.2圆心角、弧、弦　　了解弧、弦、圆心角之间的关系，　　9.3圆周角定理　　探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。　　9.4直线和圆的位置关系　　探索并了解直线和圆的位置关系。　　了解切线的概念。探索切线和过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。　　三角形的三条角平分线交于一点。　　了解三角形的内心。　　9.5圆和圆的位置关系　　探索并了解圆和圆的位置关系。　　9.6弧长及扇形的面积　　会计算弧长及扇形的面积，　　计算圆锥的侧面积和全面积。　　第十部分图形的旋转　　10.1图形的旋转　　通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。　　能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。　　欣赏旋转在现实生活中的应用。探索图形之间的变换关系。在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。　　10.2中心对称和中心对称图形　　中心对称。　　中心对称图形。　　在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。　　10.3正多边形　　了解等边三角形的概念并探索性质。　　了解正多边形的概念。探索正多边形的轴对称性及其相关性质。　　10．4课题学习　　灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。　　第十一部分图形的相似　　11.1比例线段　　了解线段的比、成比例线段，比例的性质，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割；　　11.2相似三角形　　理解两个三角形相似的概念。探索两个三角形相似的条件。　　探索并掌握三角形的中位线的性质。　　11.3相似多边形　　通过具体的实例了解图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边的平方。　　通过典型实例观察和认识现实生活中图形的相似，利用图形的相似解决一些实际问题。　　了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。　　在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。　　第十二部分锐角三角函数　　12.1锐角三角函数　　通过实例认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）,知道30°，45°，60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。　　12.2锐角三角函数的应用　　运用三角函数值解决与直角三角形有关的简单实际问题。　　第十三部分视图与投影　　13．1基本几何体的三视图　　会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）。　　13．2简单物体的三视图　　判断简单物体的三视图，能根据三视图描述简单的几何体或实物原型。　　13．3三视图的应用　　了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中应用。　　13．4课题学习：投影　　通过丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影。通过实例了解中心投影和平行投影。了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。　　三、教材编制的几个问题　　（一）把握好教学要求　　《课程标准》继承我国数学教学的优良传统，关注基础知识学习和基本技能训练，但控制了教学内容的范围和教学要求。在具体的教学实践中，教学要求的把握直接影响学生负担的轻与重，从而直接影响学生是否能够全面发展。学科教学必须服从总的培养目标。从国际比较看，我国义务阶段学生数学学习负担相对来说是比较重的，在一定程度上存在着“繁、难、偏、旧”的问题，不利于学生的健康成长。《课程标准》中强调探索图形性质的过程，并在此基础之上，要求证明基本图形（三角形、四边形）的基本性质，降低了对论证过程形式化和证明技巧的要求。《基础课程改革纲要（试行）》指出，新课程要使学生在具有适应终身学习的基础知识、基本技能和方法的同时，还要具有健壮的体魄和良好的心理素质，养成健康的审美情趣和生活方式，成为有理想、有道德、有文化、有纪律的一代新人。所以应该从育人的高度来认识教学内容和要求的变化，在教材中把握好教学内容和教学要求的深广度。　　（二）应从学生的已有生活经验出发　　人人都生活在充满具有种种几何形状的物体的现实空间之中，学习空间与图形知识的最直接目的就是更好地理解生活其中的现实世界，空间与图形的教学应从学生的已有生活经验出发。空间与图形的知识源于现实世界，但又是现实世界的抽象，因而似乎很具体，其实又很抽象。在教学中必须很好地完成从具体的事物到图形知识的抽象过程，尤其是在一些最基本的图形概念的形成过程中就要注意这个问题，要从学生的生活经验出发，从而使学生认识空间与图形知识与现实世界的密切联系，以及知识在实际上中的广泛应用。　　（三）培养学习兴趣　　学习兴趣对于学生能否学好空间与图形的知识至关重要，我国的数学界一直非常重视对于学生学习数学的兴趣的培养，有大量的理论研究和实践探索。根据1987年全国初中数学教学调查，约有70%的初中学生对于数学学习有兴趣，这样的成绩在国际数学比较中处于领先位置，成绩的取得归功于我国数学界全体同志的努力。但是我们不能满足于现在的成绩。《课程标准》的一个基本理念是“数学面向全体学生”，这是义务对于数学的必然要求。在培养学生学习数学的兴趣的问题上，也应该贯彻这样的思想。我们的数学，不仅要使数学学习成绩好的学生对学习数学感兴趣，同时还特别要重视对于数学成绩一般和不好的学生的数学学习兴趣。怎样让所有的学生都对学习数学感兴趣，这是一个非常困难的目标，却也应该是数学教学追求的目标，我认为，达到这个目标的最主要的途径，一是数学在实际中广泛应用的展示，二是数学美的展示。　　主要参考文献　　1．中华人民共和国部制订《全日制义务数学课程标准（实验稿）》，北京师范大学出版社，2001年7月第1版。　　2．吴文俊，我对改革数学的看法，《课程教材教法》，1993年第7期。　　3．丁尔升、钟善基、张孝达，《初中数学教学指导书》，人民出版社，1988年9月第1版。　　4．钟善基、孙瑞清，《初等几何教材教法》，高等出版社，1990年9月第1版。　　5．田万海主编，《全国初中数学教学调查与分析》，华东师范大学出版社，1990年6月第1版。　　6．龚升，数学历史的启示，中学数学研究，2001年第6期。　　7．课程教材研究所数学室、中国学会数学教学研究会《社需》课题组，我国经济和社会的发展对数学基础知识和技能的需要的调查研究，《普通改革》，人民出版社，1987年3月第1版。　　8．王申怀，几何课程教改展望，《开创21世纪的数学新局面》（中国学会中学数学教学专业委员会编），上海科技出版社，2000年6月第1版。　　9．鲍建生，几何的价值与课程目标体系，《研究》2000年第4期。　　10．孔凡哲、刘晓玫、孙晓天，《义务阶段国家数学课程标准》“空间与图形”的特点，数学学报，2001年第3期。　　11．颜其鹏，继承与发展──谈义务初中数学教材内容体系的改革，《开创21世纪的数学新局面》（中国学会中学数学教学专业委员会编），上海科技出版社，2000年6月第1版。　　12．王增昌，就义务阶段数学课程专家答记者问，中国报，日。
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