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已知(1+23x)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56，（Ⅰ）求展开后所有项系数之和及所有项的二项式系数之和；（Ⅱ）求展开式中的有理项．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）由题意可得 Cnr2r=2 Cnr-12r-1，且 Cnr2r=56Cr+1n2r+1，解得 n=7，r=4．& 故展开后所有项系数之和为（1+2）7=37，所有项的二项式系数之和为 2n=27．（Ⅱ）展开式中的通项& Tk+1=C7Ko2Koxk3，k∈z，故当 k=0，3，6时的项为有理项，故有理项为第一项 &T1=1，第四项 T4=C73o8x=280x，第七项 &T7=C76o26x2=448x2．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知(1+23x)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又..”主要考查你对&&二项式定理与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二项式定理与性质
&二项式定理：
， 它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项.二项式系数的性质：
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即； （2）增减性与最大值：当r≤时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥时，的值逐渐减小，且在中间取得最大值。 当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值。 二项式定理的特别提醒：
①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．②二项式系数都是组合数，它与二项展开式的系数是两个不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。③二项式定理形式上的特点：在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能乱．④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下两种情形:⑥对二项式定理还可以逆用，即可用于式子的化简。&
二项式定理常见的利用：
方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证．(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉．方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）一、二项就可以了．(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．方法3：利用二项式进行近似解：当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计，类似地，有&但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少了不合要求，多了无用且增加麻烦．&方法4：求展开式特定项：(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)n数展开式中系数最大项问题可以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．方法5：复制法利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。一般地，对于多项式
方法6：多项式的展开式问题：对于多项式(a+b+c)n，我们可以转化为[a+(b+c)]n的形式，再利用二项式定理，求解有关问题。
发现相似题
与“已知(1+23x)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又..”考查相似的试题有：
812874872954245017858811566665745907如图，已知矩形OABC，点P在边OA上（不与端点重合），点Q在边CO上（不与端点重合）．
（1）如图（1），若∠BPQ=90°，且△OPQ与△PAB和△QPB相似，请写出表示这三个三角形相似的式子，并探究此时线段OQ、QB、BA之间的数量关系．
（2）若∠PQB=90°，且△OPQ与△PAB、△QPB都相似，如图（2），请重新写出表示这三个三角形相似的式子，并证明AB：OA=2：3．
（3）在（1）中，若OA=8，OC=8，OP=CQ．以矩形OABC的两边OA、OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，如图（3），若某抛物线顶点为P，点B在抛物线上．
①求此抛物线的解析式．
②过线段BP上一动点M（点M与点P、B不重合），作y轴的平行线交抛物线于点N，若记点M的横坐标为m，试求线段MN的长L与m之间的函数关系式，画出该函数的示意图，并指出m取何值时，L有最大值，最大值是多少？
（1）要写成三个三角形相似的式子，需要先找出相等的对应角，首先由BC∥OA，确定∠CBP=∠BPA＞∠QBP，那么三个相似三角形的一组对应角应该是：∠QBP、∠QPO、∠ABP，显然能得出∠QBP=∠ABP、∠OQP=∠BQP，那么过P作BQ的垂线，根据角平分线定理即可判断出OQ、QB、BA三者之间的数量关系．
（2）同（1），先根据图示确定相似三角形的对应角，然后根据三个三角形的对应顶点写出三角形相似的式子；在△BQP、△BPA中，有公共边BP，可确定两者全等，那么BQ=AB，因此确定出∠CBQ的度数，即可确定AB、BC（OA）的比例关系，那么可以从△OQP、△CQB、△ABP这三个相似三角形入手．
（3）①首先结合（1）的解题过程，确定OP的长，进而得出点P的坐标，再利用待定系数法确定抛物线的解析式；
②首先利用待定系数法求出直线BP的解析式，然后根据直线BP、抛物线的解析式，用点M的横坐标表示出点M、N的纵坐标，两点纵坐标的差即为L的函数表达式，再根据函数的性质进行判断即可．
解：（1）△OPQ和△ABP中，∵∠OPQ+∠APB=90°，且∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPQ=∠ABP；
△BPQ和△ABP中，∵BC∥OA，∴∠APB=∠CBP＞∠PBQ，
若两个三角形相似，则：∠PBQ=∠ABP；
∴∠OPQ=∠ABP=∠PBQ
又∵∠O=∠A=∠QPB=90°，
∴△OPQ∽△ABP∽△PBQ．
在△OPQ和△PBQ中，∠OQP=∠PQB，过P作PD⊥BQ于D，则 OQ=QD；
同理，可得：BD=AB，
∴BQ=QD+BD=OQ+AB．
（2）同（1）可确定∠QBP=∠ABP，由图知：∠QPO=∠BPA
∴∠OQP=∠ABP=∠QBP，又∠BQP=∠QOP=∠BAP=90°
∴△OPQ∽△APB∽△QPB．
由（1）的结论知：∠OQP=∠QBC=∠QBP=∠ABP，且∠ABC=90°，
∴∠QBC=30°，则 BQ：CB=2：=2：3；
由△QPB∽△APB，且BP=BP，所以△QPB≌△APB，得：AB=BQ；
∴AB：BC=2：3，即 AB：OA=2：3．
（3）①由（1）的解答过程知：若△OPQ与△PAB和△QPB相似，则必须满足的条件是∠QPB=90゜；
此时∠OQP=∠BQP、∠QBP=∠ABP，由（1）题图可知：OP=AP=PD；
∴OP=AP=OA=4，即 P（4，0）；
设抛物线的解析式为：y=a（x-4）2，代入点B（8，8），得：
a（8-4）2=8，解得 a=
∴抛物线的解析式为：y=（x-4）2=x2-2x+8．
②设直线BP的解析式为：y=kx+b，代入B（8，8）、P（4，0），得：
∴直线BP：y=x-8．
已知点M的横坐标为m，则 M（m，m-8）、N（m，m2-2m+8），则有：
MN的长：L=m-8-（m2-2m+8）=-m2+3m-16（4＜m＜8）（如右图）
配方，得：L=-（m2-12m+72）+2=-（m-6）2+2，
∴当m取6时，L有最大值，且最大值为 2．阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．因为3a2≥0，所以3a2+1就有个最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．①当x=____时，代数式-2（x-1）2+3有最____（填写大或小）值为____．②当x=____时，代数式-2x2+4x+3有最____（填写大或小）值为____．分析配方：-2x2+4x+3=-2（x2-2x+____）+____=-2（x-1）2+____．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？-乐乐题库
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& 二次函数的最值知识点 & “阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次...”习题详情
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阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．因为3a2≥0，所以3a2+1就有个最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-3a2+1有最大值1，即-3a2+1≤1，只有在a=0时，才能得到这个式子的最大值1．①当x=1时，代数式-2（x-1）2+3有最大（填写大或小）值为3．②当x=1时，代数式-2x2+4x+3有最大（填写大或小）值为5．分析配方：-2x2+4x+3=-2（x2-2x+1）+5=-2（x-1）2+5．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：网络
分析与解答
习题“阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．因为3a2≥0，所以3a2+1就有个最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-...”的分析与解答如下所示：
此题属于阅读理解题，首先要理解题意，根据完全平方式，求最值．还涉及到了利用二次函数解应用题的问题．
解：①∵代数式-2（x-1）2+3，∴当x=1时有最大值为3；②∵-2x2+4x+3=-2（x-1）2+5，∴当x=1时代数式有最大值5；③设花园与墙相邻的边长为xm，则S=x（16-2x）=-2x2+16x=-2（x-4）2+32，答：当x=4时花园面积最大，最大为32m2．
此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是细心审题，理解题意．
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阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．因为3a2≥0，所以3a2+1就有个最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤...
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经过分析，习题“阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．因为3a2≥0，所以3a2+1就有个最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-...”主要考察你对“二次函数的最值”
等考点的理解。
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二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=$-\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=$-\frac{b}{2a}$时，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
与“阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．因为3a2≥0，所以3a2+1就有个最小值1，即3a2+1≥1，只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为-3a2≤0，所以-...”相似的题目：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．（1）求出cosB的值；（2）用含y的代数式表示AE；（3）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（4）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值．&&&&
已知二次函数y=x2+2x+m的最小值为1，则m的值是&&&&．
二次函数y=2x2-4x-3，当x=&&&&时，有最&&&&值，是&&&&．
“阅读并解答问题：配方法可以用来解一元二次...”的最新评论
该知识点好题
1如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于&&&&
2二次函数y=x2+2x-5有&&&&
3二次函数y=-2x2+4x-9的图象上的最高点的纵坐标为&&&&
该知识点易错题
1如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于&&&&
2用60m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为&&&&
3若正实数a、b满足ab=a+b+3，则a2+b2的最小值为&&&&
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已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）2+y2=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P．（I）求动点P的轨迹方程；（II）是否存在过点E（0，-4）的直线l交P点的轨迹于点R，T，且满足ORoOT=167（O为原点）．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（I）由题意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆．设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)∴p点轨迹方程为x216+y212=1．（II）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，ORoOT＜0不满足题意．故设直线L的斜率为k，R（x1，y1），T（x2，y2）．∵ORoOT=167，∴x1x2+y1y2=167．由y=kx-4x216+y212=1得(3+4k2)x2-32kx+16=0．由△＞0得，(-32k)2-4(3+4k2)o16＞0解得k2＞14．…①．∴x1+x2=32k3+4k2，x1ox2=163+4k2．∴y1oy2=（kx1-4）（kx2-4）=k2x1x2-4k（x1+x2）+16，故x1x2+y1y2=163+4k2+16k23+4k2-128k23+4k2+16=167．解得k2=1．…②．由①、②解得k=±1．∴直线l的方程为y=±x-4．故存在直线l：，x+y+4=0或x-y-4=0，满足题意．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）2+y2=64（F为圆心）上一点，线..”主要考查你对&&动点的轨迹方程&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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动点的轨迹方程
&动点的轨迹方程：
&在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。求动点的轨迹方程的基本方法：
直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。 1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。 4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。要特别注意消参前后保持范围的等价性。多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。 5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
求轨迹方程的步骤：
(l)建系，设点建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为M（x，y）；(2)写集合写出符合条件P的点M的集合{M|P(M)}；(3)列式用坐标表示P(M)，列出方程f(x，y)=0；(4)化简化方程f(x，y)=0为最简形式；(5)证明证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，&
发现相似题
与“已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）2+y2=64（F为圆心）上一点，线..”考查相似的试题有：
438204617916628633618089463966555461