幻灯片竟然被引用到知乎了。&br&&br&链接中是上学期第一堂课的幻灯片，最后一张的标题是“集合论与一阶逻辑是什么关系？”，以问号结尾。关于这个问题，我给出了两则容易令人困惑的命题而没再做进一步的解答。目的是激发同学们的思考，希望大家带着这个问题，经过一个学期的学习，能形成自己的见解。&br&&br&一来，对这个日常语言表达的问题很难说某个答案是完备且无争议；二来，对这个问题有意义的讨论需要一些知识和训练作前提（例如，一个学期的数理逻辑课程）。因此，在这里也只能很粗略地谈谈我的理解。&br&&br&1. 一些澄清&br&&br&我们先澄清几个相关概念以缩小讨论范围。有关概念的解释并非唯一。这里的“澄清”也并非严格的数学定义，限于篇幅，更谈不上完备。&br&&br&1.1) 一阶逻辑 &a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/F&/span&&span class=&invisible&&irst-order_logic&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&1.1.1) 一阶逻辑的语言。一种人工语言。我们人为规定了一些初始符号（逻辑符号、辅助符号、变元、等词、函数符号、谓词符号等），由这些符号组成（合规格的）公式、句子的规则。这些初始符号、公式在本体论上可以是符合一些条件（为保证唯一可读性）的任何东西，当然也可以是集合。通过定制不同的函数符号、谓词符号可以得到不同的一阶逻辑语言，如集合论的语言（只含有一个二元谓词符号，用以表示“属于”关系）、数论的语言（有加法符号、乘法符号等）等。&br&&br&1.1.2）一阶逻辑的语法概念。一般我们用这个称谓囊括了一阶逻辑语言的“初始符号”、“公式”、“句子”、“逻辑公理”（一集一阶逻辑语言的句子集）、“证明”等概念。&br&&br&1.1.3) （狭义的）&b&一阶逻辑&/b&。指一些一阶逻辑语言句子组成的集合，它们是逻辑公理和仅从它们“可证”的句子。&br&&br&1.1.4) 一阶逻辑的语义概念。指“（一个一阶语言公式）在（某个结构、赋值下）满足”、“（一个一阶句子）是（在某个结构下）真的”、“（一个一阶逻辑公式/句子）是有效的”、“（一个公式）定义了（一个结构论域上的某个子集或关系）”等。&br&&br&1.1.5)&b& 一阶（逻辑）理论&/b&。某个一阶语言的一集句子。有时候也可以加上在“可证”下封闭这个条件。&br&&br&1.1.6) 关于一阶逻辑的定理，指一阶逻辑的唯一可读性、完全性定理、紧致性定理等等。&br&&br&1.2) &b&集合论&/b&指某种公理化的集合论，如常见的Zermelo-Fraenkel Set Theory（&a href=&http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/ZF.html& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&plato.stanford.edu/entr&/span&&span class=&invisible&&ies/set-theory/ZF.html&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。这是一组一阶集合论语言（这是一种一阶逻辑语言。也有其他形式语言中的公理化集合论，如NBG
&a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/V&/span&&span class=&invisible&&on_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，它可以被看作是一种 two-sorted language &a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Many-sorted_logic& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/M&/span&&span class=&invisible&&any-sorted_logic&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的理论）的句子，即所谓集合论公理，以及从它们“可证”的句子组成的集合。&br&&br&不难看出，（狭义的）一阶逻辑与集合论都是一阶语言句子集。如果限定在集合论语言下，（狭义的）一阶逻辑是公理化集合论的一个子集。它们都是一种一阶理论。&br&&br&1.3) （一个一阶理论）描述（一个一阶理论）。一般没这个说法。我们有关于用一个一阶理论“解释”（interpret）另一个一阶理论的说法。例如，把PA（皮亚诺算术）翻译到ZF中。我们也可以说，例如，PA（作为一个集合）在ZF中可定义。（见后文）&br&&br&2. 基于上述澄清，我们说“&b&集合论是一种一阶理论&/b&”。原命题中用了“可以”，是因为“集合论”还可以有别的解释。&br&&br&3. “&b&一阶逻辑的语法、语义概念都可以在集合论中定义， 关于一阶逻辑的定理可以被看作是集合论的定理&/b&”。&br&&br&“（一个概念）在（一个一阶理论中）可定义”是什么意思？&br&&br&例如：我们说，“自然数”这个概念在ZF中可定义，是指存在一个集合论语言的公式 phi(x)，我们认为 phi(x) 定义了自然数集。“我们认为 phi(x) 定义了自然数集”不是一个严格的数学判断，因而无法得到一个数学证明。因为这里的“自然数”只是人们的一个直观。但是，我们可以通过在ZF中证明一些命题来让人们相信，phi(x) 确实刻画了我们关于自然数的直观。例如，ZF可以证明，phi(1)、phi(2)、……甚至证明 forall x phi(x) -& phi(x+1) （注意，“+”、“1”、“2”也是ZF中定义的，并非集合论语言的初始符号），对应于我们关于“1是自然数”、“2是自然数”……以及“自然数的后继也是自然数”这些直观。这里，我们又称诸如“forall x phi(x) -& phi(x+1)”是ZF中所证明的关于自然数的一个定理。&br&&br&在这个意义上，我们宣称，如，“一阶逻辑的公式”这个概念在ZF中可定义，等等。也正是在这个意义上，我们宣称几乎所有的经典数学概念都可以在集合论中定义。这和丘奇论题（Church's thesis，参见 &a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Church%E2%80%93Turing_thesis& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Church&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）宣称，“（函数f）可计算”这个直观概念被“（函数f）图灵机可计算的”（即某个一阶公式psi(f)）刻画，是异曲同工的。它不是一个数学判断，但我们可以证明关于图灵可计算的一些定理，让我们相信它确实刻画了我们关于“可计算”概念的直观。&br&&br&在上述意义上，&b&我们说一阶逻辑的一些语法、语义概念在ZF中可定义，也可以说（狭义）一阶逻辑这个句子集在ZF中可定义，甚至可以说ZF这个句子集在ZF中可定义。但反过来，我们不能说这些概念在（狭义）一阶逻辑这个理论中可定义的，因为这个理论证明不了的我们需要的一些定理。&/b&&br&&br&4. 数理逻辑中有关于理论的解释力（interpretability strength）的一些刻画，例如一致性强度（consistency strenth，参见 &a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Equiconsistency#Consistency_strength& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/E&/span&&span class=&invisible&&quiconsistency#Consistency_strength&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。在这些刻画下，集合论的解释力都强于（狭义）一阶逻辑，即&b&集合论可以解释一阶逻辑，反之则不行&/b&。没有循环。&br&&br&5. 在逻辑学中，给定一个形式语言初始符号及其语义，我们可以把新的符号定义为初始符号的特定组合，新符号的语义可以归约为初始符号的语义。但如果把非初始符号A定义为包括了非初始符号B的一些符号的组合，而B又是包括了A的一些符号的组合，就出现了“循环定义”。这种情况下，我们没法把A和B还原为初始符号的组合，也没法通过对初始符号的解释准确得到对A、B的解释。&br&&br&以上，我们在集合论中对诸概念的定义，都表现为把“初始符号”、“公式”、“证明”、“满足”、“真”、“一阶逻辑”、“ZF”还原为集合论语言初始符号的组合。不存在“循环定义”。&br&&br&“循环定义”作为日常语言使用中的一个现象，普遍存在。在日常语言中，本就没有所谓初始符号或初始概念，许多概念都是相互解释模糊不清的，也就谈不上“循环定义”的错误了。&br&&br&&br&6. “建立”的问题。数学实在论（柏拉图主义）认为，数学对象都是独立于人而存在的，自然没有“建立”一说。数学直觉主义认为，数学（对象）都是由心灵构造的。按照直觉主义（布劳威尔）的路线，人的心灵是先通过所谓“二一性”（two-oneness）的直观，构造出各个自然数乃至自然数概念（部分），由此，我们可以构造出上面所涉及的各个逻辑学概念（并不一定要集合论这么强的理论）。特别地，“（狭义）一阶逻辑”、“ZF”概念也可以由此被构造出来，不会依赖对方才能被构造。值得一提的是，一些构造主义（包括直觉主义）的确基于一些概念的构造必须以彼此为前提来拒绝承认那些概念是有效的（见：&a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Impredicativity& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Impredicativity&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。这里并不涉及这种情况。&br&&br&7. 就现实中的学习过程而言。我们的确会在数理逻辑的课程中穿插着讲很多集合论的内容；在集合论的课程中又讲很多关于一阶逻辑的知识。并且这是必要的，即对彼此的理解依赖对方。注意，这里的集合论、一阶逻辑的意义不再限于前面的澄清。此外，如果在哲学上采纳柏拉图主义立场，即这些数学对象都是独立于我们而存在的，它们彼此联系。如此，更不难解释为什么我们对它们的认识理解必须这样穿插着进行了。&br&&br&我个人对上述回答很不满意。限于篇幅，很多断言缺乏论证。回答中避免使用一些专业术语，因为若不给出大量定义、定理，一些术语的日常理解容易引起误解。因此，只能尽量选择日常语言中较易理解又不易产生误解的说法。但这样可能既不能完全避免误解，又显得不专业，很难把握。所以，我还是建议对相关问题感兴趣的读者，花时间系统学习一下数理逻辑与集合论课程。这方面优秀的教材很多，这里就不谦虚地推荐一下我们的&a href=&/%E9%80%BB%E8%BE%91%E4%B8%8E%E5%BD%A2%E8%80%8C%E4%B8%8A%E5%AD%A6%E6%95%99%E7%A7%91%E4%B9%A6%E7%B3%BB%E5%88%97-%E6%95%B0%E7%90%86%E9%80%BB%E8%BE%91%C2%B7%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%8F%8A%E5%85%B6%E9%99%90%E5%BA%A6-%E9%83%9D%E5%85%86%E5%AE%BD/dp/B00QI6500A/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=&sr=8-2&keywords=%E9%83%9D%E5%85%86%E5%AE%BD& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《逻辑与形而上学教科书系列:数理逻辑·证明及其限度》&i class=&icon-external&&&/i&&/a&和&a href=&/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA-%E5%AF%B9%E6%97%A0%E7%A9%B7%E6%A6%82%E5%BF%B5%E7%9A%84%E6%8E%A2%E7%B4%A2-%E9%83%9D%E5%85%86%E5%AE%BD/dp/B00OPYIQ58/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=&sr=8-1&keywords=%E9%83%9D%E5%85%86%E5%AE%BD& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&《集合论:对无穷概念的探索》&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&br&&br&====更新=============&br&&br&上述回答无疑是失败的，因为我原本试图在不预设任何哲学立场的前提下回答这个问题。站在不同的哲学立场上，答案是简单而直接的。&br&&br&如果采取实在论（柏拉图主义）的立场。那么无论集合论还是一阶逻辑都是我们有限的人类关于那个无穷的概念世界之规律的描述。就如同物理定律是对物理世界规律的描述一样。因为是对一个客观世界的描述，那就无所谓谁先谁后，谁建立谁的问题了。&br&&br&如果站在形式主义的立场。ZFC公理系统是一阶逻辑公理系统的扩张。我们在ZFC公理系统里演绎出一些符号串。至于这些符号串是不是表达关于一阶逻辑或ZFC公理系统本身的一些事情，严格的形式主义者根本不关心。&br&&br&……
幻灯片竟然被引用到知乎了。链接中是上学期第一堂课的幻灯片，最后一张的标题是“集合论与一阶逻辑是什么关系？”，以问号结尾。关于这个问题，我给出了两则容易令人困惑的命题而没再做进一步的解答。目的是激发同学们的思考，希望大家带着这个问题，经过一…
首先我要赞赏你的想法。你设想的結果基本都是正确的，除了非常不好用。你現在思考的已经涉及非常高等的数学，并且是你并没有什么数学训练的情况下，非常佩服。下面詳細解答。&br&&br&你这样表示一个平面是可行的。我不妨也提一个方案来表达平面的第一象限：将两个座标的各位数字交错写出来。比如位置(36.1, 18.27)表示成31 68.12 07。我用一个正实数唯一地表示了第一象限的一个点，而且第一象限的所有点都可以这样表示。这个方法有两个缺点，其中之一是我没有办法表达其他象限，另一个一会说。&br&&br&如果你觉得我这个表示实在是多此一举，那其实你也在用这个表示。你用平衡三进制，比上面的想法高明，你用整个数轴表示了整个平面。不过你的想法和上面的方法本质上是一样的，把平衡三进制的各位数字交错写出来。这样理解的话，你的1至9分别就是0+,--,+0,+-,00,-+,-0,++,0-。这样比如计算11＋1的话，11＋1＝0+0+＋0+＝（00＋0，++＋+）＝（0，+--）＝0+0-0-＝199。
&br&&br& 我建议你使用类似的符号解释你的想法，至少这样更符合你给起的名字。另一个换符号的重要原因是数学上的。你参考复数的运算，给出了这个表示下的“个位数”加法和乘法表。但是到多位数乘法你不确定，想当然地按照十进制的思维来进位，虽然結果都是正确的。如果要严格的话，你必须要像在平衡三进制中一样，把2写成＋3^1－3^0，这里3是这一进制的基。在你现行的符号下，你不能给出一个基。而如果按上面我说的交错写的理解，你就知道你的进位其实是跳着来的，是两个基，都是3。写成这样虽然麻烦，但是你可以由此证明你的乘法加法是可行的。 &br&&br&我开头处提出的表示方法的缺点是，每次进位都要跳一位来进，还不如转成两个十进制好算呢，对于你的方法在我的符号下也是这样，不如转成两个平衡三进制。你如果说跳一位来进有什么不好，那么三维要麻烦到什么程度，而无穷维空间更是没有定义了（这可以是第三个缺点）。作为一个数学游戏非常好，并且值得研究，但是你没有找到简单的算法。在你的符号下，你每加一维都需要重新定义加法乘法表。 &br&&br& 第三个换符号的原因，你必须定义数乘运算，必须有方法表示4个2相加，一般用2X4，而2X4已经被你用2乘4占用了。必须用与数轴上位置不同的符号，将平面点与数轴点区分开来。 &br&&br&不过你定义的运算仍然是存在并且很好地定义了的。你所谓的整数就是虚部实部都为整数的复数，数学上叫高斯整数。高斯整数构成一个叫“整域”的代数结构，其中的是定义了素元素的，就是你说的素数，数学上叫高斯素数。维基百科上有这个图片，就是你编程画出来的那个：&br&&a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/File:Gauss-primes-768x768.png& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/F&/span&&span class=&invisible&&ile:Gauss-primes-768x768.png&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&因此你的一些思考事实上是高等代数和数论里的内容，你可以查阅相关资料并开始学习。由于你复制了复数的结构，引入除法什么的也是肯定可以的，你也可以定义实数，并且我保证是有域结构的（请自行查阅高等代数近世代数的书籍学习）。
&br&&br& 只是我怀疑按照你提出的表示方法，没有一个比写成两个数更简单的算法了。如果你问人们为什么不用，这就是原因了。另外定位也不方便，你打仗时候告诉绘图员一个你的表示，人家要多久才能标出个点啊。我也怀疑是否存在完美的用一个数来表示平面的方法（方法是很多的）。各种方法不是定义得不好，就是运算非常不方便。像你我提出的这两个，真的是多此一举。&br&&br&最后提点建议。你提的这个表示方法绝对不是大部分领域中实用的表示方法，但是一定有可用之处。加油。而关于素数的思考，你现在知道这已经被研究了很久了，就开始有方向地学习吧。
首先我要赞赏你的想法。你设想的結果基本都是正确的，除了非常不好用。你現在思考的已经涉及非常高等的数学，并且是你并没有什么数学训练的情况下，非常佩服。下面詳細解答。你这样表示一个平面是可行的。我不妨也提一个方案来表达平面的第一象限：将两个座…
循环有序集（cyclically ordered set）。参考 &a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_order& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Cyclic order&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。
循环有序集（cyclically ordered set）。参考 。
实名反对 &a data-hash=&dc5edd82fb6ebdcae78ffa& href=&/people/dc5edd82fb6ebdcae78ffa& class=&member_mention& data-tip=&p$b$dc5edd82fb6ebdcae78ffa&&@阿成&/a& 的答案（终于有机会用这句话了……）&br&最高票的答案引用的定理是正确的，但之后犯了若干错误，最致命的一个是：不承认选择公理的情况下，&b&无法证明可数个可数集的并是可数的&/b&！其他的错误有以下几个：&br&1. 不可数集合不能用 Hartogs 数构造.
Hartogs 数的构造可以由不可数集合的存在性推出不可数序数的存在性，但不可数集合的存在性并不能由此证明.&br&2.
即使不承认选择公理，也不可能存在既非可数也非不可数的集合.
因为不可数的定义是非可数集，这是一个简单的排中律.&br&&br&正确的结论是：可以证明.&br&在完成实数的定义后，实数不可数的证明只需用到概括公理.
其证明大致可以分为两部分：&br&1.
证明 &img src=&/equation?tex=%7C%5Cmathbb+N%7C+%3C+%7C%5Cmathcal+P%28%5Cmathbb+N%29%7C& alt=&|\mathbb N| & |\mathcal P(\mathbb N)|& eeimg=&1&&.
这是一个标准结果，证明与 &a data-hash=&24c0f8a6d86dae0fa56f08& href=&/people/24c0f8a6d86dae0fa56f08& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@余翔& data-tip=&p$b$24c0f8a6d86dae0fa56f08&&@余翔&/a& 所说的类似，用反证法：假定存在这样的双射 &img src=&/equation?tex=f+%5Ccolon+%5Cmathbb+N+%5Cto+%5Cmathcal+P%28%5Cmathbb+N%29& alt=&f \colon \mathbb N \to \mathcal P(\mathbb N)& eeimg=&1&&, 则可以（用概括公理）取 &img src=&/equation?tex=X+%3D+%5C%7Bn+%5Cin+%5Cmathbb+N+%5Cmid+n+%5Cnotin+f%28n%29%5C%7D+%5Cin+%5Cmathcal+P%28%5Cmathbb+N%29& alt=&X = \{n \in \mathbb N \mid n \notin f(n)\} \in \mathcal P(\mathbb N)& eeimg=&1&&, 由于 &i&f &/i&是双射，有 &img src=&/equation?tex=x+%3D+f%5E%7B-1%7D%28X%29+%5Cin+%5Cmathbb+N& alt=&x = f^{-1}(X) \in \mathbb N& eeimg=&1&&.
现在问题来了：是否有 &img src=&/equation?tex=x+%5Cin+X& alt=&x \in X& eeimg=&1&&?
不论如何假定，都会引出矛盾.&br&2.
证明可以将 &img src=&/equation?tex=%5Cmathcal+P%28%5Cmathbb+N%29& alt=&\mathcal P(\mathbb N)& eeimg=&1&& 嵌入 &img src=&/equation?tex=%5Cmathbb+R& alt=&\mathbb R& eeimg=&1&&.
仍然与 &a data-hash=&24c0f8a6d86dae0fa56f08& href=&/people/24c0f8a6d86dae0fa56f08& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@余翔& data-tip=&p$b$24c0f8a6d86dae0fa56f08&&@余翔&/a& 的证明相同，只要令 &img src=&/equation?tex=g+%5Ccolon+%5Cmathcal+P%28%5Cmathbb+N%29+%5Cto+%5Cmathbb+R%2C+X+%5Cmapsto+%5Csum_%7Bx+%5Cin+X%7D+3%5E%7B-x%7D& alt=&g \colon \mathcal P(\mathbb N) \to \mathbb R, X \mapsto \sum_{x \in X} 3^{-x}& eeimg=&1&& (此处感谢 &a data-hash=&24c0f8a6d86dae0fa56f08& href=&/people/24c0f8a6d86dae0fa56f08& class=&member_mention& data-tip=&p$b$24c0f8a6d86dae0fa56f08&&@余翔&/a& 指出，不能用 2 作为底数), 很容易由实数的完备性推出这是良定义的单射.
注意这里对实数的完备性的使用是必要的.
实际上，我们可以用此法证明任何一个包含有理数的完备度量空间都是不可数的.
而实数的完备性是否可以不用选择公理证明呢？当然可以，参见 &a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_cut& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Dedekind cut&i class=&icon-external&&&/i&&/a&.&br&&br&这样就完成了证明.
的答案（终于有机会用这句话了……）最高票的答案引用的定理是正确的，但之后犯了若干错误，最致命的一个是：不承认选择公理的情况下，无法证明可数个可数集的并是可数的！其他的错误有以下几个：1. 不可数集合不能用 Hartogs 数构造. Harto…
主要是用Zorn引理断言了Hamel基一定存在。而Zorn引理和选择公理是等价的。&br&证明概要是，在V的所有的线性无关子集的集合M上用包含关系给了一个偏序。&br&比如A={e_1,e_2}能被B={e_1,e_2,e_3}表出, 则称A&B . &br&现在取一个链A_1 & A_2 & ... & A_n & ...&br&则∪A_i是这个链的上界。所以根据Zorn引理，M有极大元E。然后我们可以断言E就是基。&br&&br&额，想起来一个要补充的，放在这里。其实我们还能证明diam_Q(R)=c , c是连续基数，就是和R等势。&br&&br&你看这里，我们断言基的存在性完全是根据Zorn引理，而Zorn引理中的存在性可以说是不能构造给出的。所以，我们不能给出构造基。至于AC蕴含Zorn引理为啥不是构造的。这是集合论的问题，我就不说了(其实我一直懒得搞清楚这个证明呢= =。)&br&&br&我记得像幺环极大理想的存在性也是类似的证明，总之你就是能断言那个最大的存在，可是就是找不出来。就像我知道有个妹子在等我，可是就在找不到，这大概就是人类的无力吧2333333
主要是用Zorn引理断言了Hamel基一定存在。而Zorn引理和选择公理是等价的。证明概要是，在V的所有的线性无关子集的集合M上用包含关系给了一个偏序。比如A={e_1,e_2}能被B={e_1,e_2,e_3}表出, 则称A&B . 现在取一个链A_1 & A_2 & ... & A_n & ...则∪A_i是这…
现代数学普遍采用的集合论公理体系是 ZFC，它由 Zermelo-Fraenkel 集论公理（ZF）加上选择公理（AC）构成。可参考维基百科的介绍：&br&&a href=&http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%AD%96%E6%A2%85%E6%B4%9B-%E5%BC%97%E5%85%B0%E5%85%8B%E5%B0%94%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&http://zh.wikipedia.org/zh-cn/策梅洛-弗兰克尔集合论&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&英文版的更详细：&br&&a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo–Fraenkel_set_theory&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&选择公理在现代数学中有很重要的作用，很多重要结论的成立都依赖于选择公理，没有它对现代数学来说则是噩梦。而历史上有些数学家希望避开它的原因是从选择公理不是“构造性的”（可参考：&a href=&http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%BB%93%E6%9E%84%E4%B8%BB%E4%B9%89& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&http://zh.wikipedia.org/zh-cn/数学结构主义&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），从选择公理出发可以导出一些看起来十分奇怪的结论，例如著名的“Banach-Tarski分球怪论”：&br&&blockquote&若选择公理成立， 则可以将一个三维实心球分成有限个部分，然后通过旋转和平移重新组合成两个半径和原来相同的完整的球。&br&&/blockquote&幸运的是，1963 年 Paul Cohen 证明了选择公理独立于集合论的 ZF 公理系统。也就是说，承认选择公理（ZF+AC）或不承认选择公理（ZF+?AC）都不会与 ZF 公理系统产生矛盾。再通俗点说，因为 ZF 公理系统是人人都接受的，而不管接受还是拒绝选择公理都不会影响 ZF 公理系统本身，所以不管使不使用选择公理都不会对数学的根基造成破坏。在数学研究中，如果加上一个“不算过分”且“无害”的条件（选择公理显然“不算过分”，而与 ZF 独立保证了它“无害”）能得到很多美妙的结论，那么干嘛要拒绝这个条件呢？&br&&br&因此，只要不涉及集合论的研究，你就可以放心地使用选择公理。&br&并且，历史上反对选择公理的那些有影响的数学家基本都已作古，你不用担心因为使用选择公理而被扣工资或者丢饭碗。
现代数学普遍采用的集合论公理体系是 ZFC，它由 Zermelo-Fraenkel 集论公理（ZF）加上选择公理（AC）构成。可参考维基百科的介绍：英文版的更详细：
没错啊，这个证明是对的。 题主利用数学归纳法，证明了对任意的n，前n项求和和极限可以交换。&br&教科书一般的证明。&br&然而这并没有什么卵用。&br&因为这并不意味着对于n→inf这个结论也对。&br&&br&考虑这样一个命题:对于任意n，1~n这n个整数里有一个最大的&br&这是一句废话。&br&但是n→inf就是另一个问题了，正整数里可没有最大的
没错啊，这个证明是对的。 题主利用数学归纳法，证明了对任意的n，前n项求和和极限可以交换。教科书一般的证明。然而这并没有什么卵用。因为这并不意味着对于n→inf这个结论也对。考虑这样一个命题:对于任意n，1~n这n个整数里有一个最大的这是一句废话。但…
讨论有关&b&一维到二维满射&/b&的问题。为简便起见，只讨论单位线段到单位正方形上的映射。&br&&br&&b&一、映射存在性&/b&&br&来看看一维区间A=[0, 1]和二维单位正方形B=[0, 1]*[0, 1]。二者的势（包含的元素个数）都是不可数的，并且都等于c。可以认为二者包含的点数相等，因此一定存在一个从A到B的双射，也就是说不仅是一一对应，并且B中全部点在A中都有元素对应，没有漏掉的。当然，也存在满射。&br&&br&&b&二、有哪些满射&/b&&br&&ol&&li&小数点穿插：对单位正方形B中两个点&img src=&/equation?tex=a%3D0.a_1a_2a_3...& alt=&a=0.a_1a_2a_3...& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=b%3Db_1b_2b_3...& alt=&b=b_1b_2b_3...& eeimg=&1&&，取单位线段A中一点&img src=&/equation?tex=x%3Da_1b_1a_2b_2a_3b_3...& alt=&x=a_1b_1a_2b_2a_3b_3...& eeimg=&1&&与其对应，则这样的对应是双射。有限分辨率下的图示为：&img src=&/de5dcc3a6d6fd5f4451eeac_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/de5dcc3a6d6fd5f4451eeac_r.jpg&&&/li&&li&题主提出的九宫格映射：把单位正方形分成九个小正方形，分别编码为0到8，每个小正方形又可以编码为0到8，最终用一个9进制小数表示单位正方形。有限分辨率下的图示为：&img src=&/8a9af0ecb1c480f9a3be4_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/8a9af0ecb1c480f9a3be4_r.jpg&&小数点穿插映射中的长线随着分辨率增高变短，而九宫格中横跨不同宫格的长线一直存在，说明前者&b&可能&/b&是连续的、后者&b&一定&/b&不连续，在下一小节我们将更详细地分析这一点。&/li&&li&皮亚诺曲线：如图，将一条曲线不断迭代变长，在第k步，这条曲线分为&img src=&/equation?tex=2%5Ctimes+4%5Ek& alt=&2\times 4^k& eeimg=&1&&段，每一段长为&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csqrt2%7D%7B2%5E%7Bk%2B1%7D%7D& alt=&\frac{\sqrt2}{2^{k+1}}& eeimg=&1&&，当k趋向于无穷得到的极限曲线就是皮亚诺曲线。有限分辨率下的图示为：&/li&&/ol&&img src=&/c8cc7effae7fd12e778757_b.jpg& data-rawwidth=&751& data-rawheight=&376& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&751& data-original=&/c8cc7effae7fd12e778757_r.jpg&&&br&&b&三、这些映射有什么特点&/b&&br&抛开在其他领域可能会有特殊用途不谈，在数学上，这些映射的主要用途就是举例供瞻仰，没有太大分析作用，因为它们的性质都不太好。&br&&br&&b&3.1 九宫格映射不连续&/b&&br&大家经常能看到的二维曲线，比如直线、圆，最基本的性质是连续，只有连续了，才能讨论其他更加实用的性质，比如导数、光滑等等。然而，&b&九宫格映射法不连续&/b&：连续函数要求自变量很小时，函数值也很小，0.3888888....和0.4000000...两个（九进制）小数虽然离得很近，然而由于二者的像处在不同九宫格里，它们的函数值离得很远。就这一条，九宫格映射法的实用价值就大打折扣。类似地，处在平面上相邻九宫格边界两边很近的二维点，其一维九进制表示却离得很远，所以从二维到一维的&b&逆映射也不连续&/b&。&br&&br&&b&3.2 小数点穿插连续但不可导&/b&&br&因为在单位正方形中靠的很近的点，其x、y分量靠的也很近，等价于对应的一维穿插小数很接近，因此小数点穿插是一维到二维的连续映射。下面来看看在0处的导数，因为&img src=&/equation?tex=f%280%29%3D%280%2C0%29& alt=&f(0)=(0,0)& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=f%28%5CDelta%29%3Df%280.a_1a_2a_3...%29%3D%280.a_1a_3...%2C0.a_2a_4...%29& alt=&f(\Delta)=f(0.a_1a_2a_3...)=(0.a_1a_3...,0.a_2a_4...)& eeimg=&1&&，因此：&br&&br&&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7Bf%28%5CDelta%29-f%280%29%7D%7B%5CDelta%7D%3D%5Cfrac%7B%280.a_1a_3...%2C0.a_2a_4...%29%7D%7B0.a_1a_2a_3...%7D& alt=&\frac{f(\Delta)-f(0)}{\Delta}=\frac{(0.a_1a_3...,0.a_2a_4...)}{0.a_1a_2a_3...}& eeimg=&1&&&br&请注意，当&img src=&/equation?tex=%5CDelta+%5Crightarrow+0& alt=&\Delta \rightarrow 0& eeimg=&1&&时，这个极限是无穷大，因为假如分母前2N个小数是0，则分子前N个小数是0，因此分数值是&img src=&/equation?tex=10%5EN& alt=&10^N& eeimg=&1&&数量级，因此不可导。&br&&br&&b&3.3 皮亚诺曲线连续但不可导&/b&&br&皮亚诺曲线是一系列曲线的极限曲线，也就是一系列连续函数&img src=&/equation?tex=f_n& alt=&f_n& eeimg=&1&&的极限函数。可以证明它是连续的，并且的确占满了单位正方形。相关证明相当精彩但是比较复杂，详见Munkres著拓扑学第44节。&br&&br&&b&3.4 面积1=0？&/b&&br&皮亚诺曲线引出的另一个有趣的问题时，二维正方形面积是1，一维曲线面积应该是0（错误），用一维曲线占满二维区域十分不合理，因为这样貌似就出现了1=0的结果。&br&&br&首先我们注意到，皮亚诺曲线的长度是无穷大，用一条长度是无穷大的一维曲线，的确可以占满面积是1的二维区域。一般来说，如果低维物体想占满高维区域，低维物体的用量必须是无穷。比如&a href=&/question//answer/& class=&internal&&Koch曲线&/a&的维数是1.26，它的一维长度是无穷，二维面积是0，一维占的满满的，二维根本不够用。&br&&br&关键就在于面积的定义，一个二维区域的面积定义为用最少的小圆盘（或者小正方形）覆盖这个区域所使用的小圆盘的用料。而一维曲线长度的定义为用最少的小绳子覆盖曲线所使用的小绳用料。皮亚诺曲线的长度虽然是无穷，它嵌入二维正方形后的面积，是1，不是0，因为既然来到了二维，就要用圆盘来覆盖而不能再用小绳子，而圆盘的用料不能少于1。&br&&br&另一方面，一条长度为1的直线段，可以用&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2r%7D& alt=&\frac{1}{2r}& eeimg=&1&&个半径为&img src=&/equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&&的小圆盘来覆盖，圆盘总面积为&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpi+r%7D%7B2%7D& alt=&\frac{\pi r}{2}& eeimg=&1&&，当r趋向于0时，圆盘总面积趋向于0，因此长度为1的直线段面积为0。平面上x轴面积为多少呢？因为x轴可以划分为可数个长度为1的线段，因此它的面积等于可数个0相加，还是0。&br&&br&皮亚诺曲线无限长、面积是1，x轴也无限长、面积是0，那么皮亚诺曲线是如何做到让自己面积非0、以至于占满单位正方形的呢？这是因为皮亚诺曲线在微观上是&b&极度卷曲、处处不可导&/b&的，而x轴是处处可导的光滑直线。如果你尝试计算分形维数，会发现&b&皮亚诺曲线的分型维数恰好是2&/b&。&br&&br&&b&四、这些映射的缺点&/b&&br&函数是建立定义域空间和值域空间的桥梁。数学上有价值的函数，往往需要保持拓扑、代数性质。处处不连续的函数几乎没有分析价值，因为几何结构在映射前后完全不同，这样的函数除了能说明二者的确能够一一对应外就没有其他数学价值了。&br&&br&除了连续性，可导性也十分重要，我们熟悉的加减乘除等基本代数运算都是连续并且可导的。处处不可导的函数在局部震荡剧烈，缺乏代数结构。&br&&br&PS：题主提到的&b&复数的计算法则&/b&和本问题毫无关系，因为复数有两个基，1和i，复数到复平面从本质上就是二维到二维映射。
讨论有关一维到二维满射的问题。为简便起见，只讨论单位线段到单位正方形上的映射。一、映射存在性来看看一维区间A=[0, 1]和二维单位正方形B=[0, 1]*[0, 1]。二者的势（包含的元素个数）都是不可数的，并且都等于c。可以认为二者包含的点数相等，因此一定存…
首先 集合本身确实没有明确的定义&br&同样的属于关系也是这样&br&因为过于基础所以没有什么更基本的东西去描述了大概..&br&&br&但是我们可以通过描述它的外延和内涵来描述它&br&那么就要提到外延公理 同时也是第一个问题的答案&br&&a href=&http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E5%BB%B6%E5%85%AC%E7%90%86& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&外延公理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&:两个集合相等当且仅当他们有相同的元素&br&注意 外延公理不只是为了定义一种等价关系 更进一步的 这是一个对属于关系的非平凡的描述&br&&br&其次 对于第三个问题 空集的存在性&br&&a href=&http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%85%AC%E7%90%86& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&空集公理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&: 存在一个集合, 使得没有任何元素在其中.&br&(外延公理规定了其唯一性).&br&(同时还可以从分类公理中导出)&br&&br&空集是任何集合的子集&br&证明: 由反证法, 若存在集合A使得空集不为A的子集, 则按照子集的定义, 存在一个空集中的元素x, x不属于A.这与空集中没有任何元素冲突.所以空集为任何集合的子集.&br&&br&空集不属于自身. 因为没有任何元素属于空集. 但是空集是自身的子集. 此外, 任何集合都是自身的子集.&br&&br&分类公理和罗素悖论&br&第二个问题比较复杂所以丢在靠后的地方说吧.&br&首先讲我们会怎么去表示一个集合.. 对于最朴素的想法, 有限的情形, 我们将其元素挨个指出, 即直接描述这个集合的外延. 但是对于处理无穷的情形, 这样显然行不通. 那么我们期望通过描述集合元素所共有的性质来指出这些元素.&br&&a href=&http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E7%B1%BB%E5%85%AC%E7%90%86& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&分类公理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&: 对每一个集合A和每一个谓词P(x), 存在一个对应的集合B, 由A中满足P(x)的元素组成.&br&所以我们可以通过一些谓词和给定集合来描述一个集合.&br&比如: &img src=&/equation?tex=%5C%7Bx+%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D+%3A+x%3E0%5C%7D& alt=&\{x \in \mathbb{R} : x&0\}& eeimg=&1&&表示&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&中所有满足谓词&img src=&/equation?tex=P%28x%29%3Ax%3E0& alt=&P(x):x&0& eeimg=&1&&的元素.&br&再比如之前留下的一个坑: 空集.&br&对某个集合A, 考虑集合&img src=&/equation?tex=%5C%7B+x+%5Cin+A+%3A+x+%5Cneq+x%5C%7D& alt=&\{ x \in A : x \neq x\}& eeimg=&1&&, 显然其中没有任何元素. 根据外延公理这与的集合是唯一的. 将其称作空集(.&br&&br&之所以要加上&对集合A&这样的限制, 是为了避免&a href=&http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%97%E7%B4%A0%E6%82%96%E8%AE%BA& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&罗素悖论&i class=&icon-external&&&/i&&/a&的产生.&br&若没有这样的限制, 仅仅由一个谓词P(x)来约束.&br&考虑此集合: &img src=&/equation?tex=A+%3D+%5C%7B+x+%3A+x+%5Cnot%5Cin+x%5C%7D& alt=&A = \{ x : x \not\in x\}& eeimg=&1&&&br&那么A是否属于A本身?&br&若&img src=&/equation?tex=A+%5Cin+A& alt=&A \in A& eeimg=&1&&, 则A作为A的元素, 满足P(x), 即&img src=&/equation?tex=A+%5Cnot%5Cin+A& alt=&A \not\in A& eeimg=&1&&.&br&若&img src=&/equation?tex=A+%5Cnot%5Cin+A& alt=&A \not\in A& eeimg=&1&&, 则A满足P(x), 所以A是A中元素, 即&img src=&/equation?tex=A+%5Cin+A& alt=&A \in A& eeimg=&1&&.&br&矛盾产生.&br&为了避免这样的矛盾, 分类公理中加上了这样的限制.&br&&br&公理集合论&br&如果点开之前几个公理的wiki链接看, 会发现他们被描述在同一个系统, 即&a href=&http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%96%E6%A2%85%E6%B4%9B-%E5%BC%97%E5%85%B0%E5%85%8B%E5%B0%94%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AE%BA& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Zermelo-Fraenkel集合论&i class=&icon-external&&&/i&&/a&下.(一般简写ZF)&br&大概的情况就是一开始Cantor提出来集合论这个概念的时候只是比较朴素的情况, 很多细节都没有很严格的表示出来, 也存在着罗素悖论这样的逻辑漏洞. 所以之后数学家们尝试将整个体系公理化, 其中一个目前最常用的就是ZF了..&br&&br&参考资料:
Paul R.Halmos - Naive Set Theory
首先 集合本身确实没有明确的定义同样的属于关系也是这样因为过于基础所以没有什么更基本的东西去描述了大概..但是我们可以通过描述它的外延和内涵来描述它那么就要提到外延公理 同时也是第一个问题的答案:两个集合相等当且仅当他们有相同的元素注…
基于自然数集合的归纳法:&br&&br&&blockquote&性质 P(n), 对于0 成立, P(k)--&P(k+1) 那么P对于所有自然数成立&/blockquote&&br&题主的叙述里面的 P(k): &img src=&/equation?tex=%5Clim_%7Bx%5Crightarrow+x0%7D%7B%5Csum_%7B1%7D%5E%7Bk%7D%7Bf_%7Bi%7D+%28x%29%7D+%7D+%3D%5Csum_%7B1%7D%5E%7Bk%7D%7B%5Clim_%7Bx+%5Crightarrow+x0%7D%7B%7D+f_%7Bi%7D+%28x%29%7D+& alt=&\lim_{x\rightarrow x0}{\sum_{1}^{k}{f_{i} (x)} } =\sum_{1}^{k}{\lim_{x \rightarrow x0}{} f_{i} (x)} & eeimg=&1&&&br&&br&其实不用数学归纳法可证明 P(k) 对于任何自然数k 成立&br&&br&但是, &img src=&/equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&不是自然数, 或者用更通用的符号&img src=&/equation?tex=%5Caleph_0& alt=&\aleph_0& eeimg=&1&&不是自然数&br&-----------------------------------------------------------------------------------------------&br&另一个平庸的P性质满足对于所有自然数成立但是对&img src=&/equation?tex=%5Cinfty& alt=&\infty& eeimg=&1&&不成立:&br&&br&P(k):
&k 不等于 k+1& 这里面的 等于 的含义可以是 集合基数相同 或者 集合序数相同&br&-----------------------------------------------------------------------------------------------
基于自然数集合的归纳法:性质 P(n), 对于0 成立, P(k)--&P(k+1) 那么P对于所有自然数成立题主的叙述里面的 P(k): \lim_{x\rightarrow x0}{\sum_{1}^{k}{f_{i} (x)} } =\sum_{1}^{k}{\lim_{x \rightarrow x0}{} f_{i} (x)} 其实不用数学归纳法可证明 P(k) 对…
牛人，独立做出了类似皮亚诺曲线(&a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/S&/span&&span class=&invisible&&pace-filling_curve&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)的东西，当然你和他的区别在于皮亚诺的格子是顺序填写的，而你用了洛书。这是一个非常了不起的思想，推荐你去学学集合论，你会看到这个想法皮亚诺是怎么实现的。&br&&br&好，现在我来告诉你差在哪里，最主要的问题在于，你这种方法实际上是一种映射，即从R^2到R的一个双射。这个映射的关键问题是：映射不能保持函数的连续性、可导性、可微性。&br&&br&你应该在高等数学中学过这些概念，如果你不知道这些概念在生活中是什么意思，我就略微解释一下：就是原先在二维平面上连续的运动，在你这里变成了跳跃式的了。&br&举个例子，假如一个人在二维平面上兜了个小圈子(0,0)-&(0,1)-&(1,1)-&(1,0)-&(0,0)，在你的“单数值系统”里看来，这个人并不是在走路，而是在跳跃：5-&7-&6-&1-&5。设想一下这种场景，一个人在平面上走的人离开(0,0)点，并没有经过(0,0)点临近的八个点就跑到了(10,8)，你会什么感觉？一定觉得这个人是外星人或是鬼之类的，这是违反人的思维方式的；类似情况，如果一个人在一条直线上走，离开6点之后没有经过5,4,3,2,几个点就直接到达了1，这是也是一种违反人的思维方式的“见鬼了”的状况。&br&&br&如果仅仅是“见鬼了”还不要紧，最主要的是我们没有数学工具来研究5-&7-&6-&1-&5这种变化，微积分的基础是连续可微，如果碰到不可微甚至不连续的的函数，我们目前是没有太好的工具的。所以你光把两个数写成一个数的是没有用的，你还需要有一套支持你的这种写数方式的数学工具才行。而这一套数学工具的建立，比你这种写数方式，要复杂很多很多倍的……
牛人，独立做出了类似皮亚诺曲线()的东西，当然你和他的区别在于皮亚诺的格子是顺序填写的，而你用了洛书。这是一个非常了不起的思想，推荐你去学学集合论，你会看到这个想法皮亚诺是怎么实现的。好，现在我来告诉你差在哪里，最主要的…
int是个同余群
int是个同余群
1.并不是“构造了一个实数x使得它与前n个罗列出的实数不等”，而是对任意给定的一个可数实数列，构造了一个实数与这个数列里面的&b&每一项&/b&都不相等。&br&2.所谓“质疑这个证明的论文”，现在题主没有拿出来也不好说什么，不过估计也是民科之流吧，不要在意。
1.并不是“构造了一个实数x使得它与前n个罗列出的实数不等”，而是对任意给定的一个可数实数列，构造了一个实数与这个数列里面的每一项都不相等。2.所谓“质疑这个证明的论文”，现在题主没有拿出来也不好说什么，不过估计也是民科之流吧，不要在意。
&p&集合有三个人，难看到漂亮等级123，没钱到有钱等级123，然后我构造这么个集合，假设人是由一个二维向量组成的，x是漂亮，y是有钱：&/p&&p&[&/p&&p&
{&x& : 1, &y&: 3},&/p&&p&
{&x& : 2, &y&: 2}, // 这是它&/p&&p&
{&x& : 3, &y&: 1}&/p&&p&]&/p&&br&&p&所以在这里，比它漂亮的都没它有钱，比它有钱的都没它漂亮&/p&
集合有三个人，难看到漂亮等级123，没钱到有钱等级123，然后我构造这么个集合，假设人是由一个二维向量组成的，x是漂亮，y是有钱：[ {"x" : 1, "y": 3}, {"x" : 2, "y": 2}, // 这是它 {"x" : 3, "y": 1}]所以在这里，比它漂亮的都没它有钱，比它有钱的都没…
&p&昨天 &a class=&member_mention& href=&/people/099d18f09beb956e13db& data-hash=&099d18f09beb956e13db& data-tip=&p$b$099d18f09beb956e13db&&@zero&/a&
已经给出正解了，我就解释下吧&/p&&img src=&/5cb36ff581feaee_b.jpg& data-rawwidth=&887& data-rawheight=&203& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&887& data-original=&/5cb36ff581feaee_r.jpg&&
已经给出正解了，我就解释下吧
证明&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb+Q%2B%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\mathbb Q+\sqrt{2}& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BQ%7D%5Ccup%5Cmathbb+Q%2B%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\mathbb{Q}\cup\mathbb Q+\sqrt{2}& eeimg=&1&&之间有一一对应即可
证明\mathbb Q+\sqrt{2}和\mathbb{Q}\cup\mathbb Q+\sqrt{2}之间有一一对应即可
看你怎么定义多。&br&&br&不同的定义导出不同的结论。&br&&br&素数跟合数那个多？&br&有时我们会说一样多，有时又会说合数多。&br&这两个答案都正确，只是衡量多的标准不一样。&br&&br&不去明确多的定义，而是死记硬背哪个比哪个多或者一样多，是毫无价值的。
看你怎么定义多。不同的定义导出不同的结论。素数跟合数那个多？有时我们会说一样多，有时又会说合数多。这两个答案都正确，只是衡量多的标准不一样。不去明确多的定义，而是死记硬背哪个比哪个多或者一样多，是毫无价值的。
实数比整数多是怎么定义的？不知道题主是如何定义一个集合包含的元素比另一个集合多。&br&证明实数不可数不用选择公理也是可以的，可以这样证明&br&设&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是集合，&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的&b&幂集&/b&记作&img src=&/equation?tex=2%5EX%3A%3D%5C%7BA%3AA%5Csubset+X%5C%7D& alt=&2^X:=\{A:A\subset X\}& eeimg=&1&&，它是&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的一切子集构成的集合。&br&&b&定理&/b&(&a href=&http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theorem& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Cantor定理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&)
设&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是一个任意的集合，那么&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=2%5EX& alt=&2^X& eeimg=&1&&不能有同样的基数。&br&因为集合&img src=&/equation?tex=A%3D%5C%7Bx%5Cin+X%3Ax%5Cnotin+f%28x%29%5C%7D& alt=&A=\{x\in X:x\notin f(x)\}& eeimg=&1&&不能是&img src=&/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&的像，从而没有从&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&到&img src=&/equation?tex=2%5E%7BX%7D& alt=&2^{X}& eeimg=&1&&的满射，这个定理的证明不需要公理。&br&&br&&b&推论 &/b&&img src=&/equation?tex=2%5E%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D& alt=&2^{\mathbf{N}}& eeimg=&1&&不可数。&br&根据Cantor定理，&img src=&/equation?tex=2%5E%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D& alt=&2^{\mathbf{N}}& eeimg=&1&&不能与&img src=&/equation?tex=%5Cmathbf%7BN%7D& alt=&\mathbf{N}& eeimg=&1&&有相同的基数，那么它或者是&b&不可数的&/b&，或者是&b&有限的&/b&，但&img src=&/equation?tex=2%5E%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D& alt=&2^{\mathbf{N}}& eeimg=&1&&包含单元素集的集合&img src=&/equation?tex=%5C%7B%5C%7Bn%5C%7D%3An%5Cin%5Cmathbf%7BN%7D%5C%7D& alt=&\{\{n\}:n\in\mathbf{N}\}& eeimg=&1&&，它明显与&img src=&/equation?tex=%5Cmathbf%7BN%7D& alt=&\mathbf{N}& eeimg=&1&&存在双射，从而是可数无限的，于是&img src=&/equation?tex=2%5E%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D& alt=&2^{\mathbf{N}}& eeimg=&1&&不能是有限的(因为有限集合的子集都是有限的)，所以是不可数的。&br&&br&&b&推论 &/b&&img src=&/equation?tex=%5Cmathbf%7BR%7D& alt=&\mathbf{R}& eeimg=&1&&不可数&br&&b&证明&/b&
定义映射&img src=&/equation?tex=f%3A2%5E%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D%5Cto%5Cmathbf%7BR%7D& alt=&f:2^{\mathbf{N}}\to\mathbf{R}& eeimg=&1&&&br&&img src=&/equation?tex=f%28A%29%3A%3D%5Csum_%7Bn%5Cin+A%7D10%5E%7B-n%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+1_A%28n%B-n%7D& alt=&f(A):=\sum_{n\in A}10^{-n}=\sum_{n=0}^\infty 1_A(n)10^{-n}& eeimg=&1&&&br&这里&img src=&/equation?tex=1_A& alt=&1_A& eeimg=&1&&表示集合&img src=&/equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&的指示函数，注意&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+10%5E%7B-n%7D& alt=&\sum_{n=0}^\infty 10^{-n}& eeimg=&1&&是绝对收敛的级数，因此&img src=&/equation?tex=%5Csum_%7Bn%5Cin+A%7D10%5E%7B-n%7D& alt=&\sum_{n\in A}10^{-n}& eeimg=&1&&也是绝对收敛的. 于是，映射&img src=&/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&是定义良好的，&br&现在证明&img src=&/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&是单射。采用反证法，假设存在两个不同的集合&img src=&/equation?tex=A%2CB%5Cin2%5E%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D& alt=&A,B\in2^{\mathbf{N}}& eeimg=&1&&，使得&img src=&/equation?tex=f%28A%29%3Df%28B%29& alt=&f(A)=f(B)& eeimg=&1&&，由于&img src=&/equation?tex=A%5Cneq+B& alt=&A\neq B& eeimg=&1&&，集合&br&&img src=&/equation?tex=%28A%5Csetminus+B%29%5Ccup%28B%5Csetminus+A%29& alt=&(A\setminus B)\cup(B\setminus A)& eeimg=&1&&&br&是&img src=&/equation?tex=%5Cmathbf%7BN%7D& alt=&\mathbf{N}& eeimg=&1&&的非空子集，根据良序原理，这个集合存在最小元，即&img src=&/equation?tex=n_0%3D%5Cmin%28A%5Csetminus+B%29%5Ccup%28B%5Csetminus+A%29& alt=&n_0=\min(A\setminus B)\cup(B\setminus A)& eeimg=&1&&，那么&img src=&/equation?tex=n_0& alt=&n_0& eeimg=&1&&属于&img src=&/equation?tex=A%5Csetminus+B& alt=&A\setminus B& eeimg=&1&&或&img src=&/equation?tex=B%5Csetminus+A& alt=&B\setminus A& eeimg=&1&&，根据对称性，不妨认为&img src=&/equation?tex=n_0& alt=&n_0& eeimg=&1&&属于&img src=&/equation?tex=A%5Csetminus+B& alt=&A\setminus B& eeimg=&1&&，那么&img src=&/equation?tex=n_0%5Cin+A%2C%7En_0%5Cnotin+B& alt=&n_0\in A,~n_0\notin B& eeimg=&1&&，并且对一切&img src=&/equation?tex=n%3Cn_0& alt=&n&n_0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=n%5Cin+A%2CB& alt=&n\in A,B& eeimg=&1&&或&img src=&/equation?tex=n%5Cnotin+A%2CB& alt=&n\notin A,B& eeimg=&1&&。于是&br&&img src=&/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A0%26%3Df%28A%29-f%28B%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin+A%7D10%5E%7B-n%7D-%5Csum_%7Bn%5Cin+B%7D10%5E%7B-n%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3Cn_0%3An%5Cin+A%7D10%5E%7B-n%7D%2B%5Csum_%7Bn%3En_0%3An%5Cin+A%7D10%5E%7B-n%7D%5Cright%29-%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3Cn_0%3An%5Cin+B%7D10%5E%7B-n%7D%2B%5Csum_%7Bn%3En_0%3An%5Cin+B%7D10%5E%7B-n%7D%5Cright%29%5C%5C%0A%26%3D10%5E%7B-n_0%7D%2B%5Csum_%7Bn%3En_0%3An%5Cin+A%7D10%5E%7B-n%7D-%5Csum_%7Bn%3En_0%3An%5Cin+B%7D10%5E%7B-n%7D%5C%5C%0A%26%5Cgeq+10%5E%7B-n_0%7D%2B0-%5Csum_%7Bn%3En_0%7D10%5E%7B-n%7D%5C%5C%0A%26%5Cgeq+10%5E%7B-n_0%7D-%5CfracB-n_0%7D%3E0%0A%5Cend%7Balign%7D%0A& alt=&\begin{align}
0&=f(A)-f(B)=\sum_{n\in A}10^{-n}-\sum_{n\in B}10^{-n}\\
&=\left(\sum_{n&n_0:n\in A}10^{-n}+\sum_{n&n_0:n\in A}10^{-n}\right)-\left(\sum_{n&n_0:n\in B}10^{-n}+\sum_{n&n_0:n\in B}10^{-n}\right)\\
&=10^{-n_0}+\sum_{n&n_0:n\in A}10^{-n}-\sum_{n&n_0:n\in B}10^{-n}\\
&\geq 10^{-n_0}+0-\sum_{n&n_0}10^{-n}\\
&\geq 10^{-n_0}-\frac1910^{-n_0}&0
\end{align}
& eeimg=&1&&&br&得到矛盾，于是&img src=&/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&是单射，这意味着&img src=&/equation?tex=f%282%5E%7B%5Cmathbf%7BN%7D%7D%29& alt=&f(2^{\mathbf{N}})& eeimg=&1&&与&img src=&/equation?tex=%5Cmathbf%7BN%7D& alt=&\mathbf{N}& eeimg=&1&&具有相同的集合，从而不可数，由于&img src=&/equation?tex=f%282%5E%5Cmathbf%7BN%7D%29& alt=&f(2^\mathbf{N})& eeimg=&1&&是&img src=&/equation?tex=%5Cmathbf%7BR%7D& alt=&\mathbf{R}& eeimg=&1&&的子集，这使得&img src=&/equation?tex=%5Cmathbf%7BR%7D& alt=&\mathbf{R}& eeimg=&1&&也不可数(因为可数集的子集是之多可数的)&br&&br&ps.自然数良序与数学归纳法等价，所以证明自然数良序不需要选择公理。&br&数学归纳法&img src=&/equation?tex=%5CRightarrow+& alt=&\Rightarrow & eeimg=&1&&自然数良序&br&&b&命题&/b&(良序原理) 设&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&是自然数&img src=&/equation?tex=%5Cmathbf%7BN%7D& alt=&\mathbf{N}& eeimg=&1&&的非空子集, 那么存在一个元素&img src=&/equation?tex=n%5Cin+X& alt=&n\in X& eeimg=&1&&，使得对一切&img src=&/equation?tex=m%5Cin+X& alt=&m\in X& eeimg=&1&&成立&img src=&/equation?tex=n%5Cleq+m& alt=&n\leq m& eeimg=&1&&，换而言之，自然数的每个非空子集都有&b&最小元&/b&。&br&&b&证明
&/b&反证，假设&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&不存在最小元，使用归纳法，设关于&img src=&/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&的命题&img src=&/equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&是&img src=&/equation?tex=n%5Cnotin+X& alt=&n\notin X& eeimg=&1&&。&br&&ol&&li&首先&img src=&/equation?tex=0%5Cnotin+X& alt=&0\notin X& eeimg=&1&&(因为&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&不存在最小元)，因此&img src=&/equation?tex=P%280%29& alt=&P(0)& eeimg=&1&&成立。&br&&/li&&li&设对一切自然数&img src=&/equation?tex=m%3Cn& alt=&m&n& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=P%28m%29& alt=&P(m)& eeimg=&1&&成立，那么对一切&img src=&/equation?tex=m%3Cn& alt=&m&n& eeimg=&1&&，有&img src=&/equation?tex=m%5Cnotin+X& alt=&m\notin X& eeimg=&1&&，因此&img src=&/equation?tex=n%5Cnotin+X& alt=&n\notin X& eeimg=&1&&(如果&img src=&/equation?tex=n%5Cin+X& alt=&n\in X& eeimg=&1&&，那么&img src=&/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&就是&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&的最小元)，于是&img src=&/equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&成立。&br&&/li&&/ol&根据数学归纳法，对一切&img src=&/equation?tex=n%5Cin+%5Cmathbf%7BN%7D& alt=&n\in \mathbf{N}& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&成立，于是对所有的自然数&img src=&/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&，有&img src=&/equation?tex=n%5Cnotin+X& alt=&n\notin X& eeimg=&1&&，因此&img src=&/equation?tex=X%3D%5Cemptyset& alt=&X=\emptyset& eeimg=&1&&，得到矛盾。&br&自然数良序&img src=&/equation?tex=%5CRightarrow+& alt=&\Rightarrow & eeimg=&1&&数学归纳法&br&&b&命题&/b&(数学归纳原理)
设&img src=&/equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&是关于自然数&img src=&/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&的一个性质，设&img src=&/equation?tex=P%280%29& alt=&P(0)& eeimg=&1&&是真的，并假设只要&img src=&/equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&是真的，则&img src=&/equation?tex=P%28n%2B1%29& alt=&P(n+1)& eeimg=&1&&也是真的，那么对每个自然数&img src=&/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&都是真的。&br&&b&证明
&/b&设&img src=&/equation?tex=X%3D%5C%7Bn%5Cin%5Cmathbf%7BN%7D%3AP%28n%29%5Ctext%7B%E6%98%AF%E5%81%87%E7%9A%84%7D%5C%7D& alt=&X=\{n\in\mathbf{N}:P(n)\text{是假的}\}& eeimg=&1&&，我们断定&img src=&/equation?tex=X%0A& alt=&X
& eeimg=&1&&是空集，如果&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&不是空集，那么根据良序原理，&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&存在最小元&img src=&/equation?tex=n_0%3D%5Cmin+X& alt=&n_0=\min X& eeimg=&1&&，而对一切&img src=&/equation?tex=n%3Cn_0& alt=&n&n_0& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=P%28n%29& alt=&P(n)& eeimg=&1&&都真，特别地&img src=&/equation?tex=P%28n_0-1%29& alt=&P(n_0-1)& eeimg=&1&&也真，因此&img src=&/equation?tex=P%28n_0%29& alt=&P(n_0)& eeimg=&1&&也真，这是一个矛盾。
实数比整数多是怎么定义的？不知道题主是如何定义一个集合包含的元素比另一个集合多。证明实数不可数不用选择公理也是可以的，可以这样证明设X是集合，X的幂集记作2^X:=\{A:A\subset X\}，它是X的一切子集构成的集合。定理() 设X是一个任意的集合…
这是拓扑的定义。欧式拓扑中的开集定义为所有开球通过有限交，任意并所生成的所有集合，而闭集定义为开集的补集，而按照这个定义，空集是开集。&br&或者这样看，由于欧式拓扑是与欧式度量相容，等价地，闭集的定义可以变为如果一个集合中任意一个柯西基本列的极限仍属于这个集合。由于实数的完备性，所有实数所组成的集合就是欧式拓扑下的闭集。
这是拓扑的定义。欧式拓扑中的开集定义为所有开球通过有限交，任意并所生成的所有集合，而闭集定义为开集的补集，而按照这个定义，空集是开集。或者这样看，由于欧式拓扑是与欧式度量相容，等价地，闭集的定义可以变为如果一个集合中任意一个柯西基本列的极…
1. 集合是由有限或无限个元素组成的整体，集合A与B不等意味着A里存在着B里没有的元素，或者相反；&br&2. A为无限集时，有规律的集合可根据其规律排列其元素，然后写出前几个元素，直到规律可以被看出来。例如所有正整数的集合可表示为：A = {1，2，3，...}；&br&3. 空集是一个集合，其大小为0；&br&4. 空集是任何集合的子集。
1. 集合是由有限或无限个元素组成的整体，集合A与B不等意味着A里存在着B里没有的元素，或者相反；2. A为无限集时，有规律的集合可根据其规律排列其元素，然后写出前几个元素，直到规律可以被看出来。例如所有正整数的集合可表示为：A = {1，2，3，...}；3. …