如图,梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,已知AD=AB=3,BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动。过Q点垂直于AD的射线交AC
如图,梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,已知AD=AB=3,BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动。过Q点垂直于AD的射线交AC
于点M，交BC于点N。P，Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度。当Q点运动到A点。P，Q两点同时停止运动。设点Q运动的时间为t秒。
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）
（2）当t为何值时，四边形PCDQ是平行四边形？
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说出理由；
（4）探究：t为何值时。△PMC为等腰三角形？
解：（1）在直角梯形ABCD中，∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴四边形ABNQ是矩形。∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC=5。∵QN⊥AD，∠ABC＝90°，∴MN‖AB，∴△MNC∽△ABC，即 ，∴MC=5t+1/4 .（2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形。∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形。(3)∵MN‖AB，∴△MNC∽△ABC，要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为1： ，∴ ，即 ，∴t= .∴CN= ，MC= ，∴CN+MC= ，∵△ABC的周长的一半= =6≠ ，∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。（4）分3种情况：①如图，当PM=MC时，△PMC为等腰三角形。则PN=NC，即3-t-t=t+1，∴ ，即 时，△PMC为等腰三角形。②如图，当CM=PC时，△PMC为等腰三角形。即 ，∴ 时，△PMC为等腰三角形。③如图，当PM=PC时，△PMC为等腰三角形。∵PC=4－t，NC=t+1，∴PN=2t-3,又∵ ，∴MN= ，由勾股定理可得[ ]2+（2t-3）2=（4－t）2，即当t=11/9 时，△PMC为等腰三角形。
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理工学科领域专家如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发 ...
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如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t &0）秒．
（1）在点Q从B到A的运动过程中，
①当t=&&&& 时，PQ⊥AC；
②求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l.
&&&& ①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；
②当l经过点B时，求t的值．
（1）①………………………………………………（1分）
② 在矩形ABCD中，
过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ =3－t，
由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，
， .…………（4分）
(3) ①如图②，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，
即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，
延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，
，∴PO=AO－AP=1．
由△APE∽△OPQ，得．……(6分)
②（ⅰ）如图③，当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP&&
∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°
∴∠PBC＝∠PCB&& CP＝BP＝AP＝t &&&&&&
∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5　∴t＝2.5．&& ………(8分)
（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，
BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，
过点P作PG⊥CB于点G由△PGC∽△ABC，
由勾股定理得，即
&&&& ，解得．………(10分)【解析版】2014中考数学压轴题揭秘专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题_学优中考网 |
一、选择题（2013福建龙岩4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【
（内蒙古巴彦淖尔赤峰3分）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是
1.（2013年四川凉山5分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为
（2012辽宁丹东3分）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有
【答案】5。
【考点】动点问题，正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段中垂线的性质，等边三角形的判定。
【分析】如图，符合条件的Q点有5个。
（2012青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD的中点，点P在x轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK。
∴OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=。
∴P点坐标为（，0）。
∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0），（，0）。
1.（2013年重庆市B12分）已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动。设运动时间为t秒，解答问题：
（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。
【答案】解：（1）∵∠NGM=900，NG=6，MG=8，，
∴由勾股定理，得NM=10。
当点G在线段AE上时，如图，
此时，GG′=MN=10。
∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，
∴t=10秒。
（2）存在。
由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20。
①当0＜t≤10时，线段GN与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。
根据题意，知AP=EN=t，
由△QNE∽△GNM得，即，∴。
由△QHE∽△NGM得，即，
若AP=AQ，则，解得，不存在；
若AP=PQ，则，△＜0，无解，不存在；
若AQ=PQ，则，无正数解，不存在。
（3）S与t的函数关系式为。
【考点】单动点和面动问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。
【分析】（1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t的值。
（2）分0＜t≤10和10＜t≤16两种情况讨论，每种情况分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三种情况讨论。
（3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积，
二式相加，得。∴。
当＜t≤16时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△IFM的面积。
（同上可得），
综上所述，。
（2013年江苏徐州10分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）请直接写出点D的坐标：　
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）（﹣3，4）。
（2）设PA=t，OE=m，
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE，
∴当t=时，m有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为。
仿①步骤，此时重叠部分的面积为。
（2013年辽宁大连12分）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．
（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；
（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上。
由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，不符合题意。
故此种情况不存在。
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）。
（3）能。此时点P坐标为（，）。
【考点】二次函数综合题，单动点问题，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰（直角）三角形的判定和性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，分类思想的应用。
（2013年辽宁锦州14分）如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；
（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（2）当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，如答图1所示：
设OE=x，则EF=x，CE=OC﹣OE=6﹣x．
∵EF∥OA，∴△CEF∽△COA。
解得x=2．∴OE=2。
当△DMN是等腰三角形时：
①若DN=MN，则=，解得t=。
②若DM=MN，则DM2=MN2，即22+（）2=（）2，解得t=2或t=6（不合题意，舍去）。
③若DM=DN，则DM2=DN2，即22+（）2=（）2，解得t=1。
综上所述，当t=1、2或时，△DMN是等腰三角形。
（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3，
设EF、DG分别与AC交于点M、N，
由（3）可知：ME=，DN=．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
【考点】二次函数综合题，单动点和平移问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值，分类思想和转换思想的应用。
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，令y=0解方程，求出点C的坐标。
（2）如答图1，由△CEF∽△COA，根据比例式列方程求出OE的长度。
（3）如答图2，若△DMN是等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论。
（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3，由S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣S△FJK求出S关于t的表达式，然后由二次函数的性质求出其最值。
（2013年湖南衡阳10分）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3。
若△AON为等腰三角形，有三种情况：
【考点】二次函数综合题，双动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，分类思想的应用。
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的顶点式解析式。
（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解。
②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，分类讨论，逐一计算。　
（2013年四川眉山11分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式．
设直线PA的解析式为y=kx+b，
将点A（1，0），F（0，﹣1）的坐标代入得：
（3）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∵抛物线沿射线AD方向平移个单位，相当于向左平移1个单位，并向上平移一个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y=（x+1+1）2﹣4+1=x2+4x+1。
（2013年四川资阳11分）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．
②能。理由如下：
易证AFE∽△CDE，∴，即，得。
8. （2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点A的坐标为　 ▲ 　，直线l的解析式为　 ▲ 　；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，
即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=。
当2＜t＜时，如图3，
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，
S=PMoMQ=×4×（16﹣7t）=﹣14t+32。
综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为。
（3）①当0＜t≤1时，，
∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，
∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大。
∴当t=1时，S有最大值，最大值为9。
②当1＜t≤2时，，
∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=，
∴当t=时，S有最大值，最大值为。
③当2＜t＜时，S=﹣14t+32
∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小。
又∵当t=2时，S=4；当t=时，S=0，∴0＜S＜4。
综上所述，当t=时，S有最大值，最大值为。
（4）t=或t=时，△QMN为等腰三角形。
【考点】一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用。
（2013年辽宁本溪14分）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；
（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．
∴D（1，0）。∴DH=2，AH=2，AD=4。
∵，∴GH=DHotan∠ADB=2×=。
∴G（3，）。
∵S△MBD=6，即S△MDG+S△MBG=6，∴MGoDH+MGoAH=6，即：MG×2+MG×2=6。
解得：MG=3。
∴点M的坐标为（3，）或（3，）。
（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，则BD=5，∴sinB=，cosB=。
以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则：
过点P作PF⊥AB于点F，
10. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
综上所述，S与x的函数关系式为：
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQosin60°=AQosin600
（2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，
∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。
又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3。
12. （2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在
x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（
）；并求经过A、B、C三点的抛物
线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段
AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）
中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
②存在点P。
由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。 此时，△CAE为等边三角形。
∴∠AEC=∠A=60°。
【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。
【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点
B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。
（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。
②求得EM的长，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。
（2012湖南衡阳10分）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．
②∵RF=，∴若△PFR为等边三角形，则由①得RF=PF=PR，得：
=，即：a4﹣8a2﹣48=0，得：a2=﹣4（舍去），a2=12。
∴a=±2，﹣a2=﹣3。
∴存在符合条件的P点，坐标为（2，﹣3）、（﹣2，﹣3）。
③同①可证得：QF=QS。
在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）。
同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）。
∵QS⊥BC、PR⊥BC，∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°。
∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°
∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形。
（2012辽宁阜新12分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。
（2012贵州毕节16分）如图，直线l1经过点A（－1，0），直线l2经过点B(3，0), l1、l2均为与y轴交于点C(0，)，抛物线经过A、B、C三点。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴依次与轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证：DE=EF=FG;
(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。
【答案】解：（1）∵抛物线经过A（－1，0），B（3，0），C（0，）三点，
∴ ，解得。
∴抛物线的解析式为：．
（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过A（－1，0），C（0，），得
（重庆市20年分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
∴AE=，即3﹣t=或t﹣3=。
∴t=3﹣或t=3+。
（福建厦门10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？
【答案】解：（1）证明：在△ABC和△CDA中，∠B=∠D，∠BAC=∠DCA，AC=AC
∴△ABC≌△CDA（AAS）。∴AD=BC，AB=CD。∴四边形ABCD是平行四边形。
【考点】全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，角一元二次方程。
【分析】（1）根据全等三角形判定证△ABC≌△CDA即可。
（2）求出AC，分①当P在BC上BE=BP=2时，②当P在BC上BP=PE时，③当P在BC上BE=PE=2时，④当P在CD上时，⑤当P在AD上时五种情况分别讨论即可。
贵港分 如图，已知直线y＝－x＋2与抛物线y＝a (x＋2) 2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．
（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM， 设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的 函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
③ 当PA＝AM时，x2＋(－x＋2－2)2＝(2)2，
解得：x1＝－ ， x2＝（舍去），此时
y＝－×(－)＋2＝。
∴点P3(－ ，)。
综上所述，满足条件的点为P1(－4，4)、P2(－，)、P3(－ ，)。
广西河池分已知直线经过A(6，0)和B(0，12)两点，且与直线交于点C．(1)求直线的解析式；
(2) 若点P(，0)在线段OA上运动，过点P作直线的平行线交直线于点D，求△PCD的面积S与的函数关系式．S有最大值吗？若有，求出当S最大时的值；
∴直线的解析式为：。
（2）由解得，。
（3）存在。
满足条件的点P的坐标为（6－，0），（6＋，0），（2，0），（1，0）。20.（广西来宾分）如图，半径为1的⊙M经过直角坐标系的原点O，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点A、B，∠OMA=60°，过点B的切线交轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求抛物线的函数关系式；
（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
∴抛物线的对称轴为＝－1对称轴轴交于点G。
分三种情况讨论：
情况1：BC为底边，
作BC 的垂直平分线交抛物线于E，交对称轴于点D3，易求AB 的解析式为∵D3E 是BC 的垂直平分线∴D3E∥AB。
21. （湖南郴州10分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．
（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；
（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；
（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．
【考点】二次函数综合题抛物线的对称轴垂直平分线等腰三角形。（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出，的值确定解析式（2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变（3）作出对称轴与轴的交点为K，过K点作PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求 （新疆自治区、兵团10分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从
点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到
达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求AB的长；
（2）设BP＝，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？请说明理由．
最大面积为
（辽宁锦州14分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋(a≠0)经过A(－3,0)、C(5,0)两点，点B为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为ts，过点P作PM⊥BD交BC于点M，过点M作MN∥BD，交抛物线于点N.
①当t为何值时，线段MN最长；
②在点P运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O、P、M、C为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求出此刻的t值；若不存在，请说明理由．
参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是.
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，二次函数的最值，等腰梯形的判定和性质。
【分析】（1）由抛物线与x轴交于A，C两点，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将它们代入方
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11:10:33 上传频道：学科：年级：九年级地区：全国类型：新课标版本：中考复习只看标题相关资料不等式课后练习主讲：在数学表达式：①?3＜0；②4x+3y＞0；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠5；⑥x+2＞y+3中，不等式有(　　)依据不等式的定义──在下列各式中：①a+3；②；③3x＜5；④y≤0；⑤m≠1，属于不等式的有(　　)
D．已知a?b＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)A．a?1＜b?1
B不等式主讲教师：傲德重难点易错点辨析不等式的定义题一：①x+y=1；②x≤y；③x?3y；④x2 ?3y＞5；⑤x＜0中属于不等式的有(　　)A．2个
D．5个不等式的性质题二：已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是(　　)A．ac＞bc
C．c?a＞c?b
不等式与方程课后练习主讲：若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数，求m的取值范围．如果关于x、y的方程组的解是负数，求a的取值范围．如果关于x的方程x+2m?3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的取值范围．符号[x]表示不大于x的最大整数，例如[5]=5，[6.31]=6．如果，这样的正整数x有______个．已知x+3=a，y?2a=6，并且．(1)求a的取值范不等式与方程主讲教师：傲德重难点易错点辨析不等式与方程综合题一：求使方程组的解、都是正数的的取值范围？金题精讲题一：的解不大于1，且m是一个正整数，试确定x的值．题二：?2a= 4，并且．(1)求a的取值范围；(2)比较a2+2a?3与a2+a?1的大小．题三：已知、同时满足三个条件：?2y=p；?3y=2+p；y．则的取值范围是的解集．不等式与方程不等式与方程应用题课后练习主讲：某初级中学八年级(1)班若干名同学星期天去公园游览，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以上(含25人)8折优惠，他们经过核算，买团体票比买单人票便宜，那么他们至少有多少人？某校高一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，已知住宿生少于55人，求住宿生人数．有一群猴子，一天结伴不等式与方程应用题主讲教师：傲德重难点易错点辨析列不等式解应用题题一：某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？不等式与方程综合解应用题题二：有红、白两种颜色的小球若干个，已知白球的个数比红球少，但白球的个数的2倍比红球多；若给每个白球都写上数字“2”，给每个红球都写上数字“3”(每个小球只能写上一个数垂直平分线与角平分线课后练习主讲：如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（　　）∵BM=BN，∴点B在直线l上（　　）垂直平分线与角平分线主讲教师：傲德我们一起回顾垂直平分线题一AC=AD，BC=BD，则有（　　）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB角平分线如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　）A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OBD．AB垂直平分OP学科：数学专题：多边形及其角度计算主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是　　．在下面四种正多边形的瓷砖中，用同一种瓷砖能镶嵌成一个平面图案的是（　　）A．B．C．D．题二：题面：有一程序，如果机器人在平地上按如图的步骤行走，那么机器人回到A点处共走的路程是（　　）A．24米B．48米C．15米D．30
学科：数学专题：多边形及其角度计算主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（
）A．正六边形
B． 正七边形
C． 正八边形
D． 正九边形下列平面图形中不能镶嵌成一个平面图案的是（　　）A．任意三角形B．任意四边形C．正五边形D．学科：数学专题：多边形及其角度计算主讲教师：傲德
重难点易错点解析题一题面：题面：已知，一个凸多边形的每一个内角都是140°，那么这个多边形的边数是多少？内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？n边形：内角和=180°(n?2)外角和=360°每一个顶点出发的对角线=n?3对角线总条数=正多边形：边长相等、内分式课后练习（）主讲：在代数式，，，，中，分式的个数是(
D．5当x_____时分式有意义设A， B都是整式，若 表示分式，则（　　）A．A，B都必须含有字母B．A必须含有字母C．B必须含有字母D．A，B都不必须含有字母下列各式中，不论字母x取何值时分式都有意义的是(
分式课后练习（一）主讲：下列各式:①；②；③；④．其中分式有(
D4个已知分式的值是零，那么x的值是(
D．±1下列说法中正确的是(
)A如果A、B是整式，那么就叫做分式B分式都是有理式，有理式都是分式C只要分分式的基本性质课后练习()主讲：不改变分式的值，使分式的分子、分母不含负号．(1) (2) ．等式中的未知的分母是(
B．a2 +a+1
C．a2 +2a+1
D．a?1填空．分式中的字母x，y都扩大为原来的4倍，则分式的值(　　)A．不变B．扩大为原来的4倍C．缩小为原来的D．扩大为原来的8倍将分式的基本性质课后练习(一)主讲：． 的结果是(
D．填空．若将分式a、m，n均为正数中的字母a、m，n的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为(　　)A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的倍C．不变D．无法确定化简=__________已知x=xy=1，则=____________要使分式 ，a的值分式的运算课后练习（一）主讲：计算÷(x+3)·的结果为(
D．计算．计算．若成立求a的取值范围已知y＝，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变．任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：（n，p，q都是正整数），显然，这里的p，q都大于n．如果设p=n+a，q=n+b，那么有．1)探索上式分式的运算课后练习（一）主讲：化简÷(y-x)·的结果是(
D．计算(1)；(2)计算÷()．若，求A，B的值．已知代数式5+，请说明在代数式有意义的条件下，无论a取何值代数式的值不变．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫分式的运算主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：化简：考点：分式的乘除、乘方题二：化简：考点：分式的加减金题精讲题一：考点：分式的混合运算题二：若，求的值．试说明：只要原式有意义，无论x取何值，y值均不变．考点：分式的运算题四：我们把分子为1的分数叫做单位分数．如，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如(1)根据以上规律，请填空：分式方程课后练习（）主讲：解方程：．若方程有增根，则它的增根是(
D．1和?1如果关于x的方程 有增根，那么a的值是
．阅读下面材料，并完成下列问题．不难求得方程x+＝3+的解为x1=3，x2＝；x+＝4+的解为x1=4，x2＝；x+＝5+分式方程课后练习（一）主讲：解分式方程：．k为何值时，方程会产生增根?若关于x的方程有增根，试求k的值．阅读下列材料解答下列问题：观察下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7(1)按此规律写出关于x的第n个方程为
，此方程的解为 n或n+1
．(2)根据上述结论，求出x+＝2n+2(n≥2)的解．甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比分式方程主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：解方程：考点：分式方程的解法题二：若x=1是方程的增根，则m的值为
．考点：分式方程的增根金题精讲题一：有增根，求a的值．(2)当a为何值时，方程无解题二：的解为方程的解为方程的解为(1)观察上述方程，则关于x的方程的解是
；(2)根据上述规律，则关于x的方程的解是
分式计算的拓展课后练习（）主讲：化简并求值．已知：x2?5xy+6y2=0，那么的值为若x＞0，试比较和的大小．已知两个分式A=，B=，其中x≠2，则A与B的关系是
已知a＞b＞0，m＜0，比较的大小．已知，求的值．已知方程x2+3x?5=0的两根为x1、x2，求值．分式 的最小值是多少？课后练习15．详解：=15答案：．详解：∵x2?分式计算的拓展课后练习（一）主讲：化简并求值.先化简，再求值： ，其中x=，y=3．比较a与的大小．已知A=，B=，当x≠?1时，比较A与B的大小．已知a，b，m是正实数，且a＜b，求证：．已知：，求代数式的值．已知，x2?5x?1=0，求：（1）x2+（2）2x2-5x+．分式的最小值是
课后练习-15.详解：原式= .3?.详解分式计算的拓展主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：计算：考点：负指数幂、零指数幂题二：已知，求的值．考点：分式的条件化简求值题三：已知x> ??4，求与的大小关系．考点：分式比大小金题精讲题一：，且x为整数．则A与B有什么关系？考点：负指数幂题二：，则的值为
．考点：分式的条件化简求值题四：已知，求值：(1) (2分式主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：观察下列各式，其中分式有
．考点：分式的概念题二：x满足什么条件时，分式有意义？已知分式的值为零，那么x的值是多少？考点：分式有无意义和分式的值金题精讲题一：，所以不是分式B．有分母的式子就是分式C．若A、B为整式，式子叫分式D．分数都不是分式考点：分式概念的辨析题二：无意义，求x的
学科：数学专题：角度计算综合主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：写出推理步骤：如图，ABD中，AB=BC=AD，则α和β有什么数量关系？请结合已知条件推理出一个等式．如图，A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.题二：题面：如图，AD是ABC的角平分线．DEAC，DE交AB于E，DFAB，DF交AC于F．图中学科：数学专题：角度计算综合主讲教师：傲德重难点易错点解析题一：题面：如图1，在ABC中，OB、OC是ABC、ACB的角平分线；（1）填写下面的表格．A的度数50°60°70°BOC的度数（2）试猜想A与BOC之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图2，ABC的高BE、CD交于O点，试说明图中A与BOD的关系．如图，A+∠B
学科：数学专题：角度计算综合主讲教师：傲德
重难点易错点解析题一题面： （1）如图，线段AB、CD交于点O，则∠A+∠C和∠B+∠D的关系如何？请证明.（2）如图，∠BOC、∠A、∠B、∠C有什么数量关系？请证明.（3）如图，在∠AOB中有一点P，从点P向OA、OB引线段，交点分别为M、N，则∠AMP、∠BNP、∠O、∠P之解不等式课后练习主讲：下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)A．x2 ?8x≥2x+1B．x+＜0C．x(x?1)＞0D．x?5＞0下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)A．2(1?y)+y≥4y+2B．x2 ?2x?1≤0C．+≠D．x+y≤x+2解不等式5x?12≤2(4x?3)．解不等式≤5?x．已知x=3是不等式mx+2＜1??4m的解不等式主讲教师：傲德重难点易错点辨析一元一次不等式的定义题一：下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)A．2x?1＞0B．?1＜2C．3x?2y≤?1D．y2+3＞5解一元一次不等式题二：(1)4(x?1)＞5x?6(2)(3)金题精讲题一：?1≤13解集中的最大值，n是关于x的不等式?3x?1≤?7解集中的最小值，求不等式nx+mn＜mx的解