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高中数学典型例题解析三角函数3
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高中数学经典解题技巧和方法：三角变换与解三角形
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高一数学必修四第三章三角恒等变形综合检测题（北师大版附答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
高一数学必修四第三章三角恒等变形综合检测题（北师大版附答案）
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 综合检测(三)第三章　三角恒等变形(时间120分钟，满分150分)一、(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°等于(　　)A．0　　　&B.12　　　C.32　　　&D．1【解析】　sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.【答案】　D2．在锐角△ABC中，设x＝sin A&#8226;sin B，y＝cos A&#8226;cos B，则x、y的大小关系为(　　)& A．x≤y&B．x＞yC．x＜y&D．x≥y【解析】　y－x＝cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，∵C为锐角，∴－cos C＜0，∴y－x＜0，即x＞y.【答案】　B3．若sin α＋cos α＝tan α(0&α&π2)，则α的取值范围是(　　)A．(0，π6)&B．(π6，π4)C．(π4，π3)&D．(π3，π2)【解析】　因为sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)，当0&α&π2时，此式的取值范围是(1，2]，而tan α在(0，π4)上小于1，故可排除A，B；在(π3，π2)上sin α＋cos α与tan α不可能相等，所以D不正确，故选C.【答案】　C4．在△ABC中，若sin C＝2cos Asin B，则此三角形必是(　　)A．等腰三角形&B．正三角形C．直角三角形&D．等腰直角三角形【解析】　sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，∴sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B.∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．【答案】　A5．(;陕西高考)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于(　　)A.22& &B.12& C．0&D．－1【解析】　a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)．∵a⊥b，∴a&#8226;b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.【答案】　C6．当0&x&π2时，函数f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x的最小值为(　　)A．2&B．23& C．4&D．43【解析】　f(x)＝1＋cos 2x＋8sin2xsin 2x＝2cos2x＋8sin2x2sin xcos x＝cot x＋4tan x≥24＝4.当且仅当cot x＝4tan x，即tan x＝12时取得等号．故选C.【答案】　C7．(;江西高考)若sin α2＝33，则cos α＝(　　)A．－23&B．－13C.13& &D.23【解析】　cos α＝1－2sin2α2＝1－2×332＝1－23＝13.【答案】　C8．(;重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝(　　)A.2& &B.2＋32C.3&D．22－1【解析】　4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝sin 80°＋sin&#61480;60°＋20°&#61481;－sin&#61480;60°－20°&#61481;cos 40°＝sin 80°＋2cos 60°sin 20°cos 40°＝sin 80°＋sin 20°cos 40°＝sin&#61480;50°＋30°&#61481;＋sin&#61480;50°－30°&#61481;cos 40°＝2sin 50°cos 30°cos 40°＝3&#8226;cos 40°cos 40°＝3.【答案】　C9．已知f(x)＝sin2(x＋π4)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg 15)，则(　　)A．a＋b＝0&B．a－b＝0C．a＋b＝1&D．a－b＝1【解析】　由题意知f(x)＝sin2(x＋π4)＝1－cos&#61480;2x＋π2&#＋sin 2x2，令g(x)＝12sin 2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋12，a＝f(lg 5)＝g(lg 5)＋12，b＝f(lg 15)＝g(lg 15)＋12，则a＋b＝g(lg 5)＋g(lg 15)＋1＝g(lg 5)＋g(－lg 5)＋1＝1，故a＋b＝1.【答案】　C10．对于函数f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是(　　)A．f(x)在(π4，π2)上是递增的B．f(x)的图像关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2【解析】　f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x，∴f(x)为奇函数，f(x)图像关于原点对称．【答案】　B二、题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)11．(;江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝________.【解析】　由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan2α＝34.【答案】　34 12．知α，β∈(0，π4)，tan α21－tan2α2＝14，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β＝________.【解析】　由tan α21－tan2α2＝14，得tan α＝12.由3sin β＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，化简得tan(α＋β)＝2tan α＝1.由于α，β∈(0，π4)，故α＋β∈(0，π2)，所以α＋β＝π4.【答案】　π413．若θ是第二象限角，cos θ2－sin θ2＝1－sin θ，则角θ2所在的象限是________．【解析】　∵1－sin θ＝ &#61480;sin θ2－cos θ2&#61481;2＝|sin θ2－cos θ2|＝cos θ2－sin θ2，∴sin θ2&cos θ2.∵θ是第二象限角，∴π2＋2kπ&θ&π＋2kπ，k∈Z.则π4＋kπ&θ2&π2＋kπ.k∈Z.由上可得54π＋2kπ&θ2&32π＋2kπ，k∈Z.所以θ2是第三象限角．【答案】　第三象限角14．函数f(x)＝sin2(2x－π4)的最小正周期是________．【解析】　f(x)＝1－cos2&#61480;2x－π4&#61481;2＝1－cos&#61480;4x－π2&#－sin 4x2，∴最小正周期T＝2π4＝π2.【答案】　π215．(;江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．【解析】　∵α为锐角且cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35.∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin 2(α＋π6)cos π4－cos 2(α＋π6)sin π4＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)－22[2cos2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝1＝17250.【答案】　17250三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(;辽宁高考)设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a&#8226;b，求f(x)的最大值．【解】　(1)由|a|2＝(3sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sin x＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a&#8226;b＝3sin x&#8226;cos x＋sin2x＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.17．(本小题满分12分)若2sin(π4＋α)＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋12cos 2β＝0.【证明】　由2sin(π4＋α)＝sin θ＋cos θ得2cos α＋2sin α＝sin θ＋cos θ，两边平方得2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，即sin 2α＝12(sin 2θ－1)，&&①由2sin2β＝sin 2θ得，1－cos 2β＝sin 2θ.&②将②代入①得sin 2α＝12[(1－cos 2β)－1]得sin 2α＝－12cos 2β，即sin 2α＋12cos 2β＝0.& 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx&#8226;sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．【解】　(1)f(x)＝4cos ωx&#8226;sinωx＋π4＝22sin ωx&#8226;cos ωx＋22cos2ωx＝2(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋2＝2sin2ωx＋π4＋2.因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋π4)＋2.若0≤x≤π2，则π4≤2x＋π4≤5π4.当π4≤2x＋π4≤π2，即0≤x≤π8时，f(x)单调递增；当π2＜2x＋π4≤5π4，即π8＜x≤π2时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间0，π8上单调递增，在区间π8，π2上单调递减．19．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋π6)＋sin(ωx－π6)－2cos2ωx2，x∈R(其中ω&0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若对任意的a∈R，函数y＝f(x)，x∈(a，a＋π]的图像与直线y＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求函数y＝f(x)，x∈R的单调增区间．【解】　(1)f(x)＝sin(ωx＋π6)＋sin(ωx－π6)－2cos2ωx2＝2sin ωxcos π6－cos ωx－1＝2sin(ωx－π6)－1，∵x∈R，∴f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题意得函数f(x)的周期为π.∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x－π6)－1.令2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z.得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z.∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－π6，kπ＋π3]，k∈Z.&图120．(本小题满分13分)如图1，以Ox为始边作角α与β(0&β&α&π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP→&#8226;OQ→＝0，求sin(α＋β)．
【解】　(1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，则原式＝2sin αcos α＋2cos2α1＋sin αcos α＝2cos α&#61480;sin α＋cos α&#61481;sin α＋cos αcos α＝2cos2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP→&#8226;OQ→＝0，∴α－β＝π2.∴β＝α－π2.∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725.21．(本小题满分13分)(;湖北高考)设函数f(x)＝sin2ωx＋23sin ωx&#8226;cos ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)． (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图像经过点(π4，0)，求函数f(x)的值域．【解】　(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sin ωx&#8226;cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋3sin 2ωx＋λ＝2sin(2ωx－π6)＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．又ω∈(12，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝56.所以函数f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图像过点(π4，0)，得f(π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－2.故f(x)＝2sin(53x－π6)－2，函数f(x)的值域为[－2－2，2－2]． 文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
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