问题分类：初中英语初中化学初中语文
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已知如图①∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=4√3在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．前几个问不用写，我只想知道（3）问中t的取值范围为什么是4+4√3＜t≤8+4√3，请写出具体步骤，最好详细一点！！！！！！！！！！！！
悬赏雨点：6 学科：【】
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&&获得：6雨点
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纠正：（1）过点PPQ⊥AB于Q∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4AQ=BQ=2，∠APQ=60°在RT△APQ中，sin∠APQ=∴AP==4（2）过点P分别作PS⊥OM于点S，PF⊥ON点T∴∠OSP=∠OTP=90°在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°∴APB=∠BTP=120°，∴∠APS=∠BPT又∵∠APS=∠BTP=120°，AP=BP，∴△APB≌△BPT，∴PS=PT点P在∠MON的平分线上（3）8+4；4+4＜t＜8+
利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB．①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围．所以①8+4& ②4+4 ＜t≤8+4 ．
这个不晓得
由图知，当AB⊥OP，且P位于P'处时t取最大值8+，当P处于△AOB外心位置时，t取得最小值，，最大、最小时等号都可以取到．
3）连接OP，在Rf△OPS和Ra△APS中∴∠AOP=∠BOP=30°OP=SP/sin∠AOP=SP/sin30°=2SP即，当SP最大时，OP为最大值而SP=AP*cos∠SPA=4cos∠SPA∴OP=2SP=8cos∠SPA∴当cos∠SPA=1，即∠SPA=0°时，也就是A点与S点重合时，OP为最大值，OP=8
上一页1 总数 14 ，每页显示 10【答案】分析：（1）证O在∠MAN的平分线上，可证O到角两边的距离相等，分两种情况：①OB不与AM垂直，过O作OT⊥AN，OH⊥AM，可通过构建全等三角形来求解．连接OB，OP，则OB=OP，只需证明△OHB与△OTP全等即可．这两个三角形中，已知的条件有OB=OP，一组直角．只需再证得一组角对应相等即可，∠HOT和∠BOP都等于120&，因此∠BOH=∠TOP，则两三角形全等，OT=OH．由此得证．②当OB⊥AM时，由于OB=OP，只需证明OP⊥AN即可．由于∠BOP=120&，而∠ABO=90&，∠MAN=60&，根据四边形的内角和为360&，即可求得OP⊥AN，由此可得证．（2）本题要通过相似三角形ACP和ABO来求解．这两个三角形中，已知了∠BAO=∠CAP（在1题中已经证得）．只需再找出一组对应角相等即可，在△ACP和△OBC中，∠CAP=∠OBC=30&，∠ACP=∠BCO，因此∠APC=∠AOB，由此证得两三角形相似，可得出关于AB，AC，AO，AP的比例关系式，据此可求出y，x的函数关系式．（3）本题分三种情况：①圆I在△BPQ外，且与BP边相切，此时D、P重合，AD=AP=2，AB=4，∠MAN=60&，因此△ABP为直角三角形，不难得出△ABO也是直角三角形，因此可得出△ABO≌△APB，AO=BP=2；②圆I在△BPQ内，与BP，PQ边相切时，此时P与A重合，可在直角三角形ODA中，根据AD=2，∠DAO=30&，求得AO=；③圆I在△BPQ内，与BQ边相切时，A，O重合，因此AO=0．解答：（1）证明：如图1，连接OB，OP．∵O是等边三角形BPQ的外心，∴圆心角∠BOP==120&．当∠MAN=60&，不垂直于AM时，作OT⊥AN，则OB=OP．由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360&，且∠A=60&，∠AHO=∠ATO=90&，∴∠HOT=120度．∴∠BOH=∠POT．∴Rt△BOH≌Rt△POT．∴OH=OT．∴点O在∠MAN的平分线上．当OB⊥AM时，∠APO=360&-∠A-∠BOP-∠OBA=90&．即OP⊥AN，∴点O在圆I的平分线上．综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在∠MAN的平分线上．（2）解：如图2，∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60&，∴∠BAO=∠PAO=30&．由（1）知，OB=OP，∠BOP=120&，∴∠CBO=30&，∴∠CBO=∠PAC．∵∠BCO=∠PCA，∴∠AOB=∠APC．∴△ABO∽△ACP．∴．∴AC?AO=AB?AP．∴y=4x．定义域为：x＞0．（3）解：①如图3，当BP与圆I相切时，AO=2；②如图4，当BP与圆I相切时，AO=；③如图5，当BQ与圆I相切时，AO=0．点评：本题考查了相似三角形、全等三角形、角平分线定理、等边三角形的性质、直线与圆的位置关系等知识点．本题考点较多，难度较大．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心．（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC?AO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．
科目：初中数学
如图，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4．请探究：（1）如图＜1＞，若以AP为直径作⊙O，分别交AM、AN于B、C，求AB+AC的长；（2）如图＜2＞，若以AP为弦（不是直径），任作⊙O1分别交AM、AN于B1、C1点，则AB1+AC1的长是否不变？请说明理由；（3）如图＜3＞，若以AP为弦（不是直径）作⊙O2与AM切于A点，交AN于C2点，则AC2的长是多少？请说明理由．
科目：初中数学
题型：解答题
如图，已知：∠MAN=60°，AP平分∠MAN，且AP=4．请探究：（1）如图＜1＞，若以AP为直径作⊙O，分别交AM、AN于B、C，求AB+AC的长；（2）如图＜2＞，若以AP为弦（不是直径），任作⊙O1分别交AM、AN于B1、C1点，则AB1+AC1的长是否不变？请说明理由；（3）如图＜3＞，若以AP为弦（不是直径）作⊙O2与AM切于A点，交AN于C2点，则AC2的长是多少？请说明理由．
科目：初中数学
来源：上海中考真题
题型：解答题
已知：∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4（如图），P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心。
（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC·AO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离。
科目：初中数学
来源：第35章《圆（二）》中考题集（04）：35.2 直线与圆的位置关系（解析版）
题型：解答题
已知：∠MAN=60&，点B在射线AM上，AB=4（如图）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心．（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP=x，AC?AO=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点D在射线AN上，AD=2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．分析：（1）根据非负数的性质可得a-23=0，b+4=0，再解方程即可；（2）首先求出AB的直线解析式，再算出C点坐标，然后设D（a，0），根据S△ACD=S△BOC，可得12×6×（a-435）=43，再解方程即可；（3）此题要分两种情况进行讨论，①当∠1=∠2；②当∠3=∠4时分别计算．解答：解：（1）∵(a-23)2+|b+4|=0．∴a-23=0，b+4=0，解得a=23，b=-4；∴A（23，6），B（0．-4）△AOB的面积为：12×4×23=43；（2）设直线AB的关系式为y=mx+n，∵A（23，6），B（0．-4），∴n=-423m+n=6，解得m=533n=-4，∴直线AB的关系式为y=533x-4，当y=0时，x=435，∴C（435，0），设D（a，0），∵S△ACD=S△BOC，∴12×6×（a-435）=43，解得：a=32315，∴D点坐标（32315，0）；（3）设x秒后OA′∥O′B，由题意得：①当∠1=∠2时，（90-60）+4x=10x，解得：x=5；②当∠3=∠4时，180-（30+4x）=360-10x，解得x=35，答：在旋转过程中，经过10秒时间，OA′∥O′B．点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，一次函数解析式，以及非负数的性质，关键是考虑全面，不要漏解．
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科目：初中数学
2、若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则点（a+b，ac）在（　　）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
科目：初中数学
（2013?松江区模拟）已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C，直线OB与圆P相交的另一个交点为D，（1）求：公共弦BC的长度；（2）如图，当点D在线段OB的延长线上时，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线PD与射线CB相交于点E，且△BDE与△BPE相似，求线段AP的长．
科目：初中数学
（2012?南通）如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．
科目：初中数学
已知直线l1、l2经过K（2，2）（1）如图1，直线l2⊥l1于K．直线l1分别交x轴、y轴于A点、B点，直线l2，分别交x轴、y轴于C、D，求OB+OC的值；（2）在第（1）问的条件下，求S△ACK-S△OCD的值：（3）在第（2）问的条件下，如图2，点J为AK上任一点（J不于点A、K重合），过A作AE⊥DJ于E，连接EK，求∠DEK的度数．
科目：初中数学
（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）&（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．教师讲解错误
错误详细描述：
（2012沈阳）已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．
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京ICP备号 京公网安备如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=12，AP是半圆的切线，点C是半圆上的一动点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥AP于点D，记∠COA=α．（1）当α=60°时，求CD的长；（2）当α为何值时，CD与⊙O相切_作业帮
如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=12，AP是半圆的切线，点C是半圆上的一动点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥AP于点D，记∠COA=α．（1）当α=60°时，求CD的长；（2）当α为何值时，CD与⊙O相切
如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=12，AP是半圆的切线，点C是半圆上的一动点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥AP于点D，记∠COA=α．（1）当α=60°时，求CD的长；（2）当α为何值时，CD与⊙O相切？说明理由；（3）当AD=3时，求α的值．
（1）作CE⊥AB于点E．在直角△OCE中，OE=OCocos∠COA=×6=3，则CD=OA-OE=6-3=3；（2）∠α=90°，CD与⊙O相切．理由：当∠α=90°，则在四边形OCDA中，∠COA=∠OAD=∠CDA=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（3）当C的位置如左边的图时，在直角△OCE中，OC=6，CE=AD=3，∴sin∠COE==，∴∠COE=45°，则∠α=45°，当C的位置如右图时，∠COE=45°，则∠α=180°-45°=135°．故α=45°或α=135°．
本题考点：
切线的判定与性质．
问题解析：
（1）作CE⊥AB于点E，在直角△OCE中，利用三角函数求得OE的长，则CD=AE=OA-OE，据此即可求解；（2）当∠α=90°时，CD与⊙O相切，根据切线的性质以及矩形的判定定理即可作出判断；（3）在直角△OCE中，利用三角函数求得∠COE的度数，即可求得∠α的度数．