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谁会证明三角函数集的完备正交性啊
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FT用多了,但是一直没有证明过三角函数集和指数函数集的完备正交性(重点是完备。。),怨念啊。
信号与系统课本里面只介绍了几个典型的完备正交函数集,还有Rademacher这个变态不完备正交集,但是没有一个证明过程。
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没有人会吗?[em:15]
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顶起,这个不难啊,应该有人会的。
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课程预告，帮学堂出品
高数书上无穷级数那一章里关于傅里叶级数有证明
没复习高数么?
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原帖由 sy 于
09:28 发表
高数书上无穷级数那一章里关于傅里叶级数有证明
没复习高数么?&&
谢谢你的回答。
但是我的同济四版上面只证明了正交性,没有证明完备性,不知道新版本的有没有,请指教。
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回复 4楼 sy 的帖子
走了?[em:15]
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梁昆淼 的《数学物理方法》关于傅立叶的那节&&有证明完备性
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lz同学,我认为那个证明不是那么简单,不然搞数学的同学们就该喝西北风了,你既然搞电子就老老实实搞电子& &那些数学处理就不用太操心了吧,不然会很累。个人看法
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原帖由 xujinshan20 于
22:58 发表
lz同学,我认为那个证明不是那么简单,不然搞数学的同学们就该喝西北风了,你既然搞电子就老老实实搞电子& &那些数学处理就不用太操心了吧,不然会很累。个人看法 ...
有道理,但是信号里面没有扎实的数学功底是不行的哦。
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郑君里版的信号与系统里第六章就有专门内容介绍三角函数完备正交
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三角函数的正交完备性研究
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三角函数的正交完备性研究
官方公共微信如何理解傅里叶变换公式？
1.为什么按照傅里叶公式做就可以将信号从时域转变到频域？2.为什么式中的e^(-jwt)部分会出现一个负号？有什么特定的意义？
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傅里叶变换, 就是在用一种特殊的正交基(正交函数)在对原函数做线性变换. 简单地说, 我们有一个n维向量a, 我们总可以找到一组n维正交基e1 e2 e3......, 使得a = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 + ........................cn en我们如果想知道这些系数分别是多少, 就可以分别在等式两边用每个正交基做内积, 因为我们知道&ei, ej& = 0 if i!=j,&ei, ej& = 1 if i==j函数 可以看成一个无穷维的向量, 所以如果想要把一个函数用"正交基"来线性表示, 我们就需要使用正交的函数, 像这样的正交函数有很多, 傅里叶所选用的, 是其中一种所以此时的问题就变成了: 假如我想把一个函数表达成利用无穷多个像上式那样的东西的和我所分配的系数分别该是多少呢?也就是说, 求
使得:那么我们如何求得 呢? 同样是利用正交属性去做内积, 我们知道, 对于任何一个给定的, 有所以我们将等式两边同乘 , 并在对负无穷到无穷大做积分, 我们有:此时, 交换积分次序并积分我们有也就是说就是我们所要求的傅里叶变换的系数. 按照同样的思路, 离散傅里叶变换就更容易理解了 ^_^
我来从最简单的内积和基的角度说一下吧。（以前在blog上发过被到处转载，原作者是我。。）（应为principal，几年前写的。。）（应为principal，几年前写的。。）
都起开起开！看民科小王子如何用小学数学知识给你们讲明白什么叫傅里叶变换！
不懂频域时域？我们换个词，长和宽总看得懂了吧！不懂函数空间？长方形总可以理解吧！什么是傅里叶变换，那就是高级一点的乘法交换律！OK，这是一个矩形，我们记长为a=4，宽为b=3，要计算这个矩形的面积（不准用小学二年级以上的数学），你们会怎么做？OK，这是一个矩形，我们记长为a=4，宽为b=3，要计算这个矩形的面积（不准用小学二年级以上的数学），你们会怎么做？ 有三种方法： 1、一个一个数：1+1+1……=12 2、按行分解成三行：4+4+4=123、按列分解成四列：3+3+3+3=12
是不是很简单？
我们进阶一点，按行分解成好多好多行，按列分解成好多好多列……
还是刚才那个矩形！
（读者众：明明不一样大！
答主：朕说一样大就一样大！）
现在每小格边长变成了0.2，长度变为20格，宽度15格，此时一列的总面积变成了0.2×0.2=0.04，每列的面积变为0.04×15=0.6，每行面积为0.04×20=0.8，还用刚才的方法计算面积，
还是刚才那个矩形！
（读者众：明明不一样大！
答主：朕说一样大就一样大！）
现在每小格边长变成了0.2，长度变为20格，宽度15格，此时一列的总面积变成了0.2×0.2=0.04，每列的面积变为0.04×15=0.6，每行面积为0.04×20=0.8，还用刚才的方法计算面积，S=0.6+0.6+……（20个0.6）……=12 或S=0.8+0.8+……（15个0.8）……=12 以及……S=0.04+0.04+……（300个）……=12
聪明的你一定发现了，如果我们将小方格越分越细，那就变成了最简单的定积分了！而这三种方法也就变成了如下三种形式： 以长边积分：
以宽边积分：以及一个一个数……
回到我们的20格×15格的矩形，现在我们不是单纯的算面积，我们给每个格子里填入一些数字，让它变成一个矩阵
想要计算这个矩阵所有数字的和，怎么办？
还跟以前一样，我们可以把每列数字加起来，做成一个20元素的数列An，然后相加，
想要计算这个矩阵所有数字的和，怎么办？
还跟以前一样，我们可以把每列数字加起来，做成一个20元素的数列An，然后相加，
或者把每行数字加起来，做成15元素的数列Bn，再相加
或者依然一个一个加……
这三个值肯定是相等的。
如果把这个矩阵越分越细，就逐渐变为一个定义在矩形范围内的二元函数
设这个函数的为f(a,b)，想要计算这个函数在定义域上的积分，依然可以沿用上面的方法：
先对b积分，则整个函数变成一个关于a的一元函数设这个函数的为f(a,b)，想要计算这个函数在定义域上的积分，依然可以沿用上面的方法：
先对b积分，则整个函数变成一个关于a的一元函数对b也一样 ，（其中α，β为b的定义域，下同）则必然满足下面该说傅里叶变换了。没学过信号，我就用量子力学举例吧。
比如一个波函数当t=0的时候就变成了
看不懂没关系，你只要知道这就是一个关于x与p的二元函数，
如何计算它？跟上面一样，先对p积分，就得到一个关于x的一元函数，先对x积分，就得到一个关于p的一元函数，这两个函数在定义域上的积分必然相等
于是我们得到：
（注意这里定义域变成了正负无穷，也就是全实数域）
他们俩在各自定义域上的积分也必然是相等的，等于原二元函数在全定义域的积分，记为我们长方形的长宽ab,在这里也有了一个高大上的名字，坐标空间x和动量空间p。 关键部分来了：
可以看到，在各自空间内，函数的值已经与另一个参数无关了，中只含x，中也只含p。现在你大概可以明白坐标空间（类似信号中的时域）与动量空间（类似信号中的频域）的含义了吧？所谓求坐标空间的波函数，即当坐标参数等于某个值时，把该位置上所有可能的动量积分；而所谓求动量空间波函数，即取动量为某个定值，然后将具有该动量的所有位置参数进行积分，这种积分方式其实也就是开头所写的计算长方形面积的方式。这也就是为什么答主看到傅里叶变换的时候第一个想到的就是乘法交换律。那傅里叶变换都是用来干嘛的呢？在通常情况下，我们并不能同时得到位置、动量两个空间的方程，可能只有其中一个，这时候，通过傅里叶变换就可以求出另一空间的方程。比如我们得到了，如何用它求？前面已经说过，所谓坐标空间波动方程不过是在某个确定的位置将所有可能的p取值的平面波相叠加，而不同p的取值则对应不同的系数。若p是离散的，方程写作若p的取值越发密集，上式逐渐形似积分形式，系数Cn变为连续函数，数列写作如下形式这两个方程代表了在坐标表象波函数里，每一个空间点对应的取值并不简简单单是一个值，而是后面跟了一长串不同的p所对应的函数值，即，因此我们便可以通过一定手段将每个坐标点上不同的p值取出来。也因为它们是波函数，即使被积分了，p的信息也蕴含在坐标空间x的函数里。回头看波函数，它是什么意思？意味着xp平面上每个点的函数值都是由A个叠加而成的，A是个跟x,p都相关的系数。而整个xp平面非常像一个密集的矩阵。我们研究一下这个东西它有什么特点。当且仅当k=0的时候积分才不为0，并且，利用这个性质，我们将乘入，此时，坐标空间函数变成了接着对x进行积分，那么只有的点在积分中会被体现出来，也就意味着在一连串中，具有给定p值的函数值被“挑”出来了。回头看开头的乘法交换律，答主特地在开头提到它，其实是因为它与傅里叶变换一样体现了一个“挑”的思想，即挑出特定的数字重新组合。大家回想一下小时候是怎么证明整数乘法交换律的？四组三个苹果相加，为什么就等于三组四个苹果相加？很简单，以四组三个苹果为例，我们可以在每组里给苹果标上号，分别标1，2，3，然后将每组1号苹果挑出来，相同的号码重新编为一组，正好是三组，每组四个。傅里叶变换能够挑出特定频率波函数，也正是体现了这种思想。经过计算可写成如下形式：经简单整理之后动量空间与坐标空间波函数可作如下互相转换：同理至于与其实并没有太大区别；只有当想要把变过来的函数变回去时，波函数的相位必须相反，才需要区分正负。感谢大家的鼓励与批评，事实上答主在提笔的时候并没有对这个问题想太多，一开始觉得很简单，真以为自己能用小学知识解释清楚，写到后面才发现还是有难点绕不开的，尤其是如何通俗地解释波函数正交归一性。答主写作的动机主要想把自己学习过程中最激动的那个时刻分享给大家，也就是偶然想到傅里叶变换与乘法交换律在内涵上的相似性。后面专业内容答主也没有自信写得比书本还好，大家若有兴趣，可以阅读专业书籍，当然若愿意与答主继续交流，答主也会非常高兴。
这个最能说明问题
研究实数域, 一个思路是研究上面的函数空间 L^2. 这个空间在实数域加法群的作用下成为一个表示空间. 所以一个基本的问题是怎样分解这个表示空间. 这里的自然地想法是它应该分解成这个加法交换群的特征标. 对 R/Z 而言这是一个直和分解 (Fourier series), 但是对 R 来说并不存在这样的直和分解, 取而代之的是对特征标的 direct integral 分解. 于是在这个观点下, Fourier transform 就是 L^2(R) 的表示论.那为什么 Fourier transform 长成这个样子呢? 吴桐和 chuo Chan 的回答说了这是因为特征标 f(x)=e^{ixy} 长这样, 这是解函数方程 f(x+y)=f(x)f(y) 得到的.
补充一句。这里和许多地方对于傅里叶变换的解释，都会直接用傅里叶变换的正交性（或者说delta函数的定义）：那么傅里叶变换就显得很显然了。但是，如果要真证明这个式子，并不是那么简单。可见傅里叶变换的深刻性。最近时常在写一个数学讲义：【
】。从里面摘选较为完整的证明如下图：
// 在@陳浩 的基础上补充一些。// 顺便捋清一些概念，便于理解 : )　(1) 傅里叶展开傅里叶展开，是将一个周期性函数，改写成一系列正弦函数和余弦函数的级数之和，且该“和”的极限，与原函数相等。（虽然正弦和余弦只相差一个 90度 的相角，但是这样说比较易于理解，后面会再提到）。级数的每一项系数，被称做“傅立叶系数”，可记为 F(nw)。w 是该原函数的周期所对应的角频率（基频）。扩展内容，可参考[1]及其延伸。
(2) 傅里叶变换对于非周期函数，如果也希望像 (1) 中那样 “展开”，则需要进行一定“推广”。将原本的“离散级数和”推广成为“连续积分和”后，即可解决这一问题。（具体推导略，可查教科书。）这种连续积分和的表达，就叫“傅里叶逆变换”。在逆变换中，原本的 F(nw)，被推广为 F(W)；它的值为：2PI*F(nw)/w 的极限，其中w趋向于零。这里用w和W来区分前后两个自变量，其中 dW = delta(nw)。显然，通过傅里叶逆变换的等式，可以反解出 F(W) 的表达式。这就是“傅里叶变换”。　(3) 时域和频域个人认为，从时域变换到频域，其实只是一种“看法”或“表示方法”上的转变。由于三角函数都是单频的，因此，将原函数改写成多个三角函数的和的形式，便于直接从表达式中观察出它的“频率成分”；同时，也便于直接在频率组成上对原函数进行进一步的处理。　(4) 关于某个叫欧拉的人所干的事情e^(-jwt) = cos(wt) - jsin(wt)e^(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)sin(wt) = (1/2j) [e^(jwt) - e^(-jwt)]cos(wt) = (1/2j) [e^(jwt) + e^(-jwt)]（关于以上公式，参见复分析领域欧拉公式相关内容[2]。）有了以上公式，就可将傅里叶级数、傅里叶变换/反变换等相关公式，改写成“指数形式（e的指数形式）”。它同时展示了一点：e^(jwt) 在复平面中，可以作为一个“基”，因为它已经包含了实轴（实数单位“1”）上和虚轴（虚数单位“j”）上两个正交的“基”。这也从另一个方面解释了，为什么总是可以用之前傅里叶的方法，来“分解”很多函数。　(5) 关于“负号”那货谈下个人想法。在“傅里叶展开”和“傅立叶逆变换”中，都是以 e^(jwt) 或 e^(jWt) 的样子出现的，没有负号，这个时候，原函数在等号左边，展开式和傅里叶系数（F(nw) 或 F(W)）在等号右边。当我们要反解出傅里叶系数时，它自己跑去等号左边，而原本跟它在一起的 e^(jwt) 或 e^(jWt) 还呆在等号右边，因此，不得不出现一个负号（由乘除法引入，因此负号在指数中）。一般逻辑上，我们推导的顺序是：[傅里叶级数展开] --(推广)--
[傅立叶逆变换] --(反解)--
[傅立叶变换]因此，在傅里叶变换中，大家就看到一个带上负号的 e^(-jWt) 了。　　[1] 傅立叶分析[2] 欧拉公式
形象的说,假如有一束混合光,你想知道组成这束光的频率w有哪些, 占有多大的份额时, 就把那束光作傅里叶变换,得到的和频率w的关系, 就能表征含有哪些频率和份额.如果是单一频率的光,那么可以想象, 傅里叶变换后的函数就是delta函数, 因为只有单一的频率, 无其它成分.如果是"白"光, 各个频率的光都有贡献, 所以傅里叶变换后的函数是分布在整个w上的. 至于各个频率的份额, 即具体的函数形式,那得看"白"到什么程度了， 这里只是个定性的描述。三棱镜可以看成一个简单的傅里叶变换工具， 它可以把太阳光分成许多不同的频率的光。
这个傅立叶变换公式的几何意义很清楚：时域信号f(t)与单位圆上的圆周运动（角速度是omega，这是一个实数）的内积（或者叫做投影）。这种圆周运动需要用复变函数表示，通俗说复变函数起码是个双值函数，即实部函数值与虚部函数值。所以上述公式的结果也是一个复数值，这个复数值表示在圆周上的周期运动，其几何意义是：周期运动有三个特征值：幅值，频率和相位，这里的频率就是omega；复数的模表示振幅或者叫做旋转圆周的半径，例如1.5就是指在半径为1.5的圆上的旋转运动；复数的辐角表示在初始时刻（t=0）的旋转的初始位置。一个时域信号f(t)，可以如此投影到无数个具有不同角速度的单位圆上圆周运动，这就是傅立叶变换的几何意义，或者叫做时域到频域的变换。这个傅立叶变换公式的几何意义很清楚：时域信号f(t)与单位圆上的圆周运动（角速度是omega，这是一个实数）的内积（或者叫做投影）。这种圆周运动需要用复变函数表示，通俗说复变函数起码是个双值函数，即实部函数值与虚部函数值。所以上述公式的结果也是一个复数值，这个复数值表示在圆周上的周期运动，其几何意义是：周期运动有三个特征值：幅值，频率和相位，这里的频率就是omega；复数的模表示振幅或者叫做旋转圆周的半径，例如1.5就是指在半径为1.5的圆上的旋转运动；复数的辐角表示在初始时刻（t=0）的旋转的初始位置。一个时域信号f(t)，可以如此投影到无数个具有不同角速度的单位圆上圆周运动，这就是傅立叶变换的几何意义，或者叫做时域到频域的变换。e^(-jwt) = cos(wt) - jsin(wt)
这个公式的几何意义也很清楚：单位圆上的圆周运动，本来是个复变函数，可以看到实部函数值是按照余弦函数来变化，虚部函数值按照正弦函数来变化。初中生都会画f=x^2。e^(-jwt) = cos(wt) - jsin(wt) 如果要画出来该是什么样？这需要在三维空间中，一个坐标轴是时间t。每个时刻 t_k，画出一个垂直于时间轴的平面，再画出一点 （ cos( w t_k) ,
-sin( w t_k) )。 在三维空间中这就是一个螺旋线：
关于时间上的－号，请看
中我的回答。这里重复一下，在数学和物理中，或者更准确一点，数学物理方法中，把一个任意函数进行fourier变换的意义等价于把一个函数进行以平面波为基的展开。这和3维下把一个矢量按照x,y,z基展开是一样的，这一点陳先生已经说明了。不但可以按平面波展开，还可以按照球面波展开。只要保证你选取的基是完全且正交的即可（应该属于泛函分析的范畴，要考虑你函数空间的性质，定义norm等）至于为什么取负，因为沿着时间向前传播的平面波，在物理和数学上写作-i \omega t 。在工程上写j\omega t。这是习惯；如果你取i \omega t ，相当于你做了t-&-t的时间反演变换，某些量子系统具有时间反演不变性，会得到一些能谱的性质（比如简并程度最大为2之类）。物理和数学密不可分，有时候从物理角度理解更能理解数学形式的意义。
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