求二次型的规范型形

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-12-16 11:58 标签： 二次型的矩阵
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这个都行吧
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正负惯性指数 对就可以了吧
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貌似怎么都行
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为兴趣而生，贴吧更懂你。&或求助高手 关于二次型规范型的问题_线性代数吧_百度贴吧
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求助高手 关于二次型规范型的问题收藏
我们假设同是N阶的矩阵A和B已经是合同的。那么根据定理&& A与B的正，负惯性系数相同。这没有问题。然后书上就说可以推出规范型相同。&& 我想问的是 正负惯性系数相同 只能说明他们的规范型中正负项的个数相同，但不是整个规范型相同啊。比如A与B合同，A对应那个规范型是Z1的平方+Z2的平方-Z3的平方。而B对应的那个规范型是Z1的平方-Z2的平方+Z3平方。 他们对应的规范型有相同的正惯性系数2,和相同的负惯性系数1。 这也满足那个定理了 但是他们的规范型明显不同。 A的Z1 Z2 Z3 的系数是1 1 -1 而B的Z1 Z2 Z3的系数是1 -1 1. 这就说明A 和B 变成规范型的那个矩阵肯定也不同。 综合我上面自己的观点， 请给位说说为什么说A与B合同 那么他们的规范型相同。 问题补充：例如：二次型xtAx的3个特征值是1,2,-3，对应的特征向量是p1,p2,p3.=那么一。经过正交变换x=py,p=(p1,p2,p3),标准型为y=y1^2+2y2^2-3y3^2 规范型为y=z1+z2-z3.二。经过正交变换x=qy,q=(p3,p2,p1)后，标准型为y=-3y1^2+2y2^2+y1^2规范型为y=-z1+z2+z3即特征值的排列顺序不同，二次型的标准型和规范型都不同啊！
对角元的排序只需要作用一个排列阵就行了，即P'AP。由于P是正交阵，这种排序适用于相似变换及合同变换，所以标准型里面是不需要计较次序的。
不好意思 还是没太理解A对应那个规范型是Z1的平方+Z2的平方-Z3的平方。而B对应的那个规范型是Z1的平方-Z2的平方+Z3平方。 他们对应的规范型有相同的正惯性系数2,和相同的负惯性系数1。 这也满足那个定理了 但是他们的规范型明显不同。 A的Z1 Z2 Z3 的系数是1 1 -1 而B的Z1 Z2 Z3的系数是1 -1 1. 这就说明A 和B 变成规范型的那个矩阵肯定也不同。
回复：2楼而且现在对规范型唯一也不理解了。比如现在已经有了标准型：F=3X1方+5X2方-7X3方。 我要把他化成规范型。 按照书上的方法 我可以令Z1=根号3乘以X1 Z2=根号5乘以X2&& Z3=根号7乘以X3。所以F的规范型就变成了Z1方+Z2方-Z3方&& 这是一种求法。 因为一个二次型的正负惯性系数是确定的。所以 我还可以令Z1=根号7乘以X3 Z2=根号3乘以X1 Z3=根号5乘以X2 这时F的规范型为-Z1方+Z2方+Z3方。 这两个求法的正负惯性系数都相同。 但形式明显不同。第一种Z1 Z2 Z3的系数是 1 1 -1；而第二种做法的Z1 Z2 Z3的系数是-1 1 1。 Z1 Z2 Z3的系数都不同， 所以整个形式都不同了，而且Z1 Z2 Z3这3个量代表的含义肯定不同，所以他们系数的不同 带来了本质也就不一样。 所以为什么说规范型唯一呢？如果说规范型的正负惯性系数唯一 肯定没问题。
首先要指出的一点是：你的补充问题中“二次型xtAx的3个特征值是1,2,-3，对应的特征向量是p1,p2,p3.=那么一。经过正交变换x=py,p=(p1,p2,p3)”这句不严谨，除非你补充条件“其中p1,p2,p3均为单位向量”，否则p=(p1,p2,p3)不是正交矩阵。 其次，你理解的“规范型的正负惯性系数唯一”是对的。在书写规范型的时候，通常按“正项、负项、零”这样的次序排，遇到“-1 1 1”的情形通常进一步化为“1 1 -1”的情形。严格按照这样的次序书写以后就可以保证严格意义上的“规范型的唯一性”了。
回复：5楼首先非常感谢你的回答！然后我还有疑问就是：我用的同济大学的第4版线性代数 里面有到例题：已经把一个二次型化为了标准型f=-3y1方+y2方+y3方+y4方然后说要把他化为规范行 只需令y1=根号3分之一的z1 y2=z2 y3=z3 y4=z4 即f的规范型为f=-z1方+z2方+z3方+z4方。 书上就是这么写的！从书上这点看 他并没有按照你说的按照“正 负 0”的顺序排列。而且按照你上面的表达这个不是规范型 他的规范型是f=z2方+z3方+z4方-z1方。 前面三个+1系数的项随便怎么顺序都行，还是和你说的按“正项 负项 0”一样的顺序。 那么这不就出现多种情况了吗？ 假如我把带副项的那个令成y1=根号3分之一的z2。那么最后的f规范型的表达式为f=z1方+z3方+z4方-z2方，这明显与f=-z1方+z2方+z3方+z4方不同。 因为起码作为z2项的系数 第一个为-1，而后一个为+1
这不就出现规范型的两种方式了吗？
这要看各个教材是怎么规定的了。严格说来应该规定一个次序。但由于加法的交换律，所以人们也不怎么计较次序，都“睁一只眼闭一只眼”的，心里明白是怎么回事就行了，“不去较真”。
如果是简答题那么是不计较次序的，如是填空题就按照+ + -的顺序来做，如此必对
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或把二次型化成标准型的时候，可以根据特征值直接写出来吗？可是特征值求出的顺序不一样，标准型就不一样？_百度知道
把二次型化成标准型的时候，可以根据特征值直接写出来吗？可是特征值求出的顺序不一样，标准型就不一样？
就是说特征值求出来，顺序有没有什么说法？明天考试了，拜托老师解答
可以根据特征值直接写出来顺序无所谓但当让写出正交变换X=QY时Q中列向量的顺序与特征值的顺序要一致
但当让写出正交变换X=QY时Q中列向量的顺序与特征值的顺序要一致这句有点不明白可以举个例子么？
若p1,..,pn 是A的分别属于特征值 a1,...,an 的两两正交长度为1的特征向量P=(p1,...,pn), X=PY则 f = a1y1^2+...+anyn^2
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出门在外也不愁1.f(x1,x2,x3)=x^TAx已知A的特征值为-1,1,2,则该二次型的规范形为（）2.设3阶方阵A的秩为2,且 则A^2+5A=0的全部特征值为（）这两题,_百度作业帮
1.f(x1,x2,x3)=x^TAx已知A的特征值为-1,1,2,则该二次型的规范形为（）2.设3阶方阵A的秩为2,且 则A^2+5A=0的全部特征值为（）这两题,
1、规范二次型就是-1 0 0x^T 0 1 0 x=-x1^2+x2^2+2x3^30 0 22、A的秩为2说明|A|=0即有一特征值为0又A^2+5A=A(A+5E)=0这个条件好像用不上,题目没错?用mathematica求正交变换化二次型为标准型,并写出所作的正交变换用mathematica求~联系Q Q3 3 805 66 4_百度作业帮
用mathematica求正交变换化二次型为标准型,并写出所作的正交变换用mathematica求~联系Q Q3 3 805 66 4
mat = {{1.1,2.3,-2.4},{2.3,-2.2,4.45},{-2.4,4.45,4.2}}; {lam, vec} = Eigensystem[mat];vec = Transpose[vec];vec // MatrixForm至此求出正交变换的矩阵Diagonal[Inverse[vec].mat.vec]至此求出标准型的三个项

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