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4秒后，自动返回首页新增内容的教学——以概率统计教学为例 第二讲 1．什么是随机事件
(&甘肃金昌三期初中数学 )
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新增内容的教学——以概率统计教学为例 第二讲
1．什么是随机事件
&&& 对初中生而言，理解不确定的现象、不确定的事件，我们强调的是随机事件，强调是在相同条件下做重复实验，但是实验的结果不确定，这样的一个东西，就是在实验。就是在实验之前，你是无法预料结果是哪一个。结果是盲动的，这样的结果，我们叫做随机；这样的实验，我们一般叫做随机实验。关于结果，我们还要作进一步的区分：
&&& （1）就是我们到现在为止，不知道这个结果是什么。这属于未知的时间，比如说数学上哥德堡猜想对还是不对，到现在来说，我们也不知道这个哥德堡猜想是成立还是不成立。但是它要么就成立，要么就不成立，所以说没有随机性；
&&& （2）你说火星上到底有没有人。这也没有任何随机性。要么就是有，要么就是没有。无非是我不知道。
&&& （3）一个硬币扔完了以后，我拿手盖上，我问你这是正面向上，还是反面向上。 由于这个实验已经做完了，它要么就是正面朝上，要么就是反面朝上。但是现在它没有任何随机性，只是我拿手盖了以后你看不见。如果你的眼睛像X光一样，你就立刻能知道结果。
&&& 所以，像这样的事情，只是说它客观上已经定下来了，只是我还不知道，这样的事情不能叫做随机事件。所以说，不知道的结果和随机的结果是有区别的两个概念。
&&& 还有一种结果，是有很多都是不确定的。在自然界中有大量的不确定事件，但是有很多东西又不是我们随机性要研究的东西。随机性研究的条件，首先一定是什么可以做重复实验的，可以看作是重复实验的。大量重复实验里条件一样，结果不确定。像扔硬币，生男孩女孩，我们把它看成是条件近似相等，看起来相等。
&&& 还有些东西，也是不知道的。比如，本拉登还活着吗？阿富汗塔利班说，本拉登活的可能性是10%，死的可能性是90%，像这样一些事件也是不确定现象。但是，本拉登是否活着，这种不确定现象，它没有重复实验的意义，所以也不是概率研究的对象。
&&& 还有在生活中，我看见某人今天脸色很好，我知道他今天一定非常高兴。那么这种现象也没有重复实验的意义。这只是我的一个猜想，或者我的一个愿望。虽然，它也确实有可能性大小的问题。我跟这个人很熟，我觉得能看出他的脸色，知道他高兴不高兴，巴结他我能说的很对；我要是跟他不熟的话，看他脸色很好，我说他高兴，可能说的不对。这种现象没有重复实验的意义，也不是中学概率所关注的随机现象。这一般也叫做主观概率。主观概率现在也在研究。在商业中具有重要的作用。中学概率一定是研究在相同条件下，可以做重复实验的情况下的不确定性现象。
&&& 什么叫做随机现象，是我们首先要研究的东西，要把它弄清楚。否则的话，因为大千世界，不确定性的现象是非常多的。在商业里做决策，这个风险你卖还是不卖，受很多因素的影响，这儿没有重复实验的意义，这个不是统计与概率研究的对象。中学统计与概率所研究的不确定现象，只是其中最简单的一种。它强调的是条件确定，可以重复的这样的实验。对其他的一些不确定性现象，虽然也是在自然界频繁发生的，但是中学生由于知识基础，或者是能力水平还没有达到，还不能加以研究。
&&& 这样一来，可以说随机事件是研究的独特的或者是特殊的一类不确定性现象。它强调的是这类随机事件是可以重复实验的，重复出现的；强调的是结果是可以随机发生的，客观上是确定的，结果是客观原因。就像是投硬币，或者掷骰子就是这样的事件，那6个结果当条件具备的时候一定发生。
2．概率的概念
&&& 关于概率的概念，也是一些描述性的说法。我们说做大量重复实验，但是任何一个结果，它出现的频率却是稳定的。什么叫做稳定呢，像这样的词，就是一些描述性的说法。中学教学时，不要在这个地方去扣这个定义。在数学上，概率是用公理化来定义的。我们经常说，随着N越大，这个频率偏离这个常数的可能性就越小，其实这个可能性就是概率。所以实际上这样说是一个循环定义。
&&& 比如说掷一个骰子。这是一个古典概率。只有6个结果，出现1点一直到6点，每一个出现的可能性是相同的。叫等可能事件。实际上等可能就是概率。从数学上来讲，这里是不严谨的，是一个循环定义。
&&& 但是不严谨是需要的，不严谨有助于理解。教学时不要死扣这个东西，但是要理解它，理解频率与概率的关系。另外，也不要把它理解成概率是频率的极限。有人说，随着N越大，频率就越来越接近这个概率。这个也是不对的。比如说掷一个硬币，我掷两次，正好一次正面，一次反面，那么这个频率就已经达到了这个概率二分之一了。我再掷第三次的话，三次里头肯定就到不了二分之一了，反而又偏出来了。所以不是说N越大，它就越来越接近那个概率值的那个点。只是说，N越大，它离开这个值近的可能性就越大，偏离的很大可能性要越小，在数学上，大学数学中讲是依测度收敛。所以，我们强调重要的是要理解概率是一个客观的一个常数，频率是随机的。你扔一百次出现正面的频率，跟我扔一百次出现的正面频率，同样是这个事件，我们俩扔的可能就不一样。我扔这一百次，下次我再扔一百次，这个频率也不一样，也有变化，所以频率是随机的，概率是一个客观的值。但是，我们可以用频率去估计概率。就是N越大，频率估计也就应该越准。就好像我量一个东西，这张纸的长度是有一个客观长度，我不知道，我拿尺子去量，那么就量出这个数跟实际还是差距的。但是，可以用量数来估计，这个度量是有误差的，也是随机的。所以这两者之间关系要搞清楚。
&&& 这里实际上涉及到三个概念：一个是可能性；另外一个是频率；还有一个是概率。事实上，这个可能性，学生理解起来很自然，因为它是日常的一个用语。概率，可以理解为是对这个可能性的一种度量，它是一种客观值，相对来讲是稳定的。频率，以我们实验的情况来看，它是一个不稳定的随机的量。我们用这个频率去估计概率，估计这个客观的概率值是什么。实际上或者这么说，这个频率就反应事件频繁出现的程度，它频繁出现程度越大，实际上，它发生的可能性就要越大。频率又稳定在一个常数附近，所以最后就由那个常数来估计这个可能性大小，给这个常数起的名，就叫做概率。
&&& 跟过去的精确数学相比较，这个概率不像前面以往的，比如说算术平均数，标准差，方差这样有一个特别简单的统一公式，把所有随机事件的概率一下子都计算出来。在求一个事件发生可能性大小的这样一个概率值的时候，我们目前是用频率这个数值去估计这个概率值的。
3．概率教学的重点
&&& 下面，我们看一节课：“一定能摸到红球吗”的教学过程的片断。
&&& 案例一：一定能摸到红球吗
&&& 教学准备阶段：
&&& 1．准备上课用的课件；制作上课用的教具：装有十个红球的盒子、装有十个白球的盒子以及装有五个红球五个白球的盒子。
&&& 2．需要对全班学生进行分组，前后桌4人一组。
一、创设情境，提出问题
&&& 1．问题：“十一”黄金周期间，华联超市为了吸引顾客，举行一次摸奖活动。摸奖的规则是：在一个盒子里放一些球，凡是一次购物满50元的顾客，都有一次摸奖机会。摸到红球有奖，摸到白球没有奖。如果你一次购物满50元，你一定能获奖吗？
&&& （1）全班讨论，哪一个盒子一定能摸到红球？
&&& （2）请三组同学分别到讲台前参与游戏，其他学生展开想象，他们可能摸到红球吗？
&&& （3）用“一定”“不可能”“可能”不仅可以描述摸球试验的结论，还可以描述现实世界中的自然现象和社会现象。
&&& 2．进一步体会感知事件的发生是“一定”、“不可能”、还是“可能”？
&&& 想一想：下列事件哪些是确定的？哪些是不确定的？
&&& （1）太阳升起；
&&& （2）玻璃杯从高处落下；
&&& （3）掷硬币国徽面落地。
&&& 3．知识升华，形成理论
&&& 可能性:结果确定。
&&& 必然事件：有些事情我们事先能肯定它一定会发生（一定发生）。
&&& 不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生（不可能发生）。
&&& 必然事件、不可能事件称为确定事件。
&&& 可能性：结果不一定。
&&& 不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生（不一定发生）。
&&& 分析：实际上，最终这堂课学会的是什么。一定就是必然事件发生了，还有一个是不可能事件没有发生，可能性事件发生了。这样的话，通过这样一个活动，学生来感知事件的这种三种情况。然后后面还有一些，为了进一步巩固这个概念，让学生明白什么是确定的，什么是不确定的，什么是必然事件。
&&& 这样的教学设计的一堂课的效率比较低。关于什么叫必然事件，什么叫不可能事件，什么叫随机事件，特别是必然不可能实现了，对于学生来说，应该是没有太大的困难的。花这么长的时间来讲必然事件，可能小学生都已经能够懂得。这个全是白球的盒里，肯定不能中奖；全是红的肯定中奖，在中学一堂课里来讲，效率就比较低了。一旦效率比较低的话，学生就没有学习的兴趣了，因为他很早就知道答案了。这时的动手操作没有太大的挑战性，中学生的数学兴趣没有被真正激发起来。一开始强调在相同条件下的必然事件，不可能事件和随机事件是什么要告诉学生，但是用不着花这么多的时间来区分这些事件。重要的应讲清什么是随机事件。一定是在相同条件下，可以重复实验下，可能发生可能不发生的。可以设计一些问题来让学生区分，不是在相同条件下的情形不确定的事件；不能重复实验的情形等等。
&&& 造成课堂教学效率低下的原因，可能是新增内容的教学资源比较缺乏。我们应将重点放在通过更多的例子，让学生来区分这种偶然性，随机性是什么。如果是仅仅发生这三个方面的话，对必然事件，不可能事件和随机事件放在同等重要地位的话，是很容易理解，那样的话，就没有突出这堂课的重点。整堂课上下来之后，学生就会没有觉得很多的新知，没有挑战，容易产生乏味，没有兴趣。事实上，初中学生的能力水平，可以讲得更多一些，突出统计和概率所研究的随机现象的这种偶然性，它是怎么发生的，这个随机性具有什么样的特征。应该把整堂课的教学的重点放在这个可能性事件，怎么去刻画和描述上。
&&& 例如：邮递员投信的问题。就是人们写信后，忘了在信封上写地址，就把信投到信筒里了。但是，刚扔进去，就立刻警觉了。等着那个开信箱的邮递员来。邮递员来开信箱后，发现这种信封中有信，而信封上没写地址的不止一个。不能区分那个是你所投的那个。后来，人们发现这种现象有很强的频率稳定性，它大概稳定在百万分之二十七左右。一个数据是俄国的，从1906年到1910年五年期间，这五年中有三年是百万分二十五，两年是百万分二十七。这样一个许多人觉得它没有任何规律的东西，它也能出现频率的稳定性。
&&& 多举一些这样的例子，让学生认识到随机现象稳定性的特征，比起仅让学生讨论比如说，太阳升起、玻璃杯从高处落下等太过简单的例子，更有深刻性、更突出所要学习的统计与概率的本性。没有新鲜感，对学生不具有挑战性的课堂教学效率，就显得非常低效。教学的重点，应该是随机现象的理解上。
另外，在中学统计与概率的学习过程中，一定不要让学生去背的一些像定义一样的东西。比如说，像必然事件，不可能事件，学生能理解，它又不是一个非常严格的数学上的定义。学生只要了解它，就行了。没有必要把学生都懂的东西，一定要把它用一个定义的情形来描述一下。数学定义要求总要另一个词来定义它，这是一个没完没了的东西，过分追求定义的严谨性就不好了。学生用已有的一些朴素概念，可以很明白地进一步学习。如果用抽象的定义来学习，学生反而更糊涂了。像现在概率教材里，有时候对实验下定义。什么叫实验，条件出现一次叫做条件实现一次，叫做一次实验。那么这比实验还难懂。什么叫条件，什么叫实验一次。这就是我们一定要定义，反而使学生感到更困惑了。所以，朴素的概念只要学生理解，不失科学性，不失真实性，我们还是尽量让学生从更自然的角度上去接受，这样更有助于进一步的学习。
&&& 比如，说到电脑，大家都明白。就不必非得要给电脑有一个定义之后，你才能用电脑。不是那么一回事。汽车这个都不需要去定义，人就会开车。所以过分的把定义放在一个不适当的位置上，这个可能是数学教学上的一个问题。好像数学教学中一上来就应该是定义、定理等等。当然，数学定义很重要，但是不能过分。这也是概率统计学在基础教育阶段尤其需要注意的。也就是我们淡化这些数学理论那种严谨定义，注重对这些概念的一些比较朴素的自然的认识，这样的话，有助于对概念的理解。特别不要让学生去背这种所谓的定义。明白教学的重点后，我们去收集资源。
4．新增内容的教学资源
&&& 要设计符合学生认知水平的恰当的实例这个问题，对于新增内容来讲，不是一件容易的事情。老师暂时可能无法解决的就是资源不像传统的教学当中，比如说方程、函数等素材那样比较丰富，所以老师备课，准备素材的时候，挖掘资源可能是最困难的。
&&& 这里既有对统计与概率这些数学内容的实例的积累，同时，还有教师要明白他想解决学生什么问题，学生哪一点是原来不懂的，这堂课我希望他能够懂些什么，这个目的要明确。像必然事件、不可能事件，估计学生很容易懂，就不必花很多时间教学。当我们的资源不够丰富的时候，可以通过各种渠道，去跟别人分享资源，完成新增内容教学的问题。课本上的资源有限，而且有的课本也是在探索和摸索的过程中，所提供的资源也可能是有限的。因此，新课程改革还要求我们老师要创造性的使用教材，开发新课程，也许你的开发比课程研制者提供的素材更有针对性，更能促进学生在某些方面的发展。例如，频率与概率的教学过程片断：&&&
&&& 案例二：频率与概率的教学过程片断
&&& 准备两组相同的牌，每组两张，两张牌的牌面数字分别是1和2，从每组牌中各摸出一张，称为一次实验。
&&& 合作探究问题：
&&& （1）一次实验中两张牌的牌面数字和可能有哪些值？
&&& （2）每人做30次实验，依次记录每次摸得的牌面数字,并根据试验结果填写下表:
牌面数字和
&&& （3）根据数据，制作相应的频数分布直方图。
&&& （4）你认为哪种情况的频率最大？
&&& （5）两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少？
&&& （6）六个同学组成一个小组，分别汇总其中的两人、三人、四人、五人、六人的实验数据，相应得到实验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌的数字和等于3的频率。并绘制相应的折线统计图。
两张牌的牌面数字和3的频数
两张牌的牌面数字和3的频率
&&& 议一议：
&&& （1）在上面的实验中，你发现了什么？增加实验数据后频率渐趋于哪一个稳定值？
&&& （2）与其他小组交流所绘制的折线图中发现了什么规律？
&&& 做一做：
&&& （1）将各组的数据集中起来，求出两张牌的牌面数字和等于3的频率，它与你们的估计相近吗？
&&& （2）计算两张牌的牌面数字和等于3的概率。
&&& 想一想：
&&& 两张牌的牌面数字和等于3的频率与两张牌的牌面数字和等于3的概率有什么关系？
&&& 结论：当实验次数很大时，两张用的用面数字和等于3的频数而定在相应的概率附近，因此可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。
&&& 频率和概率的关系这样的一堂课，是初中概率教学当中的一个主要的一节课。为了弄清楚频率和概率之间的关系，在设计这堂课的时候，很多老师都设计了这样一个问题。
例：抛掷一枚质量均匀的硬币，出现“正面”和“反面”的概率均等，因此抛掷100次的话，一定有50次“正”，50次“反”。你对这个问题有什么看法？
&&& 解答：错。虽然“正”“反”出现的概率均为二分之一，但频率并不等同于概率，即使是多次抛掷以后，频率也只能是与概率十分接近，但不一定相等，因此抛100次硬币，也不一定有50次“正”、50次“反”。
&&& 设计这个问题的意图是，使学生明确“当试验次数较大时，频率稳定在理论概率附近”这个说法，并不意味着试验次数很大时，频率等于概率；而且只有当试验次数较大时，才可以用频率来估计概率，否则是不确切的，通过这个问题来理解频率与概率之间的关系。
&&& 概率课的一个特点，讲的是随机现象，对随机现象一定要清楚，它还会可能出现频率偏离概率大的情形。就是说，虽然N很大时，频率会接近一个概率。但是，还是会有些个可能性，虽然这个可能性越来越小，但是还会出现这样的情形：比如某人掷硬币。我们希望掷了很多次后，它出现正反面的这个频率接近二分之一。结果，有一次，一个教师让学生扔了一百次以后，出现了40次正面，60次反面的情形，这时频率变成了五分之二。这个老师上课就不知所措了。本来掷几次时，接近二分之一。怎么扔得多了，反倒偏离了二分之一。实际上，偏离大的可能性还是有的。这种情形是完全可能发生的。这很正常。一定要知道偏离大的可能性是有的。事实上，这种情形是完全有可能发生的，是很正常的现象。一定要知道偏离大的可能性有的。所以，像这样一堂课，教师要引导学生知道，随着实验次数的增加，频率越来越接近概率。但是，也要知道会出现一些随机的其他值。这是一件很正常的事情。让学生一定要有随机性认识，它一定不会是一个必然性的。
&&& 在科学史上，也有类似的问题。先想到了结果，然后再去实验。比如说，一个很有名的例子就是基因的发现。孟德尔做实验时发现，一个纯红色的花和一个纯白色花的豌豆嫁接以后第二代都是红的。按照他的理论来说，第三代可能应该有四分之一是白的，四分之三是红的。或者说，一个高的跟矮的嫁接第二代全是高的，但是到第三代应该有四分之一矮的，四分之三是高的。他提出这个理论以后，当时他就做了很多实验。当然，他首先是从实验开始的，但是这个实验使他想起了基因应该怎样作用。这个结果在很多中学教材里头会作为频率稳定性的例子来引用。但是，这里的数字，现在发现全是造假。就是说，不可能做得那么好。频率一定是不可能好到这样一个程度。
&&& 下面我们分析掷一百次硬币的这个问题。每个硬币出现正面给它二分之一的话，那么正好出现50次正面的概率算一下的，就会发现掷一百次硬币，很难扔出来正好50次正面朝上。如果你每次掷出一百次，不是50次正面朝上，就说明那是假的了。实际上，不是这么回事。如果老师们知道二项分布的话，就可以用理论上来算一算，掷一百次硬币，如果每次掷的硬币是均匀硬币，每个硬币出现正面是二分之一的话，那么正好出现50次正面朝上的概率，这个值到底是多少？
&&& 掷硬币问题：把一个均匀硬币掷100次出现50次正面的概率到底有多大？
&&& 解： 具体的计算，老师们都会，这里就不仔细地分析了。答案是，出现50次正面的概率为 。把这个式子进一步计算出结果，可以得到如下的近似值：&。
&&& 我们知道，掷一个均匀硬币，“出现正面”的概率是0.5。有人以为，掷100次应该出现50次正面。为什么这件事发生的概率只有0.08，和想象相差甚远。好像均匀硬币不应该有这样的结果。你学过了概率的统计定义，该如何解释这一结果呢？在教学中，如果给出答案时，只给出上式的左边，不算出其数值，以为数值是近似的，不如左边的公式解严格。就不能了解我们讨论的事件发生的大小，是很难真正理解随机现象的。许多时候，近似的数值解比抽象的公式解更说明问题。
&&& 事实上，一个事件的概率0.5是指，在大量重复试验中，该事件出现的频率‘稳定’在0.5（即在0.5附近，偏离0.5很大的可能性极小），并非每两次试验中出现一次。那么，掷100次均匀硬币出现50次正面的概率，也应该理解为，做大量重复试验，即多次地掷100次硬币，‘出现50次正面’的频率应‘稳定’在0.08，大概是8%。作为老师来说，应该知道这8%是怎么回事。我们要理解这个8%，既然是一个概率，它是什么样的频率就接近8%了。
实际上，也就是说这个例子指很多人都来掷一百次。那么，其中有人可能出现51次正面，有人可能出现49次正面，出现47次正面，正好出现50次正面的那个可能性，应该是在8%左右。
&&& 这样看来，我们要知道一个硬币，所谓二分之一出现正面的概率，是说大量掷硬币的话，应该有二分之一的值，有一半出现值是正面。比方掷一万次硬币，那么大概出现正面的应该是在五千左右，四千九百多，或者是五千一百多这样的结果。另一方面，很多人都扔一百次，其中有出现过47次正面的，有出现51次的，有出现53次的，其中正好出现50次的 应该是在8%。
&&& 我们可以看一看模拟的一个例子。下面是一个模拟试验结果（选自W.费勒的《概率论及其应用》）。做了100次试验（在这里，我们把‘掷100个均匀硬币’看成是一次试验），每次出现正面个数如下：
54& 46& 53& 55& 46& 54& 41& 48& 51& 53
48& 46& 40& 53& 49& 49& 48& 54& 53& 45
43& 52& 58& 51& 51& 50& 52& 50& 53& 49
58& 60& 54& 55& 50& 48& 47& 57& 52& 55
48& 51& 51& 49& 44& 52& 50& 46& 53& 41
49& 50& 45& 52& 52& 48& 47& 47& 47& 51
43& 47& 41& 51& 49& 59& 50& 55& 53& 50
53& 52& 46& 52& 44& 51& 48& 51& 46& 54
43& 47& 46& 52& 47& 48& 59& 57& 45& 48
47 &41& 51& 48& 59& 51& 52& 55& 39& 41
&&& 我们看到，掷100个均匀硬币不一定出现50个正面。可以出现54个正面，也可以出现46个正面，等等。在上述100次试验中，出现50个正面的有7次。即掷100次均匀硬币出现50次正面的频率是0.07，和理论上的值0.08相差不大。
&&& 在计算机上做了一个模拟实验的结果，是一共100个人，每个人都扔了100次，共列出100个数据，就是出现正反面的次数，若要把整个数据全都加起来，这个数据的总和是4900多次。也就是说，10000次里头有4900多次都出现的是正面，出现正面的频率占二分之一左右。那么，从另外的角度来看，100个人，每个人都扔了100次，数一数这里有几个50呢，这个表里头有7个50。也就是说，这个出现50次的频率应该是7%，它跟8%还有一定的差距，但是它相差不大，也就是它稳定在8%这个地方。如果要有10000个人都扔100次的话，可能会更准一些。
&&& 从这样一个角度关注频率与概率的关系。概率是什么样的实验产生的，这个0.08是一个概率。它是什么实验，什么频率稳定在这儿的。这些东西应该是教学关注的重点，不是简单的去算一下就完了。
&&& 让学生通过例子来理解频率不等于概率，频率只能是十分接近概率，但不一定相等。但是，如果仅仅计算到这儿，学生好像还不是很深刻的理解它们之间的关系。
&&& 作为老师，我们把这个事情再接着往下去探究的话，进一步的把一个均匀的硬币掷100次，去算一算50次正面出现的概率到底有多大，把这个哪怕是近似值给它算出来的话，我们就会知道，真正出现50次正面的概率，事实上是很小的，0.08。在这个模拟的实验当中，事实上只有7次是50次正面朝上的，这个频率比0.08还小。有了这样的一个近似值的印象之后，我们对频率和概率之间的关系可能印象就会更深刻。
&&& 5．抽签跟顺序的关系
&&& 比如说，抓阄。做一个实验，有三个纸球，其中一个是红球，两个是白球。这个红球里面是那个阄。要学生去抓，我们要第一次抓，第二次抓，第三次抓。然后，我们做大量的重复实验。看看第二次摸到红球的可能性是不是三分之一。第一次也是三分之一；第三次也是三分之一。通过这样的实验，一方面让学生知道频率与概率的关系，另一方面，让学生知道摸到红球的概率，第一次，第二次，第三次都是一样的。让他们体会一下等可能的实验。这样的实验也可以做，它有一些针对性。
&&& 设计五个阄里只有两个中奖的这样一些实验。比如：五个球里面有两个红，三个蓝色球。五个人轮流的摸，第一次摸到的红球，和最后摸到的红球的频率是怎么样的。通过这样的实验，让学生来体会频率和概率的关系。同时也能解决一些我们日常生活中，这种抽签的顺序与频率是不是有关系的问题。如果光是理论，来计算的话，学生不能够深刻理解抽签与顺序的关系。通过数目不大的实验，多让学生做一做，让学生体会概率和频率的关系，加深对概念的理解，并纠正一些错误的认识。比方说，我现在为什么扔了五次，都是正面的朝上的，第六次是不是出现反面的可能性大了。可以做一些实验来看一看。
6．彩票中奖率的问题
&&& 典型的一个问题是彩票中奖率是千分之一的问题。
&&& 什么叫中奖率千分之一呢？是不是我们买1000张彩票，就应该中奖了。既然千分之一的中奖率，买1000张就该中奖了。
&&& 事实上，我们可以算一算，一个中奖率千分之一的彩票，你买1000张，这个中奖的可能性是多少呢？
&&& 用二项分布算的话，它只占有63%。也就是说，中奖率千分之一的彩票，你买1000张的话，你中奖的可能性只有63%。
&&& 类似，这样的实例，学生比较容易产生兴趣。问学生怎么理解中奖率千分之一呢？既然中奖率千分之一，你买1000张应该中奖，对不对？为什么，实际上，这也是一个跟掷硬币出现正面朝上的可能性是二分之一的类似的问题。掷100次就应该出现50了吗？这都是一样的问题。
&&& 我们可以这样看，很多个人都买1000张，就好像这里很多人，都扔100次似的。很多人都买1000张，其中有不中的，有中的。总体来说，是平均每1000张里头，有一张中奖的彩票。就跟这个扔了这么些硬币，有4900多次，二分之一正面朝上一样。这里有中零次的，有中一次的，有中两次的，那么真正中奖人，当然只有63%，也就是0.63。
&&& 像这样一些问题，它能够结合学生的实际生活，有助于学生理解概率的含义。
&&& 所以，统计与概率的学习要多做一些实验活动。必要的时候，还需要算出实验结果。让学生通过对这个算出来这个结果，哪怕是近似值，来加深对这个概率和频率概念的认识和理解。如果我们只是说描述性的去说频率是概率的一种估计值，当这个发生的实验次数很高的时候，频率稳定在概率附近这样的抽象的描述，对于学生理解概率和频率的关系还是有缺欠的。最好结合学生日常生活中的实际例子来理解概率。
7．天气预报的问题
&&& 学生日常生活中的天气预报。所说的降雨的概率60%是什么意思？有时候电视台问一些老年人，他们中有的回答说60%就是比中雨还大一点；有的说它是60%的地方下雨，40%地区不下雨。
&&& 实际上，它是说在一定条件下的，气象台发现，今天说，明天的降雨跟今天的温度、湿度，压力有关系。这样的关系是影响降雨量的因素。然后，看看它和在历史上的今天这样的条件下，一共出现了多少次降雨。比如说，在历史上有100天，跟今天的条件一样；再看看，它的第二天下雨的有多少呢，如果这100天中有60%都下雨了，那么，它明天降雨的概率就是60%。如果这100天后面，第二天全都没下雨，预报就没有雨。
&&& 通过这样的日常生活中的实例，让学生简单的算一算，通过实践让学生来理解统计与概率概念可能是比较重要的。而不在于一定要提供非常严格的数学形式化的定义。
8．初中计算概率的方法——枚举、树型图
&&& 枚举的、穷举是一种本事，是训练学生思维的能力，分类思维。能不能举全了，既不重复，又不丢。实际上，很多问题的解决没有别的办法，只有这种穷举法。用一些简单的树图，帮助学生能够比较全面的来做一些穷举，也是一个很重要的问题。
四、初中统计与概率教学的重点
&&& 通过上面的分析可知，实际上初中统计与概率教学中偏重于如何计算各种统计量，使得学生只会算，对其意义的理解不够，有的甚至对所列算式说不出根据。7-9年级统计教学的重点不是培养学生的计算能力。在教学中，重点应该是使学生掌握统计与概率的思想和方法，突出其应用性，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。
&&& 1．初中统计与概率的学习更加关注对概念意义的理解。
&&& 我们可能很快就可以教会学生如何进行计算，但这并不是目的。统计学习的目的是要让学生学会收集数据、整理、描述、分析数据、根据数据做出合理决策的思想方法。计算不是重点，应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。初中统计与概率的学习更加关注对概念意义的理解。
&&& 2．尽量创设情境，让学生经历统计的全过程。对于统计与概率内容的教学，宜采用案例教学的基本方式展开教学。统计与概率方法看起来不难，但是理解起来还是有困难的，需要通过大量的具体案例来帮助学生理解。
&&& 3．协调学生的独立思考与合作交流之间的关系。
&&& 统计与概率内容的学习，有一个好处：许多问题的答案并不是唯一的，有一些开放式的，比如说这个图表到底哪个好，各有各的优点。这样的话就给学生一个创造性的空间，也是学生一个对话的空间，有点开放式，可以让学生思维更活跃一点。而且，由于随机性，结论也可能犯错误。要让学生知道，即使我调查了许多人，结论可能由于随机性也会判断错误，这是跟我们传统数学不一样的。
&&& 像这种会犯错误这样的思想也是要让学生了解的。也就是统计与概率内容的学习比较好地体现了学生合作交流所获得的各方面收获。因为本身所学习的内容就是不确定的，这个结果也可能由于学生处理的方式和选择的方法不一样不确定的，所以数据很大时，一个人来做起来也很困难就要学会合作学会交流合作。合作交流能够带来很多的便利。但是为了理解深刻，还得要有一定的独立思考。这样的话，学生既可以跟学生的交往交流过程当中获益很多，又可以在独立思考的过程当中深刻的理解这些概念的意义。
&&& 4．鼓励与信息技术整合。统计内容的学习过程中，有时需要处理大量数据。信息技术的发展，使收集数据和处理数据变得更方便、更快捷。因此，我们提倡、鼓励统计与概率教学与信息技术整合。这样，可以把学生从繁杂的数据计算中解放出来，使学生充分体会统计量的意义，将学习重点放在理解统计与概率思想和从事统计与概率活动上来。
&&& 总之，由于我们对新增内容的生疏，以及对于学生在这些内容的学习方面经验不足，在设计这些新增内容的教学时，需要我们不断地尝试，总结经验，为此，我们提出以下任务作为老师们进一步努力的方向。
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