任何矩阵都能标准正交矩阵的性质化吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-11-24 10:20 标签： 正交投影矩阵
标准正交化与矩阵的UR分解_奚传智16
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标准正交化与矩阵的UR分解_奚传智16
烟台师范学院学报(自然科学版)；Yantai；TeachersUniversityJourna；):146-149；标准正交化与矩阵的UR分解；奚传智；(枣庄师专数学系,山东枣庄277160)；摘要:给出了一种既能将向量组标准正交化又同时能求；中图分类号:O151.21文献标识码:A文章编号；设V是基域为F(实数域或复数域)的内积空间,Ti
烟台师范学院学报(自然科学版)YantaiTeachersUniversityJournal(NaturalScience)教学研究):146-149标准正交化与矩阵的UR分解奚　传　智(枣庄师专数学系,山东枣庄277160)摘要:给出了一种既能将向量组标准正交化又同时能求出矩阵的UR分解的方法.关键词:标准正交化;正上阵;UR分解中图分类号:O151.21　　文献标识码:A　　文章编号:00)02-0146-04m　　设V是基域为F(实数域或复数域)的内积空间,Ti∈F(i=1,2,…,n),且T1,T2,…,Tn线性无关.文[1]给出了利用矩阵的合同变换求标准正交基的方法.由Gram-Schmidt标准正交化过程知,一定有主对角元全为正数的上三角阵(简称正上阵)R,使(U1,U2,…,Un)=(T1,T2,…,Tn)R且U1,U2,…,Un是标准正交向量组,称R为正上变换阵.记A=(T1,T2,…,Tn),U=(U1,U2,…,Un),则U=AR.对于F上的任意一个列满秩阵A,本文给出了一个同时能求出U与R的具体方法,从而,不但实现了上述向量组的标准正交化,而且也同时解决了矩阵的UR分解问题.　　我们约定,Fr[2]m×n表示F上的全体秩为r的m×n阵,A表示矩阵A的转置共轭.m×n*　　引理1　设B∈Fn,则BB一定是厄米特正定阵.*　　引理2　厄米特矩阵为正定阵的充要条件是它的一切主子式都是正数.*　　引理3[2]　若A是正定阵,Q是满秩阵,则QAQ必为正定阵.　　定理1　设A为n级厄米特正定阵,则一定有第三种初等阵Tij(k)(i&j)的乘积阵d1P,使AP=d2* dn0(i=1,2,…,n).　　证明　由引理2知,厄米特正定阵A的主对角元必为正数,故A可经过一系列第三d1种初等列变换Tij(k)(i&j)化为d2* d.由初等阵与初等变换的关系知,一定(下三角阵)且满足P*AP=d1d2 dn,其中di&　　收稿日期:　　作者简介:奚传智(1955―),男,副教授,大学本科,从事矩阵理论研究.第2期奚传智:标准正交化与矩阵的UR分解147d1有第三种初等阵Tij(k)(i&j)的乘积阵P,使AP=***d2* .又A是厄米特dn阵,故A=A,从而PAP是厄米特阵.而P是Tji(k)(i&j)型初等阵之积,由矩阵的初等阵与初等变换的关系知,P*左乘AP时不改变AP的主对角元及其以上的元素,从而d1必有P*AP=d2 .而A是正定阵,故由引理3知,d1d2 dnAAI,则*亦为dn正定阵.于是,di&0(i=1,2,…,n).×n　　定理2　设A∈Fmn,作矩阵G=A　　(i)GTij(k)(i&j)化为d1d2N=* dnPAP　　(ii)R=Pdiag(标准正交向量组.　　证明　因A为列满秩阵,故由引理1,AA.由定理1知,有第三类初d1等阵Tij(k)(i&j)的乘积阵P,使AAP=**,　di&0(i=1,2,…,n);,…,d1)必为正上阵,且**RAAR=I,U=AR的列向量组是dnd2* .由初等变换与初等阵的关dn系知,G总可经过一些第三种初等列变换Tij(k)(i&j)化为N的形式.由定理1知,di&0(i=1,2,…,n).由于P是一系列第三类初等阵Tij(k)(i&j)的乘积阵,故P为主对角元全为1的上三角阵.令R=Pdiag(,…,),即R是将上三角阵P的第i列乘以d1dn(i=1,2,…,n)后而得到的矩阵,故R仍为正上阵.di148烟台师范学院学报(自然科学版)第16卷　d1RAAP=**d1 dnPAAP** dn=d1 dnd1d2 dnd1 dn4=I,而U*U=(AR)*(AR)=R*A*AR=I,故U的列向量组是标准正交向量组.　　例　T1=(1,0,0,1),T2=(0,2,1,0),T3=(1,0,-1,0)是R中的一组向量,将T1,T2,3标准正交化,并求出正上变换阵.T10012A′011I=001001于是1R=00 2105125=200050266513,05---T13(-1)2　　解　T1,T2,T3线性无关,令A= 202 1-,　则A′A=-3-11--1T23(-20052-,01-1051-1100100101002101)510010010-11002.A1-40-1第2期奚传智:标准正交化与矩阵的UR分解14910U=01 210255225,0,0,2=2002055026656526.所求的标准正交组为U1=(),U2=(0,,25,0),U3=(5,26,,),正上变换阵为上述的.R656526参考文献:[1]　李宗胜.标准正交基的一种求法〔J〕.数学通报,―30.[2]　张远达.线性代数原理〔M〕.上海:上海教育出版社,8,309.OrthonormalizationandURdecompositionofmatricesXI　Chuan-zhi(DepartmentofMathematics,ZaozhuangNormalCollege,Zaozhuang277160,China):AmethedwhichcannotonlyorthonormalizethevectorsetbutalsogiveURAbstractdecompositonofmatricesisobtained.Keywords:URdecomposition(责任编辑　闫冬春)包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、专业论文、生活休闲娱乐、中学教育、行业资料、标准正交化与矩阵的UR分解_奚传智16等内容。
　他讨论了最小多项式问 题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、...与线性方程组的解[M](中央财经大学 应用数 学学院,北京 、奚传智....二次型化标准型 正交线性变换,已经将正交矩阵Q求出,最后一步正交线性变换X=PY得到标准型,具体何求_百度作业帮
二次型化标准型 正交线性变换,已经将正交矩阵Q求出,最后一步正交线性变换X=PY得到标准型,具体何求
Q的列向量都是特征向量分别属于特征值a1,...,an则 X=QY 得 f = a1y1^2+...+anyn^2
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请问二次型转化为标准型,一般步骤中 ,将二次型矩阵A的 特征向量正交化 是为了将A对角化 但是 单位化...单位化我就不明白了 既然P已经是正交化了那么二次型f（n）=n^TA n中的A不就相当于已经变成了对角阵了嘛 假
...单位化我就不明白了 既然P已经是正交化了那么二次型f（n）=n^TA n中的A不就相当于已经变成了对角阵了嘛 假设特征向量构成的正交矩阵为p,转变后的对角阵为K,n=pm那么f(X)=n^TA n=m^T【(p^T)A(p)】m=m^T【K】m 这样得到的就已经是一个只含有平方项的二次型了 也是标准型了啊.（先谢谢了）
你概念有误.若P是可逆矩阵,P^-1AP为对角矩阵,则P的列向量是线性无关的特征向量若P是正交矩阵,P^-1AP为对角矩阵,则P的列向量是正交的且长度为1特征向量正交矩阵列向量组是正交的且长度为1向量组

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