已知a,b是正设实数a为正数 函数，求使√a+√b≤m√(a+b)成立的最小正数m值。求过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-08-12 12:46 标签： 设实数a为正数 函数
已知a+4b=ab,a,b均为正数,则使a+b>m恒成立的m的取值范围是?
灰机_小佑2q7b
a+4b=ab所以：4/a+1/b=1,所以a+b=(a+b)(4/a+1/b)=5 + a/b + 4b/a (用均值不等式得)≥5+ 2根号[(a/b)*(4b/a)]=5+4=9则m
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√a＋√b≤m√(a＋b),则：m≥[√a＋√b]/[√(a＋b)]m²≥[a＋b＋2√(ab)]/(a＋b)m²≥1＋[2√(ab)/(a＋b)]考虑到：a＋b≥2√(ab),则：[2√(ab)]/(a＋b)≤1即：[2√(ab)]/(a＋b)的最大值是1,则：m²≥2,从而：m≥√2,即m的最小正值是√2
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先分离参数m，得m≥（√a+√b）/√(a+b)，为方便计算，转化为m^2≥（√a+√b）^2/(a+b)，即m^2≥1+2√ab/√(a+b)因为上式恒成立，故只需求右边代数式的最大值，显然根据基本不等式有1+2√ab/√(a+b)≤2故得m^2≥2，从而m≥√2，即m的最小值是根号2
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前燕武宣帝
1.若b为一个点 则a//b,所以 1+m=0 且 1-m=0 求不出m值,故此种情况不成立.2.据此,可设 a=(3,-2）= b=x(1+m,1-m),则：x+xm=3 x-xm= -2 => x = 1/2 => m = 5
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专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）用a，b表示出d，q，利用a3b3=54，即可求ba的值；（2）确定bn=a•λnm+1，利用an-5=bn，可得1+(λ-1)(n-5)m+1为有理数，分类讨论，即可求λ的最小值及此时m的值；（3）设cn＞0，Sn为数列{cn}的前n项的和．先证：若{cn}为递增数列，则{Snn}为递增数列．若{cn}为递减数列，则{Snn}为递减数列，再分类讨论，即可证明结论．
（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则d=b-a6，q=6ba．所以a3=a+3d=a+b2，b3=aq3=ab．&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（2分）因为a3b3=54，所以2a-5ab+2b=0，解得ba=4或14．&&…（4分）（2）解：因为λa=a+（m+1）d，所以d=λ-1m+1a，从而得an=a+λ-1m+1a×n．因为λa=aqm+1，所以q=λ1m+1，从而得bn=a•λnm+1．因为an-5=bn，所以a+(λ-1)(n-5)m+1×a=a×λnm+1因为a＞0，所以1+(λ-1)(n-5)m+1=λnm+1（*）．&&&&&&&&…（6分）因为λ，m，n∈N*，所以1+(λ-1)(n-5)m+1为有理数．要使（*）成立，则λnm+1必须为有理数．因为n≤m，所以n＜m+1．若λ=2，则λnm+1为无理数，不满足条件．同理，λ=3不满足条件．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（8分）当λ=4时，4nm+1=22nm+1．要使22nm+1为有理数，则2nm+1必须为整数．又因为n≤m，所以仅有2n=m+1满足条件．所以1+3(n-5)m+1=2，从而解得n=15，m=29．综上，λ最小值为4，此时m为29．&&&&&&&&&&&&&&&…（10分）（3）证明：设cn＞0，Sn为数列{cn}的前n项的和．先证：若{cn}为递增数列，则{Snn}为递增数列．证明：当n∈N*时，Snn＜cn+1．因为Sn+1=Sn+cn+1＞Sn+Snn=n+1nSn，所以Snn＜Sn+1n+1，即数列{Snn}为递增数列．同理可证，若{cn}为递减数列，则{Snn}为递减数列．&&&…（12分）①当b＞a时，q＞1．当n∈N*，n≤m时，Sm+1m+1＞Snn．即aqm+1-am+1＞aqn-an．因为b=aqm+1，bn=aqn，d=b-am+1，所以d＞bn-an，即a+nd＞bn，即an＞bn．②当b＜a时，0＜q＜1，当n∈N*，n≤m时，Sm+1m+1＜Snn．即aq(qm+1-1)q-1m+1＜aq(qn-1)q-1n．因为0＜q＜1，所以aqm+1-am+1＞aqn-an．以下同①．综上，an＞bn（n∈N*，n≤m）．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（16分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数论知识，考查分类讨论，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
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