如图,正四棱锥p abcd―abcd的高为po,po=ab=2

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-09 19:36 标签： 如图 正四棱锥pabcd
一道立体几何题&如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD&平面ABCD，
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD&平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝4，AB＝2DC＝2跟号5&(1)求证：BD&平面PAD；(2)求三棱锥A－PCD的体积
(1)证明：在△ABD中，
∵AD＝2，BD＝4，AB＝2，
∴AD2＋BD2＝AB2.
又平面PAD&平面ABCD，平面PAD∩平面
ABCD＝AD，BD&平面ABCD，
∴BD&平面PAD.
(2)过P作PO&AD交AD于O.
又平面PAD&平面ABCD，∴PO&平面ABCD.
∵△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO＝
由(1)知，AD&BD，在Rt△ABD中，
斜边上的高为h＝=
∵AB∥DC，∴S△ACD＝CD·h/2＝2.
∴VA－PCD＝VP－ACD＝S△ACD·PO/3＝
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已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4.
&(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；
&(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；
&(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
解法一　（Ⅰ）连结AC、BD，设.
由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，&&&&&
，设是平面QAD的一个法向量，由
取x=1，得.
所以点P到平面QAD的距离.
解法二　（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.
又平面PQM，所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.
因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.
从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)连结OM，则.
所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.
由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.
在直角△PMO中，.
即点P到平面QAD的距离是.
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解析质量好解析质量中解析质量差如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=PB=3，点MN分别在PA，BD上，且PN/PA=BN/BD=1/3_百度知道
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如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=PB=3，点MN分别在PA，BD上，且PN/PA=BN/BD=1/3请在图中选择适当的基底向量证明（1）MN垂直AD（2）MN与面PBC平行∵在正四棱锥P-ABCD中，PA=PB=3，∴底面ABCD为正四边形连接AC,BD交于O，连接PO∴AC⊥BD，PO⊥底面ABCD点M，N分别在PA，BD上，且PN/PA=BN/BD=1/3取向量OB，向量OA，向量OP为一个基底以下各量均为向量(1) 向量AD=BD-BA=-2OB-(OA-OB)=-(OB+OA)向量MN=AN-AM=(1/3OB-OA)-2/3(OP-OA)=1/3OB-2/3OP-1/3OA∴AD•MN=-(OB+OA)(1/3OB-2/3OP-1/3OA)
=-1/3OB^2-1/3OBOA+2/3OBOP+2/3OAOP+1/3OA^2+1/3OAOB
=0∴AD⊥MN(2)过N作NN’//DC交BC于N’，过M作MM’//AB交PB于向量M’N’=BM’-BN’=1/3BC-2/3BP=1/3(-OA-OB)-2/3(OP-OB)
=-1/3OA-1/3OB-2/3OP+2/3OB=1/3OB-2/3OP-1/3OA∴向量MN=向量M’N’∵向量M’N’ ∈面PBC∴向量MN//面PBC==&MN//面PBC
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