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把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后，连接BD，得到如图所示的几何体，已知点O、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点。
（1）求证：AB∥平面EOF；（2）求二面角E-OF-B的大小。
题型：解答题难度：中档来源：四川省模拟题
解：（1）∵点O、F分别为线段AC、BC的中点，∴OF∥AB&∵OF平面EOF，AB平面EOF∴AB∥平面EOF。
（2）∵二面角D-AC-B为直二面角，连接OD∵AD=DC∴OD⊥AC∵平面ADC⊥平面ABC，∴OD⊥平面ABC 又AB=BC∴OB⊥AC于是可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz由题可设OA=OB=OC=OD=2a， ∵点E、F分别为线段AD、BC的中点， ∴A（0，- 2a，0），B（2a，0，0），C（0，2a，0），D（0，0，2a）， E（0，-a，a），F（a，a，0）∴，设平面EOF的一个法向量为n1=（x，y，z）由得取x=-1则∴设平面OBF的一个法向量为n2=（0，0，1）∵∴二面角E-OF-B的大小为。
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据魔方格专家权威分析，试题“把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后，连接BD，得到如..”主要考查你对&&直线与平面平行的判定与性质，二面角&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与平面平行的判定与性质二面角
线面平行的定义：
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言：
&线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
&符号语言：
&证明直线与平面平行的常用方法：
(l)反证法，即&(2)判定定理法，即&(3)面面平行的性质定理，即&(4)向量法，平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直，则直线与平面平行，即 半平面的定义：
一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．
二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。
&直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 二面角的平面角具有下列性质：
a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.求二面角的方法：
(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
对二面角定义的理解：
根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．&
发现相似题
与“把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后，连接BD，得到如..”考查相似的试题有：
258487284442267818619427294404272582点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E、F分别是AD、BC的中点，沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B
点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E、F分别是AD、BC的中点，沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B
点O是边长为4的正方形ABCD的中心，点E、F分别是AD、BC的中点，沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B。
（1）求∠EOF的大小，
（2）求二面角E-OF-A的大小。
你好！解：由题意可得DF属于面ABC 且面ABC垂直面ADC EO属于面ADC
所以EO垂直OF（两平面垂直，面上所有线都垂直）所以角EOF=90¤
连接EF EO OF 由图意知平面角E-OF-A=角EOA=45¤
其他回答 (1)
EM⊥AO于M,则M为AO中点,EM⊥平面ABC,
EM=√2,EO=FO=2,MN⊥BC于N,则MN=3,NF=1,
MF=√(3?+1?)=√10,EF=√(2+10)=2√3,
∴sin∠EOF/2=√3/2,∠EOF=120°;
(2)MP⊥OF交FO延长线于P,连EP,则∠EPM=二面角E-OF-A,
MP=1,EP=√3,sin∠EPM=√2/√3=√6/3,
二面角E-OF-A=∠EPM=arcsin√6/3.
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＞＞＞在空间四边形ABCD中，边长AB、BC、CD、DA均为1，对角线AC=，且二..
在空间四边形ABCD中，边长AB、BC、CD、DA均为1，对角线AC=，且二面角D-AC-B的大小为，则∠DAB=（&&& ）。
题型：填空题难度：中档来源：0108
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半平面的定义：
一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．
二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。
&直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 二面角的平面角具有下列性质：
a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.求二面角的方法：
(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
对二面角定义的理解：
根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．&
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553303258916401090626868627665399574在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形 折成二面角D-AC-B，且D在平面ABC内的射影落 在AB上。若在四面_百度知道
在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形 折成二面角D-AC-B，且D在平面ABC内的射影落 在AB上。若在四面
在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形 折成二面角D-AC-B，且D在平面ABC内的射影落 在AB上。若在四面体D-ABC内有一球，当球体积 最大时，球的半径是多少？
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球的半径应该是D在平面ABC内射影落点到线AC的垂直线的一半。
解：矩形ABCD中，∵AB=4，BC=3，∴DB=AC=5，设DB交AC与O，则O是△ABC和△DAC的外心，球心一定在过O且垂直于△ABC的直线上，也在过O且垂直于△DAC的直线上，这两条直线只有一个交点O 因此球半径R=AC/2=2.5
不是这个答案。。
看到了吗第三问，，但是答案上不是说与各面都相切嘛。。为什么只加了3个面，，底面呢
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出门在外也不愁在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B,并且D在平面ABC内的射影落在AB上，求四面体D-ABC内切球的体积。
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