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一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（　　）A．1≤x≤3B．1＜x≤3C．1≤x＜3D．1＜x＜3
题型：单选题难度：中档来源：海南
根据题意得：2-1＜x＜2+1，即1＜x＜3．故选D．
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据魔方格专家权威分析，试题“一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（）A．1≤x≤3B..”主要考查你对&&三角形的三边关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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三角形的三边关系
三角形的三边关系：在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。设三角形三边为a,b,c则a+b&ca+c&bb+c&aa-b&ca-c&bb-c&a在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。则两直角边的平方和等于斜边平方。在等边三角形中，a=b=c在等腰三角形中， a,b为两腰，则a=b在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2-2abcosc三角形的三边关系定理及推论：（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。
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147758449317227912457453122598228349函数_百度百科
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函数function最早由中国清朝数学家翻译出于其著作之所以这么翻译他给出的原因是凡此变数中函彼变数者则此为彼之函数也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化或者说一个量中包含另一个量函数的定义通常分为传统定义和近代定义函数的两个定义本质是相同的只是叙述概念的出发点不同传统定义是从运动变化的观点出发而近代定义是从的观点出发外文名function表达式y=f(x)适用领域范围数学、金融、IT表示法列表法、图像法、解析法三要素自变量、因变量、对应法则
一般的在一个变化过程中有两个xy如果给定一个x值相应的就确定唯一的一个y那么就称y是x的函数其中x是y是x的取值范围叫做这个函数的相应y的取值范围叫做函数的设AB是非空的数集如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应那么就称fA→B为从集合A到集合B的一个函数记作y=f(x)xA
其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域与x值相对应的y值叫做函数值函数值的集合叫做函数的值域
定义域值域对应法则称为函数的三要素一般书写为 若省略定义域一般是指使函数有意义的函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作通常是处理文本控制输入或计算数值通过在程序代码中引入函数名称和所需的可在该程序中执行或称调用该函数
类似过程不过函数一般都有一个它们都可在自己结构里面调用自己称为
大多数语言构建函数的方法里都含有函数或称用含x的式子表示函数的方法把一系列的值对应的值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法　　用图像来表示函数关系的方法叫做法首先要理解函数是发生在集合之间的一种对应关系然后要理解发生在AB之间的不止且不止一个最后要重点理解函数的三要素
函数的对应法则通常用表示但大量的函数关系是无法用解析式表示的可以用图像表格及其他形式表示在一个变化过程中发生变化的量叫变量数学中常常为x而y则随x值的变化而变化有些数值是不随变量而改变的我们称它们为常量
自变量(函数)一个与它量有关联的变量这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值
因变量(函数)随着自变量的变化而变化且自变量取唯一值时因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应
函数值在y是x的函数中x确定一个值y就随之确定一个值当x取a时y就随之确定为bb就叫做a的函数值设A和B是两个非空集合如果按照某种对应关系f对于集合A中的任何一个元素a在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应那么这样的对应包括集合AB以及集合A到集合B的对应关系f叫做集合A到集合B的(Mapping)记作 其中b称为a在映射f下的象记作b=f(a); a称为b关于映射f的集合A中所有元素的象的集合记作f(A)
则有定义在非空数集之间的映射称为函数函数的自变量是一种特殊的原象是特殊的函数与和存在联系令函数值等于零从几何角度看对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标从代数角度看对应的自变量是另外把函数的无表达式的函数除外中的=换成&或&再把Y换成其它函数就变成了不等式可以求自变量的范围如果X到Y的二元关系 对于每个 都有唯一的 使得 则称f为X到Y的函数记做
当 时称f为n元函数
值域和定义域重合
单值性取区间任意两变量x1,x2,且x1&x2,如果对应的y1&y2,则函数在此区间单调递增,反之,单调递减输入值的集合X被称为f的定义域可能的输出值的集合Y被称为f的值域函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合注意把对应域称作值域是不正确的函数的值域是函数的对应域的子集
计算机科学中参数和返回值的分别确定了的定义域和对应域因此定义域和对应域是函数一开始就确定的强制进行约束另一方面值域是和实际的实现有关
函数将不同的变量映射到不同的值即若 和 则仅当 时有
函数其值域即为其对映域即对映射f的对映域中之任意y都存在至少一个x满足 y=f(x)
函数既是单射的又是满射的也叫一一对应双射函数经常被用于表明集合X和Y是的即有一样的如果在两个集合之间可以建立一个一一对应则说这两个集合等势元素xX在f的象就是fx他们所取的式值为0函数f的图象是平面上点对x,fx的集合其中x取定义域上所有成员的函数图象可以帮助理解证明一些定理
如果X和Y都是连续的线则函数的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义一是三元组X,Y,G其中G是关系的图二是索性以关系的图定义用第二个定义则函数f等于其图象
当k&0时直线从左到右递增k越大直线与Y轴夹角越小反之越大
当k&0时直线从左到右递减k越大直线与Y轴夹角越大反之越小
若函数y=f(u)的定义域是B﹐函数u=g(x)的定义域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是
D={x|x∈A,且g(x)∈B}十七世纪在两门新科学一书中几乎全部包含函数或称为的这一概念用文字和的语言表达函数的关系1637年前后在他的中已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系但因当时尚未意识到要提炼函数概念因此直到后期建立时还没有人明确函数的一般意义大部分函数是被当作来研究的
首次使用function函数表示后来他用该词表示上的等上的有关与此同时在的讨论中使用 来表示间的1718年约翰·柏努利在函数概念的基础上对函数概念进行了定义由任一变量和常数的任一形式所构成的量他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数并强调函数要用来表示
1748年在其无穷分析引论一书中把函数为一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式他把·给出的函数定义称为并进一步把它区分为函数和还考虑了不难看出给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍更具有广泛意义
1755年给出了另一个定义如果某些以某一种方式依赖于另一些即当后面这些变化时前面这些变量也随着我们把前面的变量称为后面变量的1821年从定义变量起给出了定义在某些变数间存在着一定的关系当一经给定其中某一变数的值其他变数的值可随着而确定时则将最初的变数叫自变量其他各变数叫做函数在柯西的定义中首先出现了一词同时指出对函数来说不一定要有解析表达式不过他仍然认为可以用多个来表示这是一个很大的局限
1822年发现某些函数可以用曲线表示也可以用一个式子表示或用多个式子表示从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论把对函数的认识又推进了一个新层次
1837年突破了这一局限认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要他拓广了函数概念指出对于在某区间上的每一个确定的x值y都有一个确定的值那么y叫做x的函数这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述以清晰的方式被所有数学家接受这就是人们常说的经典函数定义
等到创立的集合论在数学中占有重要地位之后维布伦用集合和对应的概念给出了近代函数定义通过集合概念把函数的对应关系定义域及值域进一步具体化了且打破了变量是数的极限变量可以是数也可以是其它对象1914年(FHausdorff)在集合论纲要中用不明确的概念来定义函数其避开了意义不明确的变量对应概念(Kuratowski)于1921年用来定义序偶使的定义很严谨了
1930 年新的定义为若对集合M的任意元素x总有集合N确定的元素y与之对应则称在集合M上定义一个函数记为x称为y称为设函数f(x)的定义域为D数集X包含于D如果存在数K1使得f(x)≤K1对任一x∈X都成立则称函数f(x)在X上有上界而K1称为函数f(x)在X上的一个上界如果存在数K2使得f(x)≥K2对任一x∈X都成立则称函数f(x)在X上有下界而K2称为函数f(x)在X上的一个下界如果存在M使得|f(x)|≤M对任一x∈X都成立则称函数f(x)在X上有界如果这样的M不存在就称函数f(x)在X上无界
f(x)在X上有的充分必要条件是它在X上既有又有设函数f(x)的为DID如果对于上任意两点x1及x2当x1&x2时恒有f(x1)&f(x2)则称函数f(x)在区间I上是的如果对于区间I上任意两点x1及x2当x1&x2时恒有f(x1)&f(x2)则称f(x)在区间I上是的和的函数统称为设f(x)为一个实变量值函数若下列的方程对所有实数x都成立f( -x) =- f(x) 则f(x)为
上一个奇函数关于对称亦即其图像在绕原点做180旋转后不会改变
奇函数的例子有x(x)(x)和(x)
设f(x)为一实变量值函数则f(x)为若下列的方程对所有实数x都成立
几何上一个偶函数关于y轴对称亦即其在对y轴映射后不会改变
偶函数的例子有|x|x^2(x)和(sec)(x)
偶函数不可能是个双射映射设函数f(x)的定义域为D如果存在一个正数T使得对于任一x∈D有(x士T)∈D且f(x+T)=f(x)则称f(x)为T称为f(x)的周期通常我们说周期函数的周期是指周期函数的定义域 D 为至少一边的无界若D为有界的则该函数不具周期性
并非每个周期函数都有最小正周期例如函数在数学中连续是函数的一种属性直观上来说连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候输出的变化也会随之足够小的函数如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义则这个函数被称为是不连续的函数或者说具有不连续性
设f是一个从的子集射到 的函数f在中的某个c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足
f在点c上有定义c是中的一个并且无论自变量x在中以什么方式接近cf(x) 的都存在且等于f(c)我们称函数到处连续或处处连续或者简单的连续如果它在其定义域中的任意点处都连续更一般地我们说一个函数在它定义域的上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续
不用极限的概念也可以用下面所谓的方法来定义实值函数的连续性
仍然考虑函数假设c是f的定义域中的元素函数f被称为是在c点连续以下条件成立
对于任意的正实数存在一个δ& 0 使得对于任意中的δ只要xc - & x & c + δ就有成立设函数f(x)在I上连续如果对于I上的两点x1≠x2恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2f((x1+x2)/2)&(f(x1)+f(x2))/2那么称f(x)是区间I上的(严格)如果恒有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2f((x1+x2)/2)&(f(x1)+f(x2))/2那么称f(x)是区间上的(严格)实函数Real function指和均为的函数实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形
虚函数是中的一个重要的概念当从父类中继承的时候虚函数和被继承的函数具有相同的签名但是在运行过程中运行系统将根据对象的类型自动地选择适当的具体实现运行虚函数是面向对象编程实现多态的基本手段依y=f(x),μ=φ(x)的决定即增增得增减减得增增减得减可以简化为同增异减
判断复合函数的单调性的步骤如下(1)求复合(2)将复合函数分解为若干
个常见函数(一次二次幂指对函数)(3)判断每个常见函数的单调性(4)将中间
变量的取值范围转化为自变量的取值范围(5)求出复合函数的单调性
例如讨论函数y=0.8^(x?-4x+3)的单调性
解函数定义域为R
令u=x?-4x+3y=0.8^u
指数函数y=0.8^u在(-∞+∞)上是减函数
u=x?-4x+3在(-∞2]上是减函数在[2+∞)上是增函数
由同增异减
∴函数y=0.8^(x?-4x+3)在(-∞2]上是增函数在[2+∞)上是减函数
利用复合函数求参数取值范围
求参数的取值范围是一类重要问题解题关键是建立关于这
个参数的不等式组必须
将已知的所有条件加以转化设y=f(x),的最小正周期为T1μ=φ(x的最小正周期为T2则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2任一周期可表示为k*T1*T2k属于R+
周期函数性质
1若TT≠0是f(x)的周期则-T也是f(x)的周期
2若TT≠0是f(x)的周期则nTn为任意非零整数也是f(x)的周期
3若T1与T2都是f(x)的周期则T1±T2也是f(x)的周期
4若f(x)有最小正周期T*那么f(x)的任何正周期T一定是T*的倍
5T*是f(x)的最小正周期且T1T2分别是f(x)的两个周期则T1T2∈QQ是有理数集
6若T1T2是f(x)的两个周期且 T *是无理数则f(x)不存在最小正周期
7周期函数f(x)的定义域M必定是双方无界的集合中文数学书上使用的函数一词是转译词.是我国清代数学家李善兰在翻译代数学1895年一书时把function译成函数的.　　中国古代函字与含字通用都有着的意思.李善兰给出的定义是凡式中含天为天之.中国古代用4个字来表示4个不同的或.这个定义的含义是凡是公式中含有变量x则该式子叫做x的函数.所以函数是指里含有的意思.我们所说的方程的确切是指含有的但是一词在我国早期的数学专著九章算术中,意思指的是多个的即所说的在某一个变化过程中设有两个变量x和y如果可以写成y=kx+b (k为一次项系数,k≠0b为常数)那么我们就说y是x的一次其中x是y是特别的当b=0时称y是x的一般地形如y=kx+b(k≠0,b是常数)那么y叫做x的一次函数.当b=0时y=kx+b即y=kx即正比例函数自变量和因变量成正比例所以说正比例函数是一种特殊的一次函数
还有若自变量最高次数为1则这个函数就是一次函数
在某一个变化过程中设有两个x和y如果可以写成y=fx即x经过某种运算得到y即每一个x都有唯一一个y与之对应那么我们就说y是x的函数其中x是y随X的变化而变化当x取一个值时y有且只有一个值与x对应如果有2个及以上个值与x对应时就不是函数函数常用的表示方法1在时x与y的商一定(x≠0在时x与y的积一定
在y=kx+bkb为常数k≠0中当x增大m时函数值y则增大km反之当x减少m时函数值y则减少km
2当x=0时b为一次函数图像与y轴交点的该点的为(0b)当y=0时一次函数图像与x轴相交于﹣b/k
3当b=0时一次函数变为正比例函数当然正比例函数为特殊的一次函数
4在两个一次函数表达式中
当两个一次函数表达式中的k相同b也相同时则这两个一次函数的图像重合
当两个一次函数表达式中的k相同b不相同时则这两个一次函数的图像平行
当两个一次函数表达式中的k不相同b不相同时则这两个一次函数的图像相交
当两个一次函数表达式中的k不相同b相同时则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点0b
当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时则这两个一次函数图像互相垂直
5两个一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘时k≠0得到的的新函数为二次函数
该函数的为－k2b1+k1b2)/(2k1k2)
当k1,k2正负相同时二次函数开口向上
当k1,k2正负相反时二次函数开口向下
二次函数与y轴交点为0b2b1)
6两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数为x=－b/ay=c/a1列表表中给出一些自变量的值及其对应的函数值
2描点在中以自变量的值为横坐标相应的函数值为纵坐标描出表格中数值对应的各点
一般地y=kx+b(k≠0的图象过0b和-b/k0两点即可画出
正比例函数y=kx(k≠0的图象是过坐标原点的一条直线一般取00和1k两点画出即可
3连线 按照由小到大的顺序把描出的各点用连接起来
一次函数y=kx+b(k≠0)图像是直线特别地b=0时图像过原点当平面直角坐
标系中两直线时其函数解析式中k的值即一次项系数相等
当平面直角坐标系中两直线时其函数解析式中k的值互为即两个k值的乘积为-1一次函数的1从形式上看一次函数y=kx+b, 一元一次方程ax+b=0
2从内容上看一次函数表示的是一对(xy)之间的关系它有无数对解一元一次方程表示的是未知数x
的值最多只有1个值
3相互关系一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的的根 例如y=4x+8与x轴的交点是
(-20)则一元一次方程4x+8=0的根是x=-2解的方法从函数的角度看就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于或小于0的自变量x的取值范围
从函数图像的角度看就是确定直线y=kx+b在x轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合
对应一次函数y=kx+b它与x轴交点为-b/k0
当k&0时不等式kx+b&0的解为x&- b/k不等式kx+b&0的解为x&- b/k
当k&0的解为不等式kx+b&0的解为x&- b/k不等式kx+b&0的解为x&- b/k(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图像与一次函数
y=-a/bx+c/b的图像相同.
(2)二元一次方程组{a1x+b1y=c1,
a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数
y=-a1/b1x+c1/d1和y=-a2/b2x+c2/d2的图像的交点.把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图像,找出两图像的交点,即可知的解
区别二元一次方程有两个而一次函数只是说未知数的次数为一次并未限定几个变量因此二元一次方程只是一次函数中的一种
联系1在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点这些点都在相应的一次函数的图象上如2x+y=5有无数组解像x=1y=3x=2y=1…以这些解为坐标的点(1,3)(2,1…都在一次函数y=－2x+5的图象上. 2在一次函数图象上任取一点它的坐标都适合相应的.如在一次函数y=－x+2的图象上任取一点－33则x=-3y=3一定是二元一次方程x+y=2的一组解.
所以以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的
一有交点在同一平面直角坐标系中两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解反过来以的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点
二无交点当二元一次方程组无解时相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点即两个一次函数图象平行反过来当两个一次函数图象平行时相应的二元一次方程组就无解如二元一次方程组3x-y=53x-y=-1无解则一次函数y=3x－5与y=3x+1的图象平行反之也成立
三作图法解方程用作图的方法解二元一次方程组一般有下列几个步骤1将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式2在同一平面直角坐标系内作出这两个一次函数的图象3找出图象的交点坐标即得二元一次方程组的解
四方程组确定解析式在实际应用中常常利用待定系数法构造二元一次方程组从而确定一次函数的解析式
例某航空公司规定乘客可以免费携带一定质量的行李但超过该质量则需购买行李票且行李费y元是行李质量xkg的一次函数现知王芳带了30 kg的行李买了50元行李票李刚带了40kg的行李买了100元行李票那么乘客最多可免费携带多少千克的行李
解答依题意可设一次函数的解析式为y=kx+b则可得二元一次方程组50=30k+b100=40k+b解得k=5b=-100即一次函数的是y=5x－100当x=20时y=0所以乘客最多可免费携带20 kg的行李
五 待定系数法1先设出函数的一般形式如求一次函数的解析式时先设y=kx+b
2将自变量x的值及与它对应的y的值代入所设的解析式得到关于待定系数的方程或方程组
3解方程或方程组求出待定系数的值进而写出函数解析式
注意求正比例函数只要一对xy的值就可以因为它只有一个待定系数而求一次函数y=kx+b则需要
两组xy的值一般地自变量x和因变量y之间存在如下关系一般式y=ax2+bx+c (a≠0abc为常数)则称y为x的二次函数
交点式与x轴一般地把形如y=ax2+bx+c其中abc是a≠0bc可以为0的函数叫做二次函数quadratic function其中a称为二次项系数b为一次项系数c为常数项x为y为因变量等号右边自变量的最高次数是2图像是轴对称图形
对称轴为直线 ,
顶点坐标 ,
交点式为 (仅限于与x轴有交点Ax10和 Bx20的抛物线)
注意不同于不能说二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数只是一个数具体值未知但是只取一个值可在实数范围内任意取值在方程中适用未知数的概念中是未知函数但不论是未知数还是未知函数一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况但是函数中的字母表示的是变量意义已经有所不同从函数的定义也可看出二者的差别如同函数不等于函数的关系1.二次函数是但抛物线不一定是二次函数开口向上或者向下的抛物线才是二次函数抛物线是轴对称图形对称轴为直线x = -b/2a对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P特别地当b=0时抛物线的对称轴是y轴即直线x=0
2.抛物线有一个顶点P坐标为 ,当 时P在y轴上当 时P在x轴上
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a&0时抛物线向上开口当a&0时抛物线向下开口|a|越大则抛物线的开口越小
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时即ab&0对称轴在y轴左当a与b异号时即ab&0对称轴在y轴右
5.常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于0c
6.抛物线与x轴交点个数:Δ= b^2-4ac&0时抛物线与x轴有2个交点
Δ= b?-4ac=0时抛物线与x轴有1个交点
当Δ= b?-4ac&0时抛物线与x轴没有交点X的取值是, .
当a&0时函数在 处取得最小值f(x)= 在 上是减函数在 上是增函数抛物线的开口向上函数的值域是 相反不变;.
值域对应解析式且只讨论a大于0的情况a小于0的情况请读者自行推断
①[(4ac-b^2)/4a+∞
②[t+∞　　偶函数　　无　　
①y=ax^2+bx+c[一般式]　　⑴a≠0　　⑵a&0则抛物线开口朝上a&0则抛物线开口朝下　　⑶极值点-b/2a(4ac-b^2)/4a　　⑷Δ=b^2-4ac,　　Δ&0图象与x轴交于两点　　[-b+√Δ]/2a0和[-b-√Δ]/2a0　　Δ=0图象与x轴交于一点　　-b/2a0　　Δ&0图象与x轴无交点　　②y=a(x-h)^2+t[配方式]　　此时对应极值点为ht其中h=-b/2at= 定义形如y=ax?+bx?+cx+da≠0,b,c,d为常数的叫做三次函数(cubics function) 三次函数的是一条曲线回归式抛物线不同于普通抛物线定义
形如y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a≠0,b,c,d,e为常数)的函数叫做四次函数一般的自变量x和因变量y存在如下关系y=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f的函数称y为x的五次函数其中abcde分别为五次四次三次二次一次项f为a≠0在实际中一般不使用此函数一般地设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C根据这个函数中x,y 的关系用y把x表示出得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值通过x= f(y)x在A中都有唯一的值和它对应那么x= f(y)就表示y是自变量x是自变量y的函数这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的记作x=f^-1(y).反函数y=f^-1(x)的定义域值域分别是函数y=f(x)的值域定义域⑴在函数x=f^-1(y)中y是自变量x是函数但习惯上我们一般用x表示自变量用y 表示函数为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y把它改写成y=f^-1(x)今后凡无特别说明函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式
⑵反函数也是函数因为它符合函数的定义 从反函数的定义可知对于任意一个函数y=f(x)来说不一定有反函数若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)这就是说函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数
⑶从映射的定义可知函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射因此函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域如下表
函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x)
⑷上述定义用逆映射概念可叙述为
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域上的一一映射那么由f的逆映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域值域分别是函数y=f(x)的值域定义域
开始的两个例子s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v同样y=2x+6记为f(x)=2x+6则它的反函数为f^-1(x)=x/2-3
有时是反函数需要进行分类讨论如f(x)=X+1/X需将X进行分类讨论在X大于0时的情况X小于0的情况多是要注意的一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a直接求函数的值域困难时可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域求反函数的步骤是这样的
1先求出原函数的值域因为原函数的值域就是反函数的定义域
我们知道函数的三要素是定义域值域对应法则所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步
2反解x也就是用y来表示x
3改写交换位置也就是把x改成y把y改成x
4写出反函数及其定义域
就关系而言一般是双向的 函数也如此设y=fx为已知的函数若对每个y∈Y有唯一的x∈X使fx=y这是一个由y找x的过程 即x成了y的函数记为x=f -1y则f -1为f的反函数习惯上用x表示自变量故这个函数仍记为y=f -1x例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数在同一中y=fx与y=f -1x的图形关于直线y=x对称若能由方程Fxy=0 确定y为x的函数y=fx即Fxfx≡0就称y是x的隐函数
注意此处为方程Fx,y = 0 并非函数
思考隐函数是否为函数
不是因为在其变化的过程中并不满足一对一和多对一设点x1x2…xn ∈G&IRnU&IR1 若对每一点x1x2…xn∈G由某规则f有唯一的 u∈U与之对应fG→Uu=fx1x2…xn则称f为一个n元函数G为定义域U为值域
基本初等函数及其图象三角函数称为基本初等函数
①幂函数y=x^μμ≠0μ为任意实数的定义域当μ为时为定义域为－∞+∞当μ为负整数时定义域为 －∞0∪0+∞当μ=a(a为整数)当a是奇数时值域为－∞+∞当a是偶数时为值域为0+∞μ=p/q,p,q互素作为的进行讨论
②指数函数y=a^xa&0 a≠1定义域为－∞+∞值域为0 +∞a&1 时是严格单调增加的函数即当x2&x1时 0③对数函数y=logaxa&0称a为底 定义域为0+∞值域为－∞+∞ a&1 时是严格单调增加的0&a&1时是严格单减的不论a为何值对数函数的图形均过点10对数函数与指数函数互为反函数如图5
以10为底的对数称为常用对数简记为lgx 在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数即&a&自然对数记作lnx
④三角函数见表2
正弦函数如图6图7所示
⑤反三角函数见表3双曲正如图8
⑥双曲正弦ex－e-x双曲余弦?ex+e-x双曲正切ex－e-x/ex+e-x双曲余切 ex+e-x/ex－e-x
x取定义域内任意数时都有 y=C (C是常数)则函数y=C称为常函数
其图象是平行于x轴的直线或直线的一部分I定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系 y=kx+bkb为常数k≠0则称y是x的一次函数特别地当b=0时即y=kx时y是x的正比例函数
II一次函数的性质 y的变化值与对应的x的变化值成正比例比值为k 即y/x=k III一次函数的图象及性质
1 作法与图形通过如下3个步骤
1列表一般找4-6个点
3连线可以作出的图象用直线连接
2性质在一次函数图象上的任意一点Pxy都满足等式y=kx+b
3 kb与函数图象所在象限当k&0时直线必通过一三y随x的增大而增大 当k&0时直线必通过二四象限y随x的增大而减小当b&0时直线必通过一二象限当b&0时直线必通过三四象限 特别地当b=0时直线通过原点O00表示的是正比例函数的图象这时当k&0时直线只通过一三象限与原点当k&0时直线只通过二四象限与原点一般地自变量x和因变量y之间存在如下关系 y=ax^2+bx+c (a≠0)abc为常数a≠0且a决定函数的开口方向a&0时开口方向向上a&0时开口方向向下IaI还可以决定开口大小IaI越大开口就越小IaI越小开口就越大则称y为x的二次函数
表达式的右边通常为二次三项式x是y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式y=ax?+bx+cabc为常数a≠0
顶点式y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点Phk 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a)]交点式y=a(x-x1)(x-x 2) [仅限于与x轴有交点Ax1 0和Bx20的抛物线]其中x1x2= (-b±√(b^2－4ac))/(2a) 注在3种形式的互相转化中有如下关系______h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图象可以看出二次函数的图象是一条抛物线
二次函数标准画法步骤
在平面直角坐标系上
1列表 2描点 3连线
抛物线的性质
1抛物线是对称轴为直线x = -b/2a　x=h
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P
特别地当b=0时抛物线的对称轴是y轴即直线x=0
2抛物线有一个顶点P坐标为P ( -b/2a (4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时P在y轴上当Δ= b^2-4ac=0时P在x轴上
3二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小
当a&0时抛物线向上开口当a&0时抛物线向下开口
|a|越大则抛物线的开口越小
4一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置
当a与b同号时即ab&0对称轴在y轴左
当a与b异号时即ab&0对称轴在y轴右
5常数项c决定抛物线与y轴交点
抛物线与y轴交于0cc是纵截距
6抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac&0时抛物线与x轴有2个交点
Δ= b^2-4ac=0时抛物线与x轴有1个交点
Δ= b^2-4ac&0时抛物线与x轴没有交点X的取值是x= -b±√b^2－4ac 的值的乘上虚数i整个式子除以2a
当a&0时函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a在{x|x&-b/2a}上是减函数在{x|x&-b/2a}上是抛物线的开口向上函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时抛物线的对称轴是y轴这时函数是解析式变形为y=ax^2+c(a≠0
二次函数与一元二次方程
特别地二次函数以下称函数y=ax^2+bx+c
当y=0时二次函数为关于x的一元二次方程以下称方程
即ax^2+bx+c=0
此时与x轴有无交点即方程有无实数根
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根
1二次函数y=ax^2y=a(x-h)^2y=a(x-h)^2 +ky=ax^2+bx+c(各式中a≠0)的图象形状相同只是位置不同它们的顶点坐标及对称轴如下表
y=ax^2 y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
对应顶点坐标
(-b/2a(4ac-b^2)/4a)
对应对称轴
当h&0时y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到
当h&0时则向左平行移动|h|个单位得到
当h&0,k&0时将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位再向上移动k个单位就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象
当h&0,k&0时将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象
当h&0,k&0时将抛物线向左平行移动|h|个单位再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象
当h&0,k&0时将抛物线向左平行移动|h|个单位再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象
因此研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象通过配方将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式可确定其顶点坐标对称轴抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便
2抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象当a&0时开口向上当a&0时开口向下对称轴是直线x=-b/2a顶点坐标是(-b/2a[4ac-b^2]/4a)
3抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)若a&0当x ≤-b/2a时y随x的增大而减小函数是减函数当x ≥-b/2a时y随x的增大而增大函数是增函数若a&0当x ≤-b/2a时y随x的增大而增大函数是增函数当x ≥-b/2a时y随x的增大而减小函数是减函数
4抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点
(1)图象与y轴一定相交交点坐标为(0c)
(2)当△=b^2-4ac&0图象与x轴交于两点A(x?0)和B(x?0)其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×-b/2a－A |A为其中一点
当△=0图象与x轴只有一个交点
当△&0图象与x轴没有交点当a&0时图象落在x轴的上方x为任何实数时都有y&0当a&0时图象落在x轴的下方x为任何实数时都有y&0
5抛物线y=ax^2+bx+c的最值如果a&0(a&0)则当x= -b/2a时y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a
顶点的横坐标是取得最值时的自变量值顶点的纵坐标是最值的取值
6用求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知xy的三对对应值时可设解析式为一般形式
y=ax^2+bx+c(a≠0)
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时可设解析式为顶点式y=a(x-h)^2+k(a≠0)
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时可设解析式为两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
7二次函数知识很容易与其它知识综合应用而形成较为复杂的综合题目因此以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题往往以大题形式出现三角函数是数学中属于初等函数中的的一类函数它们的本质是的集合与一个比值的集合的变量之间的映射通常的是在平面直角坐标系中定义的其定义域为整个实数域另一种定义是在中但并不完全把它们描述成的极限和的解将其定义扩展到系
由于三角函数的周期性它并不具有单值函数意义上的反函数
三角函数在复数中有较为重要的应用在物理学中三角函数Trigonometric也是常用的工具
它有六种基本函数
函数名正弦 余弦正切 余切正割 余割
符号 sin cos tan cot sec csc
sec(A)=h/b
csc　(A)=h/a
在某一变化过程中两个变量xy对于某一范围内的x的每一个值y都有确定的值和它对应y就是x的函数这种关系一般用y=f(x)来表示幂函数的一般形式为y=x^a
如果a取非零的是比较容易理解的不过初学者对于a取则不太容易理解在我们的课程里不要求掌握如何理解指数为无理数的问题因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识因此我们只要接受它作为一个已知事实即可
对于a的取值为非零有理数有必要分成几种情况来讨论各自的特性
首先我们知道如果a=p/qq和p都是整数则x^(p/q)=q次根号x的p次方如果q是奇数函数的定义域是R如果q是偶数函数的定义域是[0,+∞当指数n是时设a=-k则x=1/(x^k)显然x≠0函数的定义域是－∞0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点一是有可能作为分母而不能是0一是有可能在偶数次的下而不能为那么我们就可以知道
排除了为0与负数两种可能即对于x&0则a可以是任意
排除了为0这种可能即对于x&0和x&0的所有实数q不能是
排除了为负数这种可能即对于x为大于且等于0的所有实数a就不能是
总结起来就可以得到当a为不同的数值时幂函数的定义域的不同情况如下
如果a为任意实数则函数的定义域为大于0的所有实数
如果a为负数则x肯定不能为0不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定即如果同时q为偶数则x不能小于0这时函数的定义域为大于0的所有实数如果同时q为奇数则函数的定义域为不等于0 的所有实数
在x大于0时函数的值域总是大于0的实数
在x小于0时则只有同时q为奇数函数的值域为非零的实数
而只有a为正数0才进入函数的值域
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况
1所有的图形都通过11这点
2当a大于0时幂为单调递增的而a小于0时幂函数为单调递减函数
3当a大于1时幂函数图形下凹当a小于1大于0时幂函数图形上凸
4当a小于0时a越小图形倾斜程度越大
5a大于0函数过00a小于0函数不过00点
6显然幂函数无界复变函数是定义域为复数集合的函数
复数的概念起源于求方程的根在二次三次的求根中就出现了负数开平方的情况在很长时间里人们对这不能理解但随着数学的发展这的重要性就日益显现出来复数的一般形式是a+bi其中i是虚数单位
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数而与之相关的理论就是是复变函数中一类具有解析性质的函数复变函数论主要就研究复数域上的解析函数因此通常也称复变函数论为解析函数论
复变函数论的发展简况
复变函数论产生于十八世纪1774年欧拉在他的一篇论文中考虑了由的积分导出的两个而比他更早时法国数学家在他的关于的论文中就已经得到了它们因此后来人们提到这两个把它们叫做达朗贝尔-到了十九世纪上述两个在柯西和黎曼研究流体力学时作了更详细的研究所以这两个方程也被叫做柯西-黎曼条件
复变函数论的全面发展是在十九世纪就象微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支并且称为这个世纪的数学享受也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉达朗贝尔法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分他们都是创建这门学科的先驱
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西黎曼和德国数学家二十世纪初复变函数论又有了很大的进展维尔斯特拉斯的学生瑞典数学家列夫勒法国数学家彭加勒阿达玛等都作了大量的研究工作开拓了复变函数论更广阔的研究领域为这门学科的发展做出了贡献
复变函数论在应用方面涉及的面很广有很多复杂的计算都是用它来解决的比如物理学上有很多不同的稳定平面场所谓场就是每点对应有物理量的一个区域对它们的计算就是通过来解决的
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论它已经深入到和数论等学科对它们的发展很有影响
复变函数论的内容
复变函数论主要包括单值解析函数理论理论几何函数论理论广义解析函数等方面的内容
如果当函数的变量取某一定值的时候函数就有一个唯一确定的值那么这个函数解就叫做单值解析函数就是这样的函数
复变函数也研究理论是研究多值函数的主要工具由许多层面安放在一起而构成的一种叫做黎曼曲面利用这种可以使多值函数的枝和枝点概念在上有非常直观的表示和说明对于某一个多值函数如果能作出它的那么函数在离曼曲面上就变成
黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来关于的研究还对另一门数学分支有比较大的影响逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质
复变函数论中用几何方法来说明解决问题的内容一般叫做几何函数论复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明处处不是零的所实现的就都是共形映象共形映象也叫做保角变换共形在流体力学理论等方面都得到了广泛的应用
理论是复变函数论中一个重要的理论留数也叫做它的定义比较复杂应用理论对于积分的计算比起计算方便计算可以化为复变函数沿闭回路的积分后再用基本化为被积分函数在闭合回路曲线内部上求留数的计算当奇点是的时候计算更加简洁
把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充以满足实际研究工作的需要这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数广义解析函数所代表的的变化叫做拟保角变换解析函数的一些基本性质只要稍加改变后同样适用于广义解析函数
广义解析函数的应用范围很广泛不但应用在流体力学的研究方面而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用因此自2002年来这方面的理论发展十分迅速
从柯西算起复变函数论已有170多年的历史了它以其完美的理论与精湛的技巧成为的一个重要组成部分它曾经推动过一些的发展并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程2002年复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题所以它将继续向前发展并将取得更多应用介绍
一个较大的程序一般应分为若干个程序块每一个模块用来实现一个特定的功能所有的高级语言中都有子程序这个概念用子程序实现模块的功能在C语言中子程序的作用是由一个主函数和若干个函数构成由主函数调用其他函数其他函数也可以互相调用同一个函数可以被一个或多个函数调用任意多次
在程序设计中常将一些常用的功能模块编写成函数放在函数库中供公共选用要善于利用函数以减少重复编写程序段的工作量
许多中可以将一段经常需要使用的代码起来在需要使用时可以直接调用所以函数也可以说是许多代码的集合这就是程序中的函数比如在C语言中
int　max(int　x,int　y)//整数类型　最大(整数类型　x,整数类型　y)
return　(x&y?x:y);//返回(x&y?x:y)
就是一段比较两数大小的函数函数有参数与C++程序设计中的函数可以分为两类带参数的函数和不带参数的函数这两种参数的声明定义也不一样
带有一个参数的函数的声明
标示符+函数名+类型标示符+参数
// 程序代码
没有返回值且不带参数的函数的声明
void+函数名//无类型+函数名
// 程序代码
花括号内为
如果没有返回值类型名为&void&, 整数类型int 类型返回值为整数类型int,以此类推……
类型名有void int long float int* long* float* ……
C++中函数的调用函数必须声明后才可以被调用调用格式为函数名实参
调用时函数名后的小括号中的实参必须和声明函数时的函数括号中的形参个数相同
有返回值的函数可以进行计算也可以做为右值进行赋值
#include　&iostream&//#包含　&iostream.h&文件
using　namespace　//使用　命名　空间
int　f1(int　x,int　y)//整数类型　f1(整数类型　x,整数类型　y)
　int　z;//整数类型　z
　return　x+y;//返回　x+y;
void　main()//无类型　主函数()
　cout&&f1(50,660)&&endl//输出
max中文求最大数的函数
中文全称格式输入函数
中文全称格式输出函数
gets中文全称标准输入流函数
C语言库函数
C语言为了方便用户编写程序为用户开发了大量的库函数其定义在.h文件中用户可以调用这些函数实现强大的功能所以对于用户来说掌握这些函数的用法是提高编程水平的关键定义
设 ,当x在 的定义域Dφ中变化时 的值在 的定义域Df内变化因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系记为
称为复合函数其中x称为自变量μ为中间变量y为因变量(即函数)
任何两个函数都可以复合成一个复合函数只有当 的值域Zφ和 的定义域Df的交集不为空集时二者才可以复合成一个复合函数
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