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已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．
题型：解答题难度：偏难来源：同步题
解：（1）解方程x2﹣6x+5=0，得x1=5，x2=1由m＜n，有m=1，n=5所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c．得解这个方程组，得所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5（2）由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得﹣x2﹣4x+5=0解这个方程，得x1=﹣5，x2=1所以C点的坐标为（﹣5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（﹣2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×（5﹣2）=S梯形MDBO=×2×（9+5）=14，S△BOC=×5×5=所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC=14+﹣=15．（3）设P点的坐标为（a，0）因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）．由题意，得①EH=EP，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）②EH=EP，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）P点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+..”考查相似的试题有：
893727146441508826508737229267901198在平面直角坐标系中,点B在直线y=2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,OA=5,若抛物线y=1/6x^2+bx+c过O、A两点（1）求该抛物线的解析式； （2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由；（3）如图2,在（2）的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP,P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在,求出点Q的横坐标；若不存在,请说明理由．
分类：数学
：（1）设B(m,-2m),则A(m,o)因为AB=10,所以|-2m|=10即m=5或-5 ,所以A(5,0)或(-5,0) 因为抛物线y=-1/6x^2+bx+c过O点,所以c=0又 因为抛物线y=-1/6x^2+bx过A点,所以当A(5,0),时,0=-1/6·5^2+b·5,解得b=5/6当A(-5,0),时,0=-1/6·（-5）^2+b·（-5）,解得b=-5/6所以 y=-1/6x^2+5/6x 或y=-1/6x^2-5/6x(2)如果y=-1/6x^2+5/6x因为点A与点C关于直线y=-2x对称所以C(-3,-4) （由(1)中点在直线上；(2)斜率乘积为-1 求出）将C(-3,-4) 带入y=-1/6x^2+5/6x成立,即C是否在该抛物线上（3）存在(1)以角BOQ为直角,则过点O做直线y=-2x的垂线y=1/2x联立y=1/2x与y=-1/6x^2+5/6x 解得x=0或2 （异于O点 0舍去）则x=2,y=1 ,所以Q(2,1)(2))以角OBQ为直角,则过点B做直线y=-2x的垂线y=1/2x-25/2联立y=1/2x-25/2与y=-1/6x^2+5/6x 同理可解
多项式xy2-9xy+5x2y-25的二次项系数是______．
多项式xy2-9xy+5x2y-25的二次项-9xy，系数是-9．
0所以m/n>0,n/m>0所以m/n+n/m>=2根号(m/n*n/m)=2当m/n=n/m,m=n时取等号2m+n=1,m=n,有解,等号能取到所以最小值=4+2*2=8">x=-2,y=loga(1)-1=-1所以A(-2,-1)所以-2m-n+1=02m+n=1(1/m+2/n)*1=(1/m+2/n)(2m+n)=4+2(m/n+n/m)mn>0所以m/n>0,n/m>0所以m/n+n/m>=2根号(m/n*n/m)=2当m/n=n/m,m=n时取等号2m+n=1,m=n,有解,等号能取到所以最小值=4+2*2=8
cos40 + cos60 + cos80 + cos160= cos(60-20)+ cos60 + cos(60+20)+cos(180-20)= cos60cos20 + sin60sin20 + cos60 + cos60cos20 -sin60sin20 + cos180cos20 + sin180sin20= 1/2 cos20 + 1/2 + 1/2 cos20 -cos20 +0=1/2参考公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB技巧,将非特殊角转化成特殊角与另一个角相加,然后设法消掉那个角
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sinA和cosA是方程x2-kx+k+1=0的2个根所以有：sina+cosa=ksina*cosa=k+1sina^2+cosa^2=1(sina+cosa)^2-2sina*cosa=1k^2-2(k+1)-1=0k^2-2k-3=0(k+1)(k-3)=0k=-1,k=3(不符合,舍去）sina+cosa=-1,sina*cosa=0A(0,2pai)无解
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来源：2016o宜春模拟 | 【考点】二次函数综合题；根的判别式；根与系数的关系；勾股定理的逆定理．
（2016o顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）的“变换点”Q的坐标定义如下：当a≥b时，Q点坐标为（b，-a）；当a＜b时，Q点坐标为（a，-b）．（1）求（-2，3），（6，-1）的变换点坐标；（2）已知直线l与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2）．若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路；（3）若抛物线y=-x2+c与图形W有三个交点，请直接写出c的取值范围．
（2015秋o北京校级期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．（1）抛物线y=x2对应的碟宽为&&&&；抛物线y=4x2对应的碟宽为&&&&；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为&&&&；抛物线y=a（x-2）2+3（a＞0）对应的碟宽&&&&；（2）若抛物线y=ax2-4ax-（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线yn=anx2+bnx+cn（an＞0）的对应准蝶形记为Fn（n=1，2，3，…），定义F1，F2，…..Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn-1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．①求抛物线y2的表达式；②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…Fn的碟高为hn．则hn=&&&&，Fn的碟宽右端点横坐标为&&&&；F1，F2，…．Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．
（2014o太原三模）阅读材料：我们知道，抛物线y=ax2+bx+c的表达式都可以化成y=a（x-h）2+k的形式，其中（h，k）为抛物线的顶点，已知抛物线y=a（x-h）2+k与y轴交于点A，它的顶点为B，点A，B关于原点O的对称点分别是点C，D，若点A，B，C，D中任何三个都不在同一直线上，则定义四边形ABCD为抛物线y=a（x-h）2+k的友好四边形，直线AB为抛物线y=a（x-h）2+k的友好直线．解决问题：（1）如图1，求抛物线y=a（x-2）2+1的友好直线AB的解析式，并直接写出该抛物线的友好四边形ABCD的面积；（2）如图2，若抛物线y=a（x-h）2+k（h＞0）的友好直线是y=x-3，友好四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；拓展延伸：（3）如图3，若抛物线y=a（x-h）2+k的友好直线是y=-2x+m（m＞0），探究下列问题：①若抛物线y=a（x-h）2+k的友好四边形ABCD是菱形，求此时抛物线的顶点坐标，用含m的代数式表示；②若抛物线若y=a（x-h）2+k的友好四边形ABCD是矩形，求此时抛物线的顶点坐标，用含m的代数式表示．
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解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o宜春模拟）定义：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点和顶点构成直角三角形，则称这条抛物线为“勾股抛物线”．（1）下列抛物线：①y=x2-2x；②y=-x2-6x-8；③y=x2-4x+2是勾股抛物线的有（填序号）．（2）①观察你得到的勾股解析式，试猜想，在勾股抛物线y=ax2+bx+c中，b2-4ac=（不必证明）；②若y=x2+4x+c”的学库宝（http://www.xuekubao.com/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）设抛物线与x轴的两个交点为A、B顶点为C．只需求出点A、B、C的坐标再运用勾股定理的逆定理加以验证即可（2）①只需计算①、②两个勾股解析式对应的b2-4ac就可给出猜想②只需利用①中的猜想就可求出c（3）设点M（x1y1）N（x2y2）则x1x2分别是方程kx=-x2+1即x2+kx-1=0的两根根据根与系数的关系可得x1+x2=-kx1x2=-1由y=-x2+1可得点C（01）由点M、N在直线y=kx上可得M（x1kx1）N（x2kx2）然后只需运用勾股定理及其逆定理就可解决问题．
【解答】解：（1）设抛物线与x轴的两个交点为A、B顶点为C．①令y=0得x2-2x=0解得x1=0x2=2∴A（00）B（20）AB=2．由y=x2-2x=（x-1）2-1得顶点C（1-1）∴AC=BC=2∴AC2+BC2=4=AB2∴△ABC是直角三角形．②令y=0得-x2-6x-8=0解得x1=-4．x2=-2∴A（-40）B（-20）AB=2．由y=-x2-6x-8=-（x+3）2+1得顶点C（-31）∴AC=BC=2∴AC2+BC2=4=AB2∴△ABC是直角三角形．③令y=0得x2-4x+2=0解得x1=2-2x2=2+2∴A（2-20）B（2+20）AB=22．由y=x2-4x+2=（x-2）2-2得顶点C（2-2）∴AC=BC=(2)2+22=6∴AC2+BC2=12≠AB2∴△ABC不是直角三角形．故答案为①②（2）①对于抛物线y=x2-2x有b2-4ac=（-2）2-0=4②对于抛物线y=-x2-6x-8有b2-4ac=（-6）2-4×（-1）×（-8）=4．故猜想：b2-4ac=4故答案为4②由①可知b2-4ac=4∴16-4c=4∴c=3（3）设点M（x1y1）N（x2y2）则x1x2分别是方程kx=-x2+1即x2+kx-1=0的两根则有x1+x2=-kx1x2=-1．由y=-x2+1可得点C（01）∵点M、N在直线y=kx上∴M（x1kx1）N（x2kx2）∴MN2=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+k2）（k2+4）=k4+5k2+4MC2+CN2=x12+（kx1-1）2+x22+（kx2-1）2=x12+k2x12-2kx1+1+x22+k2x22-2kx2+1=（1+k2）（x12+x22）-2k（x1+x2）+2=（1+k2）（k2+2）-2ko（-k）+2=k4+5k2+4∴MN2=MC2+CN2∴△MCN为直角三角形．
【考点】二次函数综合题；根的判别式；根与系数的关系；勾股定理的逆定理．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o宜春模拟）定义：若抛物线y=ax2+bx+c与x”主要考察你对
“” “” “”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数综合题
一般分为这几类题目：1.二次函数与实际问题2.二次函数与相似三角形3.二次函数与图形变换4.二次函数有关的面积问题5.二次函数与圆
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作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)（2014?定陶县模拟）已知：如图13m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x2+bx+c的图象经过_百度知道
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（2014?定陶县模拟）已知：如图13m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．①求这个抛物线的解析式．②设①中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物...
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