多面体的表面积为Q 与球体外接 球体的体积为36π 求多面体的体积_百度作业帮
多面体的表面积为Q 与球体外接 球体的体积为36π 求多面体的体积
多面体的体积=(全面积)*r*1/3球体的体积为36π=4/3*π*r^3 得到 r=3多面体的体积=Q*3*1/3 = Q&&&&&&&&&&&&&&&
高一数学空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积1.3.1
柱体、锥体、台体的表面积与体积整体设计教学分析本节一开始的"思考"从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.接着，教科书安排了一个"探究"，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题.教科书通过"思考"提出"如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？"的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的"探究"，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下.关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的"大小"没有比较大小的含义，而是要用具体的"数"来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；②一个几何体的体积等于它的各部分体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个"探究"，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论.与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个"思考"，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式.值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中"纠缠不止"，要留出"空白"，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力.三维目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.重点难点教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.教学难点：表面积和体积计算公式的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？（引导学生回忆，互相交流，教师归类）几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？思路2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？推进新课新知探究提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1)
长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).图2
图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S圆柱表=2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)S圆锥表=πr(r+l).从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；V台体=h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作"特殊"的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的"特殊"形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V= (S为底面面积，h为高).由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S′++S)h,其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作"特殊"的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的"特殊"形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：图5应用示例思路1例1
已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC（图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.因为BC=a,SD=,所以S△SBC=BC?SD=.因此，四面体S-ABC的表面积S=4×.点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.变式训练1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积.解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧=S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆锥的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l=，根据圆锥的侧面积公式得S圆锥侧=πrl=π?r?.2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（
）A.1∶2∶3
B.1∶7∶19
D.1∶9∶27分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为()∶［?2h］∶［?3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B3.三棱锥V-ABC的中截面是△A1B1C1，则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是（
D.1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A-A1BC转化为三棱锥A1-ABC，这样三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A1-ABC的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B例2
如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［］-π()2≈1 000(cm2)=0.1(m2).涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.变式训练1.有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S侧=2πrl=2π?0.1?0.5=0.1π m2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m2，因此油漆工完成任务所需的时间t=≈6.37秒.点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.分析：由题意得三棱锥的体积是(x-2)2+，由于x＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值.答案：例3
有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=×122×6×10-3.14×()2×10≈2 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.变式训练如图9，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）图9解：如图10，设水面的半径为r，则EH=r-2分米，BG=2分米，图10在△ABG中，∵EH∥BG，∴.∵AH=2分米,∴.∴r=分米.∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V水=?3［()2+×4+42］=立方分米,∴所用的时间为≈36.69秒.答：所用的时间为36.69秒.思路2例1
（2007山东烟台高三期末统考，理8）如图11所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（
D.活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图12所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V=.图12答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积.给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得.此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练1.（2007山东泰安高三期末统考，理8）若一个正三棱柱的三视图如图13所示，则这个正三棱柱的表面积为（
D.分析：该正三棱柱的直观图如图14所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2××4×=24+.图14答案：C2.（2007山东潍坊高三期末统考，文3）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（
D.分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为V=.答案：A3.（2007广东高考，文17）已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.图15（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.图16（1）V=×(8×6)×4=64.(2)设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在△VBC中，BC边上的高为h1=,在△VAB中，AB边上的高为h2==5.所以此几何体的侧面积S==40+.点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问.例2
图17所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）图17活动：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.解：正方体的表面积为16×6=96（cm2），一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm2），则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm2）.答：几何体的表面积为133.68 cm2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积.求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积.本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的.变式训练图18所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积.图18分析：从图18中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.解：因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为12×9=9（ cm2），前面的表面积为12×8=8（ cm2），左面的表面积为12×7=7（ cm2），则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm2).答：此几何体的表面积为48 cm2.知能训练1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是（
D.96分析：设正方体的棱长为a，则6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64.答案：B2.（2007山东临沂高三期末统考，文2）如图19所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（
D.4π分析：设圆锥的母线长为l，则l==2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.答案：C3.正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是（
D.分析：可得正三棱锥的高h==3，于是V=.答案：D4.若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍.分析：圆柱的体积公式为V圆柱=πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍.答案：4
165.图20是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿△GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?图20分析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥.解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3.三棱锥的底面是Rt△AGF，即∠FAG为90°，G、F又分别为AD、AA1的中点，所以AF=AG=.所以△AGF的面积为.又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以AH=.所以锯掉的部分的体积为.又因,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.6.（2007山东临沂高三期末考试，理13）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是____________.分析：如图21，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得解得r=，所以圆锥的底面积为πr2=.图21答案：7.如图22，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图23，这时水面恰好为中截面，则图22中容器内水面的高度是_________.图22
图23分析：图22中容器内水面的高度为h，水的体积为V，则V=S△ABCh.又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为，高度为2a，则V=?2a，∴h=.答案：8.圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是_____________.分析：设这个圆台的高为h，画出圆台的轴截面，可得，解得h=3，所以这个圆台的体积是(22+2×4+42)×3=28π.答案：28π9.已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（
）图24A. cm3
C.2 000 cm3
D.4 000 cm3分析：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm2，所以该几何体的体积是×400×20=cm3.答案：B拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是___________.探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2+28，三棱柱有两种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a2+32，边长为3a的边重合在一起，表面积为24a2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a2+48,最小的是一个四棱柱，这说明24a2+28＜12a2+0＜a＜.答案：0＜a＜课堂小结本节课学习了：1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.2.应用体积公式解决有关问题.作业习题1.3
第1、2、3题.设计感想新课标对本节内容的要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式），也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.因此本节教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上"纠缠不休"，把重点放在了对公式的简单应用上.由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术.各种多面体体积.面积计算公式大全 -CAD之家
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第13讲：简单几何体表面积和体积的求法－复习题（含例题，练习题）
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文档内容预览：&&第13讲:简单几何体的表面积和体积的求法【考纲要求】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。【基础知识】 一、扇形的面积（其中代表扇形的弧长，代表扇形的半径，代表扇形的圆心角的弧度数，代表扇形圆心角的度数）& 二、多面体的表面积就是把多面体表面的各个面的面积加起来。表中S表示面积，分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高，表示侧棱长。三、旋转体的面积和体积公式&& 旋转体的面积公式不能直接求，所以一般利用展开法求得。表中分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径， 分别表示圆台 上、下底面半径，表示球的半径。四、求几何体的面积和体积的方法方法一：对于规则的几何体一般用公式法。方法二：对于非规则的几何体一般用割补法。方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法。【方法讲评】方法一公式法使用情景几何体是规则的几何体解题步骤先求出几何体表面积和体积公式中的基本量，再代入几何体的表面积和体积公式。例1& 如图，在五棱锥P―ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；（Ⅲ）求四棱锥P―ACDE的体积．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；例2&& 一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解：(1)直观图如图所示：(2)法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，则AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1.在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，∴BB1＝.∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＝1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2＝7＋(m2)．∴几何体的体积V＝×1×2×1＝(m3)，∴该几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.法二：几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝×(1＋2)×1×1＝(m3)．∴几何体的表面积为(7＋)m2，体积为m3.【变式演练1】 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为.(1)证明：直线A1B∥平面CDD1C1；(2)求棱A1A的长；(3)求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．例3& 　如图1，已知三棱锥中，，，试求三棱锥的体积.　　　　解：如图2所示，把三棱锥补成一个长方体，易知三棱锥的各边分别是长方体的面对角线.　　不妨令，则由已知有　　 　　从而知.　　故所求三棱锥的体积为160.　　例4　如图3，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，，则该多面体的体积为（　　）.　　（A）　　（B）　　（C）　& （D）　　　解：过A作AG⊥EF，连结DG，由对称性，易知DG⊥EF；同理，过B作BH⊥EF，连结CH，也由对称性，易知CH⊥EF，从而有EF⊥面ADG，EF⊥面BCH.　　从而该多面体的体积等于直三棱柱ADGBCH与三棱锥EADG及三棱锥的体积之和.　　由已知，，.例5　在四棱锥中，底面为梯形，为的中点，设的体积为V，那么三棱锥的体积为（　　）.　　（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）　　解：设点到面的距离为，点到面的距离为.　　如图4，∵M是EA的中点，∴，　　∴，　　而.　　∴.　　∵到面EMC的距离即为到面EAC的距离.　　又∵，.故选（D）.【高考精选传真】1.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（& ）&&& &
&& 2.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为A．12π& B.45π&& C.57π& D.81π3.【2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（&& ）A. 28+6&& B. 30+6 && C. 56+ 12& D. 60+12【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，，，，因此该几何体表面积，故选B。4.【2012高考真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____。5.【2012高考真题山东理14】如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为___.【解析】法一：因为点在线段上，所以，又因为点在线段上，所以点到平面的距离为1,即，所以.法二：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令点在点处，点在点处，则。6.【2012高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为& 。7.【2012高考真题上海理14】如图，与是四面体中互相垂直的棱，，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是&& 。∴四面体ABCD体积的最大值=。8.【2012高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为___m3. 【解析】根据三视图可知，这是一个上面为长方体，下面有两个直径为3的球构成的组合体，两个球的体积为，长方体的体积为，所以该几何体的体积为。【反馈训练】1．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是& (　　)A．32π　 　B．16π&& C．12π &&
D．8π2．如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是&&&&& (　　)A.& & B.& C.& && D. 3．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为&&&&& (　　) A.π& & B.π&&& C.π& && D.π4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于& (　　)A.π &&
B.π&& C.π＋8 &&
D．12π5．某几何体的三视图如图所示，当a＋b取最大值时，这个几何体的体积为& (　　)A．& && B.&& C.& & D.6．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为&&&&&& (　　)A．7 &
B．6 && C．3& & D．9[来源:]7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2a的等腰三角形，俯视图是半径a的半圆，则该几何体的表面积是__．8．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__．9．一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图的面积分别是1,2,4，则这个几何体的体积为__． 10．已知正方体AC1的棱长为a，E，F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．11．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)． (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．12．如图，在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90° (1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P－ABC的体积．13．如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB＝2.(1)求证：BC⊥平面A1AC；(2)求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．14．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。 &&&& && ∵A1B?平面A1AB，A1B?平面CDD1C1.∴A1B∥平面CDD1C1.(2)设A1A＝h，∵几何体ABCD－A1C1D1的体积为，∴VABCD－A1C1D1＝VABCD－A1B1C1D1－VB－A1B1C1＝，即SABCD×h－×S△A1B1C1×h＝，即2×2×h－××2×2×h＝，解得h＝4.∴A1A的长为4.(3)如图，连结D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD.∵ABCD－A1B1C1D1是长方体，∴A1D1⊥平面A1AB.∵A1B?平面A1AB，∴A1D1⊥A1B.∴OA1＝D1B.同理OD＝OC1＝D1B.∴OA1＝OD＝OC1＝OB.∴经过A1，C1，B，D四点的球的球心为点O.∵D1B2＝A1D12＋A1A2＋AB2＝22＋42＋22＝24.∴S球＝4π×(OD1)2＝4π×()2＝π×D1B2＝24π.故经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为24π.【变式演练2详细解析】先作出圆锥的轴截面，设圆柱的高为h，底面半径为r(0&r&R)，体积为V，则＝，∴h＝2(R－r)，∴V＝πr2h＝2πr2(R－r)．＝2πRr2－2πr3.∴V′＝4πRr－6πr2，由V′＝0得r＝R，当r＝R时，圆柱的体积V取得最大值，将三棱锥S-ABC补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为1， 1，，长方体的体对角线长为球O的直径2R,即所以R=1, ＝4π,故选A.【变式演练5详细解析】四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形，连接EF，则，平面ABB1A1，&&& 三棱锥F-EBA1的高是CC1到平面AB1的距离，即棱长a，&& S&& 【反馈训练详细解析】1.C【解析】：由三视图知，该几何体是半径为2的半球体，其表面积S＝12π.2. B【解析】：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连结顶点和底面中心即为高，可求高为，所以体积为V＝?1?1?＝.3. C【解析】：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球＝π×()3＝.4. A【解析】：由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋π＝π.[来源:]5. D【解析】：如图所示，可知AC=，BD=1，BC=b，AB=a. 设CD=x，AD=y，则x2＋y2＝6，x2＋1＝b2，y2＋1＝a2，消去x2，y2得&&& a2＋b2＝8≥，所以(a＋b)≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时x＝，y＝，[来源:]所以V＝××1××＝.6. A【解析】：原正四面体的表面积为4×＝9，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×＝2，故所得几何体的表面积为7.7. πa2＋a2【解析】：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为×2a×2πa＝2πa2，底面积为πa2，观察三视图可知，轴截面为边长为2a的正三角形，所以轴截面面积为×2a×2a×＝a2，则该几何体的表面积为πa2＋a2.8. π【解析】因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V＝ ×π×12×2＝.10.【解析】：因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝ ＝a， 所以四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形，连接EF，则△EFB≌△EFD1，由于三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1 ＝2??S△EBA1?a＝a3.11.【解析】：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体．由PA1=PD1=，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×+2××()2=22+4 (cm2)，所求几何体的体积V=23+×()2×2=10(cm3)． 故∠AEB=90°.因为Rt△AEB≌Rt△PEB，所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC=4，得AE=BE=2， △AEB的面积S=2.因为PC⊥平面AEB，所以三棱锥P-ABC的体积V=×S×PC=13.【解析】：(1)证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC.∵AA1⊥平面ABC，BC平面ABC，∴AA1⊥BC.∵AA1∩AC＝A，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，∴BC⊥平面AA1C.(2)设AC＝x，在Rt△ABC中，BC＝＝(0＜x＜2)，故VA1－ABC＝S△ABC?AA1＝??AC?BC?AA1＝x(0＜x＜2)，即VA1－ABC＝x＝＝.∵0＜x＜2,0＜x2＜4，∴当x2＝2，即x＝时，三棱锥A1－ABC的体积最大，其最大值为.14.【解析】：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥P―ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。
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