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十字相乘法练习题及答案
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十字相乘法是因式分解中常用的方法，也是中考数学常考的知识点之一。中考网校为大家整理了一些关于十字相乘法的练习题及答案，供大家参考。
十字相乘法练习题
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求几道关于双十字相乘的题
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-x-1=(2x-1)(3x+1)3x²+5x-3=(2x-1)(x+3)6x²-5x+4=(x-1)(x-4)x²+8x-20=(x-2)(x+10)2x²-3x-10=(x+2)(x-5)x²-7x+10=(x-2)(x-5)x²+6x+8=(x+2)(x+4)x&#178x²+3x+1=(x+1)(2x+1)4x²+5x-2=(x+2)(3x-1)2x&#178
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出门在外也不愁十字相乘法
义项指多义词的不同概念，如的义项：网球运动员、歌手等；的义项：冯小刚执导电影、江苏卫视交友节目等。
十字分解法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。十字分解法能把二次三项式分解因式(不一定在整数范围内)。对于形如ax?+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax?+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子:x?+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
适用领域范围
abx?+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d)
十字相乘法
十字相乘法简介
十字相乘法是一种适用于二次类型题目的简便方法，它可以用来分解因式和解一元二次方程，且运算速度较快，节约时间，不容易出错，常用于6y?+19y+15等这类第一项为几次方，第二项为1次方，第三项为自然数的因式。也可以用于9-12t+4t?和其它多次方的三项式，但多数都是用于带有2次方的三项式，不建议用在多次方的三项式上，因为那可能使试题复杂化。
十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，的和等于一次项系数。其实就是运用(x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。对于形如ax?+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）（a不等于零）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成a1*a2和a3*a4的积的形式，把常数项c分解成两个因数c1*c2和c3*c4的积的形式，并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax?+bx+c=(a1x+c1）乘（a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x?+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
例：（?代表平方）a?x?+ax-42首先，我们看看第一个数，是a?x?，代表是两个ax相乘得到的，则推断出（ax +？）×（ax +？）然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2首先，21和2无论正负，合并后都不可能是1 只可能是-19或者19，所以排除后者。然后，在确定是-7×6还是7×-6.（a×-7））×（a×+6）=a?x?-ax-42（计算过程省略），得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a.再算：（a×+7）×（a×+(-6））=ax?+ax?-42正确，所以a?x?+ax-42就被分解成为（ax+7）×（ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式。
例题解析例1
把2x?-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！）2=1×2=2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 3 1×3+1×2=5≠-71 3╳2 11×1+2×3=7 ≠-71 -1╳2 -31×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-71 -3╳2 -11×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.解 2x?-7x+3=(x-3)(2x-1)一般地，对于二次三项式ax?+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax?+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax?+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2把6x?-7x-5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种2 1╳3 -52×(-5)+3×1=-7是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x?+2x-15分解因式，十字相乘法是1 -3╳1 51×5+1×(-3)=2所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例3把5x?+6xy-8y?分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y?看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即1 2╳5 -41×(-4)+5×2=6解 5x?+6xy-8y?=(x+2y)(5x-4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y) ?-3(x-y)-21 -2╳2 11×1+2×（-2）=－3=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2)(2x-2y+1).指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x?+2x-15分析：常数项（-15）&0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3）(-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。=(x-3）(x+5）总结：①x?+（p+q）x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x?+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)②kx?+mx+n型的式子的因式分解如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么kx?+mx+n=(ax+b)(cx+d)a b╳c d例6某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。本科生：-2%………8%…………………2%研究生：10%……… -4%本科生∶研究生=8%∶（-4%)=-2∶1。去年的本科生：=5000今年的本科生：=4900答：这所高校今年毕业的本科生有4900人。例7鸡兔同笼问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？解：假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有140只脚鸡：70……… …46……………………94兔：140……… …24鸡：兔=46：24=23：12答：鸡有23只，兔有12只。例8解一元二次方程：把2x?-7x+3分解因式。分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数（只取正因数）：2=1×2=2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3）×（-1）=(-1）×（-3）.用画十字交叉线方法表示下列四种情况：╳2 31×3+2×1=51 3╳2 11×1+2×3=71 -1╳2 -31×（-3）+2×（-1） =-51 -3╳2 -11×（-1）+2×（-3） =-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 ：2x?-7x+3=(x-3）（2x-1）.一般地，对于二次三项式ax?+bx+c(a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.例2把6x?-7x-5分解因式.分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不相同的排列方法，其中的一种 21╳3-5 2×（-5）+3×1=-7是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x?-7x-5=（2x+1）（3x-5）指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x?+2x-15分解因式，十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×（-3）=2所以x?+2x-15=(x-3）(x+5）.例3把5x?+6xy-8y?分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y?看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 12╳ 5-4 1×（-4）+5×2=6解 5x?+6xy-8y?=(x+2y)（5x-4y).指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例9把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)（2x-2y-3）-2=(x-y)[2(x-y)-3]-2=2(x-y) ?-3(x-y)-21-2╳ 211×1+2×（-2）=－3=[(x-y)-2][2(x-y)+1]=(x-y-2）（2x-2y+1）.指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x?+2x-15分析：常数项（-15）&0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3） (-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。 =(x-3）(x+5）总结：①x?+（p+q）x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x?+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)②kx?+mx+n型的式子的因式分解如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么 kx?+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d（1） (x+3）(x-6）=-8（2） 2x?+3x=0（3） 6x?+5x-50=0（4）x?-2( + )x+4=0（1）解：（x+3）(x-6）=-8 化简整理得x?-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零）(x-5）(x+2）=0 （方程左边分解因式）∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程)∴x1=5,x2=-2是原方程的解。（2）解：2x?+3x=0x（2x+3）=0 （用将方程左边分解因式）∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。（3）解：6x?+5x-50=0（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。（4）解：x?-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）(x-2）(x-2 )=0∴x1=2,x2=2是原方程的解。例题x?-x-2=0解：（x+1）(x-2）=0∴x+1=0或x-2=0∴x1=-1,x2=2（附：^是数学符号，例：3?=3×3=9）
重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；
难点：灵活运用十字相乘法分解因式。让学生灵活掌握。理解十字相乘公式并灵活计算。
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。则：[A*M+B*（S－M）]/S=CA*M/S+B*(S-M)/S=CM/S=(C-B)/(A-B)1-M/S=(A-C)/(A-B)因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C)上面的计算过程可以抽象为：A ………C-B……CB……… A-C这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰。
第一点：用来解决两者之间的比例问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。第四点:注意符号的变化.
是一种因式分解方法。对于型如 Ax?;+Bxy+Cy?;+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字相乘法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。例：3x?;+5xy－2y?;+x+9y－4=（x+2y－1）（3x－y+4）因为3=1×3，－2=2×（－1），－4=（－1）×4，而1×（－1）+3×2=5，2×4+（－1）（－1）=9，1×4+3×（－1）=1要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，例：ab+b?+a－b－2=0×1×a?+ab+b?+a－b－2=（0×a+b+1）（a+b－2）=（b+1）（a+b－2）提示：设x?=y，用拆项法把cx?拆成mx?与ny之和。例：2x^4+13x^3+20x?+11x+2=2y?+13xy+15x?+5y+11x+2=（2y+3x+1）（y+5x+2）=（2x?+3x+1）（x?+5x+2）=（x+1）（2x+1）（x?+5x+2）分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax?+bxy+cy?+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x?-7xy-22y?-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x?-（5+7y)x-（22y?-35y+3），可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y?+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=〔x+（2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕=(x+2y-3）（2x-11y+1）．（x+2y）（2x-11y)=2x2-7xy-22y2；（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；（2y-3）（-11y+1）=-22y?+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．也是俗称的“主元法”用双十字相乘法对多项式ax?+bxy+cy?+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：⑴用十字相乘法分解ax?+bxy+cy?，得到一个十字相乘图（有两列）；⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．我们把形如anx^n+a(n-1）x^(n-1）+…+a1x+a0(n为非负整数）的称为关于x的一元多项式，并用f(x），g(x），…等记号表示，如f(x)=x?-3x+2，g(x)=x^5+x?+6，…，当x=a时，多项式f(x）的值用f(a）表示．如对上面的多项式f(x)f⑴=12-3×1+2=0；f(-2）=(-2）?-3×（-2）+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x）的一个根．定理1（因式定理） 若a是一元多项式f(x）的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x）有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x）的一次因式的关键是求多项式f(x）的根．对于任意多项式f(x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
怎样进行分解因式
例 7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）例3、分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。因为9y + 10y=19y解：原式=（2y+3）（3y+5）例4、 因式分解。分析：因为21x + (-18x)=3x解：原式=（2x+3）（7x-9）例5、 因式分解。分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。因为-25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]=（2x-1）（5x+8）例6、 因式分解。分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。因为-2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a解：原式=[-2][ -12]=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
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感觉书本上的都是他们，看不懂——我的认真败给你的黑色幽默
韦达定理是什么?好吃吗?
X1+X2等于-a除以b.
X1乘以X2等于a除以c.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　强扭的瓜不甜，不强扭连苦瓜都没得吃　　　
十字相乘就不好教了。
这是要你自己去悟去做题就会了。
个人觉得很简单　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　强扭的瓜不甜，不强扭连苦瓜都没得吃　　　
什么都不知道
X1+X2=-b/a X1X2=c/a (其中X1,X2是二次函数的根。a b c分别代表二次项的系数、一次项的系数与常数项)
52，去学校告诉你？　　　--其实我不洒脱，只是装英雄。
不会找度娘 看看理解就行了吗
好懵　　　--来自助手版贴吧客户端
韦达定理：两根之和等于负的b比a，两根之积等于c比a。
十字相乘不知道怎么说，用例题比较好明白。不过有人教你就不担心了~
从不上数学课的路过——没有谁天生就该对谁好。不要把我对你的好…… 当成理所当然！　
韦达定理都讲了，十字相乘就是和差化积，把相加减的化成因式相乘，关于Axx+Bx+C＝0，化成（ax+c）×（bx+d）＝0这样的形式，ax与bx相乘等于原来的二次项，axd+cbx等于原来的一次项，cd等于原来的常数项（注:字母间都是相乘）交叉相乘，左右相加。这样讲可能讲不明白，你还是当面问的好。有人觉得这种不好用呢，他们觉得那个叫什么来着，就是x系数化为1的好用，我觉得我觉得好用。
这些东西表示都不理解，只会做题！
表示数学没及格过。。。。
从来没看懂过
去学校教你吧，反正同班!
已知两根之和与两根之积怎么求得两根？求大神帮助。例如，两根之和等于二分之七，两根之积等于二分之三。求解答过程，谢谢。
同病相怜啊
数学不好 。但是是科目中最好的。
我其他科渣渣
中考只有数学考进70分
十字相乘法在网上教
是解释不清楚的
已随我大学霸血脉隐藏体内沉睡多年了，说白就是布吉岛
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