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数学建模比赛论文集
数学建模联赛 数学建模联赛试题A 题：自来水的定价 水是人类的生命之源，自来水的价格关系到千家万户，也一个非常敏 感的社会问题。目前大部分自来水公司都在亏损运转，提高水价会影响到 人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。所以，国家和政府 对水价调整是甚之又甚。 下面是两篇关于 A 市水价调整听证会的报道 （附 件１和附件２） （题目的附件略） ，请认真阅读，并参考附件 3 的经济统计 数据，研究解决下列问题： （１）根据 A 市价格部门提出的调整方案，请你给出分析评价，尤 其是对阶梯式水价方案的合理性和科学性进行分析评价。 （２）你能否给出更合理的水价方案？并给政府提出合理化建议。 （３）请你分析预测新的水价方案后的节水量是多少？ B 题 篮球比赛问题 运动员比赛过程的技术表现是决定竞赛成绩的主要因素之一。 篮球竞 赛临场技术统计数据既是衡量运动员技术水平的量化指标也是判定运动 队竞赛成绩的客观标准。 某大学有 12 个学院，每个学院派出一支男子篮球队参加校内篮球比 赛。首先进行分组赛，共分两组，每组 6 支代表队；小组赛结束后，每组 选出两支代表队参加第二阶段的决赛。附表 1 和附表 2（附表略）分别为 第一组和第二组的比赛结果。请你根据这些数据，研究各个代表队的下列 问题： （1）每支代表队的技术指标与该队的成绩之间的关联关系。 （2）按照技术指标对代表队成绩贡献的大小，将这些技术指标进行 排序。 （3）找出对代表队成绩起重要作用的关键比赛场次。 （4）根据这两个小组赛的成绩，预测哪支代表队最有可能夺冠，并 将这 12 支代表队的名次进行排序。1（5）对每支代表队给出几点技术方面的改进建议，以提升该队的竞 技水平。 C 题 减速路障的放置 某单位地处主干道边上，车流量较大，车速平均每小时 60 公里，对 人员进出造成了一定的威胁。现在有关部门打算在该路段放置减速路障， 达到使来往车辆减速的目的。 （1）建立减速路障减速的数学模型； （2）利用所建的数学模型分析在等距设置三道减速路障情况下的减 速效果； （3）利用所建的数学模型分析减速效果最优的三道减速路障的设置 方案； （4）给交管部门写一封建议信。 D 题 教学质量评价 为了掌握学生数学学习情况，教学管理人员拟定了一份调查问卷（附 件一） （附件略） ，分别对一年级、二年级学生进行了问卷调查。问卷调查 时， 一年级学生正在学习高等数学下册， 二年级学生已经学习完高等数学、 线性代数、概率论与数理统计。请根据调查数据（附件二中给出了调查统 计数据） （附件略） ，回答下面的问题： 1、从总体上分析学生的学习状况； 2、建立一定的标准，对调查的教学班进行分类； 3、从学习态度、学习方法、师资水平等方面进行量化分析； 撰写一份学生数学学习调查报告，以便向有关部门介绍调查结果。2第三届苏北数学建模联赛优秀论文自来水的定价问题刘艳波 马国庆 张建欧 221008）（中国矿业大学，徐州摘要：本文是在确定自来水集团调价方案的合理与科学的基础上,通过综合 分析 A 市的多种指标后，对居民用户的满意度进行研究，得到了居民水费 承受能力为 1.02%。同时在居民满意的范围内,从自来水集团调价方案的 节水空间、 供水企业的赢利和用水的供需平衡三个角度来系统的分析阶梯 式计价方案的合理性与科学性。 对于问题二,我们根据 A 市 GDP 的增长与总用水量的增加的关系,预测 出在未调价时的 2006 年的用水量,在优先保证满足居民用水的前提下,运 用供求定价模型与线形规划方程及 LINGO 软件对非居民用水进行二次分3配,得到新的调价方案,即七个行业的新水价。 单 位 (元/立方米) 居民 工商、 行 饭店、餐 洗浴业 政 企 事 饮业 业 3.69 4.10 4.68 90.00 洗车业、 农 业 赔 生产纯净 水 水 54.00 0.60 中水0.96同样根据问题二的求解，可以预测出 2006 年的总用水节约量为Q节 ? 8320.9万立方米而且我们还从调价后供水企业赢利的角度得出问题二的水价调整方案相 比自来水集团的调价方案而言，更加合理与科学。 另外，我们还多角度的分析了模型的拓展及改进方向 ，并对模型进 行了初步的评价。一、 问题的提出（略） 二、 问题的分析通过对附件的分析,我们发现 A 市的情况与北京市极其相似,这就为 我们在引入合理资料时提供了合理的依据;听证会上确定的阶梯式价格方 案是近几年世界各国大城市相继推行的水价政策,这样它必然会引起人们 的注意,希望知道这种方案对那方有利 .而对新水价的制定是一个十分复 杂的过程,但是因为须过多的考虑居民与企业用户的因素 ,这样就为我们 制定合理的水价提供了一种科学合理的方法.三、模型的基本假设1.假设 A 市 2006 年的经济发展与人口均稳定增长,没有出现剧烈的波 动. 2.我们研究的只是自来水的售价,不考虑整个地区的水价. 3.从可持续的角度分析,假设 A 市自来水集团的供水量没有受到自然灾 害的影响.即其供水系统稳定. 4.A 市水价是采用完全水价制定的,水污染处理费是自来水集团为排水 集团代收的,我们可以把水污染处理费作为自来水集团的成本计价 . 在文中所说的水价均是在成本基础上论述的.四、符号的说明Q ――用水量4M ――居民总支出U ――阶梯式水价效应值Pi ―― 第 i 阶梯上的水价 n ―― 商品的种类 E ―― 供需弹性系数 ?Qd ――为需求量的变动量 其他符号见文中说明xi ――起码生活水平下第 i 种 商品的需求量 m ―― 自来水阶梯数 f ―― 人均每年水费支出 ? P ―― 价格的变动量五、方案合理性、科学性的分析5.1 阶梯式水价分析 阶梯式水价是根据用水者所用水量分级计算水费的一种方法,指在一 定时期内,根据用水数量、 用途或水质划分区间,对每一区间制定出不同的 水价,然后根据用水者所用水量计算水费的方法,按照这种方法制定出的 水价呈现出阶梯状特征。 阶梯式计量水价共分为三个梯次： 第一梯次是保障居民基本生活的需水量, 在此范围内,水价较低,市 民都能够承受水费的支出； 第二梯次是在保障居民基本生活的需水梯次后为改善和提高生活质 量而增加的用水量, 在水资源比较紧张的条件下,水价比第一梯次范围内 高,一般为第一梯次范围内用水价格的2倍左右； 第三梯次是超过第二梯次范围、为满足特殊要求的用水量,比如家庭 泳池用水等,此范围内的用水实行较高的价格,一般为第一梯次范围内用 水价格的10 倍左右. 阶梯式水价比起传统的“一刀切”的统一水价政策来说, 其科学性和 合理性显而易见. 它既不为居民的正常范围内用水增加经济负担,又能对 浪费用水、奢侈用水起到必要的约束和惩戒作用,实现了多用水多交钱, 体现了一种公平,真正体现了“价格杠杆”的作用,有利于引导人们自觉地 善待水资源, 形成节水风尚。据查，实行阶梯式水价的城市, 节约用水起 到了立竿见影的效果,水资源浪费现象得到有效治理。 实施阶梯式水价对于树立和强化节水意识、保护低收入者用水权利和 促进宏观经济政策的实现等方面具有重要的意义： 第一,树立和强化节水意识。我国是水资源短缺的国家,人均占有量仅 为世界平均水平的1/4，目前,许多城市缺水情况日益严重,“全国669 座 城市中有400 余座供水不足,其中比较严重缺水的有110 座；在32个百万 人口以上的特大城市中,有30个长期受缺水困扰.” 水资源短缺已成为制约 经济和社会可持续发展的突出问题, 实行阶梯式水价,拉开级差,增大调 节力度,有利于树立和强化节水意识。5第二,阶梯式水价能有效协调低收入者支付能力与水价按边际成本定 价高的矛盾。 由于水资源越来越紧缺,它的边际效用和边际成本越来越高, 如果按边际成本定价,将会超过低收入者的购买能力,他们的用水权利会 受到侵害,但是,如果水价定得过低,供水企业的成本得不到补偿,供水将 难以为继,为了解决这个矛盾,对低收入者实行低价供水,以保障其用水权 利,企业低价供水的亏损由高用水量者进行补偿。图一、阶梯式水价分级示意图 成本关系图二、阶梯式水价与边际MC――表示边际成本曲线 PC――表示阶梯式水价曲线 用水量在 Q0 以下,PC & MC ,用水者以低于MC 的价格PC 购水,获得高 于买价的效用MC 减去PC 的差额,可以看成是政府福利；用水量在 Q0 以 上,PC & MC ,用水者以高于MC 的价格PC购水,效用减少,减少量是PC 与MC 的差额,为用水者的负效用,用水量越大,负效用越大。用水的负效用可以 抑制高用水者的用水行为,实现节水的目的。对于供水企业来说,在 Q0 以 下的亏损( E 区域) 由 Q0 以上高于MC 实现的利润( F 区域) 来补偿。 第三,阶梯式水价促进宏观经济政策的实现。 一般地,用水量在 Q0 以下 的是低收入者,他们得到相当于E的福利,用水量在 Q0 以上的是高收入者, 他们多付出F的费用,这样,通过阶梯式水价实现了社会财富的再次分配, 增进社会公平。国家还可以通过调整水价(尤其是水价中的水资源费) , 对高耗水、 高污染行业实行惩罚性的水价政策,迫使其退出市场,从而实行 产业结构调整。 水价牵动着各方的利益。 自来水公司的大部分用水是供居民用户使用 的，如附件一所述：居民用水量是自来水集团售水量中比重最大的部分， 占到44.53%，且以每年3%的速度在逐年递增；因此，使居民用户感到满意 是水价提升的一个重要指标。又由于水是一种特殊的商品，满足市场条件6下的一般特征，这样，我们可以用经济分析中的物质承受能力与心理承受 能力两个效用指标来讨论居民用户的满意度， 来判断自来水集团的调价是 否合理。 物质承受能力在分析社会综合承受能力中占有重要地位。 在实际应用 中，往往应从不同的角度加以考察和研究，常用以下几个公式: 经济承受能力 = (本期实际所得 - 前期所得) / 前期所得 生活承受能力 = (本期实际所得 - 前期消费支出) / 前期消费支出 上面所得的是一个无量纲系数。对第一个式子来说，它是两期收入比 较，研究表明，其值大于0.03时，承受能力较强;对于第二个式子来说， 它很重要，一般人们对生活水平的评价往往通过它来进行，它不能长期处 于负数水平;正常情况下，它不能表现为负数。 对于心理承受能力，目前尚不能准确地用数量加以描述.但是在水资 源价格中绝对不能忽略，从某种程度上来说，它通过经济的影响直接表现 在对事物的评价与效果上，它关系到人的情绪、面貌与生产的积极性。由 于我国人民的收入水平有限，生活水平并不富裕，并且已习惯于大锅饭、 低物价、 慢节奏的生活方式， 因而我们思想觉悟、 知识水平等因素的影响， 它不是经济承受能力简单机械的反映，它反映了经济运动情况，而且更加 细微、复杂，并且存在着层次上的差异。 在附件三中我们知道城市人均可支配收入为17653元，比上年增长 12.9%，扣除价格因素，实际增长11.2%。“十五”期间，城市居民人均可 支配收入年均实际递增10.4%，高于“九五”时期3.3个百分点。7图三、2000年以来市地区生产总值及增速 由图知，该地区的GDP增长比较稳定，则可用A市的居民人均可支配 收入年均实际增长量10.4%为2006年的实际增长量，这样我们可以得到 2006年末城市人均可支配收入为19488.9元。对于一个四口之家而言，实 际收入为77955.6元。 将自来水按水量划分为m个阶梯,设水量的划分密度为t (每t 水为一 个台阶) ,在第i 阶上的水价为 Pi ,需水量为 X i 。根据线性支出系统理 论,消费者所用的各个梯度上的水,以及其他各种商品满足如下效应函数：n ?m ? U ? ?i ?? ln( xi ? xi ) ? ? ln( xi ? xi ) ? i ? m?1 ? i ?1 ?m n(i ? 1, 2,..., n)i i（1）式中:? ln( x ? x ) 表示阶梯式自来水; ? ln( x ? x ) 表示其他商品;i ?1 i i i ? m ?1xi表示起码生活水平下第i 种商品的需求量； n 代表商品的种类与自来水阶 梯数m的和。 预算约束为:? Px ? M ? 0i ?1 i in(i ? 1, 2,..., n)(2)式中： M ――居民总支出 经过运算得出总用水量等于各个梯度上需水总量相加，即： m m m ? n ?? ?? ? ? x总 ? ? xi ? ? xi ? ? ? i ? M ? ? Pj x j ? ? (i ? 1, 2,..., n, j ? 1, 2,..., n) i ?1 i ?1 i ?1 ? j ?1 ? Pi ? ? ?? 由方案一、二可知： m ? 3 则:（3）?xi ?13i? x1 ? 36m3按 照 水 价 级 差 1 ： 2 ： 5 的 比 例 进 行 收 费 ， 式 中 ： 3 3 3 P 1 ? 3.7元 / m , P 2 ? 7.4元 / m , P 3 ? 18.5元 / m ， 根据已研究成果，并采用类比的方法: ?1 ? 0, ?2 ? 0.01, ?3 ? 0.001 根据A市以往居民消费情况统计，可以得出人均总支出与人均可支配 收入基本持平，因此人均可支配收入作为 M 的值进行计算，已知2005年 人均可支配收入为：17653元，比上年增长12.9%，扣出价格因素，实际增 长11.2%，通过以上数据，我们预测 2006 年人均可支配收入为： 19488.9 元，即: M ? 19488.9元 。8项目单 户位2005 年 .0 67.7 17174.32004 年 2000增长（%） 12.9调查户数 人均可支配收入 低收入户(20%) 高收入户(20%) 人均家庭总支出元/人 元/人 元/人 元/人.9 .2 .3 .6#人均消费支出 元/人 00.4 表一：城镇居民家庭生活基本情况 （北京统计信息网） 由以上北京统计信息网上数据表， 可得2005年人均消费支出： 13244.2 元/人，由附件三可得2004年消费价格指数为101.0,2005年消费价格指数 为101.5,因为A市经济增长没有太大的波动，我们可以近似得到2006年消 费价格指数为102.0 可得2006年维持基本生活人均总支出，即：?P xj ?1 jnj? .02=13509.08元因此，满足基本生活需要后，消费者用剩余货币消费后面两个梯度上的水 量分别为： 第二个梯度：n ? M ? Pj x j ? ? 0.32m3 / 人 ? 年 ? ? P3 ? j ?1 ? 由阶梯式水价水费计算方法：第三梯度：?3 ?级次 1 2 3用水量 Q (0, Q1 ]水价 P P1(Q1 , Q2 ]P2 P 39P 2 ?Q ? Q 1? ? P 1 ?Q 1 P 3 ? Q ? Q2 ? ? P 2 ? Q2 ? Q 1? ? P 1 ?Q 1水费 f P 1 ?Q(Q2 , ?)由 ： Q1 ? 3m3 / 人?月?12 =36m3 / 人? 年Q2 ? Q1 ? 8.08m3 / 人? 年Q ? Q2 ? 0.32m3 / 人? 年 我们可以求出平均每人每年实际水费花销为： P?P 3 ? Q ? Q2 ? ? P 2 ?Q2 ? Q 1?? P 1 ?Q 1 ? 198.9元 / 人? 年这里我们引入水费承受指数来进行衡量： 水费承受指数 = 水费的支出 / 实际收入 可得：水费承受指数=P/M=(198.9/19488.9) ?100%=1.02%同理可得：按照水价级差1：3：5的比例进行收费，式中： 3 3 P 元 / m3 , P 1 ? 3.7元 / m , P 2 ? 11.1 3 ? 18.5元 / m 水费承受指数=P/M=(198.9/19488.9) ?100%=1.02% 综上按照水价级差1：2：5的比例进行收费与按照水价级差1：3：5 的比例进行收费水费承受指数相同。 水费承受指数具有将物质承受能力与心理承受能力综合起来的特点。 它是通过调查得到的，在考虑物质承受能力的基础上注意了心理影响，并 且节约用水作为一项考察因素。因此，它更能反映实际情况，可以说是一 个综合指数。 水费支出占居民家庭收入 对居民的心理影响 的百分比（%） 1% 影响不大，有浪费现象 2% 产生一定影响，开始关心用水量 2.5% 引起重视，注意节水 5% 影响较大，认真节水 10% 影响很大，考虑重复使用 表二、我国水费承受指数对居民的影响 居民生活用水水价的改革在充分考虑居民经济和心理承受能力的情 况下,要有利于水资源的合理配置,有利于供水企业的生存和发展,有利于 供水价格的规范化管理。基于 ①自来水的供需遵从价值规律；②由于 实行阶梯式水价,自来水用量在不同的阶梯上定价不一样,其具有的供需 特点是不同的,定价低的阶梯上的需水量大,而定价高的阶梯上的需水量 小。 由以上计算可得水费承受指数为：1.02%,对比以上表格，在居民的承 受范围之内对居民的心理影响不大。 5.2 非居民用户的承受能力分析10目前我国水价偏低，居民生活水费支出一般仅占家庭收入的 1%以下， 工厂企业水费支出一般仅占工业产品成本的 0.1%-0.4%，因此我国现在调 整水价是有条件的，在用户的负担能力之内。我国现阶段许多城市工厂企 业设备陈旧、 工艺落后， 水的重复利用率只有 30%左右， 而发达国家在 70% 以上。我国城市工业万元产值耗水量近 200，发达国家仅为 20-30m3，相 差 10 倍。因此工业用水具有很大的节水空间。虽然工业用水的价格提高， 在短期内会增加工业企业的生产成本，但从长期来看，它有利于促进企业 引进更先进的耗水量更少的节水设备，采用循环利用的节水技术，节约的 水费可以大大的抵消由于水价增加而带来的损失。因此，从长期来说，工 业用水水价的提高反倒有利于企业效益的增加。 5．3 从供水企业盈利角度来分析 由附录可知,对A市居民生活用水,将试行四种方案的三级阶梯式定价半年表三、阶梯式水价四种方案 由上图可知，方案有按四人与三人之分，如都加以考虑势必增加复杂 的计算，为方便我们将考虑一种更符合 A 市人口分布的情况，这样我们以 四口之家方案来对供水企业得到的收益加以分析。 在三级定价的原则下,对每个家庭自来水的消费量和供水价格采用阶 梯式定价规则如下 : 当用水量为 Q1 ,( 或不足 Q1 时), 每吨自来水的价格为P1 ;当用水量超过 Q1 但未达到 Q2 时,超过 Q1 部分的自来水价格为 P2 ;当用 水量为 Q2 时,超过部分的自来水价格为 P 3.级次 1 2 3 用水量 Q (0, Q1 ] 水价 P P1 水费 f P 1 ?Q(Q1 , Q2 ]P2 P 311(Q2 , ?)P 3 ? Q ? Q2 ? ? P 2 ? Q2 ? Q 1? ? P 1 ?Q 1P 2 ?Q ? Q 1? ? P 1 ?Q 1表四、阶梯水价计算表 由方案可知： 调整后的一级水价 p1 ? 3.7元/m3 ，那么当采用水价级差为 1: 2 : 5 ，则p2 ? 7.4元/m3 , p3 ? 18.5元/m33 3；同理当采用1: 3 : 5，p2 ? 11.1元/m , p3 ? 18.5元/m 但如果是在原先同一标准下 ,则该家庭虽然当月用水量为 Q ,但是制 定价格仍是 P1 ,因此,该家庭当月所缴纳的总水费为: f2 ? P 1 ?Q 将上述俩个式子相减就得到了供水企业对居民生活用水实行三级定 价后多的收益,实际上也是从消费者处获得的消费剩余. ? P3 ? Q ? Q2 ? ? P2 ? Q2 ? Q1 ?? Q ? Q2 ? ; ? (4) f ? f1 ? f 2 ? ? P2 ? Q ? Q1 ?? Q1 ? Q ? Q2 ? ; ? ?0 ? 0 ? Q ? Q1 ? 由上式可知： f ?0 由于现有的水资源紧缺，有必要根据需求程度来制定水价，以限制人 们的需求。通过对调价方案的分析，有必要对水资源需求量与水价的关系 定性地分析，如下图所示，达到节约用水的目的。图四：水价与需求量关系曲线 通过需求价格弹性系数 Ed ，可表示水资源需求量与水价的定量关系： ?Qd / Qd ?Qd P Ed ? ? ? (5) ?P / P ?P Qd 其中, P 为价格； ? P 为价格的变动量； Qd 为需求量； ?Qd 为需求量的12变动量。 当 ? P 变化很小时, 此时弹性称为点弹性。 表达式为： ?Q / Q dQ P Ed ? lim d d ? d ? ?P / P dP Qd ??0(6)图四中曲线上不同点的水资源需求量对水价变化的反应程度是不同 的。AB段, 需求缺乏弹性, 但比A点需求弹性大。该阶段浪费较严重, 节 水潜力很大,。B C 段, 需求弹性比AB段大, 需水量下降的速度要大于水 价上涨的速度。 水价的提高带来用水成本的提高, 用户必然会加强用水管 理, 变革用水方式,水资源需水量大幅减少,达到节水的目的。CD 段, 需 求弹性比BC段小。无论价格提高到多少,它都是人们生活的必需品, 需求 不会有什么大的变动. 我们对A市用水数据及经济发展情况进行分析， 粗略估计A市的用水状 况存大较在的浪费现象，应该处于图四水价与需求量关系曲线的BC段，还 有较大的节水空间，通过该方案对居民水介的提升不是很高，结合阶梯形 水价及图四曲线，我们可以看出：水价提升必然导致用水量 Qd 的减小； 对于非居民用水，价格的提高幅度很大，特别是洗浴业、洗车业及生产纯 净水企业分别由每立方米10元、30元、60元三档统一调整为100元，由20 元调整为60元。由图四水价与需求量关系曲线，水价的大幅度提高，致使 Qd 的减小，这不仅节约了用水，同时为供水企业增加了一定的效益，而 且水价的提高必然限制高耗水行业。 综上所述,对居民供水价格采用阶梯式计价及按照各行业不同情况， 分别对各行业制定不同的水价,不仅能够抑制长期以来城市用水过度的问 题,而且能够为供水企业带来额外的收益，为南水北调工程筹集了资金， 同时又在居民心理承受范围之内，我们认为该方案是比较科学和合理的。 对供水价格采用阶梯式计价,不仅能够抑制长期以来城市用水严重过度的 问题,而且能够为供水企业带来额外的收益。 但阶梯式水价有一定的局限性: 1.起始分段水量制定困难。起始分段水量核定过多，起不到督促居民节水 的作用，起始分段水量过少，又会影响老百生的正常生活. 2.水商品消费 活动中对边际成本价格的不敏感性。在实际水商品消费活动中，在阶梯式 水价使用中无法及时为用水户提供准确的价格信号。 3.阶梯式水价忽略了 公平性原则。六、合理水价方案的制定及节水量的预测6．1 合理方案的建立13对于居民用户来说， 水价的制定应该在保证供水企业成本的全部收回 或微含微利的基础上，充分考虑居民的收入和承受能力，即城市居民的收 入和价格水平均决定于用水量。这样就固定了一个以承受能力为上限，以 供水企业全部成本和微利为下限的价格范围。 企业是社会财富的主要创造者，几乎在所有的企业中，除了土地和人 力资源以外，水是不可缺少的主要生产资料之一，企业是理所当然的用水 大户， 对水资源的使用和价格的涨落有着重要的影响作用， 对于企业来说， 水价是作为生产成本计算在最终产品价格中，虽说最终由消费者来承担， 但成本的高低将直接影响企业在市场中的竞争能力。因此对于企业用户， 水资源的用量和价格之间的平衡亦显得尤为重要。 企业用水量的增长受社会经济增长和价格影响，则企业用户在规划末 年的需求水量为： Q ?Tn ? ? Q ?T0 ? ? ?Q （7） 其中： ?Q ? f ?经济增长，价格? 单位耗水量可以创造一定的社会价值，带动一定的经济增长，所以在 企业用水合理的情况下， 社会经济的增长也必须要求企业用水同比例的增 长。在企业用户中由于存在许多的不同的行业，各行业单位耗水量创造的 价值也不同的，所有企业用户的用水量还涉及在不同行业的二次分配。 线性规划(Linear programming，简记LP)是研究解决有限资源的最佳 分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有力的使用，以 便充分发挥资源的效能去获取最佳经济效益的一种有效的数量方法。 通过 模型计算，我们即可以得到在考虑资源约束条件下的最优经济结构，为今 后产业结构调整提供参考，又可以得到在该经济结构下资源的最小需求 量。 LP模型标准形式如下：max Z ? c1 x1 ? c2 x2 ? ... ? cn xn ?a11 x11 ? a12 x12 ? ... ? a1n x1n ? b1 ? ? 0 ? ? ?a21 x21 ? a22 x22 ? ... ? a2 n x2 n ? b2 ? ? 0 ? ? s.t. ?............................................. ?a x ? a x ? ... ? a x ? b ? 0 ? m2 m2 mn mn 1? ? m1 m1 ? x1 ? 0, x2 ? 0,..., xn ? 0 ?? 8?所以，LP方法是解决水资源在企业用户之间分配和定价的最佳方法，14下面 对此进行详细的研究讨论，以确定 A 市的水价。 建立水资源的LP模型，目标函数有两种形式: 一种是价值最大化，也就是在水资源量有限的情况下，合理分配水资 源到各行业或企业中，以产出最大的效益; 另一种是需水量最小化，即在总效益一定的情况下，尽可能使水 资源投入量最小。 这两种形式表面看一个是求最大值，一个是求最小值，似乎不同，但 实际上其答案是一致的。这两个问题互为对偶问题，是一个问题的两种提 法。 对模型的几点说明: 第一，由于各城市中企业数量过多，不易计算，本文拟建立的模型是 以城市中的行业为计量基础; 第二，合理的表示各行业及社会总效益的指标是利润值，考虑到计算 过程中数据采集的难易程度， 故近似用行业总产值的高低来表示各行业之 间的效益关系。以产值来替代利润指标，主要是由于一般来讲产值与利润 不是完全的正比关系，但却存在一定的正相关性，产值高的行业其利润也 较高，而且本模型在数据 运用过程中更注重行业之间效益好坏的关系。 因此考虑选产值作为替代指 标: 第三，目标函数设为求各行业总产值最大的形式。 目标函数为：max Z ? ? c j x jj ?1n（9）Z ――社会总产值； c j ――第 j 行业单位用水量的产值；x j ――第 j 行业的用水量；n ――城市中的行业数 约束条件为： 约束条件的选用与目标函数的确定即变量选定有一定关系， 本模型约 束条件主要有以下几个: 总供水量的约束： 为保证社会的可持续发展，在水资源短缺的情况下，居民用户对于企 业用户具有优先的用水权，所以在假设居民用水已知的前提下，企业用水 总量可得。另外，每座城市应该在考虑水资源持续利用的前提下，选取合 适的供水量，而在不同的时期内供水总量会有所不同，应注意及时调整。15? x j ? w, w ? ? wjj ?1 j ?1nn（10）w ――城市各行业可用水量 wj ――第j行业取水上限各行业的用水量的约束： 为了保证在受水资源约束条件下，总产值达到既定目标，各行业产值 就不能限定为一个固定值，而允许在一个范围内调整。各行业的产值并不 是越高越好，应有一个合理的上限。由于各行业产值与其取水量直接相关 的，所以可以表示为取水量的上下限形式，即： （11） wmin ? x j ? wmax j j , ? j ? 1,2,..., n ? 综上所述，对于企业用户LP模型是： 目标函数：max Z ? ? c j x jj ?1n（12）约束条件：? wmin ? x j ? wmax , ? j ? 1, 2,..., n ? j j ?n n ? s.t. ?? x j ? w, w ? ? w j j ?1 ? j ?1 ? x ? 0, ? j ? 1, 2,..., n ? ? j（13）通过以上步骤建立了企业用户角度的线性规划模型，其最优解为就是 满足水资源在城市各行业中有效利用原则的， 能够有效调节水资源向高产 值高效益的行业流动的各行业合理水量分配。 6．2 行业水价的制定 企业用户水价的制定，要在满足供水企业全部生产成本的同时，具有 合理的利润空间。因此，供水企业的水费收入TR应不低于供水企业生产相 当水量的全部成本TC加上合理利润R。即: TR =TC+R 其中供水企业水费收入TR为各用水企业水费之和，供水企业成本和利 润为已知，则用水企业水费总额为己知，我们可以假设水价与行业总产值 正相关，即： p1 : p2 : ?????? : pn ? c1 : c2 : ?????? : cn 则在各行业用水量为 x j 已知的情况下，设各行业水价为 p j ，列方程得:x1 p1 ? x2 p2 ? ?????? ? xn pn ? TR（14）16p2 c2 ? ? k1 , p2 ? k1. p1 ; p1 c1 p3 c3 ? ? k2 , p3 ? k2 . p1 ; p1 c1其中：???????????????????????????? pn cn ? ? kn ?1 , pn ? kn ?1. p1; p1 c1（15）? k1 , k2 ??????kn?1为常数 ?则上式改为：? x1 ? x2k1 ? x3k2 ????????xnkn?1 ?. p1 ? TR（16）上式中只有 p1 为未知数， p1 可求，则 p j 皆可求，这样我们就在模型 上完成了对企业用户的水价的制定。 6．3 用户水价的最终确定 上述给出了居民用户和企业用户水量和水价制定的基本路线， 但是由 于各用户用水量尚未最终确定，最终水价仍无法确定。2005年的用水量为 已知， 只需预测规划期内用水量的增长， 期末需水量即可得。 在规划期末， 企业用户的用水量预测与经济增长相联系， 所以企业用水量的增长最多达 到与GDP同步增长。由此，规划期末居民用水和企业用水皆可进行初步预 测。从图中我们可以看出，当 Q需 ? Q供 时，即水量充足，可以满足用水 总需求，则水价可维持现状或只需满足补偿供水成本和合理利润即可；当 时，则供水量不足以满足需求，需要在用户之间调整用水量。 Q需 ? Q供 由于我国目前的普遍现状是需求大于供给， 所以急需解决用户间的水量分 配问题。17图五、供水企业总供水量与总需求量间关系 最终用户用水量及水价的调整遵循以下几个主要步骤，流程图如下：图六：用户用水量及水价的调整流程图 6．4 合理方案求解 我们知道密云与官厅水库主要是给 A 市供水，且密云水库供水占总供 给量的 65%而由统计资料知现在它还有 7 亿立方米，那么 A 市的总供给量18为 10.8 亿立方米， 从 2001――2004 年提供给 A 市的日供水能力及相关的 用水量如下表：根据统计分析我们亦可得到 2005 年的日供水能力为 238 （万立方米 / 日） ，从可持续角度分析，我们可以确定 2006 年的日供水 能力大约为 238（万立方米 / 日） 。通过分析可以预计 A 市自来水集团的 日平均供水量为 86870 万立方米. 据建设部提供的资料,我国城市公共供水系统自来水的管网漏损率平 均达 21.5%。 则 A 市在水价调整的试行期内实际供水量为 68192 万立方米。 时间 生 产 供 水 量 售水量（ 万 ? m3 ） 能 力 （万立 （ 万 方米） 居 民 生 行 政 事 工业用 经 营 服 特 种 其他 售水总 立 方 活用水 业用水 水 务用水 行 业 量 米 / 用水 日）
16.0 3.0 .0 70.0 年
59.0 4.0 .0 91.0 年
31.0 5.0 .0 23.0 年
83.0 4.0 .0 89.0 年 表五： 年各行业的用水量 则可用 A 市的居民人均可支配收入年均实际增长量 10.4%为 2006 年 的实际增长量，这样我们可以得到 2006 年末城市人均可支配收入为 19488.9 元。北京 2005 年的人均可支配收入与 A 市的 2005 年的人均可支 配收入接近，考虑到北京的人均用水量大约在 230 升 ，随着人们节水意 思的不断增强和陆续出台的各项节水政策，2006 年 A 市的人均用水量一 定达不到 230 升 ，因此可取人均用水量为 220 升 。根据附件三，对城市 的人口进行分析：得到 2006 年末的常住人口为：1585 万人，因 2005 年 居民用水占总供水量的 44.53%，则居民用水总量为 30366.3 万 ? m3 ， 得 到 2006 年的需水量为: 5 ? 0.22=30715万 ? m3 A 市近几年的 GDP 在 11.5%左右，GDP 的增长来自企业，所以假设 GDP 的增长是关于企业用水量的增长是同步的，企业用户 2006 年的需水量是 在 2005 年的基础上增加 11.5%.2004 年企业用水量为 34406 万 ? m3 ， 预测 3 2006 企业用水量为 43537.4 万 ? m 。 总需水量为居民用户和企业用户用量之和，为：77943 万 ? m3 ，超过19供水能力 6060 万 ? m3 ，所以须按前面所述的方法进行重新调整，减低用 量。 居民最低水价要补偿全部供水成本和保证供水企业微利经营，A市 2005年供水成为2.9元/立方米，损失率为21.5%，则其单位水量的销售成 本为： 2.9 =3.69元/m3 ?1-21.5% ? A市2005年城镇居民家庭年人均可支配收入为19488.9元， 人均生活用 水量为220升/人?日，如设最高水价为水费占家庭收入的2.5%，则最高水 价为： 19488.9 ? 2.5% ? 6.06元 / m3 0.22 ? 365 因其生产成本较高，所以假设居民水价仅弥补其相当水量的全部成本，则 居民水价最低为3.69元/立方米。至此A市需求价格弹性取-0.4，价格改变 前后分别为2.9元/立方米和3.69元/立方米。 根据美国詹姆斯（L.Darglas.Tanes）和李（Robert.R.lee ）[1]提出 的公式：? p ? Q2 ? Q1 ? ? 1 ? ? p2 ?E（17）式中 Q1 ――调整价格前的用水量Q2 ――调整价格后的用水量 p1 ――原来的水价 p2 ――调整价格后的水价 E ――水资源的价格弹性系数 可将弹性系数定为 -0.4，计算公式如下:0.4 Q居2 ? P居1 ? ? 2.90 ? （18） ?? ? ?? ? ? 0.91 Q居1 ? P居2 ? ? 3.69 ? 则居民需水量预测为： =27950 万 ? m3 满足居民用水量，非居民需水量预测为： =40242 万 ? m3 由于 40242 万 ? m3 的供水量小于非居民总需求量 43537.4 万 ? m3 。所 以尚需在①工商、行政及事业单位，②宾馆、饭店、餐饮业，③洗浴业， ④洗车业、生产纯净水企业，⑤农业赔水，⑥中水，进行二次分配。 因为 2005 年万元 GDP 水耗为 50.9 万 ? m3 ,而在 2005 年的自来水供水 0.420量为 68192 万 ? m3 。由表经过计算可得表 中的数据： 工商、行 宾馆、饭 洗车业、 政企事业 店、餐饮 洗浴业 生产纯净 农业赔水 单位 业 水企业 占总售水 35.07% 19.84% 0.3% 0.02% 0.01% 量比值 2005 年 用水量 29.3 204.576 13.64 6.82 3 ( 万? m ) 2006 年 用水量 71.6 228．0 15．2 7．6 3 ( 万? m ) 单位用水 量的产值 0．1 0．352 0．231 0．031 3 ( 万? m ) 表六、各行业用水量及产值 将上表中的数据代入线形方程得： max Z ? 0.1647Q1 ? 0.131Q2 ? 0.352Q3 ? 0.231Q4 ? 0.031Q5 ? 0.052Q6 （19） ?0 ? Q1 ?
? ?0 ? Q3 ? 228 ? ?0 ? Q4 ? 15.2 ? s.t. ?0 ? Q5 ? 7.6 ?0 ? Q ? 151.93 6 ? ? 6 ?? Qi ? 40242 ? i ?1 ? ?中水 0.2% 136.39151.930．052（20）由线形规划方程组利用 LINGO 软件编程解得： （源程序见附录） 工商、 行 宾馆、 饭21洗浴洗车农业中水政企事 业单位店、 餐饮 业业弹性系数 E-1.33-0.8 13821.7-1.6 89.0业、 生 产纯 净水 企业 -1.4 3.8赔水-0.2 7.3-0.4 154.4Qi (i ? 1, ???,6)万 / m24521.1表七、各行业用水量 根据世界银行的统计用水价格弹性系数， 由于我国工业用水整体存在 严重浪费现象，回用率低，所以弹性偏大，故 A 市工业用水的价格弹性为 -1.1。由于在 2005 年的工业用水为每立方米为 3.2 元。代入供求定价模 型? Q12 ? P ? ? 11 ? Q11 ? P 12 ? 由 p11 ? 3.2 可以得出：1.3?42.8（21）p12 ? 4.1即：工商、行政企事业单位的水价为： 4.1元 / m3 同理我们可以得到另外五种产业的水价见下表： 单 （元/ m ） 工商、 行 宾馆、饭 洗车业、 政企事 店、餐饮 洗浴业 生产纯净 业单位 业 水企业 调整 前水 3.20 4.20 10,30,60 20.00 价 调整 后水 4.10 4.68 90.00 54.00 价格 表八、各行业调整前、后价格3位农业赔 水 0.50中水1.000.600.96由听证会方案：经过我们前面的讨论，阶梯式方案比较科学合理，因 此我们新方案中也可以引入阶梯式方案，采用 1:2:5 的比例。根据我们新 的方案由上表数据调整后价格，可以得到各行业自来水总节约量：226 ? ? Q 节 ? Q总 ? ? Q居 ? ? Qi ? ? 68192 ? ? 27950 ? 38597.3? ? 1644.7万立方米 i ?1 ? ? '（22） 由讨论的类型完全相同，我们可以按同样比例来确定： 调整价格后，2006 年 A 市总节水量：Q节 ?1644.7 ? 345000 ? 8320.9万立方米 68192.0那么，供水企业的利润率可通过下面两个公式6 ? ? p均 ? ? p居Q居 ? ? piQi ? / Q i ?1 ? ? r ? ? p均 ? C供 ? / C供（23） （24）计算得：p均 ? 4.05元 / m3r ? 9.9%9.9% 的利润小于 A 市的 GDP 的增 考虑到供水企业不完全是盈利企业， 长，符合政府对水价的制定原则。且水费承受指数小于 2.5%，在居民的 承受范围之内，同时为企业赢得了利润，进一步说明模型的合理性与科学 性。 6．5 对政府的合理化建议（略）七、模型的拓展方向（略） 八、模型的评价（略） 九、参考文献（略）23自来水的定价问题分析梁二伟 王晓东 冯源 （西北工业大学，西安 710000）摘要：水是人类的生命之源，自来水的价格关系到千家万户，提高水价会影 响到人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济的发展。所以，国家和 政府对水价调整是慎之又慎。 本文针对 A 市的自来水调价问题进行了合理的分析和假设，考虑到实 际生活中居民为满足基本生活需求有必需的用水量， 我们假定居民的用水 量由固定部分和可变部分两部分组成，建立了两种模型。模型一中，我们 在未考虑居民收入的前提下，引入了居民用水量的分布，在不同区间上对 阶梯价格进行了分析；模型二中，我们考虑了居民收入对用水量的影响， 并假定居民收入和用水量服从二维正态分布， 对调价方案的合理性进行了 分析评价。 对于问题一，我们利用模型一按每户平均四人求解，得到：水价级差 为 1: 2 : 5 的方案，节约用水量约为 10728 万吨，节约率约为 8.76%，自来 水公司的利润约为 8.2 亿，居民用于购水的费用约占人均可支配收入的 0.861%；水价级差为 1: 3 : 5 的方案，节约用水量约为 10992 万吨，节水率 约为 8.97%，自来水公司的利润约为 8.3 亿，居民用于购水的费用约占人 均可支配收入的 0.878%。问题一的计算结果说明通过价格调整使自来水 公司得到了利润，并间接为南水北调工程筹集了资金，限制了高耗水行业 的用水量，从而达到了节约用水的目的。 对于问题二和问题三，仍然使用模型一求解，得到：调整后的水价级 差为 1∶4∶5，此时节水量约为 11256 万吨，节约率为 9.19%，自来水公 司的利润约为 8.6 亿， 居民用于购水的费用约占居民可支配收入的 0.94%； 同时，我们采用计算机模拟的方法验证了模型二的可行性。由计算结果可 以看出，我们所建议采用的方案优于题中所给方案，建议采纳。 关键词：正态分布 阶梯价格 弹性系数 供求关系24一 问题重述（略） 二 条件假设1 假设自来水价格调整方案是在水资源费和污水处理费调整方案确定的 前提下进行的。 2 假设在供水和用水过程中的水损失相同，各占总水损失量的一半。 3 假设 2006 年国家对自来水所征税费不变。 4 假设居民用水至少满足基本生活用水需求。 5 假定居民的用水有不变部分和可变部分组成。三符 号符号说明含义 单位P1 P2QE调整前的水资源费 调整后的水资源费 用户的用水总量 用户花销总和A 市居民户数元吨元吨吨 元 户m e rS vsM NW1水资源费的弹性系数 水费支出占家庭总支出的比例 不满意用户所占比例 税率 自来水集团水资源的利用率 自来水集团年取水总量 自来水集团年自来水销售总量 调整前的用水量 调整后的用水量吨 吨 吨 吨W2四4.1 问题背景的理解问题分析25由于自来水供水成本增加，同时为了给南水北调工程筹资和限制高耗水行 业，自来水调价势在必行。 首先，近年来由于 A 市供水成本增加，自来水集团面临亏损。同时， A 市 水资源匮乏，水质恶化，为了改善这个局面，国务院已决定修建南水北调工程， 从湖北省丹江口引水，调长江水北上，解决 A 市及各沿线省、市的缺水问题， 而南水北调工程资金需要从自来水销售价格中筹集。 另外， 为了有效地利用 A 市 的水资源，最大限度发挥水资源的效益，需要通过自来水销售价格的调整来实 现限制高耗水行业的发展，保证居民生活用水的供应和城市经济发展对水的需 求。基于这样三个原因， A 市急需调整水价。 其次，为建立节水型水价体系，同时促进社会经济环境的协调发展和为节 水型社会的建立奠定基础，实行阶梯型水价，提高居民的节水意识，对居民过 度使用的自来水部分收取一种“惩罚性”水价是十分有必要的。 此外，未来几年是污水处理设施建设的高峰期，但是，污水处理设施建设 资金需求量较大，污水处理出水水质标准提高，污水处理量增加，使得污水处 理厂所需的资金投入量增大，利润降低，甚至亏损。在国家大力扶持污水处理 厂发展指导方针下，提高污水处理费也是十分必要的。 居民所缴纳的水费由自来水费和污水处理费两部分组成，由于自来水费和 污水处理费都有所增加，提高居民水价就显得十分必要；同时，非居民用水也 应分行业提价，达到调整 A 市产业结构的目的，此外，为建立节水型水价体系 也有必要实行阶梯型水价。 4.2 对问题一的分析 水价政策的改革目标是：其一，充分发挥政府调控水资源的经济杠杆功能， 引导产业结构的调整，同时不影响人民的正常生活；其二，维护国家的权益不 受损失，确保水资源费上缴国库；其三，建立节水型水价体系，为节水型社会 建立奠定基础，促进社会经济环境的协调发展。目前大部分自来水集团都在亏 损运转，提高水价势必会影响到人民的生活，甚至会影响到社会的安定和经济 的发展。 根据水价政策的三个改革目标， 我们考虑可用以下 3 个指标来分析评价 A 市 价格部门提出的调整方案： 指标 1：尽可能多的增加节约用水量，从而达到节约水资源的目的。 指标 2：价格调整在居民能够接受的范围内，从而做到不影响居民正常生活， 保证社会的安定和经济的发展。 指标 3：价格调整可保证自来水集团盈利，从而达到改变自来水集团亏损运转26局面的目的。 在以上 3 个指标中，指标 2 和指标 3 是硬性指标，合理的价格调整方案必 须满足；而指标 1 具有一定的弹性，但是，一个合理的价格调整方案决不能与 节水相违背，浪费水的现象是不允许出现的。 4.3 对问题二的分析 水价的调整方案是由 A 市价格部门权衡各方面因素的影响而最终给出的， 而价格部门属于政府部门。作为政府，调整水资源费和污水处理费应该是调整 水价的第一步，自来水价的最终调整方案应在水资源费和污水处理费涨幅确定 的前提下给出。调整水价时，应该考虑在保证自来水集团盈利和居民可接受的 前提下尽可能多的节约用水。 基于上述原因，我们考虑在提出调整方案时同时考虑节约用水、自来水集 团盈利和居民可接受这三个因素， 其中， 自来水集团盈利和居民可接受是前提， 在这个前提下尽可能多的节约用水是目的。而要实现节水，具有可行性且容易 操作的办法就是实行阶梯水价。所以，对于此问题我们的方案仍然是基于阶梯 水价，在阶梯水价的前提下我们尝试给出更合理的水价方案。 4.4 对问题三的分析 由于水资源是准商品，其价格的变化会引起需求量的变化，在经济学上能 够很好反映这方面变化的模型就是“供求定价模型” 。所以，对问题三，我们考 虑建立“供求定价模型”对新的水价方案实施后的节水量进行预测。五5.1模型建立问题的模型 水是关系国计民生的重要资源，提高水价会影响到人民的生活，但是目 前大部分自来水公司都在亏损运转，因此供水部门也应在适当的价格变化范围 内盈利经营；同时，水资源是一种稀缺资源，调节水价可在一定程度上对社会 上的用水行为进行调节，从而达到节约用水的目的。所以说，在制订调价方案 时，应同时考虑利润问题和用水问题。 我们将供水作为商品，则它满足供求定价模型，当水的价格由 P1 变化为 P2 时，用户的用水量 W2 为：W2 ? W1 ( P 1 e ) P2其中 e 为水的价格弹性系数。 对整个问题的分析，我们分别从是否考虑居民收入影响两个不同方面出发 建立了两个不同的模型。275.1.1 不考虑收入影响的模型一 假定用水量为 x 的用户在占总人口比例为 f ( x) ，它满足正态分布，即有：? 1 f ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2，用户的用水量为 ? xf ( x)dx ，设居民户数为 m 。0?方案一：当所用方案为单一水价时： ① 若居民的原用水量 x ? (0, c0 ] ，水价由 P1 变为 P2 ，此时用水量为 x( 此部分用户的用水量为:P 1 e ) ， P2Q1 ? m? x(0c0P 1 ) f ( x)dx P2ee此部分用户的总花销为：E1 ? m ?c0 0?P? x ? 1 ? f ( x ) P2 dx ? P2 ?② 若居民的原用水量 x ? (c0 , c1 ] ，水价由 P1 变为 P2 ，可视 c0 为居民用水的 固定部分，此时用水量为 c0 ? ( x ? c0 )(c1p1 e ) ，此部分用户的用水量为： p2 P 1 e ) ] f ( x)dx P2Q2 ? m? [c0 ? ( x ? c0 )(c0此部分用户的总花销为：?P? E2 ? m ? [c0 ? ( x ? c0 ) ? 1 ? ] f ( x) P2 dx c0 ? P2 ?c1 e③ 若居民的原用水量 x ? (c1 , ?) ，水价由 P1 变为 P2 ，可视 c1 为居民用水的 固定部分，此时用水量为 c1 ? ( x ? c1 )(c1p1 e ) ，此部分用户的用水量为： p2Q3 ? m? [c1 ? ( x ? c1 )(c0P 1 e ) ] f ( x)dx P2此部分用户的总花销为：28?P? E3 ? m ? [c1 ? ( x ? c1 ) ? 1 ? ] f ( x)dx c1 ? P2 ??e全体用户的用水量总和以及用户花销总和分别为：Q总 ? Q1 ? Q2 ? Q3E总 ? E1 ? E2 ? E3? P2 ? 方案二：当所用方案为阶梯水价 P ? ? k1 P2 ?k P ? 2 2 x ? [0, c0 ] x ? [c0 , c1 ] 时： x ? [c1 , ??)① 若用户的原用水量 x ?[0, c0 ] ，水价由 P1 变为 P2 ，则有： 此部分用户的用水总量为：Q1 ? m ?c0 0 e?P? x ? 1 ? f ( x )dx ? P2 ?e此部分用户的总花销为：E1 ? m ?c0 0?P? x ? 1 ? f ( x ) P2 dx ? P2 ?② 若用户的原用水量 x ?[c0 , c1 ] ，水价由 P1 变为 k1P2 ，此时用户用水需求 量大于 c0 ，只有 ( x ? c0 ) 部分受到限制，则有： 此部分用户的用水总量为：e ? ? P ? ? 1 f ( x) ?c0 ? ( x ? c0 ) ? ? ?dx k1P2 ? ? ? ? ? ?Q2 ? m?此部分用户的总花销为：E2 ? m ?c1 c0c1c0c1 ? P ? f ( x)( x ? c0 ) ? 1 ? k1P2 dx ? m ? c0 f ( x ) P2 dx c0 ? k1 P2 ?e③ 若用户的原用水量 x ?[c1 , ??) 时，水价由 P1 变为 k2 P2 ，此时用户用水29需求量大于 c1 ，只有 x ? c1 部分受到限制，则有： 此部分用户的用水总量为：e ? ? P ? ? 1 f ( x) ?c1 ? ( x ? c1 ) ? ? ?dx k2 P2 ? ? ? ? ? ?Q3 ? m?此部分用户的总花销为：E3 ? m ?? c1?c1? ? P ? f ( x)( x ? c1 ) ? 1 ? dx ? m ? ?c0 f ( x) P2 ? (c0 ? c1 ) f ( x)k1P2 ? dx c 1 ? k2 P2 ?e全体用户的用水量总和以及用户花销总和分别为：Q总 ? Q1 ? Q2 ? Q3E总 ? E1 ? E2 ? E35.1.2 考虑收入影响的模型二： 假定用水量为 x 收入为 y 的用户在总人口中所占比例 f ( x, y) 满足二维正态 分布，则有：f ( x, y ) ? 1 2?? 1? 2 ? ( x ? ?1 ) 2 ( x ? ?1 ) ? ( x ? ?2 ) ( y ? ?2 ) ? 1 exp ?? ? ? 2r ? ? 2 2 ?1 ? 1? 2 ? 22 ? 1? r2 ? 2(1 ? r )且满足：? ?0??0f ( x, y )dxdy ? 1lim f ( x, y ) ? 0 lim f ( x, y ) ? 0 y ?? ， x ??假设水费支出占家庭总支出的比例为 r ， ?r1 , r2 ，满足：?r1 ? r ? r2 用户节约用水 ? 用户有不满情绪 ? r ? r2方案一：当所用方案为单一水价时： ① 若用户的原用水量 x ?[0, c0 ] ， 水价由 P1 变为 P2 ， 此时分两种情况考虑： 当 P2 x ? r1 y 时，用户不考虑水价的影响，用水量仍为 x ； 当 P2 x ? r1 y 时，用户考虑水价的影响，用水量为 x(30P 1 e ) ，且当 P2 x ? r2 y 时 P2用户有不满情绪。 则此部分用户的用水总量为：Q1 ? m ?c0 0?? P2 x r1xf ( x, y )dxdy ? m ?P2 x r1 0c00?P2 x r1 0?P? x ? 1 ? f ( x, y )dxdy ? P2 ?e节约用水的用户总数为：S1 ? m ?c0 0?f ( x, y )dxdy有不满情绪的用户总数为：S2 ? m ?c0 0?P2 x r2 0f ( x, y )dxdy此部分用户的总花销为：E1 ? P 2Q 1② 若原来用户的用水量 x ?[c0 , c1 ] ，居民的用水量大于 c0 ，只有 ( x ? c0 ) 部 分受限制，水价由 P1 变为 k1P2 ，此时分两种情况考虑： 当 xP2 ? r1 y 时，用户不考虑水价的问题，用水量仍为 x ； 当 xP2 ? r1 y 时， 用户考虑水价， 用水量为 c0 ? ( x ? c0 )( 户会有不满情绪。 此部分用户的用水总量为：P 1 e 且当 xP2 ? r2 y 用 ) ， P2Q2 ? m?c1c0?? xP2 r1xf ( x, y )dxdy ? m?c1c0?xP2 r1 0e ? ?P ? ? 1 ?c0 ? ( x ? c0 ) ? ? ? f ( x, y )dxdy ? ? P2 ? ? ? ?节约用水的用户总数为：S1 ? m ?c1c0?xP2 r1 0f ( x, y )dxdy有不满情绪的用户总数为：S2 ? m ?c1c0?xP2 r1 0f ( x, y )dxdy此部分用户的总花销为：E2 ? P2Q231③ 若用户的原用水量 x ?[c1 , ??) ，用户的用水量大于 c1 ，只用 ( x ? c1 ) 部 分受到限制，水价由 P1 变为 k2 P2 ，此时分两种情况考虑： 当 xP2 ? r1 y 时，用户不考虑水价的影响，用水量仍为 x ； 当 xP2 ? r1 y 时，用户考虑水价的影响，用水量为 c1 ? ( x ? c1 )(p1 e ) ，且当 p2xP2 ? r2 y 用户会有不满情绪。此部分用户的用水总量为：xP2 r1 0 e ? ?P ? ? 1 ?c1 ? ( x ? c1 ) ? ? ? f ( x, y )dxdy ? ? P2 ? ? ? ?Q3 ? m??c1?? xP2 r1xf ( x, y )dxdy ? m??c1?节约用水的用户总数为：S1 ? m ?有不满情绪的用户总数为：?c1?xP2 r1 0f ( x, y )dxdyS2 ? m ??c1?xP2 r2 0f ( x, y )dxdy此部分用户的总花销为：E3 ? Q3 P2全体用户的用水量总和、用户花销总和以及用户的不满意比例分别为：Q总 ? Q1 ? Q2 ? Q3E总 ? E1 ? E2 ? E3S2 mS?32? P2 ? 方案二：当所用方案为阶梯水价 P ? ? k1 P2 ?k P ? 2 2x ? [0, c0 ] x ? [c0 , c1 ] 时： x ? [c1 , ??)① 若用户的原用水量 x ?[0, c0 ] ， 水价由 P1 变为 P2 ， 此时分两种情况考虑： 当 P2 x ? r1 y 时，用户不考虑水价的影响，用水量仍为 x ； 若满足 P2 x ? r1 y 时， 用户考虑水价的影响， 用水量为 x( 时用户有不满情绪。 则此部分用户的用水总量为：Q1 ? m ?c0 0P 1 e 且当 P2 x ? r2 y ) ， P2?? P2 x r1xf ( x, y )dxdy ? m ?P2 x r1 0c00?P2 x r1 0?P? x ? 1 ? f ( x, y )dxdy ? P2 ?e可算出节约用水的用户总数为：S1 ? m ?c0 0?f ( x, y )dxdy有不满情绪的用户总数为：S2 ? m ?c0 0?P2 x r2 0f ( x, y )dxdy此部分用户的总花销为：E1 ? P 2Q 1② 若原来用户的用水量 x ?[c0 , c1 ] ，居民的用水量大于 c0 ，只有 x ? c0 部 分受限制水价由 P1 变为 k1P2 ，此时分两种情况考虑： 若 c0 P2 ? ( x ? c0 )k1P2 ? r1 y 时，用户不考虑水价的问题，用水量仍为 x ； 若 c0 P2 ? ( x ? c0 )k1P2 ? r1 y ，用户会考虑水价，用水量为 c0 ? ( x ? c0 )( 且当 c0 P2 ? ( x ? c0 )k1P2 ? r2 y ，用户会有不满情绪。 此部分用户的用水总量为：P 1 )e ， k1P233Q2 ? m?c1c0??c0 P2 ? ( x ?c0 ) k1P2 r1xf ( x, y)dxdy ? m?c1c0?c0 P2 ? ( x ?c0 ) k1P2 r1 0e ? ? P ? ? 1 ?c0 ? ( x ? c0 ) ? ? ? f ( x, y)dxdy k1P2 ? ? ? ? ? ?节约用水的用户总数为：S1 ? m ?c1c0?c0 P2 ? ( x ? c0 ) k1P2 r1 0f ( x, y )dxdy有不满情绪的用户总数为：S2 ? m ?c1c0?c0 P2 ? ( x ? c0 ) k1P2 r1 0f ( x, y )dxdy此部分用户的总花销为：E2 ? m?c1c0??0co f ( x, y)P2dxdy ? m?c1c0??c0 P2 ? ( x ?c0 ) k1P2 r1f ( x, y)( x ? c0 )k1P2dxdy ? m?c1c0?c0 P2 ? ( x ?c0 ) k1P2 r1 0( x ? c0 )(③ 若用户的原用水量 x ?[c1 , ??) ，用户的用水量大于 c1 ，只用 ( x ? c1 ) 部 分受到限制，水价由 P1 变为 k2 P2 ，此时分两种情况考虑： 当 c0 P 2 ? (c1 ? c0 )k1 P 2 ? ( x ? c1 )k2 P 2 ?r 1 y 时，用户不考虑水价的问题，用水量 仍为 x ； 当 c0 P 2 ? (c1 ? c0 )k1 P 2 ? ( x ? c1 )k2 P 2 ?r 1y 时 ， 用 户 考 虑 水 价 ， 用 水 量 为c1 ? ( x ? c1 )( p1 e ) ，且当 c0 P2 ? (c1 ? c0 )k1P2 ? ( x ? c1 )k2 P2 ? r2 y 会产生不满情绪。 k2 p2c0 P2 ? ( c1 ?c0 ) k1P2 ? ( x ?c1 ) k2 P2 r1 0此部分用户的用水总量为：Q3 ? m??c1??c0 P2 ? ( c1 ?c0 ) k1P2 ? ( x ?c1 ) k2 P2 r1xf ( x, y)dxdy ? m??c1?e ? ? P ? ? 1 ?c1 ? ( x ? c1 ) ? ? ? f ( x, y k2 P2 ? ? ? ? ? ?节约用水的用户总数为：S1 ? m ??c1?c0 P2 ? ( c1 ? c0 ) k1P2 ? ( x ? c1 ) k2 P2 r1 0f ( x, y )dxdy有不满情绪的用户总数为：34S2 ? m ??c1?c0 P2 ? ( c1 ? c0 ) k1P2 ? ( x ? c1 ) k2 P2 r2 0f ( x, y )dxdy此部分用户的总花销为：E3 ? m??c1???0c0 P2 f ( x, y)dxdy ? m?? c0 P2 ? ( c1 ? c0 ) k1P2 ? ( x ?c1 ) k2 P2 r1?c1??0(c1 ? c0 )k2 P2 f ( x, y)dxdy?m??m?c1??( x ? c1 ) f ( x, y )dxdy? P ? ( x ? c1 ) ? 1 ? f ( x, y )dxdy ? k2 P2 ?e?c1c0 P2 ? ( c1 ? c0 ) k1 P2 ? ( x ? c1 ) k2 P2 r1 0全体用户的用水量总和、用户花销总和以及用户的不满意比例分别为：Q总 ? Q1 ? Q2 ? Q3E总 ? E1 ? E2 ? E3S2 mS?六 模型求解6.1 问题一的求解 由 5.1 中所建立的模型一， 我们根据题目中给出的具体数据对其进行求解。 考虑指标 1: A 市自来水集团建议，按四口人家庭确定阶梯水价中基数水量更符合 A 市 实际情况，所以可以认为 A 市每户平均四人。阶梯水价体现的居民人均月用水 量为 3 吨，这样每户月平均用水量为 12 吨，故取 ? ? 12 。另外，假设每个居民 月用水量在 1.5 到 4.5 吨之间， 每户月用水量在 6 到 18 吨之间， 根据 3 ? 原则， 模型一中应取 ? ? 2 。3.7 ? ? 对于 A 市价格部门给的阶梯水价 P ? ?3.7 ? 2(或3) ? 3.7 ? 5 ?35x ? [0,12] x ? (12,16] ， x ? (16, ??)模型一中 P 1 ? 2.9 ， P 2 ? 3.7 ， k1 ? 2或3 ， k2 ? 5 ， c0 ? 12 ， c1 ? 16 ，用户数m 按附件三中数据求出为 m ? 378.84(万户)，弹性指数 e 取全国平均值 e ? 0.33 。对于居民用水，按照以上数据对模型一采用梯形公式将求积区间 10000 等 分并借用 Matlab 求解,得到结果如下: ① 当阶梯水价比例取 1:2:5 时，解得:Q1 ? 4.4069m E1 ? 15.0460m Q总 ? 11.3447mQ2 ? 4.5581mQ3 ? 2.8727m E3 ? 16.9683mE2 ? 18.5719mE总 ? 50.5862m故 每 户 月 平 均 用 水 为 ： 11.3447 吨 月 , 居 民 用 水 平 均 价 格 为 ：50.5862 ? 4.4590 元 ,每月节水量为 (12 ?11.3447) ? m ? 248(万吨) 。 吨 11.3447 ② 当阶梯水价比例取 1:3:5 时，解得:Q1 ? 4.4069m E1 ? 15.0460m Q总 ? 11.2869mQ2 ? 4.5003mQ3 ? 2.8727m E3 ? 17.4398mE2 ? 19.6374mE总 ? 52.1232m故 每 户 月 均 用 水 为 每 月 11.2869 吨 ， 居 民 用 水 平 均 价 格 为 52.1232 ? 4.6180 元 ，每月居民节水量为 (12 ?11.2869) ? m ? 270(万吨) 。 吨 11.2869 比较两种结果可知，阶梯水价比例为 1: 2 : 5 时居民承担的平均水价较低， 而比例为 1:3:5 时节水量明显提高。 由于平均水价由居民水价和非居民水价两部分分构成，有: 平均水价=居民水价 ? 44.53%+非居民水价 ? 55.47%， 可求出非居民用水平均自来水价为 3.58 元； 调整后非居民用水平均自来水 价为 4.59 元， 另外非居民用水污水处理费由 1.2 元变为 1.5 元， 所以非居民用 水的价格从 4.78 元变为 6.09 元 , 我国非居民用水的平均弹性指数一般为 e ? 0.5 。 则非居民月平均用水总量为:36(居民月用水量/44.53%) ? (1-44.53%)=5663 万吨P 1 e ) 求得调整后非居民月平均用水总量为 5017 万 P2由供求定价关系 W2 ? W1 (吨。非居民用水月平均节约水量为 646 万吨。所以，比例为 1:2:5 时月总节水 为 894 万吨,年总节水量为 10728 万吨,节水比例为 8.76%；比例为 1:3:5 时月 总节水为 916 万吨,年总节水量为 10992 万吨，节水比例为 8.97%。总的来说两 种方案都达到了节水的目的,从而指标 1 得到满足。 考虑指标 2: 根据附录 3，居民年平均可支配收入为 17653 元，由上面计算结果，当比 例为 1:2:5 时,居民年用水平均开支为 152 元；当比例为 1:3:5 时，居民年用 水平均开支为 155 元， 分别占人均可支配收入的 0.861%和 0.878%。 由于该市居 民的恩格尔系数为 31.8%， 居民富裕程度较高,因而上面两种水价方案应均可被 接受，从而指标 2 得到满足。 考虑指标 3: 自来水供水价格应包含自来水水费和污水处理费用两部分，即：自来水供水价格 ?自来水水费 ? 污水处理费由于污水处理费用被污水处理集团收取，自来水集团盈利仅来源于自来水 水费，因此计算自来水集团盈利时只需考虑自来水水费部分。 按照有关法规规定：自来水费 ?自来水成本+自来水厂利润+水资源费+税费当前税率 v 可定义为：税率 ? 税费 自来水费水资源费是按自来水取水量征收，由自来水集团缴纳的。由于自来水行业 在供、销过程中存在着不可避免的水量损失，造成自来水取水量与售水量之间 的产销差率，这部分的差额只能由自来水企业承担，减少了企业利润，定义自 来水集团水资源利用率 s 可定义为：自来水集团水资源利用率= 年自来水销售总量 年取水总量假设取水和供水过程所造成的水损失各占水损失总量的一半，则有：自来水厂年利润 ? 年自来水销售总量 ? 平均价格 ?(1-税率)37?年取水总量 ? 平均水资源费?(1 ?自来水公司水资源利用率 ) ? 取水总量 ?自来水成本 2自来水厂按售水量的单位利润可以表示为：单位利润=平均价格 ?(1-税率)1 利用率 1 ? 平均水资源费-(1)? ?自来水成本 利用率 2 利用率(**)利用题目中所给数据可求得税率为： 0.33 v? ? 14.35% 2.3 与税法规定税率应在 13%左右基本稳合. 根据上一年自来水公司盈亏平衡即单位利润为 0 的条件，以及平均价格为 3.01 元，自来水成本 1.37 元，平均水资源费 0.81 元，利用公式(**)可求得利 用率为： s ? 78.97% 即损失率为 21.03% ,与我国自来水公司当前平均损耗 20%符合。 根据以上公式可求出当比例为 1:2:5 时自来水平均价格为: 11.3447m ? (4.4590 ? 0.9) ?
? (6.09 ? 1.5) ? 4.11 元 吨 11.3447m ?
平均水资源费为：1.37 元。 所以由公式(**)可求得:单位利润为 0.735 元，年利润约为 8.2 亿。 同样可以求得当比例为 1: 3 : 5 时，自来水平均价格为 4.116 元 , 吨 所以由公式(**)可求得:单位利润为 0.735 元，年利润约为 8.3 亿。对阶梯水价的详细评价: 在不考虑阶梯水价时,居民用水平均价格由 2.9 元变为 3.7 元， 居民用水弹 性系数 e ? 0.33 ,调整前居民用水总量为 3 ? 12 ? 常住人口=54552 万吨， 由供求价 格关系.可求出调价后居民年用水总量为 52688 万吨，年节约用水 1864 万吨。 而考虑阶梯水价时居民用水年节约用水在 1：2：5 和 1：3：5 两种方案下 分别为 2976 万吨和 3240 万吨。由数据可见阶梯水价明显提高了居民节水量。 不考虑阶梯水价时可求得自来水平均价格为：38(52688 ?12) ? (3.7 ? 0.9) ? 5017 ? (6.09 ?1.5) ? 3.76 元 52688 ?12 ? 5017 吨由公式(**)可求得:单位利润为 0.436 元，年利润约为 4.9 亿。 由此可见阶梯水价提高增加了自来水公司的利润。阶梯水价下居民用水平 均价格升高，作为居民满意度应该有所降低。 6.2 问题二和问题三的求解 按模型一进行求解，仍取 ? ? 12 ， ? ? 2 ， P2 ? 3.7 ， c0 ? 12 ， c1 ? 16 。 对不同的 k1 ， k2 ，采用计算机模拟求解得到以下 30 组数据：比例Q11:2:5 1:2:6 1:2:7 1:2:8 1:2:9Q24.5 4.5 4.0665Q34.1 4.1 4.1 4.3 4.3 4.3 4.4638E12.1 2.1 2.1 2.6 2.6 2.6 2.0 50.0 49.0 49.0 49.0 50.0 50.0 52.0 52.0 52.0 53.0 53.0 54.039E2E318.9 18.9 18.9 19.4 19.4 19.4 20.4 15.5 16.6 17.8 17.3 18.3 19.6Q总11.7 11.7 11.7 11.4 11.4 11.4 11.2314E总1:2:10 4.:5 1:3:6 1:3:7 1:3:8 1:3:9 4.5 4.5 4.06651:3:10 4.:5 4.06651:4:6 1:4:7 1:4:8 1:4:94.5 4.54.8 4.8 4.7 4.7 4.7 4.8 4.8 4.9 4.40192.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.2 2.2 2.1 2.68311:4:10 4.:6 1:5:7 1:5:8 1:5:9 4.5 4.51:5:10 4.:7 1:6:8 1:6:9 4.5 4.06651:6:10 4.:8 1:7:9 4.51:7:10 4.066555.0 55.0 56.0 56.0 57.0 57.0 59.0 59.0 59.0 60.0 60.0 62.0 63.0 63.0 63.0 66.0 66.0 66.919820.6 20.6 20.5 21.5 21.5 22.0 22.0 23.4 23.060420.0 21.1 21.3 22.3 23.8 25.0 26.6 28.4 28.813411.4 11.4 11.3 11.3 11.3 11.5 11.5 11.5 11.1515由以上数据可以看出用户平均每月用水量随 k1 的变化而变化，当 k1 取定 k2 增大时，用户月平均用水价格增大，要实现节水最终还是需要调整 k1 ，而 k1 过40大时居民用水价格便会过高，自来水公司将会获得暴利。由问题一求解中对阶 梯水价的评价，采用阶梯水价只会提高自来水公司的利润，而未采用阶梯水价 时自来水公司已经有了相当的利润，因而选择比例时应以尽可能多的节约用水 为目的， 并且尽量的压低自来水公司利润的增长幅度， 同时保证居民可以接受。 所以综合各种因素我们选取比例 1： 4： 5 作为我们的方案提供给政府部门。 当选取比例 1：4：5 时： 居民用水年节水量为：292 ? 12=3504 万吨; 年总节水量为：646 ? 12+ 万吨; 节水率为：9.19%; 居民平均水价为：4.93 元 吨 自来水厂利润为：8.6 亿 居民用于购水的费用占居民可支配收入的比例为：0.94% 按模型二进行求解时，由于题目所给数据不足，此模型中用到的正态分布 的几个参数很难确定，因而很难给出供政府部门参考的方案，不过我们通过计 算机模拟的办法说明了模型确实具有合理性，具体原程序和程序见附录 1。七 八模型优缺点分析（略） 参考文献（略）41自来水阶梯式定价方案的研究颜世乾 蔡先彬 刘晓丽 221008）（徐州工程学院，徐州摘要本文对自来水阶梯式定价方案进行了深入地研究。针对问题一，我们利用 多目标规划的思想来建立阶梯式水价的数学模型和居民抱怨度模型，进而通过 加权的方法推导出评价阶梯式水价合理与否的数学模型，如下：Max G = x[2.3? ei Qij + 27.6e1(a2 + a3 ) + 9.2e2 a3 - 27.6a2e2i= 1 3- 36.8e3a3 + (1- h) 鬃 Q总 p -(c +?M)]- y[邋i= 1 j3zi ? (cij )t ]通过软件计算出当阶梯比为 1：3：5 时的水价方案比较合理。 在阶梯比不变的情况下对问题二进行了探讨，按照择优原则，综合考虑了 居民心理承受能力，价格的变动弹性和地区供水能力三个方面，分别建立了心 理承受模型，价格调整幅度模型和需求模型，据此给出了一个大型的多目标规 划模型。 求解时，由于模型过于复杂，我们结合实际情况，并利用计算机确定了某 些参数，将模型作了进一步的简化，然后用 lingo 软件进行搜索得到局部解， 接着我们根据居民可支配收入与其心理承受能力的线性关系，通过类比，并采 用插值法，结合供水能力，手工调整了部分数据，我们以北京市为例，得到其 2006 年到 2010 年居民生活用水第一阶梯的一组较为满意的解，如下（单位： 元） ： 08
p1 2.94 3.14 3.35 3.55 3.76 针对问题（3） ，考虑到人口持续增长和经济不断发展，用水量的绝对值是 逐年是上升的，所以只能从相对指标方面来考虑，通过对问题（2）中的模型的 进一步研究，我们给出了相对差值模型： 轾 n 骣b 骣 骣 b3 ÷ b b2 b1 b ? 1 犏 ? ÷ ÷ ? Rn+ 1 ? M n+ 1 - ? pl Ql ÷ + + + 2 + 3÷ ÷ ? ? ÷ 犏 ÷? ? ? ÷ ÷ ÷ p( n+ 1)1 p( n+ 1)2 p( n+ 1)3 桫 pn1 pn 2 pn3 ÷ ? 桫 l= 1 桫 犏 臌 Z= r05 (1 + a )( n+ 1)- 2005 通过 mathematica 软件，计算得出结果如下（单位：亿元） ： 08 ：5 差值 0.15 0.80 0.78 0.78 1：3：5 差值 0.32 0.54 0.53 0.5242 0.49最后，我们对模型的科学性进行了论证，并结合实际情况对模型的优缺点 进行了评价。一、问题的提出（略） 二、问题的基本假设、符号说明及名词约定1．基本假设 （1） A 市只有一家自来水集团。 （2） 水价符合需求函数，价值规律。 （3） A 市已实现了抄表用户，即一户一表。 （4） 一定时期内，居民的生活水平是相对稳定的。 （5） 假设人口的增长是线性的，且变化率记为人口的增长率。 （6） 居民从自来水公司所取用水量与排水公司为居民所排出水量是相等的。 （7） 一定时期内，水是不可再生资源，即 A 市的水资源储存量一定。 2．符号说明 变量 含义 每年的总取水量 该城市对水的基本消耗量即最低保障用水 第n年的各项指标条件下，基于第n-1年的水单价的总用水量 第i个阶梯上第n年居民用水的单价 水价方案改变前后，居民用水的月平均水价 自来水集团生产自来水的成本和各种费用 排水公司向居民生活用水、非居民生活用水，收取的排水费 表示A市第n年的人口数 第n年自来水集团最大供水量 该城市的家庭（4口人）总数 居民用水的心理承受系数， k1 为上限， k2 为下限43Q总QminQn 'PinP0 , Pgcc0 , cu 0RnSnFjk1 , k23．名词约定 阶梯水价：在一定时期内，根据用水数量或水质划分区间，对每一区间制定出 不同水价，然后根据用水者所用水量计算水费的方法。 可支配收入：指居民家庭在支付个人所得税之后，所剩下的全部实际现金收入 （不包括借贷收入） 。计算公式： 可支配收入 = 实际收入 - 家庭副业生产支出 - 记账补贴 - 个人所得税三、问题的分析与模型的准备通过对问题的分析我们知道 A 市水价的调整的主要因素是人口的增长致使 居民用水逐渐增加，经济的发展导致的工业企业和服务业等高耗水行业的用水 量增多，以及水污染情况日益严重。如果水价合理的提高，将能够大大量缓解 这一矛盾。我们从 A 市自来水公司和排水公司与居民和工业服务业之间的相互 关系出发，来评定水价调整的合理与否。分析至此，我们知道可以使用目标规 划方法来建立问题求解的数学模型。 同时，在分析问题和建立相应的数学模型时，还应知道 A 市的每年的用水 量，人口的增加数，以及工业经济的发展水平情况。所以我们要解决问题的基 本思路如下： 1．基本思路 （1） 从自来水集团角度出发， 我们可以知道水价的提升主要是受到了经济增 长，人口增加和市政规划所影响的，首先，从经济角度来分析。经济发展的主 要原因是 A 市的工业和服务业的发展，这也导致了另一种后果的产生，即经济 发展了，污染问题也日益严重，因此自来水公司处理污水的费用也就加大。然 后，从人口增加的角度。通过读题我们知道，居民用水量是自来水集团售水量 中比重最大的部分，占到 44.53%，且以每年 3%的速度在逐年递增，居民用水 占自来水公司售水量比值的不断增加主要是由不断增长的人口所引起的。人口 增加也变相导致了水价的提高。最后，是从市政规划方面考虑。这主要是为了 改善 A 市水资源匮乏、水质恶化的严重局面，政府所实施的南水北调工程，自 来水集团的公司盈利资金是工程建设的主要资金。同时三者之间的相互联系也 构成了模型的约束条件。44抑制经济增长和居民生活水平 抑 制 经 济 增 长 和 居 民 生 活 水 平居民状况经济的发展单位体积水 的价格上涨人口增多居民生活 水平提高用水增加 污染加重 自来水公司工 作成本加大排水工作量增大 （效益增高）生活用水需 求量增多图 1：供水量与经济发展流程图 从上述流程图我们可以很容易的知道，居民的生活状况，经济增长和自来水公 司之间是相互促进和相互制约的关系。 （2） 从排水集团角度出发， 随着人口的增加和经济的增长所导致的水安全问 题（水污染问题）逐渐成为难题。水安全问题出现的原因：一是水资源的不可 替代性。二是水资源供给的有限性。三是水资源系统的整体性，水资源系统内 部存在内在联系、构成一个有机系统，如果遭受破坏（例如水质污染）会导致 水资源系统功能衰减，产生水安全问题。当排水集团调价后，则可增加对污水 处理的能力，增强水的可再生性，虽然如此会抑制居民的用水支出，但从长远 来看，是合理可行的。 （3） 从居民用水角度出发， 据问题所述居民用水量占自来水集团供水总量的 比重很大，因此水价的进一步上调需要考虑到居民的承受能力。通过网上调查 我们知道，居民对水价的承受能力主要包括两个方面：心理承受能力和经济承 受能力，其中以经济承受能力为主，据此，可以建立居民的抱怨度函数，来表 示居民对水价改革的反应。根据资料了解目前我国城市家庭水费支出还不到家 庭支出的 1%，研究表明水费支出占家庭支出的 1%时，对居民的心理影响不大， 居民对用水量漠不关心；占收入的 3%时，居民开始关注用水量；占 5%时，开始 认真节水；占 10%时，开始考虑水的重复利用。因此适当的调整水价不但能够 增强居民的节水意识，同时还能够给自来水集团增加收入。 2．基本数学表达式的构建 （1） A 市每年的用水总量的确定 通过读题我们可知，当前（假设为 2005 年居民约用水量为 m0 = 3m3 ，45我们不妨假设当前该城市的总人口为 R总 = 每年的居民用水总量 Q 可以表示为：?R j = 1.536? 107 人 ，则 A 城市Q=邋Q j = 12醋(m0R j ) = 12创 3 1.536? 107= 5. m3其中 Q j 表示某居民的月用水量。 由于 2005 年城市居民用水占自来水集团供水的百分比 h0 = 44.53% ，故 据此可以推算出 A 市每年的所用总水量 Q总 为：Q总 =?Qj h0=5. = 1.2.4453据此，我们可以认为这便是水价改革前 A 城市的总用水量，这样可以为以下的 模型求解和其他运算提供理论数据。 （2） 对非居民月水费的确定 该城市的月平均水价为 p0 = 3.01元/立方米 ， 这一水价是通过加权平均法 获得的，因此可算出非居民水价改革前月水费 pU 0 和水价改革后的月水费 pUg ：ì ? p0 = h0 ?p0 ? ? í ? p = h0 ?pg ? ? ? i(1- h0 )?pU 0 (1- h0 )?pUg其中， p0 ， p g 分别表示改革前的平均水价，居民的月平均水价。将数据带入 上式可得： pU 0 = 3.483元 ， pUg = 4.533元 。 （3） 整体抱怨度函数的构建 自来水集团提高水价会影响居民的月支出费用，会使居民的心理压力增 加，会使居民的抱怨度增强，从 A 市市政角度来看，政府希望水价高后居民的 抱怨度尽可能小，则：MinCompla int deg ree= 邋i3jzi × (cij )t46其中， i 表示第 i 级的多数居民的抱怨度系数，t 代表心里跃动系数， ij 表示 第 i 级的某 j 居民的抱怨度。 （4） 自来水集团成本函数zc自来水在生产的过程中需要消耗电和净化物质，同时自来水生产设备的磨 损和维修都需要资金，因此节约成本也能够间接提高公司的总收入。 于是我们所建立的成本目标函数为：MinCost =c + ? M式中， c ：表示集团的自来水成本，污水处理费资源费和税费。 M 表示其 他的磨损费和维修费。 （5） 经济效益函数 自来水公司调整水价的目的就是使盈利增加提高经济效益，为了方便建立 经济效益函数我们建自来水集团的服务对象统分为居民和非居民。调整水价后 公司对居民采取阶梯式水价收费，而对非居民则采取直接提高水价式收费。同 时，从公司的角度出发，所收取的费用越多公司的经济效益就越好，所以要建 立的经济效益函数为：MaxEconomicp =2.3? eiQij + 27.6e1(a2 + a3 ) + 9.2e2a3 - 27.6a2e2 - 36.8e3a3 + (1- h)鬃 Q总 p i= 13(ksun + ? M )其中，ei 表示第 i 级的水价差值，Qij 表示 i 级的 j 居民（或户）的月用水量。ai 表示第 i 级的家庭数量， h 表示居民用水所占比重。（6）居民用水量与水价关系方程式的确定 居民月用水量的多少与水价有着很大的关系，因此根据市场价值的运行关 系我们认为居民用水量的与水价成反比的关系，即：居民用水量 ?1 自来水水价所以，当前水价为 p0 ，又相应的月平均用水量为 Q0 = 3m3 ，设城市用水需求 函数为：47Q j = Qmin +则，其关系图为：r pg图 2：居民月用水量与供水单价关系图 式中， Qmin 为该城市对水的基础消耗量即最低保障用水， r 为需求系数，通过 上图我们知道水的需求量的变化率减小，并且最终趋向于零。 （7）居民用水总量占自来水集团供水量的比重变化函数的确定 据题中所述，居民用水量是自来水集团售水量中比重最大的部分，占到 44.53%，且以每年 3%的速度在逐年递增。已知 Q =?Q j = 5. m3 ，如果以该年的人口为基数，则居民用水增长函数为：Q j总 = (0.03 + 1)( n- 2005) ?? Q j= 1.03( n- 2005) ×? Q j如果保持原有的水价，人口增长后的用水量占自来水集团售水量中比重为：3创 12 Q j总 3鬃 12 1.03( n- 2005) ×? Q j hg = = Q总 Q总48又： 所以：Q h0 = ? j = 0 . 4 4 5 3 Q总hg = 1.03( n- 2005) ?其变化曲线如下图所示：44.53%图 3：居民月用水量增长率变化图四、对调整水价前各种情况的研究在调整水价前， A 市的自来水集团主要向居民和工业事业单位提供自来水， 届时为了方便解题我们可以将用水分为居民用水和非居民用水。所以我们将从 以上方面建立数学模型。自来水公司的盈利受到居民用水总费用，非居民用水 总费用和自来水成本这三个方面的影响。同时，将分两个阶段来分别建立相应 的数学模型，这两个阶段分别是水价改革前一年（即 2005 年）和 2005 年以后。 Ⅰ.2005 时各数学模型的建立与求解 1．自来水集团盈利的数学模型的建立与求解 建立的自来水集团的盈利的单目标规划模型可以表示为：MaxW0 =邋Q pj0+Q j pU 0 (1- h) h-c（1）其中， c 表示自来水集团生产自来水市的成本和各种费用。49且要满足以限制条件：ì ? 3鬃 12 1.03( n- 2005) ?? Q j ? 0 & &1 ? ? Q总 ? ? ? ? Qmin & Q j & Q总 ? ? ? ? Q总 p0 ? W1 = h 鬃 í ? W2 = (1- h ) 鬃 Q总 pU 0 ? ? ? ? Q j pU 0 (1 - h ) ? ? K & Q p + 邋 sun j 0 ? h ? ? ? ( n 2005) ? ?? Q j Q总 ? ? ? 1.03 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥（2）其中 ① 表示增长后的居民用水比重不能超过 ⑥ 表示居民用水不能超过自来水 集团的供水能力。 居民年用水所花去的总费用为：W1 = h ?Q总 ? p044.53%创 1. ? 2.3= 1.2 元非居民年用水所花去的总费用为：W2 = (1- h ) 鬃 Q总 pU 0 = (100% - 44.53%)*1.24177创 108 3.483= 2.3 元自来水集团的运用成本为：c = 2.9?Q总则自来水集团的盈利额为：2.9创 1. =3.601? 108元W0 = 0. 元所以，通过上述数据的对比，我们可以知道自来水公司的盈利相对于成本 是很低的，如果考虑到该公司的员工的工资发放和机器换装等情况，那么公司 的收入只能维持基本运盈，因此处在亏损的边缘。 2．排水集团盈利的数学模型的建立与求解 与自来水集团相对应将排水集团的服务对象也分为居民和非居民，每年盈 利数学模型可以表示为：50MaxW排水 =邋Qj c0 +Q j cU 0 (1- h) h（3）其中 c0 ， cU 0 分别表示排水公司向居民收取的排水费，通过优化求解可得排水 公司向居民和非居民收取的排水费为：W排水 = 1.157? 108 元故排水公司的最大盈利为1.157? 108 元五、对水价方案实施后的各种情况研究首先将实施的水价方案主要分为两类，第一类是将居民用水水价和经济用 水水价直接提高到某一价格，第二类是对居民用水采用阶梯式收费，故我们可 以从以下方面入手解决问题。图 4 ：整体模型思路层次图 如上图所示， 从两个方面分别建立数学模型， 将模型所求得的结果再进行对比， 可以确定最佳的水价方案。故从两个方面来分别的建立和求解数学模型。 （一） ．第一类水价调整方案511．建立多目标规划函数Max同时：Wg =邋Q j pg +Q j pUg (1- h) hcMinCost =c + ? M其限制条件如（2）所示。 pg 和 pUg 分别表示水价调整后的居民用水价格和非 居民用水价格。 同时还应满足： 1）居民每年用水所花去的总费用为：?Q j pg = 5.5296创 2.8 107 = 1.548? 108 元2）非居民用水每年所要花去的总费用为：?Q j pUg (1- h) = 1.24177创 108 0. 3.117? 108 元 hWg = 1.064? 108 元所以，自来水公司的年盈利为：2．调价后排水集团的盈利模型的建立和求解 调价后的居民排水费用 ，非居民排水费用 rg = 1 .元 2 立方米 /r Ug = 1 . 元 5 立方米 / ，则：Max结果为：W新排水 =邋Qj r g +Q j r Ug (1- h) hW新排水 = 1. 元（二） ．阶梯式水价方案 1．多目标函数的建立 阶梯式水价主要是为了增强居民节约用水而制定的。故只需要从居民的自 来水费用支出角度来建立数学模型即可。题中提到按四口家庭确定用水量更符 合 A 市的实际情况，所以我们将重点对四口家庭式的阶梯水价方案进行分析，52对三口家庭式的水价方案不做进一步讨论。首先我们设定 A 市有家庭数为 Fj ， 在阶梯式水价中有 ai =? aij 个家庭分布在第 i 级，每户家庭所对应的月用水量为 Qij 。同时假设第 i(i = 1,2,3) 级水价为ei ，第 i 级月水价为 2.3ei ，则自来水公司向居民和非居民收取的最大费用模型为：MaxEconomicp=2.3? eiQij + 27.6e1(a2 + a3 ) + 9.2e2a3- 27.6a2e2 - 36.8e3a3 + (1- h) 鬃 Q总 p i= 13(c + ? M )还需要满足以下条件：ì ? ? ? ? ? ? 0 & ai & 3.84? 106 ? ? ? ? Qmin & Q j & Q总 ? ? ? ? 3 ? ? ? ai = 3.84? 106 ? ? ? i= 1 ? ? ? Q总 pU 0 í W2 = (1- h )鬃 ? ? ? ? 1.03( n- 2005) ? Q j Q总 ? ? ? ? ? 3鬃 12 1.03(n- 2005) ? Q j ? ? 0& &1 ? ? Q总 ? ? ? ? Q j pU 0 (1? ? K & Q p + ? sun j 0 ? h ? ? ??（4）??邋h)同时抱怨度数学模型为：Min E =邋i3jzi × (c j )ti还需要满足：53ì cij = β pg (其中β 为常数) ? ? ? ? 3 ? ? ? ? zi = 8或9 í i= 1 ? ? ? i = 1, 2,3 ? ? 7 ? ? ? ? j = 1, 2,3,??,1.536? 10关于约束条件的说明： 条件 ① ：居民的抱怨度与水价成正比关系。① ② ③ ④条件 ② ：当阶梯形水价拟差为 1：2：5 时，居民的抱怨度不能超过 8，当拟差 比为 1：3：5 时，则不能超过 9。 2．对多目标模型的求解 当 A 市的总人口为 R总 = 为： Fj =?R j = 1.536? 107 人 ，我们可以计算出家庭数R总4=1.536? 1074= 3.84? 106 户。然后是对各级中的家庭数的确定，如上述所设可知： Fj = a1 + a2 + a3 ，又根据问题的要求（自来水集团提价后 不能对居民的生活造成很大影响） ，通过网上调查和网上搜索我们可以得到了a1 ， a2 ， a3 之 间 的 比 例 关 系 即 为 ： a1 : a2 : a3 = 0.58: 0.23: 0.19 ， 所 以 ，a1 = 2.227? 106 户， a2 = 0.883? 106 户， a3 = 0.73? 106 户。同时，为了能够切实地反映实际情况，我们假定各级用水居民数呈分布泊松分布，其概率密度分 布函数图像（如下图所示）可表示为：54图 5：各阶梯用户分布概率图 其函数可以表示为：G (k2 吵xk1 ) =l k e- l ? k! k = k1k2(已知l 为可求常量)将三个级中的每一级再划分为四部分，可得到第一级的家庭数分布情况： 表 1：一阶用水家庭分布表第一级时各间距的家庭数存在概率和家庭数 间距范围 间距概率 家庭数/10 万 0―3 立方米时 3--6 立方米时 0 0 0.016 0. 立方米时 9--12 立方米时 0.441 0.982 0.542 1.241同理，第二级和第三级的各间距的家庭数存在概率和家庭数分别为表 2 和 表 3 所示： 表 2：二阶用水家庭分布表第二级时各间距是家庭数存在概率和家庭数 区间范围 间距概率 家庭数/10 万 12--13 立方米时 13--14 立方米时 14--15 立方米时 15--16 立方米时 0.28 0.247 0.35 0.309 0.21 0.185 0.16 0.142表 3：三阶用水家庭分布表第三级时各间距是家庭数存在概率和家庭数 区间范围 间距概率 家庭数/10 万 16--18 立方米时 18--20 立方米时 20--22 立方米时 大于 22 立方米时 0.35 0.175 0.40 0.292550.21 0.1530.04 0.11Ⅰ.当阶梯水价级差拟为： e1: e2 : e3 = 1: 2:5 时（1） 对自来水集团盈利模型的求解 如果以最初的居民交费标准 2.3 元/立方米，则第一级的水价仍然为 2.3 元/立方米，第二阶梯水价将为 4.6 元/立方米，第三阶梯水价将为 11.5 元/立方 米。所以有上述提供的数据我们可以求出，第一级的所有家庭需要支出的月总 自来水费为：U月阶梯1 = 2.3创(6 0.00356 + 9? 0.982 12创 1.241) 106= 5.463? 107 元则，一年中第一级的所有家庭的自来水费总支出为：U 年阶梯1 = 12U月阶梯1 = 12创5.463 107 = 6. 元第二级的所有家庭需要支出的月总自来水费为：U月阶梯2 = 2.3创 12 0.883? 106 + 4.6创 106 (1?0.247 2 ?0.309 3?0.185 4 ?0.142)= 3.35148? 10 元7一年中，第二级所有家庭自来水费总支出用为：U年阶梯2 = 12U月阶梯2 = 12创 3.= 4.0 元第三级的所有家庭需要的月总自来水费用为：U月阶梯3 = (2.3?12 4.6鬃 4) (0.175 + 0.292 + 0.153 + 0.11) ×106+ (2 ?0.175 4 鬃 0.292 + 6 0.153 + 11鬃 0.11) 11.5×106 = 46?0.73× 106 3.646 ?11.5× 106 = 7. 元则一年中，第三级所有家庭自来水费用总支出为：U年阶梯3 = 12U月阶梯3 = 12? 7. = 9.0 元如果实施阶梯式水价方案后， A 市所有居民每月将要交的自来水的总费用为：U月阶梯 = 1.6 元56则每年所交的自来水总费用为：U年阶梯 = 19. 元故实行阶梯水价后自来水集团每个月将能够从居民手中收取1.6 元 ， 同时可以节省水量为：?Q jieshui = 5. -0.0356*6 + 0.982*9 + 1.241*12+ 0.247*13 + 0.309*14 + 0.185*15 + 0.142*16 + 0.175*18 + 0.292*20 + 0.153*22 + 0.11*25 = 5. -5.1.36624 ? 107 m3（2）对居民抱怨度模型的求解 在满足已知限制条件的情况下，对居民的平均抱怨度进行求解可得，居民的抱 怨度为： E = 5.7 Ⅱ.当阶梯水价级差拟为： e1: e2 : e3 = 1:3:5 时（1）对自来水集团盈利模型的求解 如果我们仍然以最初的居民交费标准 2.3 元/立方米，则第一级的水价仍 然为 2.3 元/立方米，第二阶梯水价将为 6.9 元/立方米，第三阶梯水价将为 11.5 元/立方米。在第一级所有家庭月水价总支出不变的情况下，第二级和第三级都 有所变动。因此，? 1 = 2.3创(6 0.00356 + 9? 0.982 12创 U月阶梯 1.241) 106= 5.463? 107 元而第二阶梯的所有家庭月水价总支出将变为：? 2 = 2.3创 U月阶梯 12 0.883? 106 + 6.9创 10 (1?0.247 2 ?0.309 3 ?0.185 4 ?0.142)6= 3. 元从而第三阶梯的所有家庭水价总支出为：U月阶梯 4) (0.175 + 0.292 + 0.153 + 0.11) ×106 ? 3 = (2.3?12 6.9鬃+ (2 ?0.175 4 鬃 0.292 + 6 0.153 + 11鬃 0.11) 11.5×106 = 55.2? 0.73× 106 3.646? 11.5× 106 = 8. 元同时，A 市所有居民每月将要交的自来水的总费用为：57U月阶梯 ? = 1.7 元则每年将要交的自来水的总费用为：U年阶梯
= 12 *U月阶梯 = 20. 元如果自来水集团采用阶梯水价级差为： e : e : e = 1:3:5，则每个月能从居 1 2 3 民手中收取1.7 元 ，每年能从居民手中收取 20. 元 。 （2） 、对居民抱怨度模型的求解 同理通过上述方法可得到居民的平均抱怨度为： E = 6.4 Ⅲ、利用综合加权法确定最优阶梯水价方案 水价调整是一个复杂的问题如果处理不好汲取影响人们的日常生活甚至是 社会的安定，因此应该从综合角度，来选择最佳的水价方案。而用加权的方法 来选择最佳方案能够兼顾到各个方面的因素。首先我们认为受阶梯式水价影响 最大的市自来水集团和 A 市的居民，对于自来水集团来说选择好的水价方案将 意味着公司获得最大利益，对于居民来说选个一个好的水价方案不仅能够省掉 很多水费而求还能够使他们增强节水意识，因此他们的综合因素将决定水价改 革方案的优劣。 首先，假设与自来水相匹配的权数为x ，与居民相匹配的权数为 y 。则x + y = 1，我们可以将加权优化函数 G 表示为：Max G = x[2.3? eiQij + 27.6e1(a2 + a3 ) + 9.2e2a3 - 27.6a2e2i= 1 3- 36.8e3a3 + (1- h) 鬃 Q总 p -(c + ? M )]- y[邋i= 1 j3zi ?(cij )t ]为类能够跟明了反映出综合因素的变化趋势，我们将用数学软件把图形表示出 来，其图形如下所示：58图 6：综合加权值变化曲线图 通过上图我们不难看出G 的变化情况， 最后， 当设定 x = 0.65 ，y = 0.35 时，6 1通 过 Mathematical 进 行 优 化 求 解 ， 便 可 得 到 当 阶 梯 水 价 级 差 拟 为 ：e1 : e2 : e3 = 1: 2:5 时 ， G = 2.3614? 10庭应选用阶梯水价级差拟为： e， 当 e :e :e = 1 : 3 : 5 时， 1 2 3 市以四人为一口的家G2 = 2. ，通过数据比对我们不难发现，A1: e2 : e3 = 1:3:5 的阶梯水价。六、合理水价方案的制定（一） 、问题（2）的分析 在问题（1）中，我们对 A 市价格部门提出的调整方案进行了充分的讨论与 研究，发现阶梯式水价方案中的水价级差比例是比较合理，但是对于自来水集 团说，其盈利的空间还有余地。 故针对问题（2） ，我们主要对居民用水的阶梯式水价进行研究，考虑到既 定的水价级差比例较合理，所以我们只要在此基础上重新设定价格，使之兼顾 到各方利益即可。 对于自来水集团来讲，在居民用水方面，只要保证利润在成本的持平线上 即可。因为自来水集团的利润主要取决于其他非居民用水方面，因为那些用水 的需求弹性比较大，而居民生活用水是必需品，这部分的需求弹性小于 1，在 提高企业利润方面效用不明显，况且很容易引起居民的抱怨情绪。而这与居民 的心理承受能力有关，而这种承受能力又与居民的可支配收入密切相关。 考虑排水公司的利益时，我们认为排水公司之所以会亏损，是因为排水量 越来越多，而成本却越来越大，所以只要自来水集团在控制价格的条件下，把 供水量控制在一定范围内， 由于排水量与供水量几近相等， 所以在这个问题中， 我们只要考虑自来水集团与居民双方的利益冲突关系足够了。59最后，我们还可从价格本身的弹性出发，以利润最大化为目标，考虑边际 贡献效益来建立模型。 （二）问题（2）模型的建立 首先，我们从居民的角度出发，考虑他的心理承受能力，即在什么情况下， 容易引起他的抱怨情绪。据有关资料显示，当居民每年的水费支出占到其年可 支配收入的比例低于 1%时， 居民对用水量的消耗没有感觉， 而当比例达到 1.5% 时，居民就有节水的意识，超过 1.5%时就有不满情绪了。据此我们把居民的心 理承受系数定在 1%~1.5%之间。 分析到此，我们可得出一个较易理解的居民心理承受模型： q * p1 * t f ( p1 ) = I q：人均用水量；t：用水的月份；I：居民的人