广义特征值求解不收敛：AX=λBX, A是非奇异实矩阵，B是奇异实矩阵，用什么方法求解特征值求解不收敛比较准确？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-11-27 22:25 标签：
代数特征值问题数值解法_百度百科
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对元素为实数或复数的 n×n矩阵A，求数λ和n维非零向量 x使Ax=λx，这样的问题称为代数特征值问题,也称矩阵特征值问题，λ和 x分别称为矩阵A的特征值和特征向量。课&&&&题计算数学的主要研究课题分&&&&类数学
代数特征值问题的数值解法是计算数学的主要研究课题之一，它常出现于动力系统和结构系统的振动问题中。在常微分方程和偏微分方程的数值分析中确定连续问题的近似特征系，若用有限元方法或有限差分方法求解，最终也化成代数特征值问题。此外，其他数值方法的理论分析，例如确定某些迭代法的收敛性条件和初值问题差分法的稳定性条件，以及讨论计算过程对舍入误差的稳定性问题等都与特征值问题有密切联系。求解矩阵特征值问题已有不少有效而可靠的方法。
矩阵A的特征值是它的特征多项式Pn(λ)呏det(λI-A)的根, 其中I为单位矩阵。但阶数超过4的多项式一般不能用有限次运算求出根，因而特征值问题的计算方法本质上是迭代性质的，基本上可分为向量迭代法和变换方法两类。
向量迭代法是不破坏原矩阵A，而利用A对某些向量作运算产生迭代向量的求解方法，多用来求矩阵的部分极端特征值和相应的特征向量，特别适用于高阶稀疏矩阵。乘幂法、反幂法都属此类，隆措什方法也常作为迭代法使用。
变换方法是利用一系列特殊的变换矩阵（初等下三角阵、豪斯霍尔德矩阵、平面旋转矩阵等）,从矩阵A出发逐次进行相似变换，使变换后的矩阵序列趋于容易求得特征值的特殊形式的矩阵（对角阵、三角阵、拟三角阵等）；多用于求解全部特征值问题，其优点是收敛速度快，计算结果可靠，但由于原矩阵A被破坏，当A是稀疏矩阵时，在计算过程中很难保持它的稀疏性，因而大多数变换方法只适于求解中小规模稠密矩阵的全部特征值问题。雅可比方法、吉文斯－豪斯霍尔德方法以及LR方法、QR方法等都属此类。
乘幂法计算矩阵的按模最大的特征值及对应特征向量的一种向量迭代法。设 A为具有线性初等因子的矩阵，它的n 个线性无关的特征向量是ui(i=1,2,…,n)，特征值排列次序满足
的非线性特征值问题，当用线性化方法求解时，最终也归为求解一系列一次广义特征值问题。对于一次广义特征值问题Ax=λBx，当B非奇异时,可化为通常特征值问题(BA)x=λx，当A、B对称，且B正定时,可化为对称特征值问题(UAU)(Ux)=λ(Ux)，其中U是B 的乔莱斯基分解B=UU中的上三角阵。利用化为通常特征值问题来求解一次广义特征值问题有时是很有效的，但有下列缺点：①当A和B是稀疏矩阵，特别是带形矩阵时，约化后的矩阵BA或 UAU一般是稠密的；②当B关于求逆的性态很差时,直接约化会带来很大误差。对一次广义特征值问题已发展了不少其他有效解法而不必预先化到通常特征值问题，一类是松弛法，包括逐次超松弛法、逐次坐标超松弛法和共轭梯度法等；另一类是变换方法,包括广义雅可比方法、广义吉文斯方法以及QZ方法等，后者是QR方法对一次广义特征值问题的直接推广。
曹志浩著：《矩阵特征值问题》，上海科学技术出版社，上海，1980。
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设A是非奇异实对称矩阵,B是反对称矩阵,且AB=BA.证明A +B必是非奇异的
提问者采纳
它的特征值实部必须是零如果A+B=A(I+A^{-1}B)奇异，则A^{-1}B至少有一个特征值是-1但是(A^{-1}B)^T=B^TA^{-T}=-BA^{-1}=-A^{-1}B，说明A^{-1}B是实反对称矩阵
提问者评价
太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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所以有:1px solid black">43，由于逆矩阵的特征值是相对于矩阵特征值的倒数:1px">13λ2有一特征值<span style="vertical-align:wordSwordWrap：则＝:normal"><table cellpadding="-1" cellspacing="-1" style="margin-right:normal?1有一特征值34;font-size:normal"><td style="border-bottom:super，故选择:wordSpacing:nowrap:90%">2)<span style="vertical-align
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