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系统动态性能指标间的联系及闭环零、极点和动态性能之间的关系
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下载文档:系统动态性能指标间的联系及闭环零、极点和动态性能之间的关系.PDF第四章 根轨迹分析法(2010li)_省心范文网
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第四章 根轨迹分析法1、根轨迹基本概念：?根轨迹方程、幅值条件、相角条件2、绘制根轨迹的基本法则（10+1） 3、控制系统跟轨迹的绘制 4、求取闭环系统零极点的方法 5、增加开环零、极点对根轨迹的影响；6、控制系统的根轨迹分析举例7、根轨迹校正 (根轨迹法综合)§4-1 根轨迹的基本概念 §4-1-1 根轨迹图?根轨迹:指系统开环传递函数中某一参数 变化时,闭环特征根在根平面上走 过的轨迹;?根平面:专一用来描述根位置的复平面;?根轨迹图:根平面加上根轨迹。§4-1-1 根轨迹图Kg K 2K 例4 - 1： Gk(s)? ? ? s(0.5s? 1) s(s ? 2) s(s ? 2)其中，Kg ? 2K称为根轨迹增益。 ? 2 n1) 系统有两个开环极点: ? p1 ? 0, ? p 2 ? ?2, 用符号“ ”标于s平面上; ?2) m ? 0, 无开环零点 (若有, 用符号“。”标于s平 面上)。§4-1-1 根轨迹图3）闭环传递函数Kg Φ(s)? 2 s ? 2s ? K g4）闭环特征根为s 1 , 2 ? ?1 ? 1 ? K gK g 从0 ? ?的根变化如右图。§4-1-1 根轨迹图Kg由0变化到无穷大情况如下:? ? ? ? ?当0&Kg&无穷大:根均在s平面左 半部 当0&Kg&1时：不同负实根 当Kg＝1时：重负实根 当Kg&1时：一对共轭复根 稳态误差:I型系统§4-1 根轨迹的基本概念 §4-1-2 根轨迹方程典型闭环系统进行分析 1）结构图（如右图） 2）闭环传递函数 G(s) Φ (s)? ; 1 ? G k(s)式 中 , k(s)? G(s)H(s)系 统 G 的开环传递函数。3）零极点表达形式Gk(s)? K g; ? pj — 系 统的 开 环 极点 (j 1,2, ,n) ? ? ?(s ? pj ) K g — 系 统的 根 轨 迹增 益 。j?1?(s ? z )i i?1 nm? zi — 系 统的 开 环 零点 (i 1,2, ,m) ? ?§4-1-2 根轨迹方程闭 环特 征 方程 : 1 ? Gk(s)? 0, 即 Gk(s)? ?1也即: K g?(s ? z )im?(s ? p )j j?1i?1 n? ?1称为根轨迹方程。若某一点为系统的闭环极点，则必满足此方程。§4-1 根轨迹的基本概念 §4-1-3 幅值条件方程和相角条件方程Gk(s)? ?1可写为两个方程 :1) 幅值条件: Gk(s) ? 1, 即Kg? (s ? z )im? (s ? p )j j?1i?1 n?12) 相角条件: ?Gk(s)? ?180? ? 1), ? 0,1,2, ; (2k k ? 即? ?(s ? zi )? ? ?(s ? pj ) ? ?180? ? 1), ? 0,1,2, (2k k ?i?1 j?1 m ns平面上满足相角条件 方程的一切点, 都是对应不同K值的闭环 g 特征根, 即根轨迹, 所以相角条件是确定根 轨迹的充要条件。§4-1 根轨迹的基本概念 §4-1-4 幅值条件和相角条件的应用例4 - 2：已知系统开环传递 函数Gk(s)? Kg s(s ? 1)判断S1，S2 点是否在根轨迹上？知识点: 相角条件? ?(s ? z )? ? ?(s ? p ) ? ?180?(2k ? 1)i j i?1 j?1mns1( ?1, : j)? ?(s1 ? p1 )? ?(s1 ? p 2 ) ? ??( ?1? j ? 0)? ?( ?1? j ? 1) ? ?135? ? 90? ? ?225?不满足相角条件, 1不在根轨迹上, 即s 也即s1不是闭环极点。§4-1-2 根轨迹方程s 2( ?0.5, j): ? ?(s2 ? p1 )? ?(s2 ? p 2 ) ? ? ??( ?0.5 ? j ? 0)? ?( ?0.5 ? j ? 1) ? ?116.6? ? 63.4? ? ?180?所以s2 在根轨迹上, 也即是闭环极点。例 4－ 3 求 s2的 Kg值 :知识点: K g ?? (s ? p )jn? (s ? z )i i?1j?1 mKg ? s2 ? p1 s2 ? p 2 ? ? 0.5 ? j ? 0 ? 0.5 ? j ? 1 ? 1.118? 1.118 ? 1.25§4-2 绘制根轨迹的基本法则 (一二三四)法则1：1＋Gk(s)=0的根连续依赖其系数: 闭环特征方程根是根轨迹增益 Kg(或其它参数)的连续函数； 法则2：根轨迹的对称性: 实系数特征方程的根必为实数 或共轭复数,必对称于实轴；法则3：根轨迹的分支数=特征根个数 =系统阶数n；§4-2 绘制根轨迹的基本法则 (一二三四)法则4：根轨迹起点与终点： 根轨迹的起点(Kg=0时根轨迹点) 位于开环传递函数的极点； 根轨迹的终点(Kg=∞时根轨迹点) 位于开环传递函数的零点(包括m个 有限零点和n-m个无穷远处的零点)1 ? ? (s ? pj ) K gi?1 n j?1? (s ? zi )ms ?? nlim i?1j?1? (s ? zi)m? (s ? pj )?1? ? lim ? lim ? ? s ?? s n s ? ?? s ?smn?m1 ?1 1? ? lim ? ? ? ? lim ?0 s ? K g ?? K g s ? ?? s§4-2 绘制根轨迹的基本法则(五六)法则5：实轴上的根轨迹: 实轴根轨迹区段其右方实数极点 个数、实数零点个数总和应为奇数； 法则6：根轨迹的渐近线: 当n＞m,Kg→∞时,有n-m条根轨 迹分支沿着与正实轴夾角θ , 截距 为-σ a的一组渐近线趋于无穷远处：? 180? ? 1) (2k (m ? n)θ? ?180? ? 1) ?θ? (2k , n?m (n ? m)σ ?(an ?1 ? b m ?1 ) ? ? a ? j?1 σ a 式中k ? 0,1,2, ,n ? m ? 1 ? ?( ?pj )? ?( ?zi )i?1 n mn?m§4-2 绘制根轨迹的基本法则(七)法则7：根轨迹的分离点和会合点(特征方程的重根点): 1)若实轴两相邻开环极点之间有根轨迹,则该区段必有分离 点;若实轴两相邻开环零点之间有根轨迹,则该区段必有 会合点; 2)在分离点和会合点上,根轨迹切线与正实轴夾角称分离角 或会合角,其大小等于180°除以分离或会合分的支数; 3)求取分离点有重根法、极值法和切线法.§4-2 绘制根轨迹的基本法则(七-重根法)1.重根法 :1) 设Gk (s) ? K g N(s) D(s)N(s) 则闭环特征方程 1 ? K g : ? 0, D(s) 即D(s) ? K g N(s) ? 02)设f(s) ? D(s)? K g N(s)? 0 具有重根则f ' (s) ? D ' (s) ? K g N ' (s) ? 0,从上两式消去Kg ,得 :' D(s)N' (s) ? N(s)D(s) ? 0此方程的解即为重根点 , 若在根轨迹区段, 即为分离点或会合点 。§4-2 绘制根轨迹的基本法则(七-极值法)2.极值法 :知识点： 就实轴根轨迹区段而言 , 分离 点(或会合点)的K是最大值(或最小值) 。 gG(s) ? K g N(s)/D(s) ? ?1D(s) ? Kg ? ? , N(s)' d Kg D(s)N' (s) ? N(s)D (s) 令 ? ? 0, 2 ds N (s)也得重根法相同公式。§4-2 绘制根轨迹的基本法则(七-极值法)例4.6 求分离点和汇合点G k (s) ? Kg s(s ? 1)(s ? 2)(1)重根法求分离点 : D(s)? s(s ? 1)(s ? 2) ? s3 ? 3s2 ? 2s; D (s)? 3s ? 6s ? 2;' 2D(s)N ' (s) ? N(s)D' (s) ? 0得: 3s 2 ? 6s ? 2 ? 0 , 解 得: s1 ? ?0.423, 2 ? ?1.577, sN(s)? 1; N' ? 0; (s) 将上式代入方程：s1落 在 根 轨 迹 实 轴 区 段?1,0]上 , [ 故 s1为 根 轨 迹 分 离 点 。§4-2 绘制根轨迹的基本法则(七-极值法)例4.6 求分离点和汇合点（续）G k (s) ? Kg s(s ? 1)(s ? 2)(2)极值法求分离点 : 特征方程 : ? s(s ? 1)(s ? 2) ? K g ? 0 ? K g ? ?s(s ? 1)(s ? 2)上述两法导出方程 D(s)N' ? N(s)D' ? 0, : (s) (s) 若三阶以上, 求解较难, 可用试探法, 切线法或牛顿法求.§4-2 绘制根轨迹的基本法则(七-切线法)' 方程D(s)N ? N(s)D' ? 0 (s) (s) 对于高阶特征方程，难以求解采用切线法：' 设1) P(s )? D(s )N(s )? D' (s )N(s有连续二阶导数, )2) [a,b]段有分离(会合) 点. 则[a,b]必有P(s ? 0的根,且P(a)与P(b) ) 异号.' (1)若 P' (s)P' ? 0, 从 (b, (s) 则 p(b))点 引 P(s 0 )?的 切 线于 是 可 得 ,P( s)? 0根近似值:s1 ? b ?P(sn ) s 2 ? s1 ? , ???, s n ?1 ? s n ? P ' (s1 ) P ' (sn )P ' (b ) P(s1 )P(b )§4-2 绘制根轨迹的基本法则(七-切线法)(2) 若P' (s)P'' ? 0, (s) 则从(a, P(a))点引P(s ? 0 ) 的切线, 于是可得P( s)? 0根近似值 :s1 ? a ?s 2 ? s1 ? P ' (s1 )???P ' (a ) P (s1 )P (a )s n ?1 ? s n ? P ' (sn )P (sn )§4-2 绘制根轨迹的基本法则(七-切线法)Kg 例Gk(s)? , (例4 ? 6) P(s0 ) s(s ? 1)(s ? 2) s1 ? s0 ? ' ? ?0.3333 P (s0 ) 已求:P(s)? 3s2 ? 6s ? 2P(-1)? -1 ? 0, P(0)? 2 ? 0, 故实轴[ 1,0]段必有分离点 ? .另在[?1,0]区段: P ' ? 6s ? 6 ? 0, (s) P '' ? 6 ? 0, (s) P' (s)P'' ? 0; (s) 故从(0, P(0))点开始求根 : 即s0 ? 0P(s1 ) s2 ? s1 ? ' P (s1 )P( ?0.3333) ? ?0.3333 ? ' P ( ?0.3333) ? ?0.4167 P(s2 ) s3 ? s2 ? ' P (s2 )P( ?0.4167) ? ?0.4167? ' P ( ?0.4167) ? ?0.4226§4-2 绘制根轨迹的基本法则(八-出射角与入射角)法则8：根轨迹出射角 与入射角: 1）出射角： 指起始于某复数开环极 根轨迹 点, 在该点切线与正实轴夾 角复数极点： ? 8的 ? p a； 图4 与正实轴的夹角 θa , θ2 ,θ3 ,?1 ：θa ? ?180?(2k ? 1) ? ? ? i ? ? θ ji ?1 j ?1 j ?amn§4-2 绘制根轨迹的基本法则(八-出射角与入射角)2）根轨迹的入射角 : 指终止于某复数开环零 点的根轨迹 在该点切线与正实轴的 夾角与正实轴的夹角： a , ? b。 ?n m ?b ? ?180?(2k ? 1) ? ? θi ? ? ?i i ?1 j ?1 i ?b§4-2 绘制根轨迹的基本法则(八-出射角与入射角)例4 ? 11, 从图4 ? 9.? p1, p2出发的根轨迹出射角 ?θ1,2 ? ?180?(2k ? 1) ? ?( ? p 1 ? z 1 ) ? ?( ? p 1 ? p 2 ) ? ?( ? p 1 ? p 3 ) ? ?( ? p 1 ? p 4 ) ? ?180?(2k ? 1) ? 45? ? 90? ? 135? ? 26.6? ? ?180?(2k ? 1) ? 26.6?取k ? 0, θ1,2 ? ?26.6?例4 ? 15, 从图4 ? 12. p 3 , p 4出发 ? ? 根轨迹的出射角 :θ3,4 ? ?180(2k ? 1) ? (135 ? ? 26.6? ? 90? ) ? ?71.6?§4-2 绘制根轨迹的基本法则(九-与虚轴交点)法则9：根轨迹与虚轴的交点分析：即闭 环特征根为虚根 系统处于临界稳定状态因此，可令闭 环特征方 程的s jω , ? 1) 求解实 部方程和 虚部方 程或 2) 用Rou th判据可 求 得交点 坐标和相 应K值。 g例4 - 12，G k (s) ? 闭环特征方程 : s(s ? 1)(s ? 2) ? K g ? 0 即s 3 ? 3s2 ? 2s ? K g ? 0, Kg s(s ? 1)(s ? 2)设K g ? K gp时 ,s ? jω代 入 上 式:,( jω) 3 ? 3( jω) 2 ? 2( jω) ? K gp ? 0 , 分 解 实 部 和 虚 部可 得: , K gp ? 3ω 2 ? 0和2ω ? ω 3 ? 0, 解 之 得ω ? ? 2 , K gp ? 6§4-2 绘制根轨迹的基本法则(九-与虚轴交点)例4-12. 用劳斯判据求解与虚轴交点s3 s2 1 3 2 Kg ps1 (6 ? K g p )/3 Kg p s0当 s1行 为 0时 , 征 方 程 可 能 特 出 现 现 纯 虚 根故 令 s1行 为 0: , (6 ? K g p )/3 ? 0, K g p ? 6; ?代入s2行组成辅助方程 : 3s2 ? K g p ? 3s2 ? 6 ? 0 求得根迹与虚轴交点:1 , 2 ? ?j 2 s§4-2 绘制根轨迹的基本法则(十-和与积)法 则 10： 闭 环 极 点和 与 积 的 : 设 ? zi, pj, sj为 开 环 零 、 极 点 ,环 极 点 . ? ? 闭G k(s)? K g?(s ? z )im?(s ? p )j j?1i?1 ns m ? b m ?1s m ?1 ? ? ? b1s ? b 0 ? Kg n s ? a n ?1sn ?1 ? ? ? a1s ? a 0 N(s) ? Kg D(s)? ( ? p j ) ? ? an 1 j 1? ?nN(s) D(s)? K g N(s) 闭环特征方程为1? Gk(s)? 1? K g : ? ?0 D(s) D(s)§4-2 绘制根轨迹的基本法则(十-和与积)设F(s)? D(s)? K g N(s)n则F( s ) ? ?(s ? sj ) ?sn ? cn ?1sn ?1 ? ? ? c1s ? c 0 ? 0j?1即sn ? an?1sn?1 ? ? ? a1s ? a 0 ? K g(sm ? b m ?1sm ?1 ? ? ? b1s ? b0 )? 0则 1) 2) ( ?s j ) ? ( ?1)n c 0 ? ( ?1)n (a 0 ? K g b 0 ); ?j? 1 n n? ( ?s ) ? ?cj? 1 j1) 闭环极点积=常数n ?1.当n ? m ? 2时 : an ?1 ? c n ?1 ,n n j ?1 j ?12) 开环极点和=闭环极点和 =常数结论：一些根增 大，一些减小， ? const 保持平衡此时，? ( ? s j ) ? ? ( ? p j ) ? ?an ?1§4-2 绘制根轨迹的基本法则(十-和与积)例4.13 G k (s) ? Kg s(s ? 1)(s ? 2)分析：已经知道其中两 个闭环根轨迹与虛轴交点s, 2 ? ?j 2 1 (例4.10求出), 试求第三个闭环极点s. 3 ? n ? m ? 3 ? 2,极点，因此可通过闭环 第三个极点极点的和与积关系求得? ? ( ? s j ) ? ? ( ? p j ) ? ?an ?1j ?1 j ?1nn即(?s1 ? s2 ? s3 )?( ?p1 ? p2 ? p3 )? ?a 2 ? ?3? ?s3 ? ?3 ?( ?s1 )?( ?s2 ) ? ?3 ? j 2 ? j 2 ? ?3由?( ?sj ) ? ( ?1)n c 0 ? ( ?1)n(a 0 ? K g b 0 ), 例 a0 ? 0, 0 ? 1, 本 bj?1 n故 c0 ? K g , (j 2 )?( ?j 2 )?( ?3)? ? K g p,可 求 出 Kg p ? 6 ?§4-2 绘制根轨迹的基本法则(十一-圆)法 则 11： 条件：当系统仅有两个环极点和一个开环零 开 点 结论： 轨迹可能为直线或圆, 根 弧 若 根 轨 迹 离 开 实 轴 ,必 然 沿 着 圆 弧 移 动 。 Gk ( s ) ? 则 圆 弧 的 圆 心 开 环 零 点 ( z,0), : ? 圆 弧 半 径 ： R (p1 ? z)(p2 ? z) ? (两 个 开 环 极 点 p1、 p2至 开 环 零 点 距 离 乘 积 的 方 根 ? ? 平 )Kg( s ? z1 ) ( s ? p1 )( s ? p2 )极点：1)为负实数为圆；2)共轭复数为圆弧绘制根轨迹的基本法则总结根轨迹方程： s m ? b m ?1s m ?1 ? ? ? b1s ? b 0 N(s) ? G k(s)? K g in 1 ? Kg n ? Kg ? ?1 n ?1 s ? a n ?1s ? ? ? a1s ? a 0 D(s) ?(s ? pj )j?1?(s ? zi )mD(s)? K g N(s) 1? Gk(s)? D(s) sn ? a n ?1sn ?1 ? ? ? a1s ? a 0 ? K g(sm ? b m ?1s m ?1 ? ? ? b1s ? b 0 ) ? D(s) ?(s ? sj ) sn ? c n ?1sn ?1 ? ? ? c1s ? c 0 ? ? j?1 ?0 D(s) D(s)n绘制根轨迹的基本法则总结一.根轨迹连续二.对称于实轴 三.n条分支 四.起始于开环极点,终止于开环零点(包括m个有限零 点和 n-m个无穷远零点) ； 五.实轴根轨迹区段其右方实数极点个数、实数零点个 数总和应为奇数； 六.有n-m条根轨迹分支沿着与正实轴夾角θ, 截距为σa的一组渐近线趋于无穷远处;? 180 ?(2k ? 1) k ? 0,1,2, θ? , ; ? σa ? n?m ? ,n ? m ?1?( ?pj ?1nj) ? ? ( ? zi )i ?1mn?m绘制根轨迹的基本法则总结七.实轴两相邻开环极点间根轨迹区段必有分离点;实轴两相邻开环零点间根轨迹区段必有会合点; 用D(s)N' (s) ? N(s)D' (s) ? 0式求分离点或会合点八.根轨迹出射角和入射角θa ? ?180?(2k ? 1) ? ? ? i ? ? θ j ? b ? ?180?(2k ? 1) ? ? θi ? ? ? ii ?1 j ?1 m nnmj ?1i ?1j ?ai ?b九.与虚轴的交点令闭环特征方程s? jω,或用Routh判据求 根迹 与虚轴交点和相应K 值。 g绘制根轨迹的基本法则总结十.闭环极点的和与积( ?s j ) ? ( ?1)n c 0 ? ( ?1)n (a 0 ? K g b 0 ); ?j? 1 n n? ( ?s ) ? ?cj? 1 jn ?1,n n当n ? m ? 2时 : ? ( ?s j ) ? ? ( ?p j ) ? ?a n ?1j? 1 j? 1十一.特殊情况 当n ? 2,m ? 1时, 根轨迹可能为直线或圆 弧,若根轨迹离开实轴, 则必然沿着圆弧移动。 圆弧圆心: 开环零点(?z,0), 半径: R ? (p1 ? z)(p2 ? z)§4-3 控制系统的根轨迹 §4-3-1 单回路系统的根轨迹例 4 ? 14. 制系 统 根 轨迹 图 绘 Kg G k(s)? s(s ? 1)(s ? 2)1) 根轨迹对称于实轴；2) 分支数： ? n ? 3,m ? 0 ? 根轨迹有3条分支 ；3)起始点和终止点： 起始于开环极点: p1 ? 0, p 2 ? ?1, p 3 ? ?2; ? ? ? 终止于无穷远处; 4)实轴上的根轨迹：根轨迹实轴区段( ??, 2], ?1,0]; : ? [§4-3-1 单回路系统的根轨迹5)渐近线 渐近线共3条θ? ?60?,180?;?σ ? (0 ? 1? 2)/3 ? ?1 : a6)分 离 点 与 会 合 点 ： 根 轨 迹 实 轴 区 段 [ 1,0]必 有 分 离 点 , ? 例 4 ? 6已 求出 ?σd ? ?0 .42;分 离 角 θ ? ?90?; d 此 时 Kg ?? (s ? p )jn? (s ? z )i i?1j?1 m? ( ?0.42 ? 0)( ?0.42 ? 1)? 0.42 ? 2) ? 0.385;7) 根轨迹与虚轴交点:? s1 , 2 ? ?j 2 , (例4 ? 12求出) 此时，K g p ? 6, 第三个极点? s3 ? ?3(例4 ? 13求出)§4-3-1 单回路系统的根轨迹Kg 例4 ? 15.Gk(s)? , 画出系统根轨迹 2 s(s ? 3)(s ? 2s ? 2)1) 对称于实轴； 2)分支数： ? 4,m ? 0； n3)起始点： p1 ? 0, p 2 ? ?3, p 3 , 4 ? ?1 ? j, ? ? ? 终止点： ? m ? 4, n 故4条从开环极点出 发的根轨迹终止于无穷 ;4)根轨迹实轴区段[ -3,0],5)渐近线: σ ? (0 ? 3 ? 1 ? j ? 1 ? j)/4 ? ?1.25; a θ? 180?(2k ? 1)/4 ? ?45?, 135? ?§4-3-1 单回路系统的根轨迹6)实轴上存在相邻极点， 因此有分离点 N(s) ? 1, N ' (s) ? 0, D(s) ? s 4 ? 5s 3 ? 8s 2 ? 6s D' (s) ? 4s 3 ? 15s 2 ? 16s ? 6 ? N ' (s)D(s) ? N(s)D' (s) ? ?(4s 3 ? 15s 2 ? 16s ? 6) ? 0解之得: s1 ? ?2 .28 , s2 ,3 ? ?0 .73 ? j 0 .37(舍去)§4-3-1 单回路系统的根轨迹7)根轨迹在开环极点 p 3 , p 4的出射角 ? ? : θ 3,4 ? ?180(2k ? 1) ? (135? ? 26.6? ? 90? ) ? ?71.6?8)根轨迹与虚轴交点由s ? jω, 代入特征方程 s4 ? 5s3 ? 8s2 ? 6s ? K g ? 0得实部、虚部方程： ω4 ? 8ω2 ? K g ? 0和 ω(6 ? 5ω2 ) ? 0 解得:ω ? ?1.1, g p ? 8.16 K表4-2 开环极点、零点分布及其相应的根轨迹表4-2 开环极点、零点分布及其相应的根轨迹表4-2 开环极点、零点分布及其相应的根轨迹§4-3 控制系统的根轨迹 §4-3-2 参量根轨迹参量根轨迹：系统其他变量变化而绘制出的根轨迹；方法：等效单回路系统的开环传递函数。依照绘制Kg 变化时的根轨迹绘制法则绘制参量根轨迹。例4 - 17：绘制τ由0 ?根轨迹。 ?分析：参数变化，如何等效单回路系统为关键点 开环传递函数，闭环特征方程。§4-3-2 参量根轨迹1) 开环传递函数与闭环特征方程： 5(?s ? 1) G k (s) ? s(5s ? 1)s(5s ? 1) ? 5(τs ? 1) ? 02) 等效过程： 5s s 1? τ 2 ? 0, 即 1 ? τ 2 ?0 5s ? s ? 5 s ? 0.2s ? 1s 等效的传递函数为： (s) ? τ 2 G s ? 0.2s ? 1' k' ' ? p1,2 ? ?0.1 ? j0.995, ?z1 ? 0τ由0 ? ?的参量根轨迹如图4? 17.§4-3-2 参量根轨迹阶跃响应过程§4-3 控制系统的根轨迹 §4-3-3 多回路系统的根轨迹方法： 1）首先根据局部闭环子系统的开环传递函数绘制其 根轨迹,确定局部闭环子系统的极点分布； 2）然后根据多回路系统的开环零极点分布,绘制出全 系统的根轨迹.例4-18 分析： 1)含有两个参数，两个回环； 2)确定内环极点，再确定系统 开环极点§4-3-3 多回路系统的根轨迹局部闭环1 1 (s ? 1)(s ? 2) ' Φ (s) ? ? β (s ? 1)(s ? 2) ? β 1? (s ? 1)(s ? 2)全系统开环传递函数1 K G k (s) ? KΦ (s) ? s s[(s ? 1)(s ? 2) ? β]'β 1)内环开环传递函数：G (s) ? (s ? 1)(s ? 2)' k' ? p1 ? ?1, ? p'2 ? ?2; 根轨迹为：§4-3-3 多回路系统的根轨迹分析： 1）根轨迹：中线，可设内环闭 环极点: s’=1.5+jω 2）根据根轨迹方程，可知?和局 部闭环极点的关系β?? s ? pjj?1 mn? s ? zii?1? - s' ? 1 - s ' ? 2? ? 1.5 ? jω? 1 ? 1.5 ? jω? 2 ? 0.52 ?ω2 ?ω ? β? 0.25β ? 2.5时,' 内环两闭环极点: ?s1,2 ? ?1.5 ? j1.5§4-3-3 多回路系统的根轨迹' β ? 2.5时, 内环两闭环极点: ?s1,2 ? ?1.5 ? j1.5K ? G k (s) ? s[(s ? 1)(s ? 2) ? β]∴内环闭环极点为外环开环传函极点 ∴ -s’1，2为外环开环极点，再考虑零 值极点，整个外环根轨迹如右图。全系统K: 0 ? ?的根轨迹如右图实线 所示.随K ?,整个系统的振荡程度 ; ? 当K＞13.5, 系统不稳定。β取其它值时, 可画出相应的另一组根 轨迹。§4-3-3 多回路系统的根轨迹2) 由于内环极点一部分在 实轴上，因此 当β 变化时，系统 可能存在分离点与会合点K G k(s)? s[(s ? 1)(s ? 2)?β ] D(s)? s[(s ? 1)(s ? 2)?β ] D' ? 3s2 ? 6s ? 2 ?β (s) 由 D(s)N' ? D' (s) (s)N(s)? 3s2 ? 6s ? 2 ?β? 0求得: ? d ? ?1? 3 ? 3β σ /3§4-3-3 多回路系统的根轨迹根据重根法求得的分离 点或会合点： ?σ ? ?1 ? 3 ? 3β /3 d当β? 1时, 有实数根 :(1)β? 1, σ 1 ? ?1 ? 3 ? 3β ?σ 2 ? ?1? 3 ? 3β ? d /3, d /3; 例β? 0.5: ?σ 1 ? ?0.592,σ 2 ? ?1.408 ? d d(2)β? 1, σ 1 , 2 ? ?1 ? d当β? 1时, 无实数根, 即无分离点和会合点3）系统的根轨迹随?值变化的情况 （下几页）§4-3-3 多回路系统的根轨迹? =0.2§4-3-3 多回路系统的根轨迹? =0.25§4-3-3 多回路系统的根轨迹? =0.5§4-3-3 多回路系统的根轨迹? =1§4-3-3 多回路系统的根轨迹?=2.5 =4§4-3-3 多回路系统的根轨迹?=0.25 =0.5 =1 =2.5 =4 =6§4-3-3 多回路系统的根轨迹例4-19 绘制系统 的根轨迹图。 分析： 1）2个参数；一个内 环，一个外环； 2）先画内环，再根据 内环画外环解：1) 局部闭环的开环传递函 数和闭环传递函数分别 为： Kf (s ? 2) ' G (s)? ;Φ(s)? s(s ? 1)(s ? 2) s(s ? 1)(s ? 2)? K f' k§4-3-3 多回路系统的根轨迹内环局部负反馈的根轨迹如图。 当Kf=0??时，有三个分支， 每个Kf值，对应3个内闭环极 点。2) 整个系统的开环传递函 数： K 1(s ? 0.6) ' Gk(s)? Φ(s) s K 1(s ? 0.6)(s? 2) ? s[s(s? 1)(s? 2)? K f ]§4-3-3 多回路系统的根轨迹K1(s ? 0.6)(s? 2) Gk(s)? s[s(s? 1)(s? 2)? K f ]从内环根轨迹看出，当Kf=1.03时， -s’1=-0.33+j0.57 -s’2=-0.33-j0.57 -s’3=-2.33 系统开环极点： -s’1, -s’2 , -s’3 ,0 系统开环零点：-0.6， -2 此时，系统的根轨迹如右图。 Kf=1.03时，系统总是稳定， 但K1增大，震荡加剧。§4-3-3 多回路系统的根轨迹内环局部负反 馈的根轨迹。 当Kf=0?? 时，有三个分 支，每个Kf 值对应3个内 闭环极点。§4-3-3 多回路系统的根轨迹Kf=1.03时 系统根轨迹。系统总是稳定， 但K1增大， 振荡加剧。§4-3-3 多回路系统的根轨迹Kf=4时系统 根轨迹。轨迹靠近虚轴， 总是稳定的， 但振荡很大。§4-3 控制系统的根轨迹 §4-3-4 正反馈回路的根轨迹分析： 正反馈与负反馈的区别在于： ?不同的闭环特征方程 ?不同的根轨迹方程； ?不同的相角条件。G(s) Φ(s)? 1) 闭环传递函数： 1? G(s)H(s) 2)特征方程：1 G(s)H(s)? 0 ?3)根 轨 迹 方 程 ： G ? G(s)H(s)? 1 k(s) 4)幅 值 与 相 角 条 件Gk(s) ? 1和?G k(s)? ?180? ? 2k, ： (k ? 0,1,2, ) ?右图正反馈系统§4-3-4 正反馈回路的根轨迹绘制法则的变化：1) 法则五.实轴根轨迹区段右侧 实轴上开环零点和极点数目之 和应为偶数。 根轨迹渐近线 180? ? 2k 2) 法则六. θ? n?m 与正实轴夾角 3）法则八.离开(进 入)开环极点? pa(开环零点 ? zb )的出射角θ ? a(入射角 b )：θ ? ? ?i ? ? j, b ? ? j ? ? ?i θ? θ ai?1 j?1 ?a j?1 i?1 ?bmnnm§4-3-4 正反馈回路的根轨迹K g(s ? 2) 例4.20 绘制单位正反馈系统Gk(s)? 2 : 的根轨迹 s ? 2s ? 2 1) 对称于实轴；2)分支数：n ? 23)起始点： p1 , 2 ? ?1 ? j, ? 终止点：z1 ? -2, 2 ? ? z负反馈为：4)根轨迹实轴区段[ ??) 根轨迹实轴区段[-2 ), -2, , ??5)渐近线: σ ?( ?1 ? j ? 1 ? j ? 2)/1? 0; a θ? 180? (2k)/1? 0?负反馈为：? ? 180 ? 1)/1? 180? (2k§4-3-4 正反馈回路的根轨迹6)分离点与会合点： 根轨迹实轴区段[ 2, ] ? ?? 必有会合点: ?σ ? ?0.59; d 会合角：d ? 90 ? ? 6)分离点与会合点： 根轨迹实轴区段[ 2, ] ? ?? 必有会合点: ?σ ? ?3.41; d 会合角：d ? 90 ? ?7) 正反馈出射角 从 ? p1 , 2 的出射角 ? ?45?, θ ? ?45?; 27) 负反馈出射角 从 ? p1 , 2 的出射角 ? 135? θ ? ?135?; 2( ( θ ? ? ?P1 ? z)? ? ?P1 ? P2 ) θ ? 180? ? ? ?P1 ? z)? ? ?P1 ? P2 ) ( ( 1 18）属于两个极点，一个零点的特殊情况 圆弧：中心为零点；半径为两极点到零点的距离之积再开方§4-3-4 正反馈回路的根轨迹综上，绘制根轨迹如右图单位反馈系统 : K g(s ? 2) Gk(s)? 2 ; s ? 2s ? 2 ? p1 , 2 ? ?1 ? j, ? z ? ?2, ? m ? 1 n 有两条根迹分支, 从 ? p1 , 2 出发, 一条终止于? z, 一条终于无穷远.§4-3-4 正反馈回路的根轨迹特点: 从极点(-1?j) 来始，以零 点 -2 为 圆 心 ， 半 径 为 1.414 的 圆 弧运动。§4-3 控制系统的根轨迹 §4-3-5 延迟系统的根轨迹分析：N1(s) GK 1 ? K ? Kg D1(s) ? s ? pji?1 g n j?1 m? s ? zimKg? s ? zi ? s ? pjj?1 m i?1 nme ?τs ? ?1GK ? Kni?1 g n j?1? s ? zi? s ? pjm i?1e? τsKg? τs? s ? zi ? s ? pjj?1 i?1 ne ?στ ? ?1? s ? pj ? K g ? ?s ? zi ?ej?1?0e ?τs ? e ?τ( σ?j ω) s ? e ?στ ? ??§4-4 求取闭环系统零、极点的方法 §4-4-1 求取闭环系统极点的方法分析： 1）根轨迹表明了系统参数和闭环极点的关系； 2）至于闭环零点，可分析系统传递函数。方法：1）由绘制的系统根轨迹利用幅 值条件或试探法确定已知参数 (例如Kg)下的闭环极点; 2）而闭环零点可由前向通道的 零点和反馈通道的极点确定 。§4-4-1 求取闭环系统极点的方法例4-22K 例4 ? 22: Gk(s)? , 用根轨迹法求具有阻尼 s(s ? 1)(0.25s? 1) 比ζ? 0.5的共轭闭环主导 极点和其他极点，并估 算性能指标.分析： 1）首先画出根轨迹； 2）利用根轨迹，得出?=0.5的极点； 3）利用闭环极点和与积求出第三个极点。 解： 1）根轨迹如右图； 2）当?=0.5时， 阻尼角?=arc cos ? =arc cos 0.5 = 60? 60?阻尼角与根轨迹的交点为对应的主导极点。此时，从图读出主导极点为： s1 , 2 ? ?0.4 ? j0.69; ?§4-4-1 求取闭环系统极点的方法例4-223)第三个闭环极点：根据?( ? sj ) ? ?( ?pj )n n j?1 j?1? s3 ?(0 ? 1? 4)?( ?0.4 ? j0.69 ? 0.4 ? j0.69) ? ?4.2, 对应的根轨迹增益Kg为：K g ? ? s3 ? p1 ? s3 ? p2 ? s3 ? p3 ? ? 4.2 ? 0 ? 4.2 ? 1 ? 4.2 ? 4 ? 2.7,对应的开环放大系数为： K G k(s)? s(s ? 1)(0.25s? 1) K g ? 4K ? K ? K g /4 ? 0.675§4-4-1 求取闭环系统极点的方法例4-224）系统动态性能指标：ωn ? 0.402 ? 0.692 ? 0.80, α? ? s3 / ? s1 , 2 ? 4.20/0.80? 5.25 σ% ? e? ζπ/ 1? 2 ζ?e2 ? 0 . 5 3 . 1 4 / 1? 0 . 5 ?? 16.3%3 3 ts ? ? ? 7.5(s) ζωn 0.5? 0.805）系统的静态性能指标： K K p ? limGk (s) ? lim ?? s ?0 s ?0 s(s ? 1)(0.25s ? 1) Kv ? lim sG k (s) ? K ? 0.675s ?0K a ? lim s 2Gk (s) ? 0s ?0§4-4-1 求取闭环系统极点的方法例4-22§4-4 求取闭环系统零、极点的方法 §4-4-2 求取闭环系统零点的方法1. 单位反馈系统时或非单位 反馈系统G(s)极点与H(s) 零点不出现相抵消时K g ? (s ? z i )i ?1 mgG(s) ?? (s ? p )j j?1ng, H(s) ?Kh ? (s ? z k )k ?1mh? (s ? p )l l?1nhGk (s) ?K gK h ? (s ? z i )? (s ? z k )i ?1 k ?1mgmh? (s ? p )? (s ? p )j l j ?1 l ?1ngnhG(s) Φ(s) ? ? 1? G(s)H(s)K g ? (s ? z i )? (s ? p l )mgnh?(s ? p )?(s ? p ) ? K K ?(s ? z )?(s ? zj l g h i j ?1 l ?1 i ?1 k ?1ngi ?1l ?1nhmgmhk)§4-4-2 求取闭环系统零点的方法1) 单位反馈系统的闭环零点 2) 非单位反馈系统的零点=前向 =开环传递函数的零点 通道的零点+反馈通道的极点G(s) ? K g ? (s ? z i )i ?1 m? (s ? p j )j?1nG(s) ?K g ? (s ? zi )i ?1mg? (s ? p )j j?1ng, H(s) ?Kh ? (s ? zk )k ?1mh? (s ? p )l l?1nhΦ (s) ?G(s) 1 ? G(s) K g ? (s ? z i )i ?1 mG(s) Φ(s) ? 1 ? G(s)H(s) ? K g ? (s ? zi )? (s ? pl )i?1 l?1 mg nh?? (s ? p ) ? K ? (s ? z )j g i j?1 i ?1nm? (s ? p )? (s ? p ) ? K K ? (s ? z )? (s ? z )j l g h i k j?1 l ?1 i?1 k ?1ngnhmgmh§4-4-2 求取闭环系统零点的方法3.G(s)的极点与H(s)的零点相抵消特殊极点：G(s)的极点与H(s)的零点相抵消，根轨迹未表达 问题：如果非单位反馈系统G(s) 分母与H(s) 分子含 公因子, 则开环传递函数将有相应的开环极点和零点相 消,致使特征方程阶次下降,按相消后开环传函画的根轨 迹所求的闭环极点数将会减少,而减少的闭环极点恰好 是相消的开环极点；例如 Gk ( s) ? G ( s) H ( s) ? Ψ (s) ? K g ( s ? 1) s( s ? 1)( s ? 2)Kg s( s ? 1)( s ? 2) ? K g ( s ? 1)此时通过根轨迹，开环极点个数减少§4-4-2 求取闭环系统零点的方法3.G(s)的极点与H(s)的零点相抵消解决办法：为了补回因抵消而丢失的闭环极点,可将结 构图变换,使G(s)H(s)根轨迹图中丢失的闭环极点,由 1/H(s)的极点补回。1 G(s)H(s) Φ(s) ? H(s)1 ? G(s)H(s)§4-4-3 闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系自动控制系统性能： 1.稳定性：要求系统稳定,则全部闭环极点应在左 半s平面;系统稳定与闭环零点的位置无关; 2.快速性：要求系统的快速性好,则闭环极点应远 离虚轴,以便使阶跃响应中每个分量都衰减得更 快; 3.工程最佳参数：要求系统的平稳性好,则闭环共 轭复数极点应位于β =?45°的等阻尼线上,对应 ζ =0.707;§4-4-3 闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系4.主导极点的影响：离虚轴最近的闭环极点对系统 的动态过程性能影响最大,称主导极点。 非主导极点：模比&5,且附近又无闭环零点,则其 它极点对动态性能影响可以忽略, 则系统可近似 处理为共轭主导极点构成的二阶系统或实数主导 极点构成的一阶系统; 5.闭环零点可削弱或抵削其附近闭环极点的作用。 非常接近的一对零极点称为一对偶极子,偶极子越 靠近,零点对极点的抵消作用越强。人为地引入适 当零点,以抵消对动态过程有明显坏影响的极点, 可提高系统的性能指标。§4-5 增加开环零、极点对根轨迹的影响 §4-5-1 增加开环零点对根轨迹的影响设增加一个开环零点,则 ⑴ 根轨迹在实轴上分布改变; ⑵ 根轨迹渐近线条数、倾角、截距改变; ⑶ 若增加的零点与某极点重合或距离很近,则构成开环 偶极子,则两者相互抵消; ⑷ 根轨迹向左偏移,有利改善系统动态性能,所加零点越 靠近虚轴,影响越大。幅值条件: G k(s) ? 1, 即Kg ? (s ? zi ) ? (s ? pj )j?1 i?1 n m?1相角条件: ?Gk(s)? ?180? ? 1), ? 0,1,2, ; (2k k ? 即? ? ? zi )? ? ? ? pj ) ? ?180? ? 1), ? 0,1,2, (s (s (2k k ?i?1 j?1 m n§4-5 增加开环零、极点对根轨迹的影响 §4-5-2 增加开环极点对根轨迹的影响设增加一个开环极点,则 ⑴ 根轨迹在实轴上分布改变; ⑵ 根轨迹渐近线条数、倾角、截距改变; ⑶ 根轨迹的分支数改变; ⑷ 根轨迹向右偏移,不利于改善系统动态性能,所加极点越 靠近虚轴,影响越大;幅值条件: G k(s) ? 1, 即Kg ? (s ? zi ) ? (s ? pj )j?1 i?1 n m?1相角条件: ?Gk(s)? ?180? ? 1), ? 0,1,2, ; (2k k ? 即? ? ? zi )? ? ? ? pj ) ? ?180? ? 1), ? 0,1,2, (s (s (2k k ?i?1 j?1 m n§4-5 增加开环零、极点对根轨迹的影响 §4-5-3 增加开环偶极子对根轨迹的影响1、开环偶极子：指一对距离很近 的开环零极点,其距离比它 们 与参考点的模值小一个数量级) (如：s+0.05/(s+0.005)) 2、影响: ⑴开环偶极子对离它们较远的根 轨迹形状及根轨迹增益Kg无影 响; 原因：开环偶极子与远处根轨 迹某点形成的向量基本相等,它 们在幅值条件及相角条件中可 以相互抵消。§4-5-3 增加开环偶极子对根轨迹的影响⑵开环偶极子对系统性能的影响： a.若开环偶极子位于s平面原点附近,则由于闭环主导极点 离原点较远,故开环偶极子对闭环主导极点的位置及增 益均无影响。 b. 增加的开环偶极子显著地影响系统的稳态误差系数,从 而影响系统的稳态性能。j?如Gk ( s ) ? ?K g ( s ? 0.05)ss ( s ? 1)( s ? 0.005 ) 10 K g (20 s ? 1) s ( s ? 1)( 200 s ? 1)此时，开环放大系数增大10倍§4-5-3 增加开环偶极子对根轨迹的影响i τs ? 1 s ? zc ' c i?1 i?1 Gk(s)? K ?Kc ? Kg n n Tcs ? 1 s ? pc ν ν s ?(Tjs ? 1) s ?(s ? pj ) i j? ?1 ν j? ?1 ν?(τs ? 1)m?(s ? z )m设增加开环偶极子后的 开环传递系数为K’,则:1) 当|zc/pc|&1时，开环放大? K ' ? KK c ? K g?zi?1 n j? ?1 νmi?pjzc pc系数增大，稳态误差系数增大， 提高系统稳态性能。 2) 当|zc/pc|&1时,开环放大系 数减少，稳态误差系数减少， 减低系统稳态性能。§4-5-3 增加开环偶极子对根轨迹的影响例4-23例 4? 23 Gk (s) ?影响： s(s ? 1) 1）极点：当kg增大到一定程度，根轨 j? 迹跨入s右半平面，系统不稳定。 2) 零点: 根轨迹始终在左侧，系统稳 定，随着kg增大，闭环极点变为共轭复 s 数，再变为实数，相对稳定性更好。Kg0j?j?-10.5s -2 -1 0.5 0-2 -1 0.5 0s增加极点-2增加零点-2§4-5-3 增加开环偶极子对根轨迹的影响例4-24例4.24：对系统Gk ( s ) ? Kg s 2 ( s ? 10)增加零点z1对系统的影响 引入适当开环零点能显著 改善系统性能-10&-z1&0 时的根轨迹原系统-z1&-10时的 根轨迹§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.25例4.25 用根轨迹法求系统G (s） ? k 稳定时Kg范围. K g(s ? 1)2 s(s ? 1)(s ? 4s ? 16)j? 3.414分析： 1）首先画出根轨迹； 2）系统稳定：根轨迹在s平面的左侧，因此根轨迹与虚轴 的交点所对应的kg值，是此题的关键。解 1)根轨迹对称于实轴2)分支数：n=4-2-101s? 3)起始点： ? p1 ? 0, p 2 ? 1, ? p 3 , 4 ? ?2 ? j2 3终止点： ? z1 ? ?1和3个无穷远-3.414§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.254)实轴上的根轨迹[0，1]，[-1，-?)5)分离点与会合点： 在[0, 1]存在分离点； 在[-1，-?)存在会合点； 高阶，采用且切线法或牛顿法。 分离点为：0.45； 会合点为：-2.33。 6)渐近线：-2mj? 3.41460?-1-0.66701sn?m 180? (2k ? 1) θ? ? ?60?,180? n?m?σ ? a?( ?p )? ?( ?z )j i j?1 i?1n2 ?? , 3-3.414§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.257)出射角：θ ? 180? (2k ? 1)? ? ?p 3 ? z1 )? ? ?p 3 ? p1 ) ( ( 3 ? ? ?p 3 ? p 2 )? ? ?p 3 ? p 4 ) ( ( ? 180? ? 106? ? 120? ? 130.5? ? 90? ? ?54.5?; θ ? 54.5? 48) 与虚轴交点： 劳斯判据求与虚轴交点。s4 ? 3s3 ? 12s2 ?(Kg ? 16)s? K g ? 0§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.25? K 2 ? 59Kg ? 832 g ?0 52 ? K g ? K g p 1 ? 23.3, g p 2 ? 35.7 K(52 ? K g ) 2 s ? Kg ? 0 3 ? K g ? K g p 1: A 1 , 2 ? ?j1.56; K g ? K g p 2: B1 , 2 ? ?j2.56§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.25稳定性分析：1)起始于复数极点，-p3， -p4的分支一直在s面左 侧，对系统稳定性无影 响； 2)开环极点0和1出发的根 轨迹在 23.3&kg&35.7时系 统根轨迹在s面左侧，此 时系统稳定。§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.25系统 阶跃 响应§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.26例4.26 已知随动系统的 结构图，如右图。 Gc为控制器传递函数。 为使系统根轨迹通过s平 面上A1,2=-1.5?j1.5, 问： 1）控制器的零极点- zc1和-pc1如何配 置？ Kg(s ? z c 1) Gc(s)? (s ? p c 1) 2) 若使系统的闭环极点为 -s1,s2=-1.5?j1.5，速度误差系数 Kv?12,控制器还需增加一对零极点zc2，-pc2，应如何配置？分析： 1)与系统根轨迹相 关；画出配置前 的根轨迹。 2)通过根轨迹配置 零极点。§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.261）当Gc1=Kg时，系统开环传 递函数为： Kg Gk 1 ? (s) s(s ? 1) 对应的根轨迹如右图，无论Kg 取何值，都不会通过A1,2点2）将控制器参数配置成： -zc1=-1， -pc1=-3j?s -1 0.5 0j?Kg(s ? 1) Kg Gk(s)? ? s(s ? 1)(s ? 3) s(s ? 3)s -3 -1.5 -1 0.5 0根轨迹通过A1,2点的Kg值为Kg1=4.5(幅值条件) 开环传递系数为：K1=4.5/3=1.5 速度误差系数为：Kv=K1=1.5§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.263）系统根轨迹已通过要求点，但速度误差系数不满足大 于的12要求，需增大开环系数8倍，即： -zc2/-pc2 ?8, 增加靠近原点的零极点，极点更靠近原点。 可选择s ? z c 2 s ? 0.05 ? s ? pc 2 s ? 0.005K g(s ? 0.05) Gk 3(s)? s(s ? 3)(s ? 0.005)3 ? 0.005 ? ? 0.707, ? 4.3%, s ? 3/1.5? 2(s) σ% t A1 , 2: K g ? 4.57, ? K K g ? 0.05 ? 15.2§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.26§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.26校正后 系统阶 跃响应§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.26校正后 系统根 轨迹§4-6 控制系统的根轨迹法分析举例例4.26校正后 系统根 轨迹局 部放大第四章小结：绘制(10个法则 +1特殊情况) 正反馈、多回路 系统根轨迹 根轨迹求系统零、极点 极点：主导极点 零点：分析传函零、极点及一种 特殊偶极子对系 统的作用分析第六章 自动控制系统的校正控制系统的分析与综合设计包括：?系统分析：对已知结构参数的系统进行建模, 对系统进行动 静态性能指标的计算,研究和确定性能指标与参数关系的过 程。 系统设计：根据实际运行需要,从工程实际出发,提出期望性 能指标,然后根据控制对象,合理选择方案及结构,计算参数 和选择元部件,通过仿真和实验研究，建立起能同时满足稳 态和暂态过程性能指标的实用系统。系统综合：（1）设计问题的不唯一性；（2）结构和参数对 性能指标的关系互相矛盾；（3）既要考虑技术要求，也要 考虑经济、可靠性、物理实现、环境和能源等因素。??§6-1 控制系统校正的基本概念 §6-1-1 校正的一般概念?固有系统:通常,系统设计中,根据己知被控对象的特点、技 术要求以及经济性、可靠性、维修方便性等要求选定系统其 它部件,从而组成最基本的控制系统,称为固有系统。固有系 统中除放大器的放大系数可调外,其余参数在设计过程中往 往是不变的,故又称为不可变部分。 校正装置:固有系统性能较差,难以满足对性能指标的要求, 必须在系统原有结构基础上引入新的附加环节(校正装置)以 作为同时改善系统稳态性能和动态性能的手段。这种用添加 新环节去改善系统性能的过程称为对控制系统的校正。 控制系统的设计＝＞校正装置的特性设计：方式、类型以及 具体参数??§6-1 控制系统校正的基本概念 §6-1-2 校正方式－两类基本形式?串联校正：?并联校正(反馈校正）：§6-1-2 校正方式?复合控制校正§6-1 控制系统校正的基本概念 §6-1-3 性能指标?性能指标是衡量控制系统性能优劣 的尺度，分稳态和动态两大类:随动控制中的稳态误差系数Kp、 Kv、Ka1.稳态性能指标?§6-1 控制系统校正的基本概念 §6-1-3 性能指标?恒值控制中的稳态误差? sG2(s) e ? lim N(s)? ?lim s? N(s)N(s) s ? 0 1 ? G (s)G (s)H(s) s?0 1 2' ss式 中, 1(s)G2(s)H(s)? G k(s) G G 2(s)为 扰动 作用 点到 出那 部分 前向 通道 传 函数 。 输 递§6-1 控制系统校正的基本概念 §6-1-3 性能指标2.动态性能指标时域指标：最大超调量s%、调节时间ts、 峰值时间tp 复域指标: 主导极点所允许的最小阻尼系 数?和最小无阻尼振荡角频率?n 频域指标：开环频域指标闭环频域指标§6-1 控制系统校正的基本概念 §6-1-3 性能指标时域指标：最大超调量s%、调节时间ts、峰值时间tp? sin(π β)? ?sinβ ? 1 ? ? 2 ? ? ?σ% ? e??π/ 1?? 2? 100%; 即σ%完全由?决定,? ?, ? ； σ%π π tp ? ? ωd ωn 1 ? ? 2ts ? t' ? s 1 1 ln ?ωn Δ 1? ? 2§6-1 控制系统校正的基本概念 §6-1-3 性能指标时域指标：最大超调量s%、调节时间ts、峰值时间tpc(t)- c(?) ? ?1 1? ? 2e ??ωn tsin(ω t ?β), ? 0 t dπ π tp ? ? ωd ωn 1 ? ? 21 1 ts ? t ? ln ? ωn Δ 1 ? ? 2' sts ?3(or4) ? ωn§6-1 控制系统校正的基本概念 §6-1-3 性能指标复域指标: 主导极点所允许的最小阻 尼系数?和最小无阻尼振 荡角频率?n§6-1 控制系统校正的基本概念 §6-1-4 校正装置的设计方法3.设计方法：?(1) 频率法:利用校正装置改变原系统频率特性形状,使其 具有合适的低频段、中频段和高频段从而获得满意的静、 动态性能。 (2) 根轨迹法：假定校正后闭环具有一对主导共轭复数极 点,若原系统性能指标达不到要求,则引入适当校正装置,利 用其零极点去改变原根轨迹,使通过期望主导极点。考虑到 校正后系统的闭环零点和非主导极点对性能的影响,故选择 期望主导极点时应留有余地。 (3) 计算机辅助设计??§6-4 串联校正装置的根轨迹法设计根轨迹法设计原理： ? 主导极点：主要影响系统性能； ? 零、极点位置对性能影响： 1)零、极点适当设置，零点起主要作用，根轨迹左移， 提高系统稳定性（超前校正）。 2)偶极子适当设置，增大系统开环传递函数，降低系统 稳态误差，提高系统性能（滞后校正） 。 ? 校正思路： 思路1：超前校正（根轨迹左移）； 思路2：滞后校正（提高放大系数）； 思路3：超前－滞后校正§6-4 串联校正装置的根轨迹法设计 §6-4-1 根轨迹法设计的基本思想设计阶段的思路： 1. 将时域性能指标的要求转换为根轨迹的要求 ? 工程上常采用主导极点概念: ? 原因: 由于系统可能属于高阶系统,且系统的时域性能 指标不仅与闭环极点有关,还与闭环零点有关; 方法: 假设系统性能主要由主导极点决定; ? 1) 根据性能指标要求,确定主导极点应有位置; ? 2) 根据主导极点确定?和ω n值; ? 3) 最后考虑到其它极点零点的影响,对?和ω n适当修 正,并留有余地.§6-4-1 根轨迹法设计的基本思想1.性能指标的转换 1)根据性能指标要求,确定主导极点应 有位置;如右图,确定了阻尼角?; 2)根据主导极点确定?和ω n值; 3)对?和ω n适当修正.??π/ 1?? 2σ% ? e ts ?? ? ? β ? arccos ?3 ? ωn ?ωn? s1,2 ? ??ωn ? jωn 1 ? ? 2§6-4-1 根轨迹法设计的基本思想2.串入超前校正的效应?串联超前校正是在系统开环零、极点的基础上增 加一对零、极点(-1/T,-1/α T),且零点比极点更 靠近坐标原点，即零点起主要作用。 分析影响： 根轨迹左移；动态性能改善 附加零极点引起相角的变化：?c ? ? z ? ?p ? 0§6-4-1 根轨迹法设计的基本思想2.串入超前校正的效应串联超前校正是引入一对 Zc&Pc 的开环负实数零极 点; ? 影响： ? 使系统的根轨迹形状改 变,向左移动, ? 增大系统的阻尼率和无 阻尼振荡角频率,从而 有效改善动态性能。 ? 传递系数衰减α 倍，为保 持稳态性能，系统放大器 需作补偿。?1 T ? a Ts ? 1 Gc ( s) ? 1 aTs ? 1 s? aT s?§6-4-1 根轨迹法设计的基本思想3.串入滞后校正的效应串联滞后校正是在系统原有零极点基 础上增加一对零极点(-1/T,-1/β T), 且极点比零点更靠近坐标原点； 分析影响：当T值很大时,這对零极点就 非常靠近坐标原点,因此： 1)对距原点较远的主导极点产生的相角 为负,但值很小,故对主导极点处根轨 迹及Kg影响很小, 2)但使系统的开环放大系数增大D倍.??c ? ? z ? ? p ? 0zc D? ?β pc1 T D ? Gc ( s ) ? ?? s ?0 1 s? ?T s ?0 s?§6-4-2 超前校正装置的根轨迹法设计－小结设计步骤:? ? ?绘原系统根轨迹图,分析性能并确定校正形式; 确定期望的主导极点位置; 若原根轨迹不通过主导极点,则须超前校正,通过超前网 络提供的相角,迫使根轨迹通过期望的主导极点：设Gc(s)、G (s)分别为串联校正 环节和原开环传递函数 ， o 则校正后开环传递函数 为： G(s)? G c(s)Go(s) ?G(s1) ? ?G c(s1)? ?G o(s1) ? ?180? ， (2k ? 1) ??c ? ?G c(s1) ? ?180? (2k ? 1)? ?G o(s1)? ?根据所求得的相角，用图解法确定校正环节传递函数 绘出校正后的系统根轨迹图,全面校验系统性能。§6-4-2 超前校正装置的根轨迹法设计4 例6 ? 8 : G o(s） ? s(s ? 2） 校正系统，要求σ% ? 20%, s ? 1.5s t1.画出根轨迹，根轨迹如右图；2.确定期望的主导极点位置：σ% ? e??π/ 1?? 2? 20% ? ? ? 0.45取 ζ? 0.5 ?β? 60? ts ? 3 ? 1.5s ?ωn ? 4rad/s ζω n2 ?s1 , 2 ? ? n ? jωn 1?ζ ? ?2 ? j2 3 ζω§6-4-2 超前校正装置的根轨迹法设计分析:原来的根轨迹为通过(-1,j0)的垂线，不通过S1,S2点。 修正：根轨迹左移； 方法：引入零极点，且零点靠近坐标原点，起主要作用。零点 提供正相角、极点提供负相角后满足相角条件。 3.引入超前校正，使得根轨迹左移。设校正网络 提供的相角为?c 。原来系统开环零极点对A产 生相角为?G0(S1)? c ? ?G o(s1 ) ? 180? (2k ? 1)?1 θ1 4 ?G o(s1 ) ? ? ? ??s1 ? ? 1 ? 2) (s s1(s1 ? 2) ?c=θ1??1 ? ?120? ? 90? ? ?210??? c ? 180? ?( ?210?) ? 30?§6-4-2 超前校正装置的根轨迹法设计4）图解法确定校正系统的零极点 ?从A向左做水平线AA’； ?角OAA’的角平分线； ?角平分线前后1/2?c； ?与实轴的交点：零点和极点A’ A?CAD ? ?CAE ? ?c /2 ? 15? ? ?p c ? ?5.4, z c ? ?2.9 ??D C 角平 分线 EOS ? 2.9 ? G c(s)? K g c s ? 5.4B§6-4-2 超前校正装置的根轨迹法设计5）校正后系统开环传递函数及根轨迹G(s)? G c(s)Go(s) K g(s ? 2.9) ? s(s ? 2)(s? 5.4)6）当根轨迹通过主导极点时，根据 幅值条件，根轨迹增益Kg为Kg ?s1 s1 ? 2 s1 ? 5.4 s1 ? 2.9Kg 18.8 4 ? 3.464? 4.854 ? ? 18.8 ? K g c ? ? ? 4.7 3.579 Kg o 4§6-4-2 超前校正装置的根轨迹法设计7）稳态性能：(s ? 2.9) G(s)? 18.8 s(s ? 2)(s? 5.4) 5.05(0.345 ? 1) s ? s(0.5s? 1)(0.185s 1) ?该系统为I型系统， 稳态性能用速度误差： 1 / Kν ? 1 / K ? 1 / 5.05 ? 0.198§6-4-2 超前校正装置的根轨迹法设计(例6-8matlab)根 轨 迹§6-4-2 超前校正装置的根轨迹法设计(例6-8matlab)阶 跃 响 应§6-4-3 滞后校正装置的根轨迹法设计—小结设计步骤: ⑴绘出原系统根轨迹,并确定期望主导极点(A点); ⑵用幅值条件求A点的根轨迹增益及开环放大系数 ⑶由静态指标要求,确定系统所需增大的放大倍数D ⑷选择校正网络的零点-zc及极点-pc,(zc=Dpc),使它们尽 量靠近原点从而相对于A点为一对偶极子 ⑸画出校正后系统的根轨迹,调整放大器增益,使闭环主导 极点位于期望位置; ⑹校验性能指标。1)系统根轨迹 2)期望主导极点 3)增益放大系数 4)增大的放大倍数D 5)零点与极点 6)校正后的轨迹 7)性能分析? K ' ? KD ? K g?zi?1 n j? ?1 νmi?pjzc pc§6-4-3 滞后校正装置的根轨迹法设计例6-9例6.9 已知单位反馈系统开环传递函数及校正后主导极 点及开环传递系统的要求为:Kg Go(s)? , ? 0.45, n ? 0.5, ? 15 ζ ω K s(s ? 4)(s? 6)j?(1) 原系统根轨迹 (2) 主导极点：Kg=44-4-2 s取ζ=0.5， 此时β=±60°， 对应的闭环主导极点(A、B):-6-40Kg=44-2? s1 , 2 ? ?1.2 ? j2.1, ? 0.5, n ? 2.4; ζ ω-4§6-4-3 滞后校正装置的根轨迹法设计例6-9(3)按照幅值条件，增益为 | s1 ? 0 || s1 ? p 2 || s1 ? p3 | Kg ? ? 2.4 ? 3.5 ? 5.24 ? 44 1 Kg 对应的开环传递系数：K o ? ? 1.83 ? 15 4?6 (4)将开环放大系数放大，加入滞后装置，校正装置 零极点之比为：zc K 15 D? ? ? ? 8.2, 取 ? D ? 10 p c K o 1.83考虑到减少滞后校正装置对主导极点的影响，加入的零 极点远离主导极点。可选：-pc=-0.005；-Zc=0.05§6-4-3 滞后校正装置的根轨迹法设计例6-9K g(s ? 0.05) G(s)? s(s ? 4)(s? 6)(s? 0.005)j? -4(6)校正后的性能： 瞬态性能：加入的零极点在主导极点产生的相角差为-0.93?，基 本不影响瞬态响应；-6 -4Kg=44-2 s 0稳态性能：A, : K ? K g B处Kg=44-2?zi?1 n j? ?1 νm-4i?p0.05 ? 44 ? ? 18.3 ? 15 4 ? 6 ? 0.005j§6-4-3 滞后校正装置的根轨迹法设计例6-9j? -4-2 s -6 -4 0 -2 局部 放大j?s -0.05 0 -0.005-4§6-4-3 滞后校正装置的根轨迹法设计例6-9校正 后的 根轨 迹§6-4-3 滞后校正装置的根轨迹法设计例6-9校正 后的 根轨 迹在 原点 附近 的放 大图§6-4-3 滞后校正装置的根轨迹法设计例6-9系统 阶跃 响应§6-4-4 滞后－超前校正装置的根轨迹法设计—小结设计步骤: ? 绘出原系统根轨迹,并确定期望主导极点(A点); ? 用幅值条件求A点的根轨迹增益及开环放大系数 ? 由静态指标要求,确定系统所需增大的放大倍数D ? 选择校正网络的零点-zc及极点-pc,(zc=Dpc), 使它们尽量靠近原点从而相对于A点为一对偶极子 ? 画出校正后系统的根轨迹,调整放大器增益,使闭环 主导极点位于期望位置; ? 校验各项性能指标。内容小结：绘制(10个法则 +1特殊情况) 正反馈、多回路 系统根轨迹 根轨迹 通过超前、滞 后、滞后-超前 校正装置对系 统进行校正， 提高系统稳态 或动态性能求取系统零极点 极点：主导极点 零点：分析传函零、极点及一种 特殊偶极子对系 统的作用分析