要造一圆柱形体积油罐，体积为v,问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-06-21 18:55 标签： 圆柱形的体积计算公式
要造一个容积为V的圆柱形闭合油罐，问底半径r和高h等于多少时，使得表面积最小？_百度知道
要造一个容积为V的圆柱形闭合油罐，问底半径r和高h等于多少时，使得表面积最小？
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V=πr²h是一定的，所以h=V/(πr²)
S=2πrh+2πr²=2πrV/(πr²)+2πr²=2V/r+2πr²dS/dr=-2V/r²+4πr=0
解得 r=(V/(2π))^(1/3)h=V/(πr²)=2^(2/3)(V/π)^(1/3)
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要造一圆柱形油罐，体积为v,问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
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∵ V=πr*rh∴ S=2（πr*r）+2πrh=2πr（r+h）≥2πr*2√（rh）=4V/√（rh）
当且仅当r=h时，S取最小，为4V/√（rh）∴ 设r=h=x
4V/x=2πx*2x
V=πx*x*x∴ r=h=三次根号下V/π当S最小时d:h=2:1P.S. “√”后括号里的是开二次方根的。
过程用的是均值定理。扫二维码下载作业帮
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要造一个圆柱形水筒,体积为V,问底半径R和高H分别为多少时,才能使表面积最小
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V=sh=π*R^2*h 所以H=V/(∏R^2)表面积 S=2πR^2+2πRH=2π（R^2+RH）将上面的H与R 的关系式带入,得到一个关于R的函数 S=2π（R^2+V/πR） V和π都不是变量,实际上就是算式Y=R^2+1/R的最小值决定着圆柱的表面积.R大于0,实际上是类Y=X^2+1/x的不等式问题X＞0,Y=(X^2+1)/X=X+1/X≥2 ∴函数Y=X^2+1/X的最小值2(X=1时取得) 问题的关键是要照清楚数学模型,就是于此相关的函数
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