(数字电路）将下列函数展开成最小项之和P(A,B,C)=A+BC
A\BC 00 01 11 100 0 0 1 01 1 1 1 1P=m3+m4+m5+m6+m7
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第1页（共21页）2015年湖南省邵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分有一个是符合题目要求的）1．设集合A{x|x＜3}，B{y|y2x，x＞0），则A∩B（）A．（0，1）B．（0，3）C．（1，∞）D．（1，3）2．已知a∈R，则a2是复数z（a﹣2）（a1）i（i为虚数单位）为纯虚数的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图分别如图所示，则标准差最大的是（）A．B．C．D．4．下列有关命题正确的是（）A．若命题p?，x﹣＜0，则￢p?x?R，x1≥0B．命题若xy，则逆否命题为真命题C．已知相关变量（x，y）满足线性回归方程2﹣3x，若变量x增加一个单位，则y平均增加3个单位D．已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X＜a）P（X＞4﹣a）．把边长为1的正方形对角线起，使得平面平面成三棱锥C﹣正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）第2页（共21页）A．B．C．D．6．某台小型晚会由6个不同的节目组成，演出顺序有如下要求节目甲和节目乙排在一起，节目乙和节目丙不能排在一起，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（）A．194种B．193种C．192种D．191种7．执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．10B．20C．100D．1208．已知，则θ﹣）的值是（）A．B．C．D．9．如图所示，直线x﹣y20与抛物线y交于A，D两点，分别过A，D作平行于y轴的直线交x轴于B，C两点，随机向梯形投一点P，则点P落在抛物线弓形（图中阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．10．已知二项式（3﹣x）n（n∈N）展开式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则的最小值为（）A．B．2C．D．11．已知O是锐角△外接圆圆心，∠A60°，m，则m的值为（）第3页（共21页）A．﹣B．C．﹣1D．112．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x），则关于x的函数F（x）f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣22a﹣1C．1﹣2﹣2﹣a﹣1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知幂函数f（x）图象过点P（4，8），则f（16）．14．已知m∈R，向量（m，1），（﹣12，4），（2，﹣4）且∥，则向量在向量方向上的投影为．15．已知实数x，y满足，若目标函数zx得最小值的最优解有无数个，则的最大值是．16．观察下面的算式，根据以上规律，把m∈N且m≥2）写成这种和式形式，则和式中最大的数为．三、解答题（共6小题，满分70分明过程或演算步骤）17．已知向量（21），（设函数f（x）．（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）在△，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）bf（）的取值范围．18．我市为了检测空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采用10分制，保留一位小数），现随机抽取20天的指数，绘制成如图所示的统计图（以整数部分为茎，小数部分为叶），设指数不低于视为当天空气质量为优良．（1）求从这20天中随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率（2）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）．若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X的分布列及数学期望．第4页（共21页）19．如图所示，在三棱锥P﹣，点P在平面的射影D与中点重合，已知，．（1）证明平面平面（2）若直线平面成角的正弦值为，求三棱锥P﹣体积．20．已知数列{公差为d的等差数列（1）若，，构成等比数列，求d的值（2）在（1）题条件下，若，设bn）n，数列{n项和为证≤．21．已知函数f（x）x，g（x）m2）x（x∈R）．（1）当曲线yf（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线yg（x）相切于点（2，g（2）），求m的值（2）若x1a，x2b是函数g（x）的两个极值点，且≥4．①求实数m的取值范围②求g（b）﹣g（a）的最大值．22．已知二次函数f（x）（a﹣1）b﹣4）x1，其中a＞0，b＞0．（1）当a3，b8时，求不等式f（x）≤0的解集（2）若函数f（x）在区间，2上单调递减，求最大值．第5页（共21页）2015年湖南省邵阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分有一个是符合题目要求的）1．设集合A{x|x＜3}，B{y|y2x，x＞0），则A∩B（）A．（0，1）B．（0，3）C．（1，∞）D．（1，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解由B中y2x，x＞0，得到y＞1，即B（1，∞），∵A（﹣∞，3），∴A∩B（1，3），故选D．2．已知a∈R，则a2是复数z（a﹣2）（a1）i（i为虚数单位）为纯虚数的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合复数的概念，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解若复数z（a﹣2）（a1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则a﹣20且a1≠0，解得a2，当a2时，复数z（a﹣2）（a1）i3i，（i为虚数单位）为纯虚数，成立，∴a2是复数z（a﹣2）（a1）i（i为虚数单位）为纯虚数的充要条件，故选C3．已知容量为9的4个样本，它们的平均数都是5，频率条形图分别如图所示，则标准差最大的是（）第6页（共21页）A．B．C．D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】由频率分布条形图，分析四个选项中的数据数据分布离散情况，得出对应方差与标准差的大小．【解答】解由所给的几个选项观察数据的波动情况，得到方差之间的大小关系，A的9个数据都是5，方差为0，B和C数据分布比较均匀，前者的方差较小，后者的方差较大，D数据主要分布在2和8处，距离平均数是最远的一组，所以最后一个频率分布直方图对应数据的方差最大，标准差也最大．故选D．4．下列有关命题正确的是（）A．若命题p?，x﹣＜0，则￢p?x?R，x1≥0B．命题若xy，则逆否命题为真命题C．已知相关变量（x，y）满足线性回归方程2﹣3x，若变量x增加一个单位，则y平均增加3个单位D．已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X＜a）P（X＞4﹣a）考点】命题的真假判断与应用．【分析】A对存在命题的否定，把存在改为任意，再否定结论即可B根据原命题与逆否命题为等价命题C根据线性回归方程判断即可D根据正态分布的概念可得．【解答】解A若命题p?，x﹣＜0，则￢p应为?x∈R，x1≥0，故错误B命题若xy，则命题为真命题，故逆否命题也为真命题，故正确C已知相关变量（x，y）满足线性回归方程2﹣3x，若变量x增加一个单位，则y平均减少3个单位，故错误D∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），μ2，第7页（共21页）∴p（x＜a）p（x＞4﹣a）错误．故选B．5．把边长为1的正方形对角线起，使得平面平面成三棱锥C﹣正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的正视图和俯视图确定三棱锥的侧视图，根据侧视图的结构计算面积即可．【解答】解取中点E，连结∵平面平面∴∴三角形直角△三棱锥的侧视图，∵，∴E，∴△面积S，故选B．6．某台小型晚会由6个不同的节目组成，演出顺序有如下要求节目甲和节目乙排在一起，节目乙和节目丙不能排在一起，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（）A．194种B．193种C．192种D．191种【考点】计数原理的应用．【分析】利用间接法，求出节目甲和节目乙排在一起的所有的排列，再排除甲乙丙或丙乙甲在一起的种数，问题得以解决．【解答】解节目甲和节目乙捆绑在一起看做一个复合元素，再和其它节目任意排有40，第8页（共21页）节目甲和节目乙和节目丙捆绑在一起看做一个复合元素（排成甲乙丙或丙乙甲的方式），再和其它节目任意排有48，则节目甲和节目乙排在一起，节目乙和节目丙不能排在一起，该台晚会节目演出顺序的编排方案240﹣48192种，故选C，7．执行如图所示的程序框图，输出的S值是（）A．10B．20C．100D．120【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解第一次执行循环体后，a1，满足继续循环的条件，故S1，i2第二次执行循环体后，a3，满足继续循环的条件，故S2，i3第三次执行循环体后，a5，满足继续循环的条件，故S3，i4第四次执行循环体后，a7，满足继续循环的条件，故S4，i5第五次执行循环体后，a9，满足继续循环的条件，故S5，i6第六次执行循环体后，a11，满足继续循环的条件，故S6，i7第七次执行循环体后，a13，满足继续循环的条件，故S7，i8第八次执行循环体后，a15，满足继续循环的条件，故S8，i9第九次执行循环体后，a17，满足继续循环的条件，故S9，i10第十次执行循环体后，a19，满足继续循环的条件，故S10，i11第十一次执行循环体后，a21，不满足继续循环的条件，故输出的S值为10，故选A8．已知，则θ﹣）的值是（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式求得θ﹣）的值．第9页（共21页）【解答】解∵，则θ﹣），故选D．9．如图所示，直线x﹣y20与抛物线y交于A，D两点，分别过A，D作平行于y轴的直线交x轴于B，C两点，随机向梯形投一点P，则点P落在抛物线弓形（图中阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型定积分在求面积中的应用．【分析】根据几何概型的概率公式结合积分的应用求出阴影部分的面积，进行求解即可．【解答】解由得x﹣20得x﹣1，或x2，即A（﹣1，1），D（2，4），则梯形面积，则阴影部分的面积S（x2﹣﹣x）|，则随机向梯形投一点P，则点P落在抛物线弓形（图中阴影部分）的概率P，故选C．10．已知二项式（3﹣x）n（n∈N）展开式中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则的最小值为（）A．B．2C．D．【考点】二项式定理的应用．第10页（共21页）【分析】令x1，可得a2n，令x﹣1，可得b4n，然后利用函数的单调性求得的最小值．【解答】解解令x1，可得a2n，令x﹣1，可得b4n．∴（）n，2n，∴（）n2n≥2，故选D．11．已知O是锐角△外接圆圆心，∠A60°，m，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣1D．1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】作出图形，取点D，并连接而有，可设△内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，然后在的两边同时乘以，进行数量积的运算便可得到，由正弦定理即可得到，从而解出，而AC），这样便可求出m﹣2而便得出m的值．【解答】解如图，取点D，则，∴设△三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c由得，两边同乘以得即∴由正弦定理，∴b2c2入上式整理得∴﹣2又∠A60°∴．故选A．第11页（共21页）12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x），则关于x的函数F（x）f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣22a﹣1C．1﹣2﹣2﹣a﹣1【考点】函数的零点．【分析】函数F（x）f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为在同一坐标系内yf（x），ya的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解∵当x≥0时，f（x）即x∈0，1）时，f（x）（x1）∈（﹣1，0x∈1，3时，f（x）x﹣2∈﹣1，1x∈（3，∞）时，f（x）4﹣x∈（﹣∞，﹣1）画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示则直线ya，与yf（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a0共有五个实根，第12页（共21页）最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）（﹣x1），又f（﹣x）﹣f（x），∴f（x）﹣（﹣x1）（1﹣x）﹣11﹣x），∴中间的一个根满足1﹣x）a，即1﹣x2a，解得x1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知幂函数f（x）图象过点P（4，8），则f（16）64．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数f（x）的解析式，根据图象过点（4，8），求出f（x）的解析式，从而求出f（16）的值．【解答】解设幂函数f（x）∵幂函数f（x）图象过点（4，8），∴4α8，解得α，∴f（x），∴f（16）64．故答案为64．14．已知m∈R，向量（m，1），（﹣12，4），（2，﹣4）且∥，则向量在向量方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量共线的坐标表示，求得m﹣3，再由数量积公式求得向量a，c的数量积，及向量a的模，再由向量在向量方向上的投影为，代入数据即可得到．【解答】解由于向量（m，1），（﹣12，4），且∥，则4m﹣12，解得，m﹣3．则（﹣3，1），﹣32﹣4﹣10，则向量在向量方向上的投影为﹣．故答案为﹣第13页（共21页）15．已知实数x，y满足，若目标函数zx得最小值的最优解有无数个，则的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，得到满足题意的a值，再由的几何意义求得答案．【解答】解由约束条件作出可行域如图，化目标函数zx，若a＞0，不满足题意∴a＜0，要使目标函数zx得最小值的最优解有无数个，则，a﹣1．的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率，联立，解得A（4，2），∴的最大值为．故答案为．16．观察下面的算式，第14页（共21页）根据以上规律，把m∈N且m≥2）写成这种和式形式，则和式中最大的数为m1．【考点】归纳推理．【分析】根据，，可知从23起，分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故首数为m1．【解答】解根据，，从23起，分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故首数为m1，故答案为m1三、解答题（共6小题，满分70分明过程或演算步骤）17．已知向量（21），（设函数f（x）．（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）在△，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）bf（）的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图象．【分析】（1）由向量的数量积的坐标表示，由二倍角公式和辅助角公式，结合正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到所求（2）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简可得，求得B，A∈（0，），再由正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．【解答】解（1）f（x）22x），由2≤2x≤2，k∈Z，可得≤x≤，即有f（x）的单调递增区间为，，k∈Z（2）（2a﹣c）b由正弦定理可得，（2即为2BC），即有2可得（0），第15页（共21页）由0＜B＜π，可得B，故A∈（0，），则f（）2A），且A∈（，），即有A）∈（，1，故f（）的取值范围是（1，2．18．我市为了检测空气质量，每天都要记录空气质量指数（指数采用10分制，保留一位小数），现随机抽取20天的指数，绘制成如图所示的统计图（以整数部分为茎，小数部分为叶），设指数不低于视为当天空气质量为优良．（1）求从这20天中随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率（2）以这20天的数据估计我市总体空气质量（天数很多）．若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用X表示抽到空气质量为优良的天数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差频率分布直方图离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图，利用对立事件的概率计算公式即可从这20天中随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率（2）利用超几何分布即可得到分布列，再利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解（1）记至少有2天空气质量为优良的概率为事件A，则所求事件概率为P（A）1﹣．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，X～B（3，）P（X0）（）3，P（X1）（）2，P（X2））2，P（X3）（）3，∴X的分布列为X0123P第16页（共21页）123．19．如图所示，在三棱锥P﹣，点P在平面的射影D与中点重合，已知，．（1）证明平面平面（2）若直线平面成角的正弦值为，求三棱锥P﹣体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得平面得平面出平面平面（2）建立空间直角坐标系，设PDh，则平面法向量与的夹角的正弦等于，列方程解出棱锥的高【解答】（1）证明∵点P在平面的射影D是中点，∴平面∵面∴∵，，∴∴又∵面面CD，∴平面∵面∴平面平面（2）解建立如图所示的空间直角坐标系C﹣设PDh，则（2，0，h），（0，8，0），设平面法向量为（x，y，z），则，，∴，令z﹣2，得（h，0，﹣2）．∵（﹣4，8，0），设平面成的角为θ，则，解得h2．∴三棱锥P﹣体积V．第17页（共21页）20．已知数列{公差为d的等差数列（1）若，，构成等比数列，求d的值（2）在（1）题条件下，若，设bn）n，数列{n项和为证≤．【考点】数列的求和等比数列的通项公式．【分析】（1），，构成等比数列，可得（）（），即（）（d5），解得d．（2）﹣（n﹣1）4﹣n，bn）n（4﹣n），利用错位相减法与等比数列的前n项和公式即可得出利用数列的单调性即可得出．【解答】（1）解∵，，构成等比数列，∴（）（），∴（）（d5），化为（d1）20，解得d﹣1．（2）证明﹣（n﹣1）4﹣n，∴bn）n（4﹣n），∴2，2（5﹣n）（4﹣n），∴﹣﹣（4﹣n）﹣﹣（4﹣n）1（n﹣2），∴（n﹣2）．∵1﹣﹣，第18页（共21页）∴当1≤n≤3时，数列{单调递增数列，当n≥4时，数列{单调递减数列．即4＞又，且n≥3，2．∴最小值为当n3或4时，最大值为．故≤．21．已知函数f（x）x，g（x）m2）x（x∈R）．（1）当曲线yf（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线yg（x）相切于点（2，g（2）），求m的值（2）若x1a，x2b是函数g（x）的两个极值点，且≥4．①求实数m的取值范围②求g（b）﹣g（a）的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），g′（2），得到关于m的方程组，无解，从而判断m不存在（2）①求出（m2）2（ab）22，令t，则t∈4，∞），令ω（t）t2，通过求导判断ω（x）的范围，从而求出m的范围即可②求出g（b）﹣g（a）的表达式，通过换元以及函数的单调性问题，求出其范围即可．【解答】解（1）f′（x）2xx，g′（x）x﹣（m2），f′（1）2，g′（2）﹣m，曲线yf（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣（1）2（x﹣1），即y2x﹣1曲线yg（x）在点（2，g（2））处的切线方程是y﹣（2m﹣2）（﹣m）x﹣2，即y（﹣m）x3，由题意得，故切线不可能重合，故m的值不存在（2）函数g（x）的定义域是（0，∞），第19页（共21页）g′（x），∴a，b是方程m2）x10的两个不相等的正根，且≥4，∴，①（m2）2（ab）22，令t，则t∈4，∞），（m2）2t2，又ω（t）t2在4，∞）递增，∴ω（t）≥ω（4），∴（m2）2≥③，∴m的范围是，∞）②g（b）﹣g（a）（（m2）（b﹣a）（（﹣）（t﹣），令h（t）（t﹣），t∈4，∞），h′（t）﹣＜0，∴h（t）≤h（4），∴g（b）﹣g（a）的最大值是．22．已知二次函数f（x）（a﹣1）b﹣4）x1，其中a＞0，b＞0．第20页（共21页）（1）当a3，b8时，求不等式f（x）≤0的解集（2）若函数f（x）在区间，2上单调递减，求最大值．【考点】函数单调性的判断与证明二次函数的性质．【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解得即可（2）需要分类讨论，根据二次函数的性质和基本不等式即可求出最大值．【解答】解（1）当a3，b8时，f（x）x1，∵f（x）≤0，∴x1≤0，解得﹣2﹣≤x≤﹣2，∴不等式f（x）≤0的解集为（﹣2﹣，﹣2），（2）f（x）的对称轴为x﹣，函数f（x）在区间，2上单调递减，①当a＞1时，抛物线的开口向上，由﹣≥2，得2ab≤6，∵2ab≤≤9，∴，当且仅当，即a，b3时等号成立，②当a＜1时，抛物线的开口向上，由﹣≤，得a2b≤9，∵a2b≤≤，∴，当且仅当a，b时等号成立，∵a＞1，故应舍去，由①②得最大值为．第21页（共21页）日
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关&键&词： 湖南省 邵阳市 2016 届高三上 期末 数学试卷 理科 答案 解析
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人人文库网网站版权所有 苏ICP备号-5解：逻辑表达式的形式有多种多样，可以相互转换；Y?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?AB；Y?AB?BC?AC?ABC（与或非式）用摩根定；Y?(A?B)(B?C)(A?C)(A?B?C)；Y?(A?B)(B?C)(A?C)(A?B?C)；要点：在逻辑函数的各种形式中，与或式和或与式是最；Y1?A(B?C)?CD；Y2?AB?C?D?CY3?A(B?C
解：逻辑表达式的形式有多种多样，可以相互转换。在具体实现时由逻辑门的种类决定。
原函数是与或式，在原函数上家两个反号，再运用摩根定理去掉一个反号，即可得到与非-与非式。
Y?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC
（与非-与非式） 用摩根定理把与非-与非式中每个与项中上的反号去掉，得到
Y?(A?B?C)(A?B?C)(A?B?C) 将上式反号下的括号通过相乘去掉，得
Y?AB?BC?AC?ABC
（与或非式） 用摩根定理把反号去掉，得
Y?(A?B)(B?C)(A?C)(A?B?C)
（或与式） 对上式加两个反号，再用摩根定理去掉一个反号，得到或非-或非式。
Y?(A?B)(B?C)(A?C)(A?B?C)?(A?B)?(B?C)?(A?C)?(A?B?C)
要点：在逻辑函数的各种形式中，与或式和或与式是最基本的，但用逻辑门实现逻辑函数时，与非-与非式、与或非式、或非-或非式也是常见的形式。 例2.2求下列函数的反函数和偶函数
Y1?A(B?C)?CD
Y2?AB?C?D?C
Y3?A(B?C)?A?C
解：对于任意一个逻辑函数Y，若将其中的“q”换成“+”，将“+”换成“q”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，即得到Y的反函数，这个规则叫反演定理。使用反演定理时，应注意两点：
① 原函数运算的先后次序不能改变。 ② 不属于单个变量上的反号应保留不变。
由反演定理可直接写出结果如下：
Y1?(A?BC)(C?D)
Y2?(A?B)C?D?C
Y3?(A?BC)?AC
对于任意一个逻辑函数Y，若将其中的“q”换成“+”，将“+”换成“q”，0换成1，1换成0，即得到Y的对偶式。据此，可直接写出结果如下：
Y1??(A?BC)(C?D)
Y2??(A?B)C?D?C
Y3??(A?BC)?AC
例2.3利用公式将下列逻辑函数式化简为最简与或表达式。
Y1?A?A?BC?(B?AC?D)?BC
Y2?AB?AB?ABCD?ABCD
Y3?A(BC?BC)?A(BC?BC)
解：用公式法化简逻辑函数时，要熟记逻辑代数的基本定理和基本公式，如
AB?AB?AB?AB
AB?AC?BC?AB?AC
（1） 利用A?AB?A，消去多余的乘积项
Y1?A?A?BC?(B?AC?D)?BC
?A?BC?(A?BC)(B?AC?D) ?A?BC
要点：对A?BC利用摩根定理得到(A?BC)，再把(A?BC)作为复合变量利用上述公式。 （2） 利用A?AB?A?B，消去多余因子
Y2?AB?AB?ABCD?ABCD
?AB?AB?(AB?AB)CD?AB?AB?AB?AB?CD?AB?AB?CD
要点：AB?AB叫异或运算，AB?AB叫同或运算，两者互为反函数。 （3） 利用A?A?1，两项合并为一项，消去一个变量
Y3?A(BC?BC)?A(BC?BC)?ABC?ABC?ABC?ABC
?AB(C?C)?AB(C?C)?AB?AB?A(B?B)?A
要点：本题也可先利用关系BC?BC?BC?BC，再利用公式A?A?1合并化简。 例2.4把下列逻辑函数分别写成最小项之和?mi和最大项之积?Mi的形式。
F1(A,B,C)?ABC?ABC?AB
F2(A,B,C,D)?AB?ACD?ABCD?BCD
解：把一个逻辑函数写成最小项之和的形式就是求函数的标准与或式。可以利用公式A?A?1，给每一个与项补上所缺少的变量。
F1(A,B,C)?ABC?ABC?AB
?ABC?ABC?AB(C?C)?ABC?ABC?ABC?ABC ?m1?m4?m7?m6?
?m(1,4,6,7)
F2(A,B,C,D)?AB?ACD?ABCD?BCD
?AB(C?C)(D?D)?ACD(B?B)?ABCD?BCD(A?A)
?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD
?m1?m5?m6?m8?m9?m10?m11?m15?
?m(1,5,6,8,9,10,11,15
得到最小项之和的形式后，按照：
进行转换，便可直接得到最大项之积的形式。
F1(A,B,C)?
?M(0,2,3,5)
?M(0,2,3,4,7,12,13,14)
F2(A,B,C,D)?例2.5 用卡诺图化简下列逻辑函数
F1(A,B,C)?
(0,1,2,4,5,7)
(2,3,6,7,8,10,12,14)
(0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,12,14)
F1(A,B,C,D)?
F1(A,B,C,D)?
解：用卡诺图化简时，第一步必须把逻辑函数表达式转换为最小项求和的形式。在合并时要注意两点：
① 圈的数目要尽可能少； ② 每个圈要尽可能大。
图例2.5函数F1～F3的卡诺图
由图例5所示卡诺图知，最简与或式为
F1(A,B,C)?B?AC?AC
F2(A,B,C,D)?AC?AD
F3(A,B,C,D)?B?D
例2.6 将下列具有无关项的逻辑函数化简为最简与或式。
F1(A,B,C)?
?m(0,3,5,7)??d
(2,9,10,11)
(0,1,2,13,14,15)
F2(A,B,C,D)?
F3(A,B,C,D)?
?m(1,6,7,8,12,13)??d
?m(3,4,5,7,8,9,10,11)??d
解：含无关项的逻辑函数是指逻辑函数中的输入变量之间，或输入、输出变量之间有某种互相制约的关系。可以认为函数中无关项的存在与否对输出函数没有影响，在化简过程中，可以根据需要假定无关项的值为1，或为0，这样可以使结果更为化简。
在函数表达式中用?d表示无关项的和，在卡诺图中用“×”表示无关项。
图例2.6函数F1～F3的卡诺图 由图例6所示卡诺图知，最简与或式为
F1(A,B,C)?AB?C
F2(A,B,C,D)?AC?ABC?BCD
F3(A,B,C,D)?AC?B?D
2.3习题选解
题2.1（略）
题2.2（略） 题2.3（略） 题2.4（略） 题2.5（略） 题2.6（略）
题2.7 将下列函数表示成“最小项之和”形式及“最大项之积”形式。
（1）F(A,B,C)?(AB?AC)
F(A,B,C,D)?AB?ABCD?BC?BCD
（3） F(A,B,C,D)?(A?BC)(B?CD) 解：
F1(A,B,C)?(AB?AC)?AB?AC?(A?B)(A?C)
?A?AC?AB?BC
?A(B?B)(C?C)?AB(C?C)?BC(A?A)
?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?m7?m6?m5?m4?m0?
?m(0,4,5,6,7)??M
F2(A,B,C,D)?AB?ABCD?BC?BCD
?AB(C?C)(D?D)?ABCD?BC(A?A)(D?D)?BCD(A?A)
?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD
?m3?m2?m1?m0?m13?m15?m14?m7?m6?m12?
?m(0,1,2,3,6,7,12,13,14,15)?M
(4,5,8,9,10,11)
F3(A,B,C,D)?(A?BC)(B?CD)?AB?ACD
?AB(C?C)(D?D)?ACD(B?B)
?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?m3?m2?m1?m0?m4?
?m(0,1,2,3,4)??M
(5,6,78,9,10,11,12,13,14,15)
题2.8用卡诺图化简下列函数，并写出最简“与或”表达式和最简“或与”表达式。
（1） F(A,B,C)?(A?B)(AB?C)
（2） F(A,B,C,D)?AB?ACD?AC?BC
（3） F(A,B,C,D)?BC?D?D(B?C)(AD?B) 解：用卡诺图化简逻辑函数，首先要把函数转换为最小项之和的形式。
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