三角函数(3、4)_百度文库
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三角函数(3、4)
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你可能喜欢双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？
原谅一个正在啃高数的菜鸟高考结束党，真的不是作业……手头上的是《高等数学》（清华大学出版社，2008 年出版），P14 提到了双曲函数与反双曲函数。不仅从 wiki 上暧昧地描述“与常见的三角函数类似的函数”，而且从符号上看，它一定与三角函数有某种不可告人的关系……除了与三角函数的关系之外，其实题主更想知道它的历史渊源。即当初是为了解决什么问题而提出（发明）的 ？题主查过 wiki 和手头不多的数学书，都没有结果。谢谢！
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邀，前面的人好像讲的都差不多了，我就来讲讲故事吧.双曲函数最早是出现在悬链线的研究之中.悬链线就是一个固定项链的两段，在重力场中让它自然垂下，项链的曲线方程.这个就是当年雅克比·伯努利曾提出的著名悬链线问题，在这之前伽利略也注意到了悬链线这个东西，当时他猜是抛物线，后来惠更斯（这时候17岁）证明了伽利略猜错了，但是他也算不来。问题提出后第二年第莱布尼兹跟惠更斯（他这个时候已经62岁了哦~）还有约翰·伯努利（雅克比他弟）各自得到了正确的答案.当年他们用的就是刚刚诞生没多久的微积分，把这个问题转化成了求解一个二阶常微分方程，借这个方程就得到了悬链线.写到这里，我就再扯扯这两个伯努利的好玩的事情，我们之前说了约翰·伯努利解决了悬链线问题，后来雅克比就去证明了“悬挂于两个固定点直接的同一条项链，在所有可能的形状中，悬链线的重心是最低的，具有最小势能”.在伯努利家族里他两兄弟间不止一次相互争强好胜，不断争吵……（其实现在看着也觉得他们这样好好玩）这个悬链线的方程就是（不过当年还没被发现）方程的推导有兴趣的可以看插一段，我想到了当年法布尔在《昆虫记》里还有过这样一段呢 (?????) “每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了。当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线。这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状；这就是一张被风吹鼓起来的船帆外形的那条线条，这就是母山羊耷拉下来的乳房装满后鼓起来的弧线。而这一切都需要e这个数。””……这个奇妙的数e又出现了，就写在蜘蛛丝上。在一个浓雾弥漫的清晨，让我们检视一下夜间刚刚织好的网吧。粘性的蜘蛛丝，负著水滴的重量，弯曲成一条条悬链线，水滴随著曲线的弯曲排成精致的念珠，整整齐齐，晶莹剔透。当阳光穿过雾气，整张带著念珠的网映出彩虹般的亮光，就像一丛灿烂的宝石。e这个数是多么地辉煌！"哈哈，我们回来！当时，就是我们的双曲余弦函数为什么叫它双曲函数呢，当然是它们跟双曲线有关系咯.最早注意到双曲函数跟圆函数（就是三角函数）的类推关系的人是意大利数学家V.Riccati.他引入了记号，，发现了双曲正弦函数与双曲余弦函数之和就是指数函数后来他又进一步发现.我们知道圆函数（三角函数）就是通过单位圆进行定义的：所以呢，双曲函数就以类似的方法对双曲线上的点进行定义：既然问到了和三角函数有什么关系，那就再说所这个吧在圆里面，这个在圆里面，这个是上图中线段OP与轴正向所成的夹角，但是在双曲函数里，这个并不能解释为一个夹角。这里给出这个的一个几何含义，你会发现圆函数和双曲函数还是有关联的。注意到，在圆函数中，参数也可以角宽度数，半径为1的圆扇形面积的两倍其实在双曲函数里面，这个也有类似的含义，只是我们可以用一个双曲扇形来替代这个圆扇形如上图，如上图，这个积分，我们进行一个换元，然后就能算到了，这个参数就是双曲扇形面积的两倍，这与圆函数的形式就是相似的.（这个是文森佐·黎卡提最先注意到的），后来就给这个取名叫.对于圆函数和双曲函数来说，他们之间有很多的相似的地方，像奇偶性，加法公式，微分公式和积分公式.但是三角函数具备周期性，而双曲函数没有这种性质.我们发现圆函数和双曲函数有这么多的平行类推关系，但是他们的重要性和在数学中的地位应该相似，但是其实不是这样。主要是因为圆是一个封闭曲线，周而复始，所以圆函数也是一个周期函数。所以很适合研究周期现象。后来还发展出傅里叶分析.而双曲函数就没有这么漂亮的性质，但是，从悬链线，繁衍几何和双曲几何（非欧几何），都还是应用到了双曲函数.然后，在复变里三角函数和复数指数函数相关联，我们还可以发现双曲正弦或双曲余弦，在结构上和正弦和余弦的表达形式差不多.也就是最高票答案给出的这样一看，双曲函数在复变里就有周期（2πi）了呢，多漂亮~嗯，答案里的图片均是另一个答案也提到的这本书里直接截下来的，这本书还是可以看看的.以及双曲函数不仅是在悬链线中出现的，在拉普拉斯方程里也有，这个我估计说不好，有兴趣的可以看看.明明是想写成好玩的故事的，没想到最后写成这样子，怪不得今天导师说我写的论文像是在写作业，哎，我去写！作！业！了("▔□▔)/天，发现我回答的题目里面最长的一个答案了，我要给自己撒花*★,°*:.☆\(￣▽￣)/$:*.°★*
谢邀 。由于 的答案十分翔实全面，因此本答案在内容上不免与其有所重合，见谅。本答案为逗比版，请大家去看认真版，谢谢！-------------------------------------------------------------------------------------------小方一回家就把书包扔到地上，数学君笑嘻嘻地凑了过来：「今天又学什么了？」「双曲函数。」小方说，「看着和三角函数长得特别像，关系乱七八糟的搞不清。还有，这玩意是谁研究出来的啊？有用吗？」「哈哈！」数学君笑了，「当然有用了，而且和三角函数的关系非常密切。」「有多密切？」「比你能想到的还要密切。」数学君卖了个关子，这才娓娓道来：「双曲函数最早的研究是悬链线。关于悬链线的问题是达芬奇提出来的。时隔170余年，雅各布·伯努利才在论文里提出了确定悬链线方程的问题。可怜的他为了证明这是一条抛物线花费了一年的经历却毫无进展（错得怎么会有进展……），而他弟弟却「牺牲了一晚上的休息时间」做了出来。实际上微积分在当时已经提出来了，以雅各布的数学基础，如果他设出函数再通过微分方程的方法去求解，得到正确答案问题不大。因为同时期的莱布尼茨、惠更斯和他弟都得到了正确答案，而这些人的数学水平是难分伯仲的。所以做科研不能先入为主啊！」（由于
知友的答案对这一段历史的叙述很详，我就不赘述了）「知道了。」小方说，「那这玩意就是研究一个悬链线，怎么会应用如此广泛，而且这货到底和三角函数有啥关系？」「你别急啊……我马上就讲了」数学君叹道。「悬链线搞定之后，双曲函数被应用在了越来越多的领域。18世纪的时候，开始研究这个函数；19世纪中后期，将圆三角学扩展到了双曲线，则使用双曲角来参数化单位双曲线。」这段话包含的数学名词比较多，小方过了一会才问：「圆三角学是啥？」数学君又开始侃侃而谈了：「你知道的三角函数又叫做『圆函数』，你应该知道为啥吧？」说着掏出了一张图片放在小方面前：「三角函数都是通过单位圆来定义的，图中不同颜色的线就是三角函数线，它们的长度就是三角函数值。」「三角函数都是通过单位圆来定义的，图中不同颜色的线就是三角函数线，它们的长度就是三角函数值。」「这个我当然知道，高中就学过了。」小方不耐烦地说，「你快说说双曲函数吧。」「双曲函数是类似的，你要不先自己想想？」「我不想想了，你快说快说快说呗！」「唉，好吧。」数学君无奈地继续讲解。「双曲函数则是通过单位双曲线，即来定义的。图中的彩色线段就是双曲函数线，其长度就是对应的双曲函数值。」图中的彩色线段就是双曲函数线，其长度就是对应的双曲函数值。」「哦哦，这么一说这俩货还有一定联系啊。」小方沉吟了一下，突然又提了一个问题：「那圆和双曲线有什么关系吗？它们两个的关系是不是和圆与双曲线的关系有关？」「聪明！」数学君赞了一句，「圆与双曲线当然是有联系的，这个联系也决定了双曲函数和三角函数密不可分的关系。」「那么联系是什么呢？」「别急，知道不？」「这是谁啊？」「苏联非常著名的一个数学家。他说过一句非常著名的话：『实域上两个真理之间的最短路程是通过复域』」。「嗯，莫非……」「对的，通过复数，这两者可以得到难以想象的统一。」数学君喝了口水，开始讲述这最核心的部分：「我们先考虑圆与三角函数以及双曲线与双曲函数这两对内部的关系。单位圆的参数方程是什么？」「」「那单位双曲线呢？」「什么三角函数……正割还是啥来着……」「正割也行，但是你不觉得更方便吗？」「对啊！哎呦不错这个漂亮！」「这才只是个开始哦~哈哈」「你学过欧拉公式，应该知道在复变函数里，三角函数可以写成指数形式。具体的说就是：,而双曲余弦和双曲正弦函数分别是所以呢我们就有……」「我知道，这个我们今天讲了。」小方抢道，「」「对的，但是这里边蕴含着什么道理呢？我们从级数角度来讲讲吧。」数学君不敢卖关子了：我们可以发现，两者只是将进行了改变，双曲函数就是把三角函数改为非交错级数了。「正是由于其无比类似的级数展开，才造就了两者十分相似的恒等变换关系。」数学君说着，亮出了几张满是公式的稿纸：（全是维基里搞来的，实在懒得打TeX代码了）（全是维基里搞来的，实在懒得打TeX代码了）「和三角函数公式太像了！」小方惊呼。「是啊，而且仅有的区别也非常有用。时间不多了，我们再说一个最关键的地方吧。」这次数学君没等小方回应就接着讲了下去：「你一定知道三角函数的周期是，可是双曲函数却没有周期。是吗？其实不是这样的。还是作为复数来看，双曲函数的周期是.而且你也发现了,所以我有一个大胆的猜测……」「快说，什么猜测！」在复变函数里，这两个函数的本质是一样的。空气凝固了，两个人都好久没说出话。小方愣了一会说道：「这个猜测……算了你还是讲讲这玩意有啥用吧。」「好的。」数学君也不敢讨论这个问题了。缓了一下，他写出了一个不定积分：「在高等数学里，双曲换元在很多题目中都非常方便。熟悉双曲函数的性质便可以做得得心应手。而相比三角代换，会使用双曲代换的人却少之又少。唉……」「没事。」小方安慰数学君道，「我会了就够了，他们不会就让他们不会去吧。」「嗯嗯，也对。」数学君又开始总结了：「从悬链线开始引入双曲函数，再到之后的双曲几何和原函数的扩展，以及之后复变函数里双曲函数与三角函数的高度统一，都说明了双曲函数在数学领域有非同一般的意义。「而工程应用中，双曲函数同样有很多用途，包括而不限于建筑和信号处理、电磁场与微波。更多的我也不晓得。但总而言之，这是一个非常重要的函数。」说完这句话，数学君没有听到期待的掌声。低头一看，小方已经呼呼大睡了。数学君无奈地摇摇头，也进入了梦乡。完---------------------------------------------------------------------------（下面我接着讲点复变函数里专业的东西。正弦与余弦映射均由复变函数里的基本映射复合而成。如是由旋转的映射、指数函数映射以及如可夫斯基映射复合而成：由公式同样可知的复合过程。由上述知，宽度为的铅直带状区域是的单叶区域。我们来看看余弦函数在带状域的映射情况：求直线的像，有由此得这是一个直线到双曲线的映射，当为正数和负数时分别为其一个分支。而直线被映射为正实轴从1到的割痕，直线被映射为沿实轴到的割痕。带状域的像为整个平面，除去实轴上从-1穿过无穷远到1的线段。）这篇文章从查资料到撰文用时不超过三个小时，有些匆忙，行文和内容都有一些粗糙，见谅。但是参考资料的权威性是有保证的，因此内容应该基本正确。除了我瞎猜的那句话。参考文献[1]双曲函数[2]雙曲函數恆等式[3](俄）博亚尔丘克，复变函数，北京，清华大学出版社，2008.5.
三角函数又叫圆函数圆心为原点,半径为1的圆的参数方程中点为原点,半轴均为1的双曲线的参数方程
上面几位介绍了一下零散的原因，比如从解析函数角度，参数方程角度等等。除去以上几位介绍的。我介绍一下几何上的角度。主要的出发点是双曲几何求双曲距离的过程中会出现，如：单位元上双曲度量的微分形式，可以明显的发现，在积分（计算双曲距离）时必然会出现双曲函数而在建立了这个度量后，我们关于双曲几何的所有问题都无法离开双曲函数了比如双曲空间的“勾股”定理、“正余弦”定理。而更引人注目的是，平行。众所周知，双曲几何受人瞩目就是因为定义了全新的平行公理。而作为具体的刻画，也离不开双曲函数。其实上面问题的核心在于双曲度量的引入。我认为这是最自然的结果。如果你希望对问题有进一步的了解，我推荐一本书，《双曲几何》李忠、周建莹这本书是双曲几何的科普书，完全零基础，而且写的也很好。我所说的东西在这本书里都有详解。而对三角函数而言的话，我们看欧式空间的度量
,所以在求欧式距离的时候，出现三角函数也是极其自然的。 双曲几何是这学期因为看paper刚学的，所以可能有写的不成熟的地方见谅。
physics的角度讨论…他们是同一类微分方程的解……其区别主要在于有没有那个i…要明白这个还是得学复变函数。（我大学四年就这门数学课最好了）
是的虚数部分
三角函数里面，定义域从实数变成复数罢了……没必要搞那么复杂……
--- 我当年也为这个问题做过一个总结，现在本子不知道搞到哪里去了先贴个链接 请从奇偶性，平方关系，和角倍角关系，微分导数关系，泰勒级数展开形式，等各方面将它和对角的三角函数比对一下，拿起笔来，遇到不确定的公式自己证明，搞完之后就不会觉得有什么“某种不可告人的关系”了。这两套函数各种关系都实在是太像了。
推荐一本书《e的故事——一个常数的传奇》手机没法插图片啊……
真感兴趣就看数学分析吧。高等数学适合实际应用和计算的时候用，看数学还得数学分析。难一点可以选择俄罗斯的教材，观点比较新，中国出的呢基本上也是沿袭了苏联的，再加上与国际接轨后的一些修改。
线性函数，三角函数，双曲函数，反应的是不同空间的弯曲程度，具体来说就是同一半径的圆在三种不同的弯曲空间（平面，球面和双曲面）下的周长。
翻数学史看看吧，如果想知道三角函数公式_百度百科
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是数学中属于中的的一类函数。它们的本质是任何角的与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在中定义的。其为整个域。另一种定义是在中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。外文名Formulas of trigonometric functions适用领域范围几何，代数变换
　锐角三角函数任意角三角函数图形　　直角三角形
任意角三角函数
（tan或tg）
（cot或ctg）
表格参考资料来源：．[1]倒数关系： ； ；
商数关系： ； ．
平方关系： ； ； ．公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设 为任意角， 与 的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角 与 的三角函数值之间的关系：
公式四： 与 的三角函数值之间的关系：
公式五： 与 的三角函数值之间的关系：
公式六： 及 与 的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．[2]
证明如图，负号的情况只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与tan(α+β)相同．
证明正切的和差角公式证明正弦、余弦的和差角公式
口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
二倍角公式
三倍角公式
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a)+（1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
=cos（2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
=3sina-4sin^3a
=4sina（3/4-sin^2a)
=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[（60+a)/2]cos[（60°-a)/2]*2sin[（60°-a)/2]cos[（60°+a)/2]
=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4）
=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]
=4cosa(cosa-cos30°）(cosa+cos30°）
=4cosa*2cos[(a+30°）/2]cos[(a-30°）/2]*{-2sin[(a+30°）/2]sin[(a-30°）/2]}
=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90°+（60°+a)]
=-4cosacos（60°-a)[-cos（60°+a)]
=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)
上述两式相比可得：
tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a)
sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）
tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）
根据，（cosθ+ i sinθ）^n = cos(nθ）+ i sin(nθ）
为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c
考虑n为正整数的情形：
cos(nθ）+ i sin(nθ） = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n- 4）*(i s)^4 + ... …+C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …=&；比较两边的实部与虚部
实部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ... …i*
虚部：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …
对所有的自然数n：
⒈cos(nθ）：
公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示．
⒉sin(nθ）：
⑴当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也 就是sinθ）表示．
⑵当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cosθ）的一次方无法消掉．
例. c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2）
（正负由 所在的象限决定）
详见词条：
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形的半径为R．则有[4]：
正弦定理变形可得：
详见词条：
在如图所示的在△ABC中，
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AG三角函数(11节课)学案
21人​教​版​九​年​级​(​下​)​锐​角​三​角​函​数​学​案​(1​节​)
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