ch1_2-2数列极限存在准则_百度文库
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高等数学经典PPT
D1_2数列的极限|配​套​《​高​等​数​学​》​教​材​
​
​版​本​：​第​六​版​ ​
​
​作​者​：​同​济​大​学​数​学​系​ ​
​
​出​版​社​：​高​等​教​育​出​版​社​ ​
​
​版​次​：​第​六​版​ ​
​
​I​S​B​N​：774227​8
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＞＞＞已知x1＞0，x1≠1，且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1，（n=1，2，…）．试证：数列..
已知x1＞0，x1≠1，且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1，（n=1，2，…）．试证：数列{xn}或者对任意自然数n都满足xn＜xn+1，或者对任意自然数n都满足xn＞xn+1．
题型：解答题难度：中档来源：不详
证：首先，xn+1-xn=xn(x2n+3)3x2n+1-xn=2xn(1-x2n)3x2n+1，由于x1＞0，由数列{xn}的定义可知xn＞0，（n=1，2，…）所以，xn+1-xn与1-xn2的符号相同．①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1-xn2＞0（n∈N）显然，n=1时，1-x12＞0设n=k时1-xk2＞0，那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2＞0，因此，对一切自然数n都有1-xn2＞0，从而对一切自然数n都有xn＜xn+1②若x1＞1，当n=1时，1-x12＜0；设n=k时1-xk2＜0，那么当n=k+1时1-x2k+1=1-[xk(x2k+3)3x2k+1]2=(1-x2k)3(3x2k+1)2＜0，因此，对一切自然数n都有1-xn2＜0，从而对一切自然数n都有xn＞xn+1
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据魔方格专家权威分析，试题“已知x1＞0，x1≠1，且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1，（n=1，2，…）．试证：数列..”主要考查你对&&数学归纳法证明不等式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数学归纳法证明不等式
归纳法的定义：
由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，称为归纳法。 数学归纳法证明不等式的步骤：
（1）证明当n取初始值n0（例如n0=0，n0=1等）时不等式成立； （2）假设当n=k（k为自然数，k≥n0）时不等式成立，证明当n=k+1时不等式也成立。
对数学归纳法的理解：
（1）数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确。（2）运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．
发现相似题
与“已知x1＞0，x1≠1，且xn+1=xn(x2n+3)3x2n+1，（n=1，2，…）．试证：数列..”考查相似的试题有：
827450395831265052887621754495819549递归数列 斐波那契数列 递归 不动点递归数列 数学归纳法课件 数学归纳法典型例题 ..
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点列、递归数列和数学归纳法
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点列、递归数列和数学归纳法
★★★高考在考什么　　【考题回放】　　1．已知数列{ an }的前n项和为Sn，且Sn=2(an -1)，则a2等于(
D. -2　　2．在数列中，，且，则
35 ．　　3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=__2 n+1-3___.　　4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　2n+1-2
. 　　5．已知n次式项式.　　若在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P10（x0）的值共需要
次运算.　　下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，...，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要
　　6．已知函数f (x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.　　求证：当n时，
x 　　（Ⅱ）.　　【专家解答】(I ) 证明：因为　　所以曲线在处的切线斜率　　即和两点的直线斜率是 以.　　（II）因为函数，当时单调递增，　　而，　　所以，即
因此　　又因为
则　　因为
所以　　因此
★★★高考要考什么　　【考点透视】
本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．　　【热点透析】　　高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：　　（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、
推理与综合能力．　　（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．
★★★突破重难点　　【范例1】已知数列中，对一切自然数，都有且　　．　　求证：(1)；　　
(2)若表示数列的前项之和，则．　　解析： (1)由已知得，　　又因为，所以, 因此，即．　　(2) 由结论(1)可知
，即，　　于是，　　即．　　【点睛】从题目的结构可以看出，条件是解决问题的关键，必须从中找出和的关系．　　【文】记　　
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；　　
（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和　　解析（I）　　整理得　　　　（Ⅱ）由　　所以　　　　　　【范例2】设数列的前项的和，　　（Ⅰ）求首项与通项；　　（Ⅱ）设，，证明：　　解析
(Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，...
　　得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.　　再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,...　　将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),
n=2,3, ...　　整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, ..., 因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即an+2n = 4×4 n－1= 4 n, n=1,2,3, ..., 因而an=4n－2n, n=1,2,3, ...　　(Ⅱ)
Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 +
= ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1)
Tn= = × = ×( － )
= ×( － ) < 　　【点睛】Sn与an始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧．　　【文】设数列的前n项和为Sn，若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.　　（１）求数列的通项公式（用S1和q表示）；　　（２）试比较的大小，并证明你的结论.　　解析 （１）∵是各项均为正数的等比数列， ∴．　　当n=1时，a1=S1；
当．　　∴　　（２）当n=1时，　　 ∴．　　当时，　　　　∵　　①当q=1时，　　②当　　③当　　综上可知：当n=1时，．当　　若
若　　【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列{ Pn}}.　　求：（Ⅰ）的关系式；　　 （Ⅱ）数列的通项公式；　　　　（Ⅲ）当时，的极限位置的坐 　　解析 （Ⅰ）由题得
　　过点P1（的切线为　　过原点 　　又过点Pn（的　　因为过点Pn-1（
　　整理得
　　（Ⅱ）由（I）得 　　所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列　　　　（法2）通过计算再用数学归纳法证明.　　（Ⅲ）
的极限位置为（　　【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．　　【文】数列的前项和为，已知　　（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；　　（Ⅱ）设，求数列的前项和．　　解析 由得，　　即，所以，对成立．　　由，，...，　　相加得，又，所以，　　当时，也成立．　　（Ⅱ）由，得．　　而，　　，　　.　　【范例4】设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：　　 x1＝1，点P2 (x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，...，点在抛物线：y＝x2＋an x＋bn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．　　 (Ⅰ)求x2及C1的方程．　　 (Ⅱ)证明{}是等差数列．　　解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0),
C1：y=x2-7x+b1.　　设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|=　　令f (x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2, 则　　由题意得, 即　　又P2(x2,0)在C1上,
∴2=x22 -7x2+b1　　解得x2=3, b1=14. 故C1方程为y=x2-7x+14.　　(Ⅱ)设P(x,y)是C1上任意一点,则
|AnP|=　　令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则,　　由题意得,,即=0,　　又∵,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1),　　即(1+2n+1)xn+1- xn+2 n an =0,
(*)　　下面用数学归纳法证明xn=2n-1.　　① 当n=1时,x1=1,等式成立.　　② 假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.　　　　则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0,
(*)　　　　又ak=-2-4k-,∴.　　　　即当n=k+1,时等式成立.　　由①②知,等式对n∈N+成立,∴{xn}是等差数列.　　【点睛】注意第（1）小题其实是第（2）小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段．　　【文】已知数列满足　　（I）证明：数列是等比数列；　　（II）求数列的通项公式；　　（II）若数列满足证明是等差数列．　　解析 （I）证明：
　　　　是以为首项，2为公比的等比数列．　　（II）解：由（I）得　　
　　　　（III）证明：
　　　　　　　　　　 ①　　　　②　　②－①，得　　即　　　 　③　　　　　　　④　　④－③，得
是等差数列．
★★★自我提升　　1. 设数列的前n项和为，令，称为数列，，...，的"理想数"，已知数列，，...，的"理想数"为2004，那么数列2， ，，......，的"理想数"为（A）
(D) 2008 　　2. 数学拓展课上，老师定义了一种运算"*"，对于n∈N*满足以下运算性质：
(1) 2*2 = 1，(2) ( 2n + 2) * 2 = 3(2n * 2)．则2n*2用含n的代数式表示为 3n-1_　　3. 若数列{an}满足若，则的值为（
(D) 　　4. 弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛，使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有(B)
（D）11颗　　5. 一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是（ C）　　（A）P(3)=3
（B）P(5)=1
（C）P(101)=21
（D）P(103)<P(104)　　6. 已知函数f(x) = 2x2－x,则使得数列{}(n∈N+)成等差数列的非零常数p与q所满足的关系式为
.p=-2q　　7. (理) 已知x轴上有一点列：P1(x1,0), P2(x2,0), ...,Pn(xn,0),...点Pn+2 分有向线段所成的比为λ，其中n∈N*，λ>0为常数，x1=1, x2=2.　　（1）设an=xn+1－xn，求数列{a n}的通项公式；　　（2）设f (λ)=x n，当λ变化时，求f (λ)的取值范围.
解析 （1）由题得
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴　　　∴当λ>0时
　　(文) 设曲线与一次函数y＝f（x）的图象关于直线 y＝x对称，若f (-1)=0，且点 在曲线上，又a1= a2．　　（1）求曲线C所对应的函数解析式；　　（2）求数列{a n}d的通项公式．　　解析：（1）y＝x-1
(2) a n＝（n－1）！　　　　8．（理）过P（1，0）做曲线C：y=xk(x?(0,+?),k?N+，k>1)的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，...，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、...、Qn的横坐标为an，求证：　　（Ⅰ）数列{an}是等比数列；　　
（Ⅱ）；　　
（Ⅲ）　　解：（Ⅰ）若切点是，　　则切线方程为　　当时，切线过点P（1，0）即得　　当时，切线过点即得　　∴数列是首项为，公比为的等比数列. ...6分　　（Ⅱ）　　 　　（Ⅲ）记，　　则　　两式相减　　　　（文）已知曲线C：xy=1，过C上一点作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点列的横坐标构成数列{}，其中．　　（1）求与的关系式；
（2）求证：{}是一等比数列.　　解析：（1）过C：上一点作斜率为的直线交C于另一点，　　则，于是 ．
　　（2）记，则　　，　　因为，　　因此数列{}是等比数列．???????? 永久免费组卷搜题网 永久免费组卷搜题网
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