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数学基础模块(下册)第七章向量
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矩陣與行列式
線性空間與線性變換
向量空間是可以縮放和相加的（叫做的）對象的。
向量空間（或稱線性空間）是現代中的一個基本概念。是研究的基本對象。
向量空間的一個直觀模型是向量幾何，上的及相關的運算即向量加法，標量乘法，以及對運算的一些限制如，，已大致地描述了「向量空間」這個數學概念的直觀形象。
在現代數學中，「向量」的概念不僅限於此，滿足下列的任何數學對象都可被當作向量處理。譬如，實係數多項式的集合在定義適當的運算後構成向量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函數的集合在定義適當的運算後，也構成向量空間，研究此類函數向量空間的數學分支稱為。
給定F，F上的向量空間V是一個，其上定義了兩種：
向量加法：V + V → V，把V中的兩個元素u和v映射到V中另一個元素，記作u + v；
純量乘法：F × V → V，把F中的一個元素a和V中的一個元素u變為V中的另一個元素，記作a ·u。
V中的元素稱為向量，相對地，F中的元素稱為純量。而V裝備的兩個運算滿足下面的（對F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：
向量加法：u + (v + w) = (u + v) + w,
向量加法：u + v = v + u，
存在向量加法的：V裡存在一個叫做的元素，記作0，使得對任意u ∈ V，都有u + 0 = u，
向量加法的：對任意u ∈ V，都存在v ∈ V,使得u + v = 0。
純量乘法對向量加法滿足：a · (v + w) = a ·v + a ·w.
純量乘法對體加法滿足：(a + b) ·v = a ·v + b ·v.
純量乘法與純量的體乘法相容：a(b ·v) = (ab) ·v.
純量乘法有：體F的乘法單位元素「1」滿足：對任意v，1 ·v = v。
前四個公理說明裝備了向量加法的V是，餘下的四個公理應用於純量乘法。需要注意的是向量之間的加法「+」和純量之間的加法「+」是不一樣的，純量與向量之間的純量乘法·和兩個純量之間的乘法（體F中自帶的乘法）也是不一樣的。
簡而言之，向量空間是一個F-。
以下是一些可以從向量空間的公理直接推出的性質：
零向量0是唯一的；
對任意a ∈ F，a · 0 = 0；
對任意u ∈ V，0 ·u = 0（0是F的加法單位元素）。
如果a ·u = 0，則要麼a = 0，要麼u = 0。
向量加法的向量v是唯一的，記作- v。u + (- v)也可以寫成u - v，兩者都是標準的。
對任意u ∈ V，-1 ·u = - u.
對任意a ∈ F以及u ∈ V， (-a) ·u= -(a ·u) = a · (- u).
對一般體F，V記為F-向量空間。若F是R，則V稱為實數向量空間；若F是C，則V稱為複數向量空間；若F是，則V稱為有限體向量空間。
最簡單的F-向量空間是F自身。只要定義向量加法為體中元素的加法，純量乘法為體中元素的乘法就可以了。例如當F是實數體R時，可以驗證對任意實數a、b以及任意實數u、v、w，都有：
u + (v + w) = (u + v) + w，
v + w = w + v，
零元素存在：實數0滿足：對任何的實數v，v + 0 = v，
反元素存在：對任何的實數v，它的相反數w = -v就滿足v + w = 0。
純量乘法對向量加法滿足：a(v + w) = a v + a w.
向量乘法對純量加法滿足：(a + b)v = a v + b v.
純量乘法與純量的體乘法相容：a(bv) =(ab)v。
純量乘法有：R中的乘法單位元素，也就是實數「1」滿足：對任意實數v，1v = v。
更為常見的例子是給定了直角坐標系的：平面上的每一點都有一個坐標，並對應著一個向量。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間，記作R?，因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組。可以驗證，對於普通意義上的向量加法和純量乘法，R?滿足向量空間的所有公理。實際上，向量空間是R?的推廣。
同樣地，高維的Rn也是向量空間的例子。其中的向量表示為，其中的都是實數。定義向量的加法和純量乘法是：
可以驗證這也是一個向量空間。
再考慮所有係數為實數的的集合。對於通常意義上的多項式加法和純量乘法，也構成一個向量空間。更廣泛地，所有從實數體射到實數體的的集合也是向量空間，因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。
向量空間的另一種例子是齊次線性方程組（常數項都是0的線性方程組）的解的集合。例如下面的方程組：
如果和都是解，那麼可以驗證它們的「和」也是一組解，因為：
同樣，將一組解乘以一個常數後，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的「向量加法」和「純量乘法」滿足向量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。
一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個向量空間。
對於齊次線性，解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程：
出於和上面類似的理由，方程的兩個解和的和函數也滿足方程。可以驗證，這個方程的所有解構成一個向量空間。
如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意W中的元素相加或者和純量相乘之後仍然在W之中），那麼將W稱為V的線性子空間（簡稱子空間）。V的子空間中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空間。
給出一個向量集合B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的，也稱，記作span(B)。
給出一個向量集合B，若它的生成集就是向量空間V，則稱B為V的一個。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱V是一個有限維空間。
可以生成一個向量空間V的子集，稱為這個空間的。若V={0}，約定唯一的基是。對非零向量空間V，基是V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的。如果能夠把基中元素按下標排列：，那麼空間中的每一個向量v便可以通過座標系統來呈現：
這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個坐標系。
可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同，稱為該空間的。當V是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如，各種實數向量空間：R?, R?, R?, R?,…, R∞,…中， Rn的維度就是n。在一個有限維的向量空間（維度是n）中，確定一組基，那麼所有的向量都可以用n個純量來表示。比如說，如果某個向量v表示為：
那麼v可以用數組來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：
可以證明，任意一個n維的-向量空間和空間有同樣的「構造」。這種關係稱為同構。
給定兩個係數體都是F的向量空間V和W,定義由V到W的（或稱線性映射）為所有從V射到W並且它保持向量加法和純量乘法的運算的函數f：
所有線性變換的集合記為，這也是一個係數體為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後，中的線性變換可以通過來表示。
如果兩個向量空間V和W之間的一個線性映射是，那麼這個線性映射稱為（線性），表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構，那麼其逆映射也存在，並且對所有的，都有：
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：
一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是）則成為。
一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為。
一個向量空間加上並滿足連續性要求（加法及標量乘法是）則成為。
一個向量空間加上（定義為向量乘法）則成為。
Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, .
Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, .
Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, .
Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: , Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press,举出一个线性相关的向量组的例子，使其中的非零向量不能用其余向量线性表出_百度知道
举出一个线性相关的向量组的例子，使其中的非零向量不能用其余向量线性表出
提问者采纳
a=（1，1，1） b=(-1，-2，-3）
c=（2，4，6）0*a+2*b+c=0 故a,b ,c线性相关，但a不能由b,c线性表出
提问者评价
前两天刚开始看没看懂，现在发现我问的这问题太蠢了！但还是谢谢！
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非零向量的相关知识
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出门在外也不愁向量 _百度百科
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在中几何向量也称为欧几里得向量通常简称向量矢量指具有大小magnitude和方向的几何对象可以形象化地表示为带箭头的线段箭头所指代表向量的方向线段长度代表向量的大小一个向量可以有多种记法如记作粗体的字母abuv或在字母顶上加一小箭头→或在字母下加波浪线~如果给定向量的起点A和终点B可将向量记作AB并于顶上加→给空间设一也能把向量以形式表示例如Oxy平面中(2,3)是一向量而在和中几何向量更常被称为矢量许多都是矢量比如一个物体的球撞向墙而对其施加的等等与之相对的是即只有大小而没有方向的量一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系例如向量势对应于物理中的几何向量的概念在中经由抽象化得到更一般的向量概念此处向量定义为的要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示大小和方向的概念亦不一定适用因此平日阅读时需按照语境来区分文中所说的&向量&是哪一种概念不过依然可以找出一个向量空间的来设置也可以透过选取恰当的定义在向量空间上介定和这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量外文名vector应用学科物理，数学适用领域范围数学中的平面向量
中既有大小又有方向且遵循的量叫做向量又叫矢量有方向与大小分为与
自由向量只确定于方向与大小而不在意位置例如平行四边形ABCD中有 就是指自由向量中的向量多为自由向量
固定向量确定于方向与大小以及起点位置例如力学中的作用力就是固定向量在坐标轴里的向量多为固定向量
数学中把只有大小但没有方向的量叫做数量物理中常称为标量例如距离质量密度温度等
注在中实数空间/复数空间的向量是指n个/复数组成的称为n维向量α=a1a2…an 称为n维向量其中ai称为向量α的第i个分量
在语言中也存在向量的说法向量最初被应用于学很多如力位移以及电场强向量度等都是向量大约公元前350年前著名学者就知道了力可以表示成向量两个力的作用可用著名的来得到一词来自力学中的有向最先使用有向线段表示向量的是英国大家
从数学发展史来看历史上很长一段的向量结构并未被数学家们所认识直到19世纪末20世纪初人们才把空间的性质与向量运算联系起来使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系
向量能够进入数学并得到发展首先应从的表示谈起18世纪末期测量学家威塞尔首次利用上的点来表示复数a+bia,b为有理数且不同时等于0并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算把坐标平面上的点用向量表示出来并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题人们逐步接受了复数也学会了利用复数来表示和研究中的向量向量就这样平静地进入了数学中
但的利用是受限制的因为它仅能用于表示平面若有不在同一平面上的力作用于同一则需要寻找所谓复数以及相应的运算体系19世纪中期英国数学家发明了包括数量部分和向量部分以代表空间的向量他的工作为向量代数和的建立奠定了基础随后的发现者英国的数学麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理从而创造了大量的向量分析
三维向量分析的开创以及同的正式分裂是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的他们提出一个向量不过是四元数的向量部分但不独立于任何四元数他们引进了两种类型的即和并把向量推广到变向量的向量从此向量的被引进到分析和解析几何中来并逐步完善成为了一套优良的1代数表示一般印刷用黑体小写字母αβγ…或abc… 等来表示手写用在abc…等字母上加一箭头表示也可以用大写字母ABC...等表示向量表示　　2几何表示向量可以用来表示有向的长度表示向量的大小向量的大小也就是向量的长度为0的向量叫做记作0.长度等于1个单位的向量叫做箭头所指的方向表示向量的方向若规定线段AB的A为B为则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度这种具有方向和长度的线向量机器模型段叫做
　　3坐标表示
1) 在中分别取与x轴y轴方向相同的两个单位向量ij作为一组a为平面直角坐标系内的任意向量以坐标O为起点作向量OP=a由知有且只有一对xy使得a=向量OP=xi+yj因此把实数对xy叫做向量a的记作a=xy这就是向量a的坐标表示其中xy就是点P的向量OP称为点P的位置向量
2) 在立体中,分别取与x轴y轴z轴方向相同的3个单位向量ij,k作为一组若a为该内的任意向量以坐标原点O为起点作向量OP=a由空间基本定理知有且只有一组实数xy, z向量的坐标表示使得a=向量OP=xi+yj+zk因此把实数对xy, z叫做向量a的坐标记作a=xy, z这就是向量a的坐标表示其中xy, z也就是点P的坐标向量OP称为点P的位置向量
3) 当然,对于多维的可以通过类推得到,此略向量的大小也就是向量的长度(或称)向量a的模记作|a|
1向量的模是非负实数是可以比较大小的向量a=(x,y)
2因为方向不能比较大小所以向量也就不能比较大小对于向量来说大于和小于的概念是没有意义的例如向量AB&向量CD是没有意义的单位向量
长度为一个单位即模为1的向量叫做与向量a同向且长度为单位1的向量叫单位向量做a方向上的记作a0a0=a/|a|
如果向量AB与向量CD的相等且方向相反那么我们把向量AB叫做向量CD的,也称为相反向量
长度为0的向量叫做记作0零向量的始点和重合所以零向量没有确定的方向或说零向量的方向是任意的
长度相等且方向相同的向量叫做向量a与b相等记作a=b
规定所有的零向量都相等
当用有向线段表示向量时起点可以任意选取任意两个相等的都可用同一条来表示并且与有向线段的起点无关同向且等长的有向线段都表示同一向量
始点不固定的向量它可以任意的平行移动而且移动后的向量仍然代表原来的向量
在自由向量的意义下相等的向量都看作是同一个向量
数学中只研究
沿着作用的向量称为
作用于一点的向量称为亦称胶着向量
对于坐标平面内的任意一点P我们把向量OP叫做点P的记作向量P
直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的
与a长度相等方向相反的向
量叫做a的记作-a有 --a=a
的相反向量仍是零向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行或共线向量向量ab平行共线记作a∥b
零向量长度为零是起点与终点重合的向量其方向不确定我们规定零向量与任一向量平行
平行于同一直线的一组向量是若a=(x,y)b=(mn)
a//b=&a×b=xn-ym=0
平行于同一平面的三个或多于三个向量叫做共面向量
空间中的向量有且只有以下两种位置关系⑴共面⑵不共面
注意只有三个或三个以上向量才谈共面不共面
直线l⊥α取直线l的方向向量a则向量a叫做法向量平面α的
向量的绝对值
向量a用A表示 向量b用B表示
丨A+B丨=丨x1y1+x2y2丨=丨x1+x2y1+y2)丨
=根号下x1+x2?+y1+y2?设a=b=()向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则向量的加法OB+OA=OC
向量加法的
交换律a+b=b+a
结合律(a+b)+c=a+(b+c)如果ab是互为相反的向量那么a=-bb=-aa+b=0. 0的反向量为0
OA-OB=BA.即共同起点指向被向量的减法减
a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').
如图c=a-b 以b的结束为起点a的结束为终点
交换律a+(-b)=a-b实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量记作λa且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣
当λ&0时λa的方向与a的方向相同
当λ&0时λa的方向与a的方向相反
当λ=0时λa=0方向任意
当a=0时对于任意实数λ都有λa=0
注按定义知如果λa=0那么λ=0或a=0
实数λ叫做向量a的乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩
当∣λ∣&1时表示向量a的有向线段在原方向λ&0或反方向λ&0上伸长为原来的∣λ∣倍
当∣λ∣&1时表示向量a的有向线段在原方向λ&0或××反方向λ&0上缩短为原来的∣λ∣倍
实数p和向量a的点乘乘积是一个数
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)
向量对于数的分配律第一分配律(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律第二分配律λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律① 如果实数λ≠0且λa=λb那么a=b② 如果a≠0且λa=μa那么λ=μ
需要注意的是向量的加减乘除运算满足实数加减乘除运算法则定义已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b则角AOB称作向量a和向量b的夹角记作a,b并规定0≤a,b≤π
定义两个向量的是一个数量没有方向记作a·b若ab不共线则a·b=|a|·|b|·cosab依定义有cosab=a·b / |a|·|b|若ab共线则a·b=±∣a∣∣b∣
向量的数量积的坐标表示a·b=x·x'+y·y'
向量的数量积的运算律
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的)
a+b)·c=a·c+b·c
向量的数量积的性质
a·a=|a|的
a⊥b=a·b=0
|a·b|≤|a|·|b|该如下|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1所以|a·b|≤|a|·|b|
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1向量的数量积不满足结合律即(a·b)·c≠a·(b·c)例如(a·b)?≠a?·b?
2向量的数量积不满足消去律即由a·b=a·c(a≠0)推不出b=c
3|a·b|与|a|·|b|不等价
4由 |a|=|b| 不能推出a=b也不能推出a=-b但反过来则成立定义两个向量a和b的向量的几何表示外积是一个向量记作a×b这里×并不是乘号只是一种表示方法与·不同也可记做∧若ab不共线则a×b的模是∣a×b∣=|a|·|b|·sinaba×b的方向是垂直于a和b且ab和a×b按这个次序构成若ab平行则a×b=0ab垂直则a×b=|a|*|b|此处与数量积不同请注意向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量
运算法则运用三阶行列式
设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量
A=(x1,y1,z1)B=x2,y2,z2则A*B=
向量的向量积性质
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形
a平行b=a×b=0
向量的向量积运算律
a×b=－b×a
λa×b=λa×b=a×λb
a×b+c=a×b+a×c.
a+b×c=a×c+b×c.
上两个分配律分别称为左分配律和右分配律在演算中应注意不能交换×号两侧向量的次序
如a×2b=b×(2a)和c×(a+b)=a×c+b×c都是错误的
注向量没有向量AB/向量CD是没有意义的定义给定空间三向量abc向量ab的向量积a×b再和向量c作数量积(a×b)·c向量的混合积所得的数叫做三向量abc的混合积记作(a,b,c)或(abc)即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
混合积具有下列性质
1三个不共面向量abc的混合积的等于以abc为棱的平行六面体的体积V并且当abc构成右手系时混合积是当abc构成左手系时混合积是即(abc)=εV当abc构成时ε=1当abc构成左手系时ε=-1
2上性质的推论三向量abc共面的是(abc)=0
3(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
4(a×b)·c=a·(b×c)
正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连L是EH中点求证LB⊥GK
设AE=a﹙向量﹚, AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0, a2=a'2, b2=b'2 ,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚EH=-a+c+c'+b LB=EH/2-b-c=﹙-a-c+c'-b﹚/2, GK=-a'+c'+c+b'从﹙*﹚﹙-a-c+c'-b﹚·﹙-a'+c'+c+b'﹚=……=0. ∴LB⊥GK
二重向量积
由于二重向量叉乘的计算较为复杂于是直接给出了下列化简公式以及证明过程
二重向量叉乘化简公式及证明如下若b≠0则a//b的充要条件是存在唯一λ使a=λb
若设a=x1y1b=x2y2则有x1y2=x2y1即与平行概念相同x1y2 - x2y1=0
零向量0平行于任何向量a⊥b的充要条件是a·b=0即x1x2+y1y2=0平面向量分解定理如果e1e2是同一平面内的两个不平行向量那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数λ1λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1e2叫做这一平面内所有向量的一向量P1P=λ·向量PP2
设P1P2是直线上的两点P是直线上不同于P1P2的任意一点则存在一个任意实数 λ且λ不等于-1使 向量P1P=λ·向量PP2λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比
若P1x1,y1)P2(x2,y2)P(x,y)则有
OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)向量公式
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)定比分点坐标公式
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定理
已知0是AB所在直线外一点,若OC=λOA+μOB ,且λ+μ=1 ,则ABC三点共线
证明∵OC=λOA+1-λOB=λOA+λBO+OB=λBA+OB
∴BO+OC=λBA 即BC=λBA
∴ABC三点共线在△ABC中若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的给定F一个F上的是一个F-给定域F上的两个向量空间V与V' 如果存在一个φV→V'并且φ(αu+bv)=αφ(u)+bφ(v)a, b∈Fu,v∈V这样V与V' 便是的给两个向量空间V和W在同一个F场设定由V到W的线性变换或 . 这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及商数这个包含所有由V到W的映像以 LVW 来描述也是一个F场里的向量空间当V及W被确定后线性映射可以用来表达同构是一对一的一张线性映射如果在V 和W之间存在同构 我们称这两个空间为同构他们根本上是然后相同的一个在F场的向量空间加上线性映像就可以构成一个即阿贝尔范畴研究向量一般会涉及一些额外结构额外结构如下
一个或向量空间加上概念就是称为赋范
一个实数或复数向量空间加上长度和的概念称为
一个向量空间加上符合运算的加法及标量乘法是连续映射称为
一个向量空间加上双线性算子定义为向量乘法是个域代数一个向量空间V的一个非空合W在加法及标量乘法中表现密闭性被称为V的线性子空间给出一个向量合B那么包含它的最小子空间就称为它的扩张记作spanB给出一个向量集合B若它的扩张就是向量空间V 则称B为V的生成集一个向量空间V最大的子集称为这个空间的基若V=0唯一的是对非零向量空间 V基是 V 最小的生成集如果一个向量空间 V 拥有一个个数有限的生成集那么就称V是一个有限向量空间的所有基拥有相同称为该空间的例如实数向量空间R0R1R2R3R∞中Rn 的维度就是n空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的把基中元素排列向量便可以系统来呈现
向量的中线公式
若P为线段AB的中点O为平面内一点则OP=1/2(OA+OB)　　
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看/16该会员上传的其它文档：12 p.12 p.4 p.8 p.3 p.7 p.3 p.3 p.2 p.3 p.3 p.4 p.3 p.3 p.4 p.2 p.3 p.1 p.1 p.2 p.3 p.4 p.7 p.7 p.平面向量的概念及线性运算自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有__..平面向量的概念及线性运算自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．平面向量是自由向量，，…表示．(3)模：向量的______叫向量的模，记作_____或____．向量的两要素...2013届高三数学一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算（人教A版）相关文档专题docdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdoc关于我们常见问题关注我们官方公共微信