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已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，满足（p－1)Sn=p2－an（n∈N*），其中p为正常数，且p≠1．（1）求数列{an}
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提问人：匿名网友
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已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，满足(p-1)Sn=p2-an（n∈N*），其中p为正常数，且p≠1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1？a4？a7？…？a3n-2＞a78恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若p=12，设数列{bn}对任意n∈N*，都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=2n-12n-1，问数列{bn}是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．
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组合数公式
组合数公式是指从m个不同元素中，任取n(n≤m)个元素并成一组，叫做从m个不同元素中取出n个元素的一个组合；从m个不同元素中取出n(n≤m)个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。用符号c(m,n) 表示。
组合数公式公式
有时候也表示成：
（在旧版本里，排列数的字母写作P）
组合公式的推导是由公式去掉重复的部分而来的，排列公式是建立一个模型，从n个不相同元素中取出m个排成一列（有序），第一个位置可以有n个选择，第二个位置可以有n-1个选择（已经有1个放在前一个位置），则同理可知第三个位置可以有n-2个选择，以此类推第m个位置可以有n-m+1个选择，则排列数为
，而组合公式对应另一个模型,取出m个成为一组（无序）,由于m个元素组成的一组可以有m!种不同的排列（全排列
）,组合的总数就是
组合数公式性质
组合数公式递推公式
c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)
等式左边表示从m个元素中选取n个元素，而等式右边表示这一个过程的另一种实现方法：任意选择m中的某个备选元素为特殊元素，从m中选n个元素可以由此特殊元素的被包含与否分成两类情况，即n个被选择元素包含了特殊元素和n个被选择元素不包含该特殊元素。前者相当于从m-1个元素中选出n-1个元素的组合，即c(m-1,n-1)；后者相当于从m-1个元素中选出n个元素的组合，即c(m-1,n)。
组合数公式算法举例
1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和？
2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。
这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。
先定义一个符号，用S（K=1，N）F（K）表示函数F（K）从K=1到K=N求和。
C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）
公式1 证明：
方法1、可直接利用组合数的公式证明。
方法2、（更重要的思路）。
从M个元素中任意指定一个元素。则选出N个的方法中，包含这一个元素的有C（M-1，N-1）种组合，不包含这一个元素的有C（M-1，N）种组合。
因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）
S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N） （M》=N）
证明：C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。
从M个物品中任意指定M-N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其余的还有N个。
则选出N个的方法可分类为：
包含1号的有C（M-1，N-1）种；
不包含1号，但包含2号的有C（M-2，N-1）种；
。。。。。。
不包含1到M-K号，但包含M-K+1号的有C（K-1，N-1）种
。。。。。。
不包含1到M-N-1号，但包含M-N号的有C（N，N-1）种不包含1到M-N号的有C（N，N）种，而C（N，N）=C（N-1，N-1）
由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此
S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）
S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N） （P，Q）=N）
证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选法为C（P+Q，N）。而公式里面的K表示选法中正品数量，
C（P，K）*C（Q，N-K）表示N件产品中有K件正品，N-K件次品的选法。K从0到N变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。
因此，S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）
公式4（一种变换技巧）：
S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）
S（K=0，N）K*C（M，K）
=S（K=1，N）K*C（M，K）
=S（K=1，N）K*M！/K！/（M-K）！
=S（K=1，N）M*（M-1）！/（K-1）！/（M-K）！
=S（K=1，N）M*C（M-1，K-1）
=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）
公式5（公式4的同种）
S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）
=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）
证明：（类似上式）
S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）
=S（K=2，N）K*（K-1）*M！/K！/（M-K）！
=S（K=2，N）M*（M-1）*（M-2）！/（K-2）！/（M-K）！
=S（K=2，N）M*（M-1）*C（M-2，K-2）
=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）
公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。
例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？
解：（本题利用公式3、4、5）
有K件次品的概率为：
P（K）=C（1000，K）*C（1-K）/C（1）
=S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（1-K）/C（1）
=S（K=0，149）1000*C（999，K）*（1-K）/C（1）
=1000*C（1）/C（1）
=S（K=0，150）（K-10）*（K-10）*C（1000，K）*C（1-K）/C（1）
=S（K=0，150）（K*K-K-19*K+100）*C（1000，K）*C（1-K）/C（1）
=S（K=0，150）K*（K-1）*C（1000，K）*C（1-K）/C（1）
-19*S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（1-K）/C（1）
+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（1-K）/C（1）
=S（K=0，148）*C（998，K）*C（1-K）/C（1）
-19*S（K=0，149）*1000*C（999，K）*C（1-K）/C（1）
+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（1-K）/C（1）
=*C（1）/C（1）
-19*1000*C（1）/C（1）+100
此题推广形式为：
设M件产品中有P件次品，从中拿出N件（N《=P），求得到次品数的期望和方差？
E（X）=P*N/M
D（X）=P*（P-1）*C（M-2，N-2）/C（M，N）
+（1-2*P*N/M）*P*C（M-2，N-2）/C（M，N）+（P*N/M）^2
例2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。
解：射中R次，使用的射击次数为K次(K&=R)，则前K-1次射中R-1次，第K次射中了，概率为：
P（K）=C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
(以下暂时用W表示无穷大）
射中R次，使用的射击次数可为R次、R+1次...W次
因此S（K=R，W）P（K）=1 （这是概率的特点）
即：S（K=R，W）C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=1
以上证明的式子是另一个公式，即无论P，R是什么数都成立，以下将应用这一公式。
=S（K=R，W）K*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）K*（K-1）！/（R-1）！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）R*K！/R！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）R*C（K，R）*P^R*(1-P)^(K-R)
=R/P*S（K=R，W）C（K，R）*P^（R+1）*(1-P)^(K-R)
令K1=K+1，R1=R+1，则
E（X）=R/P*S（K1=R1，W）C（K1-1，R1-1）*P^R1*(1-P)^(K1-R1)
利用以上公式得
E（X）=P/R
=S（K=R，W）（K-R/P）^2*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）（K*K-2*K*R/P+R*R/P/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）[K*（K+1）-（K+2*K*R/P）+R*R/P/P]*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）[K*（K+1）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
-S（K=R，W）（K+2*K*R/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
+S（K=R，W）R*R/P/P*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=（推导过程同求E（X），略）
=R（R+1）/P/P-（2*R+P）*R/P/P+R*R/P/P
=（1-P）*R/P/P据第行各个数是的展开式的二项式系数据杨辉三角中第行中的各个数是的展开式的二项式系数,列出方程解得.据各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和,的二项式系数和为得解.利用二项式系数的性质证明.
解:由,即,解得证明:左式右式
本题考查二项式系数,二项式系数和公式,二项式系数性质等.
2075@@3@@@@二项式定理的应用@@@@@@157@@Math@@Senior@@$157@@2@@@@计数原理@@@@@@27@@Math@@Senior@@$27@@1@@@@排列组合与概率统计@@@@@@4@@Math@@Senior@@$4@@0@@@@高中数学@@@@@@-1@@Math@@Senior@@
第三大题，第2小题
第三大题，第5小题
第三大题，第5小题
第二大题，第5小题
第三大题，第2小题
第一大题，第6小题
求解答 学习搜索引擎 | 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家,数学教育家,杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为\frac{2}{3},求n的值;(3)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和;(4)在第3斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第4斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般地有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k属于N×)的数学公式表示上述结论,并给予证明.第0行1....................................第1斜列第1行11.................................第2斜列第2行121..............................第3斜列第3行1331...........................第4斜列第4行14641........................第5斜列第5行15101051.....................第6斜列第6行1615201561..................第7斜列第7行172135352171...............第8斜列第8行18285670562881............第9斜列第9行193684126126843691.........第10斜列第10行1104512021025221012045101......第11斜列第11行1115516533046246233016555111...第12斜列11阶杨辉三角