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公务员笔试之行测：巧解三集合容斥原理问题
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你可能喜欢2013年国考行测数学运算中的集合容斥问题
【华图网校-2013年国考行测数学运算中的集合容斥问题】：三集合容斥问题主要有以下三种题型：
　　1、三集合标准型核心公式
　　2、三集合图示标数型(文氏图或者叫做韦恩图法)
　　a.特别注意“满足某条件”和“只满足某条件”的区别;
　　b.特别注意有没有“三个条件都不满足的情形”;
　　3、三集合整体重复型核心公式
　　三集合容斥问题中，有些条件未知时，就不能直接使用标准型公式，而是运用整体重复型公式同样可以解答。特别当题目中说明分别满足一种、两种、三种条件的个数时，使用整体重复型公式。并且，三集合整体重复型公式是现在考查三集合容斥问题的重点。另外，可利用尾数法进行快速求解。
　　原理：在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别时A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，根据右图可以得到下满两个等式：
　　W=x+y+z
　　A+B+C=x×1+y×2+z×3
　　通过几个例题阐述三集合容斥的相关内容：
　　【例1】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有(　　)。
　　A.22人 B.28人 C.30人 D.36人
　　【解析】设A=喜欢看球赛的人58，B=喜欢看戏剧的人38，C=喜欢看电影的人52，则有：
　　A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人18
　　B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人16
　　A∩B∩C=三种都喜欢看的人12
　　A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种100
　　由集合运算公式可知：C∩A = A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)
　　=148-(100+18+16-12)=26
　　所以，只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C
　　=52-16-26+12=22
　　注：这道题运用公式运算比较复杂，运用文氏画图法我们很快就可以看出结果。文氏解法如下：
　　由题意知：(40-x)+x+(36-x)+6+12+4+16=100， 解得 x=14; 则只喜欢看电影的人有 36-x=22。
　　【例2】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有(　　)。
　　A.4人 B.5人 C.6人 D.7人
　　解析：首先采用公式法解决此题，设A=英语教师8+5+4-2=15，B=法语教师，C=日语教师6+5+3-2=12,(但应注意的是在做题之前，我们首先必须了解公式中A，B,C三个集合所代表的含义，并非A=8,C=6.),则C= A∪B∪C-A-C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
　　=27-15-12+5+3+4-2=10，那么只能教法语的教师=10-3-4+2=5
　　另外，此题如果用韦恩图法会相当简单，设只能教法语的人数为X,则依题意得韦恩图(见下图)：
　　由题意我们有 27=8+3+6+2+2+1+X, 解得X=5。
　　【例3】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人?( )
　　A.120 B.144 C.177 D.192
　　【解析】根据题意，分别已知两种条件、三种条件都满足的个数，设所有准备参加考试的学生人数为W，只准备参加一门考试的学生人数为X。使用三集合整体重复型公式：
　　W=X+46+24
　　63+89+47=X+2×46+3×24
　　根据尾数法，解得x尾数是5，W尾数是5。因此，学生总数=W+15，尾数为0，选A。
　　【例4】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?()
　　A. 37 B. 36 C. 35 D. 34
　　【解析】根据题意，分别已知满足一种条件、两种条件的个数，设一项不合格的为X,所有不合格产品为W。使用三集合整体重复型公式：
　　W=X+7+1
　　8+9+10=X+2×7+3×1
　　根据尾数法，解得X尾数为0，W尾数为8。 因此，全合格的产品数=总数-W = 52-W，尾数为4，选D。
　　通过华图考试研究中心列举的几个三集合例题可以发现，对于容斥问题首先判断题型，是三集合元素已知的题目，还是三集合整体重复型题目。三集合标准型公式和整体重复型公式的适用情况是不同的：标准型公式适用于各项条件都明确给出的情况，而整体重复型公式适用于分别给出满足一种、两种、三种条件的个数，因为这三者之间没有任何包含关系。区分好两种情形，特别是整体重复型公式，三集合容斥问题就迎刃而解了。微信华图教育微信号:huatuv
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【导读】在最近几年的公务员考试中，考察了相关的三集合容斥问题，对于这样的一个问题，华图教研中心提醒你，在复习三集合容斥问题时一定不能停留在表面，一定要从实质上理解它，因为现在在考察容斥问题时，考的比较细致。
数量关系之三集合容斥问题
华图 教研中心 李冲
　　在最近几年的公务员考试中，考察了相关的三集合容斥问题，对于这样的一个问题，华图教研中心提醒你，在复习三集合容斥问题时一定不能停留在表面，一定要从实质上理解它，因为现在在考察容斥问题时，考的比较细致。但是题目难度并不是很大，只要能够掌握它的实质，熟练运用我们的解题方法，那么这种问题肯定能够轻松应对。
　　一 浅识三集合容斥问题
　　对于三集合容斥问题，一定要弄清楚它题目的关键词语及问法。
　　A+B+C-AB-AC-BC-ABC=总数-三个条件都不满足的情形
　　A+B+C-满足两个条件-2满足三个条件=总数-三个条件都不满足的情形
　　二 真题回放
　　1.某公司员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：
　　A. 7人 B. 8人 C. 5人 D. 6人
　　【华图解析】 根据题意，&按规定每人至多可投考两个职位&则表明这次招聘中不存在有人报考三个职位的情形，共有42人报名，也表明不存在一个人是三个职位都不报考的情形。故可以直接代入三集合的标准形公式即可。
　　22+16+25-8-6-x=42 x=7，故选择A选项。
　　2.某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?( )
　　A. 148 B. 248 C. 350 D. 500
　　【华图解析】设三种上网方式都使用的客户有x个，则使用两种上网方式的就有352-x,根据三集合容斥问题的公式，可以得到 2-(352-x)&2x=3542 解得x=148 故答案选择A
　　3. 某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?( )
　　A.37 B.36 C.35 D.34
　　【华图解析】根据题意，可直接根据容斥原理的三集合公式的变形，设三项全部合格的建筑防水卷材产品有x种，可以得到8+10+9-7-2&1=52-x
　　x=34 故答案选择D
　　最后，华图教研中心提醒各位考生要牢记三集合容斥问题的解法，祝大家公考成功!
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（责任编辑：济南_杨芳)
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