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一、样条函数的定义
样条函数属于分段光滑插值，他的基本思想是，在由两相邻节点所构成的每一个小区间内用低次多项式来逼近，并且在各结点的连接处又保证是光滑的(即导数连续)。
设在区间[a,b]上给定一组结点X:
,和一组对应的函数值。若函数S(x)满足下列条件：
(1)在每一个子区间(k=1,2,...n)上，S(x)是一个不超过三次的多项式。
(2)在每一个结点上满足S(xi)=yi,i=0,1,...,n。
(3)S(x)在区间[a,b]上为二次连续可微函数。
则称S(x)为结点X上插值与Y的三次样条插值。
二、三次样条函数的构造
在工程上，构造三次样条插值函数通常有两种方法：一是以给定插值结点处得二阶导数值作为未知数来求解，而工程上称二阶导数为弯矩，因此，这种方法成为三弯矩插值。二是以给定插值结点处得一阶导数作为未知数来求解，而一阶导数右称为斜率，因此，这种方法称为三斜率插值。
三斜率插值法
根据定义，三次样条函数在插值结点处一阶导数应存在。因此设各结点处的一阶导数为：
。利用两点埃尔米特插值公式，就可以得到样条插值函数S(x)在子区间上的表达式为：
其中：。由此可知只要确定各结点的一阶导数值mk(k=0,1,2....n)，则各子区间上的三次样条插值函数S(x)也就确定了。
由于S(x)在区间[a,b]上的二阶导数是连续的，即在各结点的左右两子区间上的S(x)虽然不同，但在连接点的二阶导数存在，即在连接点处的二阶左导数与二阶右导数相等：。分别求子区间[xk-1,xk]右端点xk上的二阶左导数，以及子区间[xk,xk+1]左端点xk上的右导数，即可得到：
，(2)与&，(3)
整理后可得：，k=1,2,...n-1,(4)。
其中，并且ak+bk=1。由于有n+1个插值点，因此需要确定n+1个m(m0,m1,...,mn)。而现在方程组只有n-1个方程(公式(4))，因此还需要另外补充两个条件财能唯一确定n+1个m。在实际应用中，这两个条件可以根据实际的物理意义所给出的边界条件来得到。实际问题中常用的三种边界条件如下：
(1)给定区间两个端点处的一阶导数值，即
则根据方程组(4)可得到新的方程组：
方程组的系数矩阵为，可知此矩阵为三对角矩阵。因此方程组可用追赶法求解。
解出mk后，即得到各结点的一阶导数值，将mk带入各结点的二阶导数值得表达式公式(2)或(3)可求得各结点的二阶导数值，将mk带入各区间上S(x)的表达式公式(1)即可得到各子区间上的三次样条插值函数S(x)。
(2)给定区间两个端点处得二阶到数值，即
，由此可得两个补充方程，其中。与公式(4)联立可得如下方程组:
(3)插值函数为周期函数
yn=y0，且，由此可得两个补充方程为，其中
，并且an+bn=1。最后可得方程组：
在此给出第一种边界条件下三次样条插值的算法实现：
参考知识库
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数值分析第一次作业
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解答：f(x)?e
复化梯形公式截断误差：|RT[f]|?|?解得：h&0.357,n&故应取4个节点.
3,给定积分?0cos2xdx，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？ （注：RT[f]??
解析：当取RS[f]??
(?),RS[f]??
(?),??[a,b]）(B)
(?)计算时.
节点数=2n?1，此处的h有个2倍关系.
4,给定积分?0e4dx，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（） 5，给定积分?1Inxdx，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？ （已知：RT[f]??6,用积分?2
(?1),RS[f]??
(?2),?1,?2?(a,b)）（）
计算In2，要使所得近似值具有7位有效数字，问用复化
辛普森求积公式至少需要取多少个节点？（）
解答：复化辛普森公式截断误差公式：RS[f]??In2?则|f
(?),??[2,8]12x,f
(x)|?,x?[2,8]
使所得的近似值具有7位有效数字，即RS[f]?令：|RS[f]|?|?h?0.04472,n?
b?a1808?2h
故至少需要取137个节点.
7，用积分?2
dx?In3计算In3，要使所得近似值具有5位有效数字，问用复化
梯形求积公式至少需要取多少个节点？（） 8,
对于定积分
，当M2=1/8,M4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)
求积公式求I的截断误差为Rs[f],用n个节点的复化梯形求积公式求I的截断误差为RT[f],要使RT[f]≤Rs[f]，n至少是多少？（M2=max|f”(x)|,M4=max|f(4)(x)|,x?[0,1]).()
题型六：Doolittle分解及方程组求解
41,求矩阵???6?
2??4的?5??
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??00???1???0
2??1??4?LU?2????35??
?12,求矩阵???2?
的Doolittle分解.()
??10?13??x?1???5?3,设线性方程组?114?1???x???
2???????241x??5?0 3???1??6
?1?????x??6?4??
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(2),用所得的Doolittle分解求该线性方程组的解.(05-2006)
??10?13??1
000???10?13???
100??132?解答：A??
??1???0??0???2410??LU???
41??00?13?2?
?6211131??????
由LY?b得：(yT
,y4)?(?5,0,?11,?
由UX?Y得：(xxT
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???9???8??0?
0??0?1??15?
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cond1(A)?||A
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?1502,设矩阵A????0?
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3,设三阶对称矩阵A的特征值分别为：-2,1,3，求||A||2及cond2(A).()
解答：||A||2?||A
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cond1(A).（）求cond∞(A).()
Rejoicing in hope, patient in tribulation.
?2,求||??5??
A||?与||A||1.()
?,求谱半径?
2解答：最大特征值：?（A)=
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3x1?2x3?10
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?2x1?x2?2x3?12
，讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法
解此方程组的收敛性.()
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