矩阵的初等行变换行变换成单位矩阵的初等行变换

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-07 05:16 标签： 单位矩阵变换
初等变换与单位矩阵区别是什么?
初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的.初等变换有三类：1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k,然后加到另外一行（列）上.初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵.则根据三类初等变换,可以得到三种不同的初等矩阵.1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k,然后加到第j行上.其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得.初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵,然后进行初等变换来加深一下印象.首先：初等矩阵都可逆,其次,初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）.最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么?当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候,我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B,而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化.具体来说：左乘的情况：1、E(i,j)A=B,则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B；2、E(i(k))A=B,则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B；3、E(ij(k))A=B,则矩阵A的第i行元素乘以数k,然后加到第j行上而得到矩阵B.结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A,相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换.右乘的情况：4、AE(i,j)=B,则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B；5、AE(i(k))=B,则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B；6、AE(ij(k))=B,则矩阵A的第i列元素乘以数k,然后加到第j列上而得到矩阵B.结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A,相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换.请注意并理解结论1和结论2中的“相应”两字.初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来,我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵E上的一个变换.若某初等矩阵左（右）乘矩阵A,则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换,按照同种形式施加到矩阵A之上.或者说,我们想对矩阵A做变换,但是不是直接对矩阵A去做处理,而是通过一种间接方式去实现.就像武林中已经失传的绝技“隔山打牛”一样.表演的时候一般是在一块大石上放一块豆腐,然后运力一掌击打在豆腐上,结果豆腐纹丝不动,而下面的大石却已四分五裂矣.真有异曲同工之妙啊.所以我们可以得出这样一个结论：对矩阵所做的任何的初等变换,都可以利用矩阵与初等变换的乘积来表示.
大哥那高等矩阵转换有什么啊？
对A实施一次初等行变换, 相当于左乘一个相应的初等矩阵 由于 A经行变换化为B, 则存在初等矩阵P1,P2,...,Pk 使得 P1P2...PkA = B 令P=P1P2...Pk, 则P可逆, 它是相应的初等矩阵的乘积, 不是A的逆矩阵
(A,E) 是分块矩阵, P(A,E) 是分块矩阵的乘法, P看作只有一个块分块矩阵 P(A,E) = (PA,PE) = (B,P) 亦即 P1P2...Pk(A,E) = (B,P) 这说明 对(A,E)作初等行变换, 当左子块化为B时, 右子块即所求的P P=P1P2...Pk, Pi都是初等矩阵, 初等矩阵是可逆矩阵, 可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵 所以P可逆.
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把矩阵化成单位矩阵在如下过程中使用：第一种：用行变换 或者列变换求矩阵的逆矩阵；第二种：用行合同变换求某些标准型；第三种：就是计算矩阵的等价标准型。针对不同的目的，化简的时候侧重点不同。但是所有的转化都是用初等变换这是一定的。理论上讲，初等变换就是左乘或者右乘初等矩阵。因此，把矩阵化简为标准型的过程，就是分解矩阵为初等矩阵级标准型乘积的过程。所以这种转化在初等变换中有什么技巧，似乎本末倒置了
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