这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~高等数学中的等价无穷小我发现只要当x=0时保证两个函数的值和导数的值都分别相等它们就是等价的对吗?例如：㏑（1+x）与x是等价的,当x+0时它们的值与导数值都相等.我所知道的等价无穷小都满足这两个条件.请数学高手们给我回答.
音柔锅锅_久
2007年数学二考纲考研考纲 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容：函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求： 1. 理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 3. 理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念 5. 理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系 6. 掌握极限的性质及四则运算法则 7. 掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8. 理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限, 9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型 10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容:导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率的半径 考试要求： 1. 理解导数和微分的概念,理解导数和微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分 3. 了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数 4. 会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数 5. 理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理,了解并会用柯西( Cauchy ）中值定理 6. 掌握用洛必达法刚求未定式极限的方法． 7. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用． 8. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形． 9. 了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径． 三、一元函数积分学 考试内容:原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用 考试要求 1. 理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念 2. 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法 3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分 4. 理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿一莱布尼茨公式 5. 了解反常积分的概念,会计算反常积分 6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值
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你的结论是对的，因为等价无穷小量的定义就是两者比式的极限等于1。其实你发现的是用洛必达法则求极限，这个在后面导数的运用这一章会学。恭喜你，你已经等于自己先学会了洛必达法则。善于动脑的孩子~
其实两个函数的值在x=0时相等不相等的没有关系，例如cosx-1和1/2（x?2）在x=0时后者没有意义。所以满足导数相等才是关键。构造函数 F（x）=｛fx，xx0
=0，x=x0Gx={gx,xxo=0,x=x0FX Gx在【x0，x】都满足柯西定理的条件则有Fx-Fx0/Gx-Gxo=F’(p)/G’(P...
不知你学过泰勒公式没，很重要的公式，展开之后你就会发现这个问题的结论。ps：对于无穷小来说，它的阶是由在该点展开的泰勒级数的第一非零项决定的，当然在遇到非整数阶时就不适用了，这时候会此较复杂，不过本科忦断应该用不到
如果导数值相等，但等于0，就不正确 比如x²和x³，在x→0时。如果导数值相等，但不等0，且导函数还连续。你的结论正确。这就是“洛毕塔法则”，你可以去查。
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＞＞＞已知函数f（x）=1+ln(x+1)x．（x＞0）（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函..
已知函数f（x）=1+ln(x+1)x．（x＞0）（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立，求正整数k的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）函数f（x）=1+ln(x+1)x∴f′（x）=1x2[xx+1-1-ln（x+1）]=-1x2[xx+1+ln（x+1）]．由x＞0，x2＞0，xx+1＞0，ln（x+1）＞0，得f′（x）＜0．因此函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（2）解法一：当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．又k为正整数．则k的最大值不大于3．下面证明当k=3时，f（x）＞kx+1（x＞0）恒成立．即证明x＞0时（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x，则g′（x）=ln（x+1）-1．当x＞e-1时，g′（x）＞0；当0＜x＜e-1时，g′（x）＜0．∴当x=e-1时，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0．∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立．因此正整数k的最大值为3．解法二：当x＞0时，f（x）＞kx+1恒成立．即h（x）=(x+1)[1+ln(x+1)]x＞k对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．由h′（x）=x-1-ln(x+1)x2，记Φ（x）=x-1-ln（x+1）．（x＞0）则Φ′（x）=xx+1＞0，∴Φ（x）在（0，+∞）上连续递增．又Φ（2）=1-ln3＜0，Φ（3）=2-2ln2＞0，∴Φ（x）=0存在惟一实根a，且满足：a∈（2，3），a=1+ln（a+1），由x＞a时，Φ（x）＞0，h′（x）＞0；0＜x＜a时，Φ（x）＜0，h′（x）＜0知：h（x）（x＞0）的最小值为h（a）=(a+1)[1+ln(a+1)]a=a+1∈（3，4）．因此正整数k的最大值为3．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=1+ln(x+1)x．（x＞0）（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f（x）=1+ln(x+1)x．（x＞0）（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函..”考查相似的试题有：
490450264142889269297126245410846088已知函数f（x）=lnx+（a∈R）．（1）当a=时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小．
（1）当a=时，g（x）=lnx+-k，g'（x）=-2=2-5x+22x(x+1)2=0解方程得方程的根为：x1=2，x2=&由g（x）定义域可知x＞0；∵当0＜x＜时 &g'（x）＞0，g（x）增函数，当＜x＜2时& g'（x）＜0，g（x）减函数，当x＞2时&&&& g'（x）＞0，g（x）增函数，∴f（x）的极大值是，极小值是∴g（x）在x=处取得极大值3-ln2-k，在x=2处取得极小值+ln2-k；∵函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点∴当3-ln2-k＜0或+ln2-k＞0时g（x）仅有一个零点，∴k的取值范围是k＞3-ln2或．（2）当a=2时，，定义域为（0，+∞），令，∵2＝x2+1x(x+1)2＞0∴h（x）在（0，+∞）是增函数&∵h（1）=0∴①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；&& ②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；&& ③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．
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由题意得，由函数的零点转化为函数的极值与0的大小关系，如果可以借助数学结合思想的话，还可以看作函数图象与X轴的交点的个数的问题．
本题考点：
利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．
考点点评：
此题考查了：函数零点的存在性定理；利用导数求函数的单调性和极值的一般步骤．
扫描下载二维码假设当x->0，函数F(x)=积分号(t-ln(1+x))/(1+t^2) dt与cx^k是等价无穷小，求c,k假设当x->0，函数F(x)=∫(t-ln(1+t))/(1+t^2) dt与cx^k是等价无穷小，求c,k
加菲7日350
利用洛必达法则，上下求导，下面是2t，上面是t-ln（1+t）在继续求导，大概就是这个思路
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