导读：粒子群优化算法(1)―粒子群优化算法简介，PSO算法就是模拟一群鸟寻找食物的过程，每个鸟就是PSO中的粒子，这个过程与粒子群算法作为对照如下：，这两个点就是粒子群算法中的粒子，计算两个点函数值就是粒子群算法中的适应值，计算用的函数就是粒子群算法中的适应度函数，更新自己位置的公式就是粒子群算法中的位置速度更新公式，下面演示一下这个算法运行一次的大概过程：，粒子群优化算法(2)―标准粒子群优化算法
粒子群优化算法(1)―粒子群优化算法简介
PSO算法就是模拟一群鸟寻找食物的过程，每个鸟就是PSO中的粒子，也就是我们需要求解问题的可能解，这些鸟在寻找食物的过程中，不停改变自己在空中飞行的位置与速度。大家也可以观察一下，鸟群在寻找食物的过程中，开始鸟群比较分散，逐渐这些鸟就会聚成一群，这个群忽高忽低、忽左忽右，直到最后找到食物。这个过程我们转化为一个数学问题。寻找函数y=1-cos(3*x)*exp(-x)的在[0,4]最大值。该函数的图形如下：
当x=0.0，达到最大值y=1.3706。为了得到该函数的最大值，我们在[0, 4]之间随机的洒一些点，为了演示，我们放置两个点，并且计算这两个点的函数值，同时给这两个点设置在[0, 4]之间的一个速度。下面这些点就会按照一定的公式更改自己的位置，到达新位置后，再计算这两个点的值，然后再按照一定的公式更新自己的位置。直到最后在y=1.3706这个点停止自己的更新。这个过程与粒子群算法作为对照如下：
这两个点就是粒子群算法中的粒子。
该函数的最大值就是鸟群中的食物。
计算两个点函数值就是粒子群算法中的适应值，计算用的函数就是粒子群算法中的适应度函数。
更新自己位置的公式就是粒子群算法中的位置速度更新公式。
下面演示一下这个算法运行一次的大概过程：
第一次初始化
第一次更新位置
第二次更新位置
第21次更新
最后的结果（30次迭代）
最后所有的点都集中在最大值的地方。
粒子群优化算法(2)―标准粒子群优化算法
在上一节的叙述中，唯一没有给大家介绍的就是函数的这些随机的点（粒子）是如何运动的，只是说按照一定的公式更新。这个公式就是粒子群算法中的位置速度更新公式。下面就介绍这个公式是什么。在上一节中我们求取函数y=1-cos(3*x)*exp(-x)的在[0, 4]最大值。并在[0,4]之间放置了两个随机的点，这些点的坐标假设为x1=1.5，x2=2.5；这里的点是一个标量，但是我们经常遇到的问题可能是更一般的情况―x为一个矢量的情况，比如二维z=2*x1+3*x22的情况。这个时候我们的每个粒子均为二维，记粒子P1＝(x11,x12),P2=(x21,x22),P3=(x31,x32)，......Pn=(xn1,xn2)。这里n为粒子群群体的规模，也就是这个群中粒子的个数，每个粒子的维数为2。更一般的是粒子的维数为q，这样在这个种群中有n个粒子，每个粒子为q 维。
由n个粒子组成的群体对Q维（就是每个粒子的维数）空间进行搜索。每个粒子表示为：xi＝（xi1,xi2,xi3,...,xiQ），每个粒子对应的速度可以表示为vi=(vi1,vi2,vi3,....,viQ)，每个粒子在搜索时要考虑两个因素：
1. 自己搜索到的历史最优值 pi ，pi=(pi1,pi2,....,piQ)，i=1,2,3,....,n；
2. 全部粒子搜索到的最优值pg，pg=(pg1,pg2,....,pgQ)，注意这里的pg只有一个。
下面给出粒子群算法的位置速度更新公式：
vik?1??vik?c1?rand()?(pbest?xik)?c2?rand()?(gbest?xik),
xik?1?xik?avik?1.
这里有几个重要的参数需要大家记忆，因为在以后的讲解中将会经常用到，它们是： ?是保持原来速度的系数，所以叫做惯性权重。c1是粒子跟踪自己历史最优值的权重系数，它表示粒子自身的认识，所以叫“认知”。通常设置为2。c2是粒子跟踪群体最优值的权重系数，它表示粒子对整个群体知识的认识，所以叫做“社会知识”，经常叫做“社会”。通常设置为2。rand()是[0,1]区间内均匀分布的随机数。a是对位置更新的时候，在速度前面加的一个系数，这个系数我们叫做约束因子。通常设置为1。这样一个标准的粒子群算法就介绍结束了。下图是对整个基本的粒子群的过程给一个简单的图形表示。
判断终止条件可是设置适应值到达一定的数值或者循环一定的次数。
注意：这里的粒子是同时跟踪自己的历史最优值与全局（群体）最优值来改变自己的位置预速度的，所以又叫做全局版本的标准粒子群优化算法。
粒子群优化算法(3)―标准粒子群算法(局部优化版本)
在全局版的标准粒子群算法中，每个粒子的速度的更新是根据两个因素来变化的，这两个因素是：1. 粒子自己历史最优值pi。2. 粒子群体的全局最优值pg。如果改变粒子速度更新公式，让每个粒子的速度的更新根据以下两个因素更新，A. 粒子自己历史最优值pi。B. 粒子邻域内粒子的最优值pnk。其余保持跟全局版的标准粒子群算法一样，这个算法就变为局部版的粒子群算法。
一般一个粒子i 的邻域随着迭代次数的增加而逐渐增加，开始第一次迭代，它的邻域为0，随着迭代次数邻域线性变大，最后邻域扩展到整个粒子群，这时就变成全局版本的粒子群算法了。经过实践证明：全局版本的粒子群算法收敛速度快，但是容易陷入局部最优。局部版本的粒子群算法收敛速度慢，但是很难陷入局部最优。现在的粒子群算法大都在收敛速度与摆脱局部最优这两个方面下功夫。其实这两个方面是矛盾的。看如何更好的折中了。
根据取邻域的方式的不同，局部版本的粒子群算法有很多不同的实现方法。
第一种方法：按照粒子的编号取粒子的邻域，取法有四种：1，环形取法 2，随机环形取法 3，轮形取法 4，随机轮形取法。
1环形2 随机环形
因为后面有以环形取法实现的算法，对环形取法在这里做一点点说明：以粒子1为例，当邻域是0的时候，邻域是它本身，当邻域是1时，邻域为2，8；当邻域是2时，邻域是2，3，7，8；......，以此类推，一直到邻域为4，这个时候，邻域扩展到整个例子群体。据文献介绍（国外的文献），采用轮形拓扑结构，PSO的效果很好。
第二种方法：按照粒子的欧式距离取粒子的邻域
在第一种方法中，按照粒子的编号来得到粒子的邻域，但是这些粒子其实可能在实际位置上并不相邻，于是Suganthan提出基于空间距离的划分方案，在迭代中计算每一个粒子与群中其他粒子的距离。记录任何2个粒子间的的最大距离为dm。对每一粒子按照||xa-xb||/dm计算一个比值。其中||xa-xb||是当前粒子a到b的距离。而选择阈值frac根据迭代次数而变化。当另一粒子b满足||xa-xb||/dm&frac时，认为b成为当前粒子的邻域。
这种办法经过实验，取得较好的应用效果，但是由于要计算所有粒子之间的距离，计算量大，且需要很大的存储空间，所以，该方法一般不经常使用。
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中英文资料对照外文翻译文献综述
文献名称（中文）
扩展的粒子群算法与经典优化算法的比较：
一个关于静止同步补偿器放置问题的案例研究
文献名称（外文）
Comparison of Enhanced-PSO and Classical Optimization
Methods: a case study for STATCOM placement
作者： Yamille 哈利和罗纳德德尔
起止页码：1-31
出版日期（期刊号）：
出版单位：中国科学出版社
概要―这篇论文证实了一种扩展的粒子群优化算法用于一个动力系统中解决柔性交 流输电系统设备的优化配置问题的有效性。在进行关于静止同步补偿器设备优化配置的 一项简单且符合实际的案例研究中，就稳态和经济指标而言，粒子群优化算法的性能可 以和经典优化算法相比较。这篇论文也谈及了在文章中易于被忽视的概念和细节，因为 优化算法的选择在很大程度依赖于这些概念和细节。 关键词：柔性交流输电系统，经典优化，奔德斯分解，分支定界，进化，计算技术，粒 子群优化 Ⅰ、简介
柔性交流输电系统的优化配置概念还处在一个相对早期的调查阶段。目前还没有一
个被普遍接受的方法，许多研究人员都声称他们的方法比其他人的方法更好。鉴于在这 个领域中不同方法之间的一个比较，特别是在经典方法和准启发式方法之间，判断哪一 种方法性能最好已经变得很困难，因为每一种研究方法集中于不同的问题方程、系统规 模大小以及操作条件。 这篇论文为经典算法和准启发式算法的性能比较提供了一个共同的背景。特别是在
奔德斯分解算法，分支定界算法(B&B)和扩展的粒子群优化算法，而粒子群优化方法被 证实比其它的准启发式技术更加有效。一项基于稳态和经济指标的简单且符合实际的优 化静止同步补偿器配置(一种柔性交流输电系统设备)的案例研究被用来作为一个诠释的 例子它更重要的表明这篇论文不是为了寻找某种特定问题的一种解决办法，而是为了阐 述古典确定性方法和准启发式技术之间的差别以及对在文章中易于被忽视的优化过程的
重要细节作出评论：离散优化问题，理解性凸性假设条件下(不仅仅应用于目标函数),关
于局部最优与全局最优问题的探讨(一种给定的目标函数)。
这篇论文接下来的部分如下：优化背景(第二部分)，不应该被忽视的概念和问题(第 三部分)，问题描述(第四部分)，优化算法(第五部分)，模拟结果(第六部分)，结束性评语 (第七部分)。 Ⅱ、背 景
优化技术常被用来解决能够主要被分成两组的柔性交流输电系统设备的优化配置问
题：组成了主要的进化计算技术的经典方法和准启发式算法，第三种可选择的方法，例 如模态方法也可以考虑。然而，这些方法主要是基于技术的可行性而不是去寻找最优化 解决办法。
A、经典优化技术
在论文中，这个问题应用了两类经典优化方法：(1)混合型整数线性规划和(2)混合型
非整数线性规划。 一方面，混合型整数线性规划就像名称所说的那样需要的条件就是所有的变量是整 数。这样，这种方法只能和直流功率流结合在一起使用。解决混合型线性整数方程问题 的主要算法是奔德斯分解算法，分支定界法和格莫瑞流割算法。另一方面，混合型非线 性整数方程需要考虑到目标函数和约束条件的使用。这样，交流功率流就可以用于这个 案例。解决混合型非整数线性规划问题被利用的最为广泛的算法是奔德斯算法。不幸的 是，依赖系统参数的问题的规模和非凸性是可能引起收敛问题的关键。
B、准启发式技术
计算技能的基础技术，例如遗传学算法(GA)、粒子群优化算法(PSO)、模拟退火算法
(SA)、禁忌搜索算法(TS)和进化规划算法(EP)都是可以选择用来解决优化问题的方法。 候选解决方案在一定人口的个体中起着重要作用，最佳费用函数决定了解的存在条
件。人类进化就发生了，经过生物和社会运营商的反复应用，就取得了最佳方案
通常，欧洲学分转换系统很适合解决混合型非整数线性规划，然而这些方法的可扩
展性需要进一步的验证。
Ⅲ、优化方法：概念和问题
A、离散优化问题
一种常见的错误观念就是从优化的角度来说柔性交流输电系统设备的优化配置问题
并不具有挑战性，因为这是一个离线问题。一些人认为这个解决方案就像同时安排一定
数量的计算机并让它们运行一样简单。成功的关键在于找到所有可能的解决方案，那么 最优方案肯定在已找到的方案中取得。 事实是甚至当一种解决办法在理论上可能对任何一个系统起作用时，而在实践 中随 着系统规模的扩大和目标函数变得更加复杂(瞬态性能是评价计算密集型的)，找到问题的 解决方案所需要的计算量会增加得非常迅速。如果也需要满足 N-1 或 N-2的可能性规则， 或者增加系统的随机因素和不确定性因素，仅仅评估案例的数量也会变得难以估量。 因此，对应用到系统规划问题中的优化算法进行研究，例如柔性交流输电系统的配 置问题就变得非常重要。
B、凸性假设
就目标函数而言，凸性是被主要分析的概念：如果目标函数是严格凸的，那么就可以 确保有一个唯一最优解。
图 3-1 全局极值与局部极值
这一特点是可取的，但是在动力系统中几乎就没有发生。大多数情况下，目标函数 的图形类似于图形(3-1.b)中的函数。结果是梯度下降法往往受到局部极值的限制。在这些
情形下，必须考虑到采用往搜索算法中加入随机因素的特殊办法。
凸性假设问题也可应用到可行域中。例如在线性规划问题中，如果可行域就像下图
3-2.a(图形 3-2.b 与图形 3-2.a 作为对比)中一样是凸集，那么就可以找到最优解(用单纯形 法或者内点法)。
图 3-2 可 行 域 的 凸 性
最糟糕的情况出现在图 3-2.c 中，在图 3-2.c 中，可行域由有上下界的决策变量所确
定的有限区域的几个分散的白色小区域组成 。分别为变量var1和变量var2 :(黑色区域)
把技术约束问题强加到动力系统中时，论文后面所展示的图形类型很具有代表性 。在这
种情形下，优化算法应该有有效的效益勘探机制 ，以便能够快速找到可行方案 。因此， 在不可行域中只耗费最小的计算量。
C、全局优化
另一个方面，在论文中容易被忽视的就是对全局变量和局部变量的探讨。与通常观 点不同的是，这个主题跟应用到动力系统中的不同目标函数中的值并没有关系。文中指 出对于一个给定的目标函数问题可能有唯一的最优解，这样局部最优解也是全局最优解 (图 3-1.a)或者这个问题也有多个局部最优解和一个全局最优解。在后者图 3-1.b 中第一 个白色星号表示 a 到 b 区间上的最小值，第二个白色星号表示b 到c 区间上的最小值。 黑色星号表示在整个 a 到 d 区间上的全局最小值。 这样看来似乎前面介绍的概念都是多余的，然而，一旦一种优化算法能够提供了一 个解决方案，但在通常情况下，都不能保证这种优化算法的性能。证实全局最优解能够 取得仅仅是在线性规划问题这种特殊的条件下。就混合型非整数线性规划问题而言，如 果没有局部极值条件的限制，能够找出全局最优解的每一种算法的性能需要分别加以研 究。
Ⅳ、问 题 描 述
需要解决的问题由一个 45 路公交系统中大量卫星部件的优化配置(车牌号)和额定功
率(机械震荡分析)组成。而这些问题只是巴西电网中的一部分(图 4-1)。
图 4-1 在巴西电力系统中 45 路公共汽车部分路线图
主要目标是在电力系统中以最低费用使得母线电压偏差最小化，选择这个客观标准
和特殊的电力系统的原因是：(1)电力系统不是很大，因此进行详细地搜索能够找到全局 最优解。(2)问题有一个减少的、分散的和非凸性可行域。(3)如果瞬态分析也包括在内的 话，稳态标准仅仅被用来避免不符合要求的点。 A、目标函数 考察两个目标：(1)使在系统中的电压偏差最小。(2)使费用最低。这样在(4-1)和(4-3) 中定义两个变量 J1和 J 2 .
在(4-1)中 J1是电压偏差的度量指标。在总线 k 中，在(4-1)中 J1 是电压 偏差的度量指标在总线 k 中是各个电压值，N 是总线数目。 总费用函数Ctotal 由两个 部分组成：在系统中被组装的每个部件的固定费用和与每个 部件大小相关的线性函数 形成的可变费用。
Ctotal(M)?Cf?M?Cv???
在(4-2)中， M 表示待分配部件的数目， C f 是每个部件的固定费用Cv 是每次机器运
行的费用。
由于 C f &&Cv , 在目标函数中，能够很方便地将最佳费用函数的每个术语规范化。
Cf?MmaxCv???p?p?1M
Cv?Mmax??maxMp?1??
（3） Mmax?ax_MVA??Mp
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