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矩阵论第一章
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?论经典教材,矩阵论引论,矩阵论 百度云,线性代数与矩阵论,矩阵论及其应用,矩阵论 英文,同济大学矩阵论
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线性代数 课后习题答案 总主编 邹庭荣 主编 李仁所 张洪谦 第2章_向量与矩阵习题解1
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官方公共微信75矩阵论及其应用_黄有度习题1解答
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75矩阵论及其应用_黄有度习题1解答
习题一；1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域；（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法?和；(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d?ac)；k(k?1)2；a)2；（4）设R是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运；a?b?ab,k?a?ak；其中a,b?R,k?R；；（5）二阶常系数非齐次线
习题一1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设A是n阶实数矩阵.A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数乘；（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法?和数乘?运算：(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d?ac),k?(a,b)?(ka,kb??k(k?1)2a) 2（4）设R是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算：a?b?ab,k?a?ak其中a,b?R,k?R；（5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘；（6）设V?xx?c1sint?c2sin2t???cksinkt,ci?R,0?t?2?，V中元素对于通常的加法与数乘，并证明：?sint,sin2t,?,sinkt?是V的一个基，试确定ci的方法.解
（1）是.令V1??f(A)f(x)是实系数多项式，A为n?n矩阵?.由矩阵的加法和数乘运算知,???f(A)?g(A)?h(A),kf(A)?d(A),其中k为实数，f(x),h(x),d(x)是实系数多项式.V1中含有A的零多项式，为V1的零元素.f(A)有负元?f(A)?V1.由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故V1关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.（2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.（3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.任取该集合中的三个元素，设为??(a,b),??(c,d),??(f,g),以及任意实数k,l,则有① ????(a?c,b?d?ac)????; ② (???)???(a?c,b?d?ac)???((a?c)?f,(b?d?ac)?g?(a?c)f)?(a?(c?f),b?(d?g?cf)?a(c?f)) ???(c?f,d?f?cf)???(???);③存在(0,0),使得(a,b)?(0,0)?(a?0,b?0?a0)?(a,b),即(0,0)为零元;④存在(?a,a?b),使得2(a,b)?(?a,a2?b)?(a?a,b?(a2?b)?a(?a))?(0,0),即(?a,a?b)是(a,b)的负元;21(1?1)2a)?(a,b) 2l(l?1)2⑥k?(l??)?k?(l?(a,b))?k?(la,lb?a)2l(l?1)2k(k?1)?(k(la),k(lb?a)?(la)2)22kl(kl?1)2?(kla,(kl)b?a)?(kl)?(a,b)?(kl)??;2(k?l)((k?l)?1)2⑦(k?l)???(k?l)?(a,b)?((k?l)a,(k?l)b?a)2k(k?1)2l(l?1)2?(ka?la,(kb?a)?(lb?a)?(ka)(la))22k(k?1)2l(l?1)2?(ka,kb?a)?(la,lb?a)22⑤1?(a,b)?(1a,1b??k?(a,b)?l?(a,b)?k????l??; ⑧k?(???)?k?(a?c,b?d?ac)k(k?1)(a?c)2)2k(k?1)2k(k?1)2?(ka?kb,(kb?a)?(kd?c)?(ka)(kc))22k(k?1)2k(k?1)2?(ka,kb?a)?(kc,kd?c)22?(k(a?b),k(b?d?ac)??(k??)?(k??).（4）是.对任意a，b∈R+，有a?b?ab?R；又对任意k?R和a?R，有k?a?a?R，即R+对所定义的加法与数乘运算封闭。下面来检验R+对于这两种运算满足线性空间的八条运算律：①a?b?ab?ba?b?a②(a?b)?c?(ab)?c?(ab)c?a(bc)?a?(b?c) ③1是零元素：a?1?a?1?a ④a的负元素是a：a?a⑤1?a?a?a⑥k?(l?a)?k?a?(a)?a⑦(k?l)?a?ak?lllklk??k??1?1?aa?1?11?(lk)?a?akal?ak?al?(k?a)?(l?a)kkk⑧k?(a?b)?k?(ab)?(ab)?ab?(k?a)?(k?b) 所以R+对这两种运算构成实数域R上的线性空间.（5）否.设V2?y(x)y???a1y??a0y?f(x),f(x)?0，则该集合对函数的加法和数乘均不封闭.例如对任意的y1,y2?V2,y1?y2?V2.故不构成线性空间.（6）是.集合V对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是V的零元素；对任意??的x?c1sint?c2sin2t???cksinkt，?x??c1sint?c2sin2t???cksinkt是其负元素.由于函数的加法与数乘运算满足线性空间要求的其它各条，故集合V关于函数的加法与数乘构成实数域上的线性空间.为证明函数组sint,sin2t,?,sinkt是V的一个基，由于V中的任意函数均可由该组函数表示，故只需证明sint,sin2t,?,sinkt线性无关.设l1sint?l2sin2t???lksinkt?0，分别用sinit(i?1,2,?,k)乘以上式，并从0到2?求定积分，得l1?sintsinitdt?l2?sin2tsinitdt???lk?sinktsinitdt?0， 2?2?2?由于?2? sinmtsinntdt?0
(m,n?1,2,3?,m?n)，2?0? sinmtsinntdt??
(m?n?1,2,3?)，故l1?l2???lk?0，即sint,sin2t,?,sinkt线性无关.设x?c1sint?c2sin2t???cksinkt，则2?? xsinitdt?c1?sintsinitdt?c2?sin2tsinitdt???ck?sinktsinitdt?ci? 2?2?2?,故ci?1??2? xsinitdt(i?1,2,?,k).2．求下列线性空间的维数与一个基： （1）Rn?n中全体对称（反对称、上三角）矩阵构成的实数域R上的空间；（2）第1题（4）中的空间；（3）实数域R上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中 ?100??,???2?,?3?1A??0?0??2??00???解
（1）设Eij是第i行第j列的元素为1而其余元素全为0的n阶方阵.?Eii,
i?j①令Fij??，则Fij是对称矩阵，易证F11,?,F1n,F22,?,F2n,E?E,i?jji?ij?,Fnn线性无关，且对任意n阶对称矩阵A?(aij)n?n，其中aij?aji，有A???aijFij，故F11,?,F1n,F22,?,F2n,?,Fnn是Rn?n中全体对称矩阵所构i?1j?1nn成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是n(n?1). 2②令Gij?Eij?Eji(i?j)，则Gij是反对称矩阵，易证G1,1?G,nG,31,?2Gn?,,Gn,?1,n线性无关，且对任意的n阶反对称矩阵nA?(aij)n?n，,GG,,?,有A???aijGij，故G1,?1,n232Gi?1j?i?1n?1n?,Gn?1,n是Rn?n中全体反对称矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是n(n?1). 2③对任意n阶上三角矩阵A?(aij)n?n，其中aij?0(i?j)，有A???aijEij，又E11,?,E1n,E22,?,E2n,?,Enn均为上三角矩阵且线性无i?1j?inn关，故它们是R维数是n?n中全体上三角矩阵所构成的线性空间的一组基，该线性空间的n(n?1). 2log2a（2）数1是该空间的零元素，于是非零元素2是线性无关的，且对于任一正实数a，有a?2?log2a?2，即R+中任意元素均可由2线性表示，所以2是该空间的一组基，该空间的维数是1.事实上任意不等于1的正实数均可作为该空间的基.（3）因为???1?2,??,?3?1，故 2包含各类专业文献、应用写作文书、专业论文、文学作品欣赏、高等教育、生活休闲娱乐、75矩阵论及其应用_黄有度习题1解答等内容。　
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