?x1?xr?0,?x?x?0,?12；??????xr?1?xr?0．；该方程组的系数行列D为；100?01110?00D?；011?00；?2,r为奇数；；?1?(?1)r?1??；???????0,r为偶数.000?10000?；当r为奇数时D?0，方程组只有零解，即b1,b2；5．已知a1,a2,?,ar线性无关，且b1?a；b1,b2,?,br线性
?x1?xr?0,?x?x?0,?12
??????xr?1?xr?0．
该方程组的系数行列D为
100?01110?00D?
?2, r为奇数；
?1?(?1)r?1??
???????0, r为偶数.000?10000?11
当r为奇数时D?0，方程组只有零解，即b1,b2,?,br线性无关；当r为偶数时D?0，方程组有非零解，即b1,b2,?,br 线性相关．
5．已知a1,a2,?,ar线性无关，且b1?a1，b2?a1?a2，…，br?a1?a2???ar，证明
b1,b2,?,br线性无关．
?b1??1???b21
????????b????r??1
0?0??a1??1
1?0??a2??1
???????1?1???ar??1
0??0????1??
可逆，即 ???1??
????a2???1????????a????r??1
?b1????b2?． ?????b???r?
从而a1,a2,?,ar与b1,b2,?,br等价，于是得a1,a2,?,ar线性无关．
6．设有两个n维向量组A:
其中i?1,2,?,m，ai?(ai1,ai2,?,ain)，B:bi?(aip1,aip2,?,aipn)，
而p1p2?pn是1,2,?,n这n个自然数的某个排列，证明向量组A与向量组B的线性相关性相同．
证明 令x1a1?x2a2???xmam?0，即
?a11x1?a21x2???am1xm?0,
?ax?ax???ax?0,?m
????????????a1nx1?a2nx2???amnxm?0，
上下交换方程，可得
?a1p1x1?a2p1x2???amp1xm?0,?
?a1p2x1?a2p2x2???amp2xm?0,
???????????
?ax?ax???ax?0．
mpnm?1pn12pn2
即x1b1?x2b2???xmbm?0．因为x1a1?x2a2???xmam?0与x1b1?x2b2???xmbm?0同解，所以
a1,a2,?,am与b1,b2,?,bm的线性相关性相同．
7．m个r维向量的每个向量添上n?r个分量，成为m个n维向量．若m个r维向量线性无关，证明
m个n维向量亦线性无关．
证明 设有m个r维向量
?a11??a12??a1m???????a1????,a2????,?,am????，
?a??a??a??r1??r2??rm?
因为a1,a2,?,am线性无关，所以当
x1a1?x2a2???xmam?0
时，有且仅有x1?x2???xm?0，即方程组
?a11x1?a12x2???a1mxm?0,?
??????????
?ax?ax???ax?0
rmm?r11r22
只有零解，从而方程组
?a11x1?a12x2???a1mxm?0,
????????????
?ar1x1?ar2x2???armxm?0, ?????????????an1x1?an2x2???anmxn?0
也只有零解．令
?a11??a12??a1m????????????????b1??ar1?,b2??ar2?,?,bm??arm?，
????????????????a??a??a??n1??n2??nm?
则当x1b1?x2b2???xmbm?0时，有x1?x2???xm?0，所以b1,b2,?,bm线性无关．
8．判别下列向量组的线性相关性． (1)
(1,1,0)，(0,1,1)，(3,0,0)；
(1,1,3)，(2,4,5)，(1,?1,0)，(2,2,6)； (3)
(2,1)，(3,4)，(?1,3)；
(2,?1,7,3)，(1,4,11,?2)，(3,?6,3,8)； (5)
(1,0,0,2)，(2,1,0,3)，(3,0,1,5)．
解 （1） 因为
?3?，所以（01，1，0），（0，1，1），（3，0，0）线性无关． 3
（2） 4个3维向量一定线性相关． （3） 3个2维向量也一定线性相关． （4） 因为
13??1?46??2
?????14?601?1????， A??
????3?28????000??????
所以R(A)?2，所以向量组的秩也等于2，故3个向量线性相关．
（5） 因为在矩阵A??2103?中，有一个3阶子式210?1?0，所以3个向量线性无关．
9．利用初等行变换，求下列矩阵的列向量组的最大无关组．
???12048????25
?75?(a1,a2,a3,a4)??75??25?
解（1） 因为
????????，
????0012????0000??????
所以a1,a2,a3或a1,a2,a4是最大无关组．
（2） 因为
?1?0??a1,a2,a3,a4,a5???2??1?
???04?1???0
所以a1,a2,a3或a1,a2,a4或a1,a2,a5是最大无关组．
10．求下列向量组的秩，并求一个最大无关组．
?1??9???2?
??????2100?,a???4?； （1）a1???,a2????1??10?3?2?????4???4????8?????????1??4??1???????2?1?3??????（2）a1?． ,a?,a?
?1?2??5?3??4?????3????6????7????????
解（1） 因为
???2100?40???A?(a1,a2,a3)????1102??0???4???4?8???0
所以向量组的秩等于2．a1,a2或a2,a3都是最大无关组．
（2） 因为
???2?1?30???A?(a1,
a3)???1?5?4??0??3?6?7???????0
1??5?， 0??0??
所以向量组的秩等于2．a1,a2或a1,a3都是最大无关组．a2,a3也是最大无关组．
11．已知n维单位坐标向量e1,e2,?,en可由n维向量组a1,a2,?,an线性表示，证明a1,a2,?,an线性无关．
证明 因为e1,e2,?,en可由a1,a2,?,an线性表示，所以e1,e2,?,en的秩小于或等于
a1,a2,?,an的秩，即a1,a2,?,an的秩大于或等于n，从而可得a1,a2,?,an的秩等于n．故a1,a2,?,an线性无关．
12．证明n维向量组a1,a2,?,an线性无关的充分必要条件是，任一n维向量都可由a1,a2,?,an线性表示．
证明 必要性．已知a1,a2,?,an线性无关，又对于任意n维向量a，有a1,a2,?,an,a线性相关，所以a可以a1,a2,?,an线性表示（且表示式惟一）．
充分性．根据已知可得，e1,e2,?,en可由a1,a2,?,an线性表示，所以由11题可知，
a1,a2,?,an线性无关．
13．向量组
?1,?2,?,?s的秩为r1，向量组??,??,?,?t的秩为r2，向量组
?1,?2,?,?s???,??,?,?t的秩为r3，证明max{r1,r2}?r3?r1?r2．
?1,?,?s可由?1,?,?s,?1,?,?t线性表示，又?1,?,?t也可由
?1,?,?s,?1,?,?t线性表示，所以得r1?r3且r2?r3，即max{r1,r2}?r3．
设?1,?,则?1,?,
?s的最大无关组为?n1,?n2,?,?nr，?1,?,?t的最大无关组为?m1,?m2,?,?mr，
?s，?1,?,?t可由?n1,?n2,?,?nr,?m1,?m2,?,?mr线性表示，所以r3?r1?r2．
14．设A,B是同型矩阵， 证明R(A?B)?R(A)?R(B)． 证明
将同型矩阵Am?n，Bm?n表示为
A?(a1,a2,?,an),B?(b1,b2,?,bn)
则A+B?(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)．因为a1?b,,2a,n?bn可由a1,a2,?,an，1a?2b?
b1,b2,?,bn线性表示，所以a1?b1,a2?b2,?,an?bn的秩小于或等于a1,a2,?,an，b1,b2,?,bn的
秩．又根据13题可知，a1?b1,a2?b2,?,an?bn的秩小于或等于a1,a2,?,an的秩与b1,b2,?,bn的秩之和，所以R(A?B)?R(A)?R(B)．
15．判别下列向量集合V是否为向量空间？为什么？ (1) V?{x?(x1,?,xn)|
?x?0;x?R,i?1,2,?,n}；
(2) V?{x?(x1,?,xn)|
?x?1;x?R,i?1,2,?,n}；
(3) V?{x?(x1,?,xn)|x1???xi?R,i?1,2,?,n}． 解 （1）V是向量空间．因为任取?,??V，
包含各类专业文献、高等教育、行业资料、文学作品欣赏、生活休闲娱乐、4第四章向量组的线性相关性习题解答89等内容。　
　密封线内不准答题※※※ 练习卷四(A 卷)第四章 向量组的线性相关性 专业 一、填空题(本大题共 4 个小题,每空 5 分,共 25 分) 1.设向量组 ?1 ? ... 　线​性​代​数第四章 向量组的线性相关性目标测试题 向量组的线性相关性目标测试题 (参考答案) 参考答案) 一、填空题. 填空题 1. 设向量组 α1 = ... 　第4章 向量组的线性相关性 复习题_理学_高等教育_教育专区。人大版 复习题第4 章 向量组的线性相关性 复习题 1、设 v1 = (1,0) ,v 2 = (0, ) ... 　第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量 定义 1 n 个有次序的数 a1 ,...例 9 (E05) 判断向量 ? 1 ? (4,3,?1,11) T 与 ? 2 ? (4,3,0... 　4向量组的线性相关性_数学_自然科学_专业资料。第四章 向量组的线性相关性 本章不仅要讨论向量组的有关理论,建立向量组秩的概念,还要沟通矩阵的秩与向量组的秩... 　第四章 向量组的线性相关性 1.设 v1 = (1, 1, 0)T , v 2 = (0, 1, 1)T , v 3 = ( 3, 4, 0)T , .求 v1 ? v 2 及 3v1 + 2... 　课程单元自测题 第四章 向量组的线性相关性 ( 2、设α 1 = (1, 0, 1) T , α 2 = (2, 1, 0)T , α 3 = (0, 1, 1) T , α 4 = (... 　4、向量组的线性相关性_理学_高等教育_教育专区。线性代数 一、选择题 1.设 ...第四章 向量组的线性相关... 101页 1下载券
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【精品】向量组的线性相关性和矩阵的秩练习题答案【大学数学】
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官方公共微信向量组的线性相关性证明方法初探--《教育教学论坛》2015年16期
向量组的线性相关性证明方法初探
【摘要】：向量组的线性相关性是线性代数中一个非常重要的概念,判断给定向量组尤其是分量没有具体给出的向量组的线性相关性是学生学习的一个难点。将证明向量组线性相关性的方法串联起来,是学生解决这类问题的关键。
【作者单位】：
【关键词】：
【基金】：
【分类号】：O151.2-4;G642【正文快照】：
向量组的线性相关性理论是线性代数理论的重要组成部分,它贯穿于线性代数课程的始终,线性代数中许多重要概念都离不开它,是线性代数教学的重点与难点。学生在初学这一概念时常常感到不易理解,尤其是遇到有关向量组线性相关性的证明,更是一头雾水,我们的教材中按照知识结构的顺
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线性代数关于向量组的线性相关性比如a1(1,1,3,1) ,a2(3,1,2,4),a3(2,2,7,1)求它们线性是否相关是要把他们组合成一个矩阵A(a1,a2,a3)这个矩阵该怎么排?是（1131 还是（1322271 ） 327141）?
判断a1,a2,a3是否线性相关,只要找到k1,k2,k3不全为0,使得k1a1+k2a2+k3a3=0即可.由于是使用矩阵的初等行变换,所以排成3行4列矩阵,你左边是正确的.你的题肯定线性无关.
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向量组的线性相关习题
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